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Vorlesungsskript Elektrodynamik
B. Esser
12. Juni 2008
1
I ELEKTROSTATIK
1
Grundbegriffe
In der Mechanik benutzen wir die Grundgrößen Masse m, Länge l und Zeit
t. Zusätzlich gibt es in der Elektrodynamik die Ladung, die wir mit Q oder q
bezeichnen werden. Auf atomarer Ebene kennen wir die Elementarladungen
von Elektron e− = −e, e > 0, oder Proton e. In nicht ionisierten Atomen gilt
für deren Gesamtladung Q = +Z · e − Z · e = 0 mit Z als Ordnungszahl des
Atoms. Auch makroskopisch besitzt ein neutraler Körper jeweils gleich viele
zueinander gegensätzliche Ladungen. In geschlossenen Systemen gilt das
Gesetz von der Ladungserhaltung:
In einem abgeschlossenen System ( es findet kein Stromfluß ins bzw. aus
dem System statt ) bleibt die Summe aus positiver und negativer Ladung
konstant. Es gilt:
!
Q=
qk = const
k
Grundlegend für die Elektrostatik ist das Coulombsche Gesetz:
Zwei Ladungen q1 und q2 mit den Ortsvektoren !r1 und r!2 üben aufeinander
die Kraft
!r1 − !r2
F!12 = k · q1 · q2 ·
|!r1 − !r2 |3
aus. F!12 ist die Kraft, die Ladung 2 auf Ladung 1 ausübt. Mit F12 = |F!12 |
folgt: F12 = k · q1 · q2 · r12 für r = |!r1 − !r2 |. Es gilt das dritte Newtonsche
Axiom: F!12 = −F!21 .
Die Einheit der Ladung ergibt sich aus der Festlegung der Konstanten k:
1. Im cgs-System:
[F ] = [F12 ] = [k ·
q1 ·q2
]
r2
die Konstante wird k = 1 gesetzt:
&
g · cm
[q 2 ]
=
=⇒
[q]
=
cm
·
dyn
2
cm2
" s#$ %
=1dyn
2. Im MKSA oder SI-System:
k wird durch die Einheit des elektrischen Stromes I festgelegt. Das
Ampére A als Einheit des Stromes stellt eine Basiseinheit dar. Für die
Einheiten von Strom [I], Ladung [Q] und Zeit [t] gilt [I] = [Q]
. Die
[t]
Einheit der Ladung [Q] ist also die abgeleitete Größe As. Man setzt für
2
1
1
k: k = 4·π·"
und somit wird F = 4·π·"
· qr2 mit "0 = 8.854 · 10−12 VAsm .
0
0
2
Der Faktor 4π wird explizit eingeführt, um ihn im Gaußschen Satz zu
eliminieren. In Medien führt durch die Polarisation der Faktor 1" zur
1
Verringerung“ von Q: F = 4·π
· "Q
· rq2
0 ·"
”
Einführung des Feldbegriffes
Wir gehen vom Coulombschen Gesetz aus:
F!12 =
1
!r1 − !r2
· q1 · q2 ·
4 · π · "0
|!r1 − !r2 |3
Es sei qP = q1 und q = q2 , wobei qP eine Probeladung ist, mit der der Raum
um q abgetastet“ wird. Die Ladung q befinde sich bei !r0 , qP bei !r . Dann ist
”
! r ) das
! r ) = 1 · F!12
E(!
elektrische Feld der Ladung q am Punkt !r: E(!
qP
! r) =
E(!
1
!r1 − !r0
·q·
,
4 · π · "0
|!r1 − !r0 |3
! r ). Mit der Beziehung #r−#r0 3 = −grad 1 folgt die
und somit F! = qP · E(!
|#
r−#
r0 |
|#
r−#
r0 |
! r ) = −grad ϕ(!r ) gilt:
Existenz eines Potentials ϕ(!r ), so daß E(!
! r) =
E(!
1
1
q
1
· q · (−grad
) =⇒ ϕ(!r) =
·
4 · π · "0
|!r − !r0 |
4 · π · "0 |!r − !r0 |
! = −gradϕ bzw. rotE
! = 0 konservativ.
Das elektrische Feld ist wegen E
Feld bzw. Potential mehrerer Ladungen addieren sich nach dem Superpositionsprinzip.
! r) =
E(!
!
!
1
!r − !rj
1
1
·
qj ·
=⇒ ϕ(!r) =
·
qj ·
3
4 · π · "0 j
|!r − !rj |
4 · π · "0 j
|!r − !rj |
Die kontinuierliche Ladungsverteilung
ist durch die Ladungsdichte
'
qj
%(!r ) darstellbar: %(!r ) = V ( Summation über alle Ladungen in V ). Jeder
! die Gesamtfeldstärke
Ladungsanteil %(!r " ) · dV bedingt einen Feldanteil dE,
ergibt sich durch Integration:
!
dE
"#$%
F eldanteil
=
(
1
!r − !r "
"
! = dE
!
·
·
%(!
r
)
·
dV
=⇒
E
4 · π · "0 |!r − !r " |3 " #$ %
Ladungsanteil
! r) =
E(!
(
1
!r − !r "
· dV · %(!r " ) ·
4 · π · "0
|!r − !r " |3
ϕ(!r ) =
1
·
4 · π · "0
(
3
dV · %(!r " ) ·
1
!r − !r "
Der Übergang von der kontinuierlichen zur diskreten Darstellung kann mittels
'
der δ-Funktion in der Ladungsdichte %(!r ) = j qj · δ(!r − !rj ), vollzogen
werden.
