Ubungen zur Vorlesung ” Logik“

Dr. Ingmar Meinecke
WS 2010/11
[email protected]
http://www.informatik.uni-leipzig.de/∼meinecke/
Institut für Informatik
Tel. 97-32172
Übungen zur Vorlesung Logik“
”
4. Übungsblatt
• Die mit “S” gekennzeichneten Aufgaben sind bis zu Ihrer jeweiligen Übung (Termine
der Besprechung: siehe unten) vorzubereiten und dort vorzustellen.
• Die mit “H” gekennzeichneten Aufgaben sind schriftliche Hausaufgaben. Diese lösen Sie
bitte zuhause und geben sie direkt vor der Vorlesung am Freitag zum unten stehenden
Termin ab.
S 4-1. Untersuchen Sie mit Hilfe des Resolutionsverfahrens, ob
A ∨ B ∨ C, (A ∨ B) → D, C → E, ¬D |= E
gilt.
S 4-2. Eine Klausel heißt positiv, falls sie nur positive Literale enthält. Zeigen Sie, dass folgende
Einschränkung des Resolutionsverfahrens bereits vollständig ist:
Aus den Klauseln K1 und K2 darf nur dann ein Resolvent gebildet werden,
sofern eine der beiden Klauseln positiv ist.
Versuchen Sie dafür den Beweis der Vollständigkeit des Resolutionskalküls zu verfei”
nern“.
S 4-3. Sei F eine Klauselmenge. Resmin (F ) entstehe aus Res(F ) durch Streichung aller Klauseln
K, für die es in Res(F ) eine Klausel K 0 mit K 0 ⊂ K gibt.
Zeigen Sie, dass Resmin (F ) semantisch äquivalent zu Res(F ) ist.
S 4-4. Gegeben seien das Prädikatensymbol R mit der Stelligkeit 2, die Funktionssymbole f
mit der Stelligkeit 2 und g mit der Stelligkeit 1, sowie die Konstanten c und d. Finden
Sie zwei Strukturen, in denen Sie diese Symbole interpretieren können. Was sagt dann
die folgende Formel aus?
F = ∀xR(c, x) ∧ ∀y∃z(R(c, z) ∧ R(z, d) ∧ g(f (c, y)) = z)
H 4-5. Untersuchen Sie die folgenden Klauselmengen auf Erfüllbarkeit:
F = {A, B}, {¬C, ¬A}, {C}, {C, D}, {¬A, E} ,
F 0 = {C, B, A}, {C}, {A, B, ¬C}, {C, ¬B, A}, {¬A, ¬B, ¬C} .
H 4-6. (a) Betrachten Sie die Klauselmenge F = {A, C}, {¬A, ¬B}, {¬C}, {B, C} und berechnen Sie Res∗ (F ).
(b) Zeigen Sie mittels des Resolutionsverfahrens, dass
F = (B ∧ C) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C) ∨ A ∨ (¬A ∧ ¬C)
gültig ist.
H 4-7. (a) Es bezeichne frei(F ) die Menge der freien Variablen einer Formel F der Prädikatenlogik. Definieren Sie frei(F ) exakt induktiv über den Aufbau der Terme und
Formeln.
(b) Gegeben seien die Variablen x, y, z, die Prädikatensymbole R und P , das Funktionssymbol f und die Konstanten c und d. Dabei haben R und f die Stelligkeit 2
und P die Stelligkeit 1. Ermitteln Sie für folgende (Abkürzungen von) Formeln F
die Menge frei(F ):
1. F = R(y, f (d, z)) ∧ (∀zP (z))
2. F = ∃xP (c)
3. F = ∃x (∀yP (z)) → R(x, y)
4. F = ¬R(f (c, x), x) ∨ (∀yR(y, x))
H 4-8. Zusatzaufgabe (freiwillig)
Gilt mit den Bezeichnungen aus Aufgabe S 4-3
Resmin Res(F ) = Resmin Resmin (F )
für beliebige Klauselmengen F ? Beweis oder Gegenbeispiel!
Termine:
• Besprechung der Seminaraufgaben in den Übungsgruppen am 29. und 30.11. sowie am
6. und 7.12.
• Abgabe der Hausaufgaben direkt vor der Vorlesung am Freitag, 10.12.
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