Mathematik sehen und verstehen - ReadingSample - Beck-Shop

Mathematik sehen und verstehen
Schlüssel zur Welt
Bearbeitet von
Dörte Haftendorn
2. Auflage 2015. Buch. XIV, 385 S. Kartoniert
ISBN 978 3 662 46612 4
Format (B x L): 16,9 x 24,4 cm
Gewicht: 676 g
Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein
Zu Inhaltsverzeichnis
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Kryptografie
Abb. 2.1 Anzapfen der Kommunikation nützt nichts
Kryptografie in unserer Welt
Ein namhaftes Werk zur deutschen Rechtschreibung schreibt in seiner Auflage von 2006
das Folgende:
Kryp|to|gra|fie, die; -, . . .ien (Psychol. absichtslos entstandene Kritzelzeichnung bei
Erwachsenen; Disziplin der Informatik; veraltet für Geheimschrift)
Dieselbe arg unvollkommene Definition enthält das Fremdwörterbuch desselben Verlages, aber auch das Rechtschreibwerk eines anderen großen Herstellers.
Der Brockhaus allerdings beschreibt Kryptografie und Kryptologie in seiner Auflage von 1990 schon zutreffend als „die Lehre von der Entwicklung und Bewertung von
Verschlüsselungsverfahren zum Schutz von Daten“.
Jedenfalls steckt das griechische Wort kryptikos darin, das verborgen, geheim heißt.
Kryptografie ist also das verborgene Schreiben und Kryptologie heißt die Lehre vom
Geheimen. Zusammen trifft dies den Sachverhalt auch wirklich. Heute hat sich Kryptografie als allgemeine Bezeichnung durchgesetzt. Beutelspacher et al. formulieren in ihrem Buch [Beutelspacher 2005] den Satz:
Kryptografie ist eine öffentliche mathematische Wissenschaft, in der Vertrauen geschaffen, übertragen und erhalten wird.
Genau hier liegen die Ziele dieses Kapitels: Sie – die Öffentlichkeit – sollen so viel verstehen können, dass Sie nicht blind vertrauen müssen.
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Haftendorn, Mathematik sehen und verstehen, DOI 10.1007/978-3-662-46613-1_2
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2. Kryptografie
2.1 Die alte und die neue Kryptografie
Vermutlich haben Menschen schon immer Nachrichten ausgetauscht, die nicht jeder
erfahren durfte. Einige einfallsreiche Verfahren der abendländischen Geschichte sind
bekannt. Bei der griechischen Skytala wurde ein langes Band um einen Stab gewickelt
und dann in Längsrichtung des Stabes beschriftet. Nach dem Abwickeln erschienen die
Buchstaben in nicht zu deutender Reihenfolge auf dem Band. Wer aber den passenden
Stab hatte, wickelte das Band wieder auf und las bequem die Nachricht. Verschlüsselungen mit Alphabetverschiebung haben eine lange Tradition und sind immer mehr
verfeinert worden (dazu mehr im nächsten Absatz). Bei uninformierten Gegenspielern
nützte schon das Verwenden erfundener Zeichen anstelle der Buchstaben. Beliebt waren
auch immer wieder unsichtbare Tinten, die durch chemische Prozesse sichtbar gemacht
werden konnten. Immer aber mussten im Vorhinein Vereinbarungen zwischen Sender
und Empfänger der verschlüsselten Nachricht getroffen werden, deren Kenntnis zum
Entschlüsseln notwendig war, aber in unberechtigte Hände gelangen konnten. Hier lag
die entscheidende Schwachstelle der „alten“ Kryptografie.
Bis in die siebziger Jahre des 20. Jahrhunderts konnte man sich eine durchgreifende
Lösung dieses Problems auch nicht vorstellen.
Seitdem aber gibt es die Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln. Jeder darf diese
Schlüssel kennen, auch ein potenzieller Angreifer, der unerlaubt das kryptografische Geheimnis ausspähen will. Dieser Mister X, so wird er oft bezeichnet, darf sogar genau das
Verfahren kennen, nach dem Sender und Empfänger vorgehen. Da heute immer Computer im Spiel sind, besteht auch die Sorge, das Anzapfen der Leitungen könnte Mister X
etwas nützen. Aber auch das nützt ihm rein gar nichts. Voraussetzung ist allerdings, dass
Sender und Empfänger das entsprechende kryptografische Protokoll sinnvoll befolgen, und nicht etwa ihre privaten Schlüssel für jemand anderen zugänglich machen.