2
Grundgleichungen der Elektrostatik
Grundlegend für die Elektrostatik ist der physikalische Gaußsche Satz. Dieser stellt einen Zusammenhang zwischen dem Fluß eines elektrischen Feldes
! durch die Oberfläche S und dem Volumen V , in welchem sich die Ladung q
E
befindet und das durch S begrenzt wird, her. Er ist eine Aussage darüber, wie
der Fluß des elektrischen Feldes mit den Quellen desselben zusammenhängt.
! durch die Fläche S ist: ) df!A(!
! r),
Definition: Der Fluß des Vektorfeldes A
S
!
!
wo df das infinitesimale gerichtete Flächenelement ist. Der Vektor df steht
senkrecht auf dem Flächenelement und ist betragsmäßig gleich dessen Fläche
! r) = E(!
! r ) erhalten wir den Fluß des elektrischen Feldes.
df . Für A(!
Schrittweiser Beweis des Gaußschen Satzes:
1. Für eine Ladung q am Koordinatenursprung gilt das Coulombsche Gesetz:
! r) =
E(!
q
!r
·
4 · π · "0 |!r|3
im MKSA-System bzw. im CGS-System:
! r ) = q · !r
E(!
|!r|3
! · df! im Flußintegral: ) E
! · df! wählen
Zur Berechnung des Skalarproduktes E
S
wir als S speziell die Oberfläche einer Kugel mit ihrem Zentrum im Koordinatenursprung. Diese Oberfläche stellt eine Äquipotentialfläche dar, auf der
! ist parallel zu df! :
die Feldvektoren senkrecht stehen, d. h. E
! · df! =
E
q
!r
!r
q
1
· 3 · df ·
=
· 2 · df
4 · π · "0 |!r|
|!r|
4 · π · "0 r
"
#$
#
E
% " #$ %
df#
Explizit benötigt wird df auf der Kugeloberfläche. Da Kugelkoordinaten
lokal-orthogonal sind, ist df ein infinitesimales Rechteck, welches durch Variation von ϕ und θ, also durch dϕ und dθ entsteht. Bezeichnen wir mit da und
db die infinitesimalen Längenelemente, die bei diesen Variationen entstehen,
so gilt: da = r·sinθ·dϕ und db = r·dθ. Dann wird df = da·db = r 2 ·sinθ·dϕ·dθ.
4
Es folgt
! · df! =
E
(
S
! · df! =
E
(
0
q
1
q
· 2 · r 2 · sinθ · dϕ · dθ =
· sinθ · dϕ · dθ
4 · π · "0 r
4 · π · "0
2π
dϕ ·
(
π
dθ ·
0
(
2π
q
q
q
· sinθ =
·
dϕ[−cosθ]π0 =
4 · π · "0
4 · π · "0 " 0
"0
#$
%
4π
Hier kann man zwecks Abkürzung sinθ · dϕ · dθ zum Raumwinkelelement dΩ
)
zusammenfassen, dΩ = sinθ · dϕ · dθ, dann ist df = r 2 · dΩ und dΩ = 4π,
welches sich mit 4π im Nenner kürzt. Wir finden im MKSA-System
(
! · df! = q
E
"0
S
bzw. im CGS-System
(
S
! · df! = 4π · q .
E
!
2. S sei nun eine beliebige geschlossene Fläche, die die Ladung umschließt, E
!
!
!
ist dann im allgemeinen nicht parallel zu df . Wir erhalten df · E = E ·df ·cosα
! und f!. Das Produkt df · cosα ist die Projektion
mit α als Winkel zwischen E
! für deren Fläche dfs = r 2 · dΩ ist.
dfs von df auf die Ebene senkrecht zu E,
Wir erhalten
q
! · df! = E · dfs =
E
· dΩ
4 · π · "0
wobei die letzte Beziehung durch Kürzen von r 2 in dfs im Zähler mit dem
feldbedingten r 2 im Nenner folgt. Nach Integration über dΩ ergibt sich:
(
S
! · dfs =
E
q
·
4 · π · "0
(
S
dΩ =
q
"0
3. Die Ladung
befindet sich außerhalb des Volumens V :
)
! f! = 0, falls keine Ladung in V (S). Wir führen wie oben den
Wir zeigen: S E·d
Winkel α zwischen dem gerichteten Flächenelement df! und dem Feldvektor
! ein. Im Unterschied zu 2. wechselt nun das Vorzeichen im Skalarprodukt
E
! ( im 2. Schritt war df! · E
! immer positiv ). Entsprechend zerlegen
df! · E
wir das Flußintegral in zwei Anteile mit α ≤ π2 und α ≥ π2 mit α als Winkel
zwischen Feld und der Flächennormalen. Wir erhalten zwei Integrale, die sich
exakt kompensieren, da sie beide den gleichen Raumwinkel einschließen, aber
wegen des Vorzeichenwechsels in cosα entgegengesetztes Vorzeichen haben.
(
S
! · df! =
E
(
α≤ π2
! · df! +
E
5
(
α≥ π2
! · df! = 0
E
4. Fall mehrerer Ladungen :
Es gilt das Superpositionsprinzip:
! r) =
E(!
!
! i (!r) =
E
i
!
i
qi
!r − !ri
·
4 · π · "0 |!r − !ri |3
Das Flußintegral lautet demnach:
(
! · df! =
E
(
!
i
!
! i · df! = 1 ·
E
qi
"0 i
" #$ %
F älle 1,2 und 3.
Damit folgt der Gaußsche Satz der Elektrostatik
)
! · df! =
E
1
"0
· Q mit Q =
'
qi .
Wir geben nun zwei wichtige Integralsätze der Vektoranalysis an, die wir
im weiteren zur Umformung von Integralen und zur Ableitung der differentiellen aus den integralen Grundgleichungen benötigen werden: Gegeben sei
! r ). Dann gelten der
das differenzierbare Vektorfeld A(!
mathematische Gaußsche Satz:
(
S
! · df! =
A
(
V
! · dV
div A
wo S die Fläche ist, die das Volumen V einschließt, und der
Stokessche Satz:
(
(
! · d!l = rotA
! · df!
A
L
S
mit L als geschlossener Randkurve der Fläche S und d!l als Linienelement,
wobei der Durchlaufssinn des Linienintegrals mit der Flächennormalen df!
eine Rechtsschraube bilden. Wir können nun mittels dieser Integralsätze den
Zusammenhang zwischen den Grundgleichungen der Elektrostatik in
differentieller und integraler Form
herstellen :
)
! · df! = Q läßt sich mittels des mathe1. Die integrale Quellbedingung E
"0
matischen Gaußschen Satzes in ihre differentielle Form umformen:
(
S
! · df! =
E
(
V
! · dV
div E
; Q=
(
% · dV =⇒
(
V
! · dV = 1 ·
div E
"0
Bei beliebigen Volumen müssen die Integranden gleich sein:
! = 1 ·%
div E
"0
6
(
V
% · dV
! = −gradϕ ist der Wirbelfreiheit äquivalent
2. Die Bedingung E
! =0
rotE
! = 0 läßt sich über den Stokesschen Satz
Die) differentielle Darstellung rotE
! · d!l = 0 umformen:
zu L E
(
L
! · d!l =
E
(
S
! · df! = 0
rotE
Ein Wirbel wäre eine geschlossene Feldlinie, die in der Elektrostatik jedoch
nicht existieren kann. Dies folgt auch aus dem Energieerhaltungsatz, denn
während eines Umlaufes längs des Wirbels könnte das Feld an einer Ladung
Arbeit verrichten, ohne daß irgendwelche anderen Veränderungen im System
verbleiben.
! =
Ersetzen wir in der Quellbedingung das Feld durch das Potential, E
−gradϕ, so läßt sich aus den obigen beiden Differentialgleichungen erster
Ordnung eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ableiten: Mit
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+ 2 + 2 = ∆ϕ
∂x2
∂y
∂z
als dem Laplace-Operator angewandt auf das Potential ϕ, erhalten wir die
Poisson-Gleichung:
div gradϕ =
∆ϕ = − "10 · %
Die Poissongleichung ist eine partielle Differentialgleichung vom elliptischen
Typ. Zur eindeutigen Lösung dieser Differentialgleichung benötigen wir jedoch noch Randbedingungen. Die einfachste Form der Randbedingung ist,
wenn das Potential im Unendlichen verschwindet. Schwierigere Randbedingungen sind z.B. Anordnungen mit metallischen Oberflächen im Endlichen,
auf denen die Feldlinien senkrecht stehen.
3
Multipolentwicklung: Der Dipol
Es sind qj , !rj die Ladungen bzw. %(!r ) die Ladungsdichte einer Ladungswolke,
d.h. eines räumlich begrenzten Bereiches, in dem sich die Ladungen befinden.
Wie kann dann das Potential bzw. Feld der Ladungswolke in großem Abstand
von ihr näherungsweise bestimmt werden?
Allgemein lautet das Potential der Ladungswolke:
ϕ(!r) =
(
!
1
qj
1
%(!r " )
·
=
· d3!r " ·
4 · π · "0 j |!r − !rj |
4 · π · "0
|!r − !r " |
7
Die Größe a sei eine charakteristische Ausdehnung der Ladungswolke. Weit
weg von der Ladungsverteilung ist |!r| >> a. Bei der Multipolentwicklung
können wir dann den kleinen Parameter ar % 1 benutzen. Die einfachste
Näherung aus |!r| = r >> rj bzw. r >> r" wäre rj = 0 bzw. r " = 0, also r "
vernachlässigbar. Dann folgt für das Potential
ϕ(!r ) =
mit
Q=
!
j
Q
4 · π · "0 · |!r |
qj =
(
d3!r " · %(!r " )
für die diskrete bzw. kontinuierliche Darstellung der Ladungsverteilung. Wir
erhalten damit den nullten Term einer Taylorreihenentwicklung in ar (Monopolterm). In dieser Näherung würde das Potential verschwinden ϕ0 (!r) & 0,
falls die Gesamtladung Q Null ist, d.h. ein elektrisch neutrales System vorliegt. Für ein elektrisch neutrales System müssen wir folglich höhere Terme
der Entwicklung berücksichtigen. Betrachten wir dazu zunächst die Entwicklung in eine Taylorreihe der Funktion f (x − x" ) um x
1
1
· f " (x) · (−x" ) + · f "" (x) · (−x" )2 + ...
1!