Auch der Kommunikationspartner, mit dem ein Geheimnis geteilt werden soll, erfährt
niemals die privaten Schlüssel. Ein Mindestmaß an Einsicht, was bei der Ver- und Entschlüsselung geschieht, wird deshalb sicher hilfreich sein.
Bei der Public-Key-Kryptografie wird mit öffentlichen Schlüsseln die in eine Zahl
umgewandelte Nachricht auf besondere Weise verrechnet. Dabei spielen große Primzahlen mit mehr als 150 Stellen eine Rolle. Mit kleinen Primzahlen wie 17 oder 23 sind
das Vorgehen und das besondere Rechnen durchaus verstehbar. In diesem Kapitel unternehme ich den Versuch, Ihnen die moderne Kryptografie verständlich zu machen.
2.1.1 Alphabetische Verschlüsselung
Wir werden zunächst die alphabetische Verschlüsselung verfeinern und verwandeln, damit Sie die von der alten Kryptografie nicht überwundene Hürde besser verstehen.
Um militärische Informationen geheim zu übermitteln, verwendete Cäsar eine einfache Verschlüsselungsidee: Das Alphabet wurde, wie in Abb. 2.2 gezeigt, um einige Buchstaben verschoben. Die Information, dass aus dem A ein L wird, reichte schon aus, um
aus dem Wort MATHE den Geheimtext XLESP zu machen. So konnte dann ein Bote
mit einer geheimen Nachricht von VZPWY nach ECTPC reiten. Wenn dem Gegner, der
2.1 Die alte und die neue Kryptografie
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Abb. 2.2 Monoalphabetische Verschlüsselung
einen solchen Boten abfing, dieses Prinzip der monoalphabetischen Verschlüsselung
bekannt war, konnte er spätestens nach 25 Versuchen den Text lesen. Unsere Computer könnten gleich alle möglichen Rückübersetzungen nennen und der Nutzer wählt die
einzige leserliche aus.
Ein weiterer Erfolg versprechender Angriff kann über die Buchstabenhäufigkeit erfolgen. Im Deutschen ist E der bei Weitem häufigste Buchstabe. Es folgen N und R. Bei
den obigen verschlüsselten Wörtern kommen P und C am häufigsten vor, es könnte sich
um E, N oder R handeln. So ist es ja auch.
Die Kurzworte IN, AN, UND, AUF, . . . sind in Kryptogrammen leicht kenntlich, so
dass man ohne Wortgrenzen verschlüsseln muss. Damit kann man die Sicherheit ein
Abb. 2.3 Vigenère-Quadrat, polyalphabetische Verschlüsselung
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2. Kryptografie
wenig erhöhen, bei längeren Geheimtexten kommt man aber dennoch leicht zur Entschlüsselung.
Eine bessere Idee sind polyalphabetische Verschlüsselungen. Vigenère schlägt um
1550 die Verwendung eines Buchstabenquadrates vor. Betrachten Sie Abb. 2.3. Ein
Schlüsselwort gibt Buchstabe für Buchstabe an, mit welcher Zeile der Klartext verschlüsselt werden soll. Hier wird wegen GALLIA als Erstes die Zeile verwendet, bei der das
schwarze G unter dem roten A steht. Damit wird der Klartextbuchstabe K in Q umgewandelt. Als Verständnishilfe sind oben die ersten Schritte nummeriert. So ergibt sich:
K
Q
L
L
E
P
O
Z
P
X
A
A
T
X
R
J
A
T
C
Q
O
A
R
E
M
U
E
W
U
X
M
U
Wenn Kleopatra nun weiß, dass sie den Anfang des Buches De bello gallico von Cäsar
als Schlüsselwort nehmen soll, kann sie das Kryptogramm lesen.
Die Vigenère-Verschlüsselung kann bei kurzen Schlüsselwörtern, die dann immer
wiederholt werden, recht einfach geknackt werden. Zuerst versucht man die Blöcke zu
bilden, die die Länge des Schlüsselwortes haben. Dann nimmt man wieder die Häufigkeitsanalyse. Besonders wegen der Unterstützung durch Computer gilt die polyalphabetische Verschlüsselung mit kurzen Schlüsselwörtern als unsicher.