2!
und vergleichen mit der Entwicklung einer Funktion f (x − x" , y − y " , z − z " )
mehrerer Variablen
∂
∂
∂
f (x − x" , y − y " , z − z " ) = f (x, y, z) − (x" ·
+ y" ·
+ z " · ) · f (x, y, z)
∂x
∂y
∂z
f (x − x" ) = f (x) +
wobei wir wegen der ausführlichen Schreibweise nur die Terme mit der ersten Ableitung aufgeschrieben haben. Wenn wir in dem Term mit der ersten
Ableitung das Skalarprodukt des Gradienten unter Verwendung des Nabla
Operators ∇ entsprechend
!r " · ∇ = x" ·
∂
∂
∂
+ y" ·
+ z" ·
∂x
∂y
∂z
einführen und !r = (x, y, z), !r " = (x" , y ", z " ) benutzen, so können wir die
Entwicklung kürzer wie folgt angeben
f (!r − !r " ) = f (!r) + (−!r " · ∇) · f (!r )
Die Verallgemeinerung der Entwicklung einer Funktion mit Vektorargumenten in eine Taylorreihe erhält man wie man nun sieht dann, wenn man die
Potenzen des Skalarproduktes (−!r " · ∇) wie folgt benutzt
f (!r − !r " ) = f (!r) +
1
1
· (−!r " · ∇) f (!r) + · (−!r " · ∇)2 f (!r) + ...
1!
2!
8
Im Ausdruck für das Potential der Ladungswolke ist die Funktion f (!r −!r " ) =
1
nach !r " zu entwickeln, wobei wir zur Ableitung des Dipoltermes uns
|#
r −#
r !|
auf den ersten Term der Entwicklung beschränken können
1
1
1
=
− (!r " · ∇) ·
"
|!r − !r |
|!r |
|!r|
1
1 !r
1
1
∇· =− 2 ·
=⇒ (−r! " · ∇) ·
= 3 · (!r " · !r )
r
r |!r |
|!r |
r
(
Q
1
1
ϕ(!r ) =
+
· d3!r " · %(!r " ) · (!r " · !r ) · 3
4·π·"
4 · π · "0
r
" #$ 0%
ϕ0 (#
r)
ϕ1 (!r ) =
1
!r (
· 3 · d3!r " · %(!r " ) · !r "
4 · π · "0 r "
#$
%
p
#
Der Vektor
!p =
(
d3!r " · %(!r " ) · !r "
wird als Dipolmoment der
Ladungsverteilung bezeichnet.
Der Term
1
p! · !r
· 3
4 · π · "0 r
wird als Dipolterm der Multipolentwicklung für das Potential bezeichnet.
! = −∇ϕ(!r ) ist das Feld des Dipols: E
! D (!r ) =
Nach der allgemeinen Formel: E
!
−∇ϕD (!r) = −gradϕD . Sowohl ϕD (!r ) als auch ED (!r) sind von der Richtung
von !p zu !r abhängig.
'
Für diskrete Ladungsverteilung gilt: p! = qj · !rj .
Für das Dipolmoment p! gilt folgender wichtige Satz: Falls Q = 0 ist, hängt
das Dipolmoment p! nicht von der Wahl des Koordinatensystems ab, d. h.
charakterisiert nur das jeweilige System. Wir beweisen diesen Satz durch
Transformation in ein neues Koordinatensystem, !rj = !rj " + a und anschlies'
sendes Einsetzen in die Definition, !p " = qj · !rj "
'
'
'
'
'
p! = qj · !rj = qj · (!rj + !a) = p! " + qj · !a mit qj · !a = !a · qj + !a · Q = 0
Damit folgt: Es ist !p = p! " , wenn Q = 0 ist.
Einfachste Realisierung eines Dipols: Zwei gegensätzliche Ladungen −q und
q jeweils bei !r− und !r+ ( Q = −q + q = 0 ). Einsetzen in die Definition ergibt
ϕD =
p! = q · (!r+ − !r− )
9
oder
!p = q · d! ,
wo !r+ − !r− = d! der Abstand zwischen der positiven und negativen Ladung
ist. Bei Systemen aus mehreren Ladungen kann ein positiver und negativer
! + bzw. R
! − eingeführt und damit das Dipolmoment
Ladungsschwerpunkt R
als
p! = q · d!
mit
!+ − R
!−
d! = R
dargestellt werden. Dazu teilen wir die Ladungen des Systems qj in positive,
qj = qj+ , und negative, qj = −qj− ein, womit wir das Vorzeichen der Ladungen
explizit berücksichtigen. Für die Ortsvektoren der Ladungen !rj führen wir
eine entsprechende Unterscheidung ein, !rj = !rj+ für Ladungen mit positivem
und !rj , !rj− für Ladungen mit negativem Vorzeichen. Für das neutrale Gesamtsystem gilt mit q + = q − = q:
Q=
!
i
qi =
!
j
qj+ −
!
qj− =⇒ Q = q + − q − = 0
j
'
Wir formen nun den Ausdruck für das Dipolmoment !p = qi · !ri um, indem
! + bzw. R
! − , wie folgt
wir die positiven und negativen Ladungsschwerpunkte, R
einführen
!
!+ = 1 ·
R
qj+ · !rj+
+
q
j
!
!− = 1 ·
R
qj− · !rj−
−
q
j
Damit ergibt sich nach einfacher Umformung von !p der übliche Ausdruck für
einen Dipol
!p = q + · !r + − q − · !r − = q · (!r + − !r − ) = q · d!
wobei wir mit d! = !r + − !r − den Abstandsvektor zwischen dem positiven und
negativen Ladungsschwerpunkt eingeführt haben.