Wenn man aber als Schlüssel den Text aus Cäsars Buch immer weiter fortlaufend verwendet, dann klappt dieser Angriff nicht. Noch besser wäre es, statt des Buchtextes eine
zufällige Buchstabenfolge zu nehmen. Leider müssen dann aber Sender und Empfänger
dieselbe Folge haben. Das ist schwer zu bewerkstelligen.
Nimmt man Zahlen statt Buchstaben, kann man leichter zufällige Folgen bilden und
übermitteln, wie wir unten sehen werden. Um einen Text in Zahlen zu übersetzen,
kann man einfach dasselbe Verfahren verwenden, das sowieso bei unseren Computern
üblich ist. Der sogenannte ASCII-Code (American Standard Code for Information
Interchange) reicht in seinem Grundtyp bis zur Nummer 127. Hier ist von der ASCIINummer die Zahl 28 abgezogen, damit die Verschlüsselung mit zweistelligen Zahlen
möglich ist. Mit höheren Nummern als sie Abb. 2.4 entsprechen folgen noch die
Kleinbuchstaben und andere Zeichen.
Abb. 2.4 ASCII-Code minus 28
Nun verschlüsseln wir mit Abb. 2.5 die Ziffern einzeln. Sei m die Nachricht (message),
als Wort ist es RABE, s der Schlüssel und c die verschlüsselte Nachricht (ciphertext), der
Code.
Die Vorgehensweise ist eigentlich dieselbe wie beim Vigenère-Quadrat aus Abb. 2.3,
nur haben wir es jetzt durch die Zahlen bequemer als mit den Buchstaben.
Wir müssen nur einzeln zu jeder Ziffer der Nachricht m die darunter stehende Ziffer
des Schlüssels addieren und dabei die Zehnerüberträge ignorieren. Man nennt dieses
Vorgehen auch Addition modulo 10. In Abschnitt 2.3 widmen wir uns ausführlich dem
modulo-Rechnen.
2.1 Die alte und die neue Kryptografie
13
Abb. 2.5 Vigenère-Quadrat mit Zahlen
Bemerkenswert ist, wie sich das antike Alphabetverschieben in ein mathematisches
Vorgehen verwandelt hat.
2.1.2 Verschlüsseln mit dem One-Time-Pad
Die verschlüsselte Nachricht könnte der Angreifer gern abfangen, sie enthält für jemanden, der den Schlüssel nicht kennt, keinerlei Information. Denn jede andere Nachricht m′ kann bei passendem Schlüssel s ′ genau diese verschlüsselte Nachricht c ergeben.
Machen Sie sich anhand der Abb. 2.6 klar, dass zur Textnachricht MAUS ein Schlüssel s ′
konstruiert werden kann, der auch zu c führt.
Abb. 2.6 Auch MAUS wird zum Code von RABE
Hier ist der Schlüssel acht Stellen lang und das Verfahren kann Worte mit vier Buchstaben unknackbar verschlüsseln. Bleibt man auch bei längeren Nachrichten bei einem
so kurzen Schlüssel, so kann ein Angreifer die Schlüssellänge herausbekommen und
dann doch mit der Beachtung der Buchstabenhäufigkeiten Erfolg haben. Also nimmt
man keine kurzen Schlüssel.
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2. Kryptografie
Das One-Time-Pad ist eine Verschlüsselungsmethode, bei der jede Schlüsselziffer
nur einmal zum Verschlüsseln einer Ziffer der Nachricht verwendet wird.
Abb. 2.7 One-Time-Pad als Abreißkalender
Wenn jeder Schlüssel möglich ist, ist das One-Time-Pad mit unserer obigen Überlegung als sicher nachgewiesen. Die Zahlenfolge für den Schlüssel muss so lang sein wie
die Nachricht. Und der Angreifer darf keine Schlüsselziffer vorhersagen können. Stellen
Sie sich vor, zufällige Schlüsselziffern stünden auf einem Abreißkalender wie in Abb. 2.7,
dessen Blätter Sie einzeln verwenden und dann wegwerfen.
Nun widmen wir uns der Schwierigkeit, dass der Empfänger eine identische Kopie
dieses Abreißkalenders braucht.
Quasizufällige Zahlenfolgen kann man mit Computern leicht erzeugen. Mit quasizufällig meint man, dass die Zahlenfolge für einen Angreifer nicht erratbar ist, dass sie
aber in Wahrheit durch einen Algorithmus, ein Rechenverfahren, erzeugt wird. Es eignen sich z. B. die Ziffern der Kreiszahl π von irgendeiner Startstelle aus, sagen wir ab der
Stelle 123456789. Die beiden Kommunikationspartner starten dann die π-Berechnung
oder allgemeiner einen Zufallszahlengenerator an derselben Stelle. Nun haben wir also
den identischen Abreißkalender mit zufällig erscheinenden Ziffern, aber es bleibt noch
das Problem, wie die Startstelle unangreifbar sicher übermittelt werden kann. Genau
hier kommt die alte Kryptografie nicht weiter.
1976 haben Diffie und Hellman das Problem der sicheren Schlüsselvereinbarung gelöst, wie Sie in Abschnitt 2.5.1 sehen und verstehen können. Damit ist das Zeitalter der
modernen Kryptografie eingeläutet, die sich vollständig von der Idee der „verborgenen
Muster“ löst und als Werkzeuge große Primzahlen und das modulo-Rechnen etabliert.
2.2 Primzahlen
Ein natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat, nämlich die 1
und sich selbst.
Damit ist 2 die kleinste Primzahl und auch die einzige gerade Zahl unter den Primzahlen. Alle anderen geraden Zahlen haben ja die 2 als dritten möglichen Teiler. Die
nachfolgenden Primzahlen sind 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . ., dabei sagen die drei Pünktchen nur, dass noch weitere Primzahlen folgen. Nicht gemeint ist, dass nun die 21 folgt,
2.2 Primzahlen
15
es gilt nämlich 21 = 3 ⋅ 7, und 21 ist daher keine Primzahl. Es gibt gar keine nützliche
Formel zur Erzeugung der Primzahlenfolge. Man kann sich nur die Primzahlkandidaten ansehen und dann auf irgendeine Weise entscheiden, ob es sich um eine Primzahl
handelt oder nicht. Bei 35 sieht man es sofort. Bei meiner Autonummer 731 ist es schon
weniger intuitiv zu sehen, mit Suchen findet man 731 = 17 ⋅ 43, also ist 731 keine Primzahl. Bei großen Zahlen wird es immer schwieriger Faktoren zu finden.
2.2.1 Faktorensuchen ist schwer
Was heißt hier große Zahlen? In der Kryptografie werden Zahlen von etwa 300 Stellen
Länge verwendet. Überlegen wir, wie viele Prüfungen man wohl braucht, um eine große
Zahl in der Nähe von 10300 in Faktoren zu zerlegen. Wenn die Zahl ungerade ist, braucht
man keine geraden Zahlen als mögliche Faktoren mehr zu testen. Man hat aber immer
noch 5 ⋅ 10299 Kandidaten. Vielleicht reduziert sich die Zahl der möglichen Faktoren
erheblich, wenn man nur Primzahlen als Testkandidaten nimmt? Das ist aber nicht der
Fall, denn nach einer Abschätzung von Euler gibt es unterhalb einer großen Zahl x etwa
x
Primzahlen. Hier ist ln (10300 ) ≈ 690, also reduziert sich die Zahl durch diesen
ln(x)
Gedanken nur um 3 Zehnerpotenzen auf 7 ⋅ 10296 . Dabei ist noch unberücksichtigt,
dass man für die Testzahlen erstmal wissen muss, ob sie Primzahlen sind oder nicht.
Ein weiterer Reduzierungsgedanke ist, dass man nur bis√
zur Wurzel der zu testenden
Zahl prüfen muss. Bei meiner Autonummer 713 wäre das 731 ≈ 27,05. Tatsächlich hat
man durch Suchen den Primfaktor 17 kleiner als 27 gefunden, der andere Primfaktor 43
ergibt sich dann durch Division. Wenn nämlich x = a ⋅ b gilt, dann sind entweder die
beiden Faktoren gleich – und damit gleich der Wurzel aus x – oder einer der Faktoren ist
10 150
147
kleiner als diese Wurzel. Es gibt nun also ungefähr ln(10
Primzahlen kleiner
150 ) ≈ 3⋅10
300
als die Wurzel aus 10 . Diese muss man aber bei dem vorgestellten Suchverfahren nun
wirklich testen.