Potentielle Energie eines Dipols im äußeren elektrischen Feld:
Die potentielle Energie eines Systems von Ladungen im äußeren Feld ist
'
U = qi · ϕ(!ri ). Wir betrachten eine Ladungswolke, wobei das Potential des
äußeren Feldes ϕ über die Ladungswolke schwach veränderlich ist und führen
eine Entwicklung des Potentials ϕ(!ri ) um 0 als Ursprung des Koordinatensystems in der Wolke durch:
10
! = −∇ϕ also −∇ϕ(0) = E(0)
!
ϕ(!ri ) = ϕ(0) + !ri · gradϕ(0) mit E
U=
!
!
!
qi · (ϕ(0) + !ri · (−E(0)))
= Q · ϕ(0) − E(0)
·
i
!
qi · !ri
"
#$
i
%
Dipolmoment
Wenn die Gesamtladung Q = 0 ist, dann erhalten wir für die potentielle
Energie des Systems
!
U = −!p · E
! eingestellt, so wird die potentielle Energie des Systems
Ist p! parallel zu E
minimal. Bei der Polarisation eines Dielektrikums strebt das System nach
minimaler potentieller Energie ( im thermodynamischen Gleichgewicht bei
gegebener Temperatur ). Aus dem Ausdruck für U folgt dann, daß mikroskopisch die Dipolmomente vorzugsweise so ausgerichtet werden, daß sie parallel
zum anliegenden Feld sind, wobei diesem Vorgang thermische Einflüsse entgegenwirken. Als Ergebnis entsteht ein summarisches Gesamtdipolmoment,
die Polarisation.
Einfache Beispiele zur Anwendung des Gaußschen Satzes
In den folgenden Beispielen wird die Symmetrie des jeweiligen Problems zur
Lösung ausgenutzt.
(a) Feld einer unendlichen, homogen geladenen Platte
Die Flächenladungsdichte der Platte sei: σ = Q
mit Q als Gesamtladung.
A
Zur Symmetrie: Alle Punkte im gleichen Abstand zur Platte sind physika! muß also senkrecht zu der Platte stehen, anlisch äquivalent, das Feld E
dernfalls wäre eine Richtung parallel zur Platte ausgezeichnet, was hier nicht
der Fall sein kann1 . Es sei die z-Achse senkrecht zur Platte gewählt, also
! = (0, 0, Ez ).
E
)
! · df! = Q wird S so gewählt, daß E
! · df! so
Für den Gaußschen Satz S E
"0
einfach wie möglich wird. S muß eine geschlossene Fläche sein, also z.B. eine
! stehen. Dann ist
Quaderfläche, deren Grund- und Deckfläche senkrecht zu E
!
!
!
!
E · df = E · df auf Grund- und Deckfläche, bzw. E · df = 0 auf den Seiten! parallel zur Fläche ist.
flächen, wo E
G: Grundfläche, D: Deckfläche, G und D sind betragsgleich.
(
G
1
E · df +
(
D
E · df = E ·
(
G
df + E ·
Sofern keine anderen Felder wirken.
11
(
D
df = 2 · E · A =
Q
"0
E ist an allen Punkten von G und D gleich, außerdem gilt: D = G = A.
E=
σ
2 · "0
! ist also ein konstantes Feld senkrecht zur Platte mit E
! = (0, 0, σ · z ).
E
2·"0
|z|
(b) Feld eines unendlichen, homogen geladenen Drahtes
Es wird durch den geraden Draht eine Raumrichtung ausgezeichnet, der
Draht liege in der z-Achse. Die Ladung auf dem Draht sei gleichverteilt mit
der Linienladungsdichte κ = Q
.
Wegen der Symmetrie sind die elekL
trischen Feldlinien sternförmig bezüglich der Zylinderachse angeordnet und
stehen senkrecht auf dieser ( sie zeigen dabei weg von der Achse für κ ≥ 0
oder zur Achse für κ ≤ 0 ). Geeignete Koordinaten sind Zylinderkoordinaten mit dem Draht als Zylinderachse und mit dem Radius % als Abstand.
! = E(%)!e' gesetzt werden. Wählen wir
Es kann damit für den Feldvektor E
einen Zylinder mit dem Radius %, der Mantelfläche M und den Grundfläche
G so kann das Flußintegral, in dem die Funktion E(%) zu bestimmen bleibt,
)
! · df! = Q , E
! · df! = E · df auf M und = 0 auf
leicht berechnet werden : S E
"0
)
)
)
Q
Q
G. M E · df = "0 bzw. E · M df = "0 , mit M df = 2 · π · % · L wird:
1
·κ·L
"0
κ
E(%) =
2 · π · "0 · %
(c) Feld einer homogen geladenen Kugel
Es ist zu beachten, daß die Ladungen sich bei einem Isolator auch in der
Kugel befinden können, bei einem Leiter jedoch nur auf der Oberfläche. In
beiden Fällen ist jedoch das Feld außerhalb der Kugel gleich, sofern die
Gesamtladung Q gleich ist. Außerhalb der Kugel ist das Feld radial gerichtet,
! = E(r)!er , es verbleibt die Funktion E(r) zu bestimmen:
E
)
)
! Q
!