Überlegen wir, wie lange das dauert. Gehen wir davon aus, dass ein Computer 1012
Prüfungen pro Sekunde ausführen kann. Dann schafft er bei Dauerbetrieb im Jahr 1012 ⋅
60 ⋅ 60 ⋅ 24 ⋅ 365 ≈ 3 ⋅ 1019 Prüfungen. Damit würde dieser Computer etwa 3 ⋅ 10147 ÷
(3 ⋅ 1019 ) = 10147−19 = 10128 Jahre brauchen. Die Astronomen geben das Alter unserer Welt seit dem Urknall mit 1010 Jahren an. Wenn jeder Mensch vom Baby in China bis zum Greis in Island einen solchen Computer für diese Prüfung beisteuern würde und reiche Menschen sogar zwei, kämen wir vielleicht auf zehn Milliarden solcher
Computer. Wenn dann auch noch jeder Computer 1000-mal so schnell wie die heute
schnellsten wäre, dann dürften wir von der 128 nur eine 13 abziehen. Der Zeitbedarf
bleibt aberwitzig lang. Das Suchen von Faktorisierungen durch diese Art von Testen
kann bei den Zahlen, die in der Kryptografie verwendet werden, nicht klappen. Allenfalls könnten sich die Mathematiker bessere Verfahren ausdenken. Das haben sie nach
Kräften getan, aber sie sind dabei nicht drastisch genug besser geworden. Zurzeit sind
die Mathematiker der Ansicht, dass Faktorisieren zu der großen Gruppe der nicht effizient lösbaren Probleme zählt. Mehr über Berechenbarkeit können Sie in Abschnitt 8.6
erfahren.
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2. Kryptografie
2.2.2 Die Menge der Primzahlen
Bis jetzt habe ich Ihnen noch nicht gezeigt, wozu man die Primzahlen braucht. Das kann
auch erst wirklich deutlich werden, wenn wir in Abschnitt 2.5 zu den eigentlichen Verfahren der modernen Kryptografie kommen.
Primzahlen spielten schon im Altertum eine Rolle. Überliefert von dem griechischen
Mathematiker Euklid (um 300 v. Chr.) ist folgender Satz:
Satz 2.1:
Primzahlsatz von Euklid
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Die Denkweise des Euklid hat das Denken der Mathematiker über mehr als 2000 Jahre
geprägt. Daher möchte ich Ihnen seinen Beweis nicht vorenthalten.
Er führt diesen Beweis indirekt. Bei einem indirekten Beweis nimmt man zu Beginn
des Beweises das Gegenteil der Behauptung an und erzeugt dann auf logischem, unanfechtbarem Weg einen Widerspruch.
Indirekter Beweis des Primzahlsatzes
Wenn es nur endlich viele Primzahlen gibt, dann denken wir uns alle in eine endliche Liste geschrieben. Wir bilden eine Zahl m, indem wir das Produkt aller Zahlen der
Primzahlliste bilden und dann noch eine 1 addieren. Die Zahl m ist dann durch keine der verwendeten Primzahlen teilbar. Das ist klar, denn wenn wir z. B. ein Vielfaches
von 7 haben, erreichen wir das nächste Vielfache von 7 erst, wenn wir 7 hinzuzählen.
Addieren wir nur 1, ist die Zahl nicht durch 7 teilbar. Für die obige Zahl m gibt es nun
nur zwei Möglichkeiten:
1. Sie ist nicht in Faktoren zerlegbar. Dann ist sie aber eine Primzahl, die nicht in unserer
angeblich vollständigen Liste ist.
2. Sie ist in Faktoren zerlegbar. Diese Faktoren, die sicher beide kleiner sind als m, können dann aber auch keine Primzahlen unserer Liste als Teiler haben. Für sie gibt es
wieder nur die zwei Möglichkeiten 1. und 2.
Da wir nur endlich viele natürliche Zahlen für die immer kleiner werdenden Faktoren
zur Verfügung haben, endet diese Überlegung schließlich immer bei Nummer 1. Also
gibt es immer mindestens noch eine Primzahl, die nicht in unserer angeblich vollständigen Liste ist. Das ist ein Widerspruch. Damit existiert niemals eine vollständige endliche
Liste von Primzahlen.
q. e. d.