· S df mit df = r 2 · sinθ · dθ · dϕ = r 2 · dΩ
S E · df = "0 = E(r)
(
)
! ·df! = E(r)·r 2 · dΩ = Q , was uns wieder zum Coulombschen Gesetz
E
E·2·π·%·L=
S
führt:
"0
" #$ %
=4·π
Q
4 · π · "0 · r 2
Als Anwendung betrachten wir die Kapazität eines Plattenkondensators : Aus (a) kennen wir das Feld einer positiv geladenen Platte: E = 2·"σ 0 ,
ferner gilt das Superpositionsprinzip für zwei entgegengesetzt geladene Platten:
Die betragsgleichen Feldlinien verlaufen im Kondensator parallel, das Feld
E(r) =
12
verdoppelt sich, außerhalb des Kondensators heben sich die Feldlinien beider
! = 0.
Platten gegenseitig auf, dort ist E
Die Kapazität ist definiert als: C = Q
, wobei U die am Kondensator anlieU
gende Spannung ist.
Mit Q = σ · F und U = E · d = "σ0 · d erhalten wir
C=
F · "0
.
d
Die Kapazität des Kondensators ist also nur von seinen geometrischen Größen
abhängig.
4
Elektrostatik der Dielektrika
Unsere bisherigen Betrachtungen waren auf Ladungen im Vakuum beschränkt,
was mikroskopisch gesehen immer richtig ist. Die makroskopische Betrachtung von Dielektrika, die wir nun formulieren wollen, basiert auf der Einteilung von Ladungen in äußere oder externe Ladungen und gebundene Ladungen, die Quellen der Polarisation des Dielektrikums sind. Für die Gesamtladungsdichte eines Dielektrikums % können wir dann setzen : % = %ext + %pol ,
wo %ext die Dichte der externen und %pol die der Polarisationsladungen ist.
Beide Dichten stellen makroskopisch gemittelte Dichten dar, d. h. die Felder,
deren Quellen sie sind, sind ebenfalls makroskopisch gemittelte Felder. Die
Polarisationsladungen bilden ein Feld, welches mikroskopisch gesehen von
Elementardipolen aufgebaut wird. Bei der Untersuchung der Polarisationsmechanismen haben wir zu unterscheiden, ob die Elementardipole durch
ein äußeres elektrisches Feld entstehen, in dem die positiven und negativen
Ladungsschwerpunkte in den Molekülen ( oder von anderen polarisationsfähigen Untereinheiten ) durch das Feld gegeneinander verschoben werden, oder
ob die Dipole schon bei Abwesenheit des äußeren Feldes präsent sind und
sich durch den Einfluß des Feldes vorzugsweise in Feldrichtung ausrichten.
Diesen zwei Möglichkeiten entsprechend unterscheiden wir bezüglich der Polarisationsmechanismen:
a) Deformations-Polarisation
Dieser Mechanismus funktioniert im eigentlichen Dielektrikum, z.B. einem
Isolator mit neutralen Untereinheiten, wo positive und negative Ladungs!
!
schwerpunkte zusammenfallen, falls kein E-Feld
anliegt. Wenn ein E-Feld
angelegt, wird entstehen induzierte Dipole, die sich vorzugsweise in Feldrichtung ausrichten.
b) Orientierungs-Polarisation
Dieser Mechanismus tritt in Paraelektrika auf. Mikroskopisch sind bereits
13
ohne äußeres Feld Dipolmomente in den Untereinheiten vorhanden, z.B. in
!
Molekülen von Wasser oder Ammoniak. Falls ein E-Feld
angelegt wird, richten sie sich vorzugsweise in Feldrichtung aus.
Makroskopisch gesehen bewirken beide Polarisationsmechanismen das gleiche : Es entsteht ein Polarisationsfeld. Es wird durch den Vektor P! der dielektrischen Polarisation, oder einfach Polarisation, beschrieben. Analog
! = % kann eine
zu der Quellbedingung des elektrostatischen Feldes "0 · div E
Quellbedingung für das Polarisationsfeld eingeführt werden, div P! = −%pol ,
wobei %pol die makroskopisch gemittelte Dichte der Polarisationsladungen
ist. Setzen wir nun in die Gleichung für die Gesamtdichte % = %ext + %pol die
! und P! Felder ein, so ergibt sich
Quellbedingungen der E
! + P! ) = %ext .
div("0 · E
! und P! zum Feld des Vektors der dielektrischen
Fassen wir die Felder E
! wie folgt zusammen
Verschiebung D
! = "0 · E
! + P! ,
D
so sind dessen Quellen die externen Ladungen %ext
! = %ext .
div D
Im einfachsten Fall eines homogen polarisierten Dielektrikums ist P! = P!0 =
const und div P! = 0. Es gilt also innerhalb eines homogenen Dielektrikum
für die mittlere Dichte der Polarisationsladungen: %pol = 0 ( die Ladungen
gleichen sich im Falle der homogenen Polarisation aus ). Das Polarisationsfeld hat an der Grenze des Dielektrikums jedoch einen Sprung, die Divergenz
von P! ist dort nicht definiert!
An Grenzflächen sind die differentiellen Gleichungen der Elektrodynamik nicht anwendbar.
An der Grenze des Dielektrikums finden wir eine mittlere Oberflächendichte
der Polarisationsladungen σpol (= 0. Zu deren Bestimmung muß eine integrale
Gleichung benutzt werden. Dazu wenden wir den Gaußschen Satz auf den
Vektor der dielektrischen Polarisation an der Oberfläche des Dielektrikums
an:
(
(
(
dV div P! = − dV %pol = P! df! = −Qpol
S
Wir zerlegen das Flußintegral in zwei Anteile innerhalb und außerhalb des
Dielektrikums, wobei sich beide Flächen an die Grenzfläche anschmiegen:
(
S
P! · df! =
(
Finnen
P! · df! +
14
(
Faußen
P! · df!
An der äußeren Fläche Faußen ist P! ·df! = 0, weil außerhalb des Dielektrikums
P! Null ist. Somit ist
(
(
!
!
P · df =
P! · df! .
S
Finnen
Wir berechnen nun das Integral indem wir !n als Vektor senkrecht zur Oberfläche des Dielektrikums wählen. Dann ist auf der Innenfläche df! = −!n · df
und
(
(
P! · df! = −
!n · P! · df .
S
Finnen
Mit !n · P! = Pn und
Qpol =
(
S
σpol · df ,
wo σpol die Oberflächendichte der Polarisationsladungen ist, folgt dann letztlich durch Gleichheit der Integranden
−Pn · df = −σpol · df =⇒ Pn = σpol .
Wir beweisen nun folgende
Behauptung: Die Polarisation P! ist gleich dem Dipolmoment pro Volumeneinheit.
Beweis: In einem homogen polarisierten Würfel ( dieser könnte z.B. ein kleiner Ausschnitt aus einem Dielektrikum sein ) beträgt der Gesamtdipol:
! W = σpol · S ·L,
! wobei S die Deckfläche und σpol die Oberflächendichte der
D
" #$ %
Q
! = L · !ex
Ladungen ist. L
!
DW = σpol · S
· L% ·!ex =⇒
" #$
#W
D
V
= σpol · !ex = P!
V
Die mikroskopische Definition der Polarisation P! als Dipolmoment pro Vo'
lumeneinheit lautet, P! = V1 · qi · !ri , wobei das Ergebnis der Summation zur
Erhaltung einer makroskopischen Größe noch zu glätten ist. In einem makroskopisch inhomogenen Dielektrikum wird P! eine Funktion des Ortsvektors !r ,
P! = P! (!r ).
Grundgleichungen der Elektrostatik für Dielektrika
Die Grundgleichungen der Elektrostatik der Dielektrika sind:
! = % = %ext
div D
;
! =0
rotE
Letzte Gleichung ist Folge der Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes,
!
in Dielektrika können keine geschlossenen Feldlinien des E-Feldes
existieren
( man kann sich dies auch leicht aus der Energieerhaltung klarmachen, bei
15
Bewegung von Ladungen über geschlossene Feldlinien wäre diese verletzt ).
!
Das E-Feld
ist das wirkende Feld, dessen Quellen sowohl die Polarisations!
ladungen als auch die äußeren Ladungen sind. Das D-Feld
kann als Hilfsfeld
betrachtet werden, dessen Quellen nur die äußeren Ladungen sind.
Zur Lösung der Feldgleichungen sind noch die Materialgleichungen, die
! festlegen, P! = P! (E),
! zu
die Polarisation P! als eine Funktion des Feldes E
! in eine Taybenutzen. Allgemein gesehen kann man die Funktion P! = P! (E)
! und wird in der Form
lorreihe entwickeln: Der erste Term ist linear in E
!
!
P = "0 · χ · E, mit χ als Materialkonstanten, der dielektrischen Suszepti! erhält man
bilität geschrieben ( "0 wird per Definition eingeführt ). Für D
! = "0 · (1 + χ) · E
! = "0 · "r · E,
! "r ≥ 1, wo "r = (1 + χ) als Didamit D
! um, so wird
elektrizitätskonstante bezeichnet wird. Stellt man nach E
1
1
!
!
!
E = "r · "0 · D mit D als Feld der äußeren Quellen. Verglichen mit dem
Vakuum, wo "r = 1, wird das elektrische Feld bei Anwesenheit von Polarisationladungen wegen "r ≥ 1 verkleinert. Obige Gleichungen gelten für den
! und D
! zueinander parallel
isotropen Fall, bei dem alle drei Vektoren P! , E
sind. Für den anisotropen Fall muß χ durch den Tensor χij mit i, j : x, y, z
ersetzt werden, die Gleichungen können dann komponentenweise linear ange'
'
setzt werden, Pi = "0 · j χij ·Ej . Analog ist Di = "0 · j "ij ·Ej mit dem Tensor
der dielektrischen Suszeptibilität, "ij . Der isotrope Fall kann als Spezialfall
betrachtet werden bei dem die Tensoren χij und "ij diagonal werden.
5
Die Energie des elektrostatischen Feldes
In der Elektrodynamik ist die Gesamtenergie die Summe aus kinetischer
Energie der Teilchen, der Wechselwirkung mit dem Feld und der Feldenergie.
In der Elektrostatik liegt keine Zeitabhängigkeit vor, die kinetische Energie
der Teilchen ist dann gleich Null. Es müssen nur Wechselwirkungen mit dem
Feld und Feldenergie betrachtet werden.
Wir leiten zunächst noch einmal den Ausdruck für die potentielle Energie W
einer Ladung ab. Bewegen wir eine Ladung q im Potential ϕ von
B nach A,
)
! · d!r,
so erzeugen“ wir durch Arbeit potentielle Energie WAB = − BA q · E
”
die gleich der aufgewandten Arbeit bei der Bewegung der Ladung q von B
nach A ist. Bei dem Integral handelt es sich um ein Linienintegral mit d!r als
Linienelement ( das Vorzeichen folgt aus dem differentiellen Ausdruck der
! · d!r , wenn zum Beispiel d!r antiparallel zu F! ,
Arbeit, dW = −F! · d!r = −q · E
!
also E · d!r < 0, ist die gegen das Feld geleistete Arbeit dW positiv ). Nun ist
)A
!
!
B dW = U die potentielle Energie der Ladung und mit E = −∇ϕ folgt
W =
(
A
B
! · d!r = q ·
q · ∇ϕ
(
A
B
16
dϕ = q · (ϕ(A) − ϕ(B))
Zuletzt legen wir B ins Unendliche und setzen dort das Potential gleich Null.
Dann folgt
W = q · ϕ(A) .
Gesucht sei nun die elektrostatische Energie eines Systems aus N Ladungen. Dazu werden nacheinander die Ladungen aus dem Unendlichen zusammengebracht. Sind bereits i − 1 Ladungen mit den Ortsvektoren !rj ,
j = 1, .., (i − 1), vorhanden und wird zusätzlich die i-te Ladung aus dem
Unendlichen bis zu dem Ortsvektor !ri an das System herangebracht, so entsteht die potentielle Energie
i−1
!
1
qj
·
4π"0 j=1 |!ri − !rj |
Wi = qi · ϕ(!ri ) = qi ·
Die Gesamtenergie W der N Ladungen entsteht durch Summation ( wir
schreiben den wiederholt auftretenden Faktor 4 · π · "0 nach links )
4π"0 · W = 0 + q2 ·
2
i−1
!
!
q1
qj
qj
+ q3 ·
+ .. + qN ·
|!r2 − !r1 |
r3 − !rj |
rN − !rj |
j=1 |!
j=1 |!
oder in Form einer Doppelsumme
4π"0 · W =
N
i−1
!
!
·
i=2 j=N
qi · qj
.
|!ri − !rj |
Wegen Gleichheit der Terme ij gleich ji kann die Doppelsumme vereinfacht
als
1 ! qi · qj
4π"0 · W = ·
2 ij |!ri − !rj |
dargestellt werden, in der nun alle Paare ohne Berücksichtigung der Reihenfolge eingehen. Die diskrete Darstellung
können wir in eine kontinuierliche
)
'
überführen. Aus i qi ... wird dV %(!r )....
1
4π"0 · W =
2
(
dV
(
dV
· %(!r " )
|!r − !r " |
r)
" %(!
Die potentielle Energie W der Coulombschen Wechselwirkung der Ladungsverteilung läßt sich vollständig durch die Energie des Feldes darstellen. Zur
Ableitung der entsprechenden Darstellung benutzen wir zunächst den Ausdruck für das Potential
(
1
%(!r " )
ϕ(!r) =
· dV "
4π"0
|!r − !r " |
17
und formen W um
1 (
W = · dV · %(!r ) · ϕ(!r)
2
Nun eliminieren wir die Ladungsdichte %(!r ) mittels der der Poissongleichung
∆ϕ = − "10 · % über % = −"0 · ∆ϕ. Somit gilt:
"0 (
W = − · dV (∆ϕ) · ϕ
2
Die Energie wird damit allein durch das Potential dargestellt. Wir ersetzen im
! Der Ausdruck im Integranden
folgenden das Potential ϕ durch das Feld E.
(∆ϕ) · ϕ wird dazu mit ∆ = div grad wie folgt umgeformt. Wir finden
zunächst div(ϕ · gradϕ)
div(ϕ · gradϕ) =
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂ϕ
· (ϕ ·
)+
· (ϕ ·
)+
· (ϕ ·
)
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂ϕ 2
∂ϕ
∂ϕ
) + ( )2 + ( )2 = ϕ · ∆ϕ + (gradϕ)2
∂x
∂y
∂z
Folglich gilt für den Ausdruck im Integranden
= ϕ · ∆ϕ + (
! · ∇ϕ)
! − (∇ϕ)
! 2.
(∆ϕ) · ϕ ≡ div(ϕ · gradϕ) − (gradϕ)2 = ∇(ϕ
Einsetzen ergibt
W =−
"0
·
2
(
dV · div(ϕ · gradϕ) +
"0
·
2
(
dV · (gradϕ)2 .
"
#$
#2
E
%
Das erste Integral läßt sich mittels des mathematischen Gauß’schen Satzes
in ein Flächenintegral der Form
−
"0
·
2
(
S
df! · ϕ · gradϕ
über eine hinreichend weit von den Ladungen entfernten Fläche S, die die
Ladungen einschließt, umformen. Auf dieser Fläche, die wir als Oberfläche
einer Kugel mit dem Radius r annehmen, gilt: ϕ ∼ 1r ; gradϕ ∼ r12 ; ϕ ·
gradϕ ∼ r13 ; df ∼ r 2 ( falls die Gesamtladung Q nicht verschwindet, falls
Q = 0 sind die folgenden Terme de Multipolentwicklung zu betrachten, die
noch schneller mt r abklingen ). Dann geht für eine ins Unendlich gehende
Kugel dieses Integral wie 1r gegen Null. Es verbleibt somit nur das zweite
Integral
(
(
"0
! r )2 = dV · w(!r)
W = · dV · E(!
2
! r )2 .
mit der Energiedichte des elektrostatischen Feldes w(!r) = "0 · E(!
2
18