Übrigens ist q. e. d. die Abkürzung der lateinischen Worte quod erat demonstrandum,
zu Deutsch: was zu beweisen war.
Die Erkenntnisse über Primzahlen und die Teilbarkeit der anderen ganzen Zahlen
gehören zu dem mathematischen Arbeitsgebiet der Zahlentheorie.
Dabei sind die ganzen Zahlen Z = {. . .−2, −1, 0, 1, 2, 3. . .} gemeint. Das Wort teilbar
bezieht sich in der Zahlentheorie ausschließlich auf das Teilen ohne Rest. Bruchrechnung kommt in der Zahlentheorie also nicht vor.
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2.3 Restklassen modulo n
Satz 2.2: Fundamentalsatz der Zahlentheorie
Jede ganze Zahl hat ihre eindeutig bestimmte Zerlegung in Primfaktoren.
Die Reihenfolge der Faktoren ist unwesentlich.
Anstelle eines Beweises machen wir uns klar, was dieses beispielhaft bedeutet.
Die folgenden Zahlen können auf die angegebene Weise in Primfaktoren zerlegt werden und anders nicht:
731 = 17 ⋅ 43 ,
250 348 = 22 ⋅ 7 ⋅ 8941 ,
360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5 .
Wenn ich von einer Zahl weiß, dass sie durch 2 und auch durch 5 teilbar ist, dann enthält ihre Primfaktorzerlegung mindestens eine 2 und eine 5, also hat die Zahl am Ende
mindestens eine 0.
Wenn ein Produkt a ⋅ b von einer Primzahl, sagen wir der 7, geteilt wird, dann enthält mindestens einer der Faktoren diese Primzahl, also die 7. So ein Satz gilt nicht für
Nichtprimzahlen. Wenn ein Produkt a ⋅ b von 6 geteilt wird, dann muss nicht einer der
Faktoren von 6 geteilt werden: 18 = 2 ⋅ 9, aber weder 2 noch 9 werden von 6 geteilt,
obwohl die 18 von 6 geteilt wird. Auf der Website gibt es eine interaktive Datei, die Ihnen jede
(vernünftige) Zahl in Primfaktoren zerlegt.
Es gibt viele einfach zu verstehende Aussagen der Zahlentheorie. Zum Teil sind sie
Schulstoff für elfjährige Kinder. Andererseits gibt es gerade in der Zahlentheorie etliche
noch unbewiesene Vermutungen. Die für die Kryptografie wichtigste ist die Riemannsche Vermutung über die Verteilung der Primzahlen. Seit ihrer Formulierung durch
Bernhard Riemann Mitte des 19. Jahrhunderts trotzt sie allen Beweisanstrengungen. Seit
dem Jahr 2000 winken demjenigen, der sie beweist, eine Million Dollar.
Oben wurde gezeigt, dass das Finden der Primfaktorzerlegung für große Zahlen i. A.
schwer ist. Will man lediglich mit hoher Wahrscheinlichkeit entscheiden, ob eine Zahl
Primzahl ist oder nicht, gibt es zum Glück auch Primzahltests, die nicht auf der Faktorzerlegung von Zahlen beruhen. Einen davon werden wir auf Seite 27 kennenlernen.
2.3 Restklassen modulo n
Sie sehen in Abb. 2.8 die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 an die Punkte eines Kreises geschrieben.
Stellen Sie sich einen Mathekäfer vor, der bei 0 startet und auf dem Fünfeck zur 1, dann
zur 2, 3 und 4 krabbelt. Wenn er nach der 4 wieder bei 0 ankommt, ist er fünf Strecken
gelaufen, daher steht neben der 0 noch eine kleine 5. Bei seinem nächsten 0-Durchgang
ist er 10, dann 15, . . . Strecken gelaufen. Wenn er rückwärts läuft und diese Strecken
auch negativ zählt, dann kommen die Zahlen −5, −10, . . . auch bei den 0-Durchgängen
vor. Ebenso kann man all die anderen Zahlen deuten. Wenn er bei der 2 vorbeikommt,
ist er entweder sieben Strecken gelaufen oder 12 oder drei rückwärts usw.
Die 2 entsteht bei allen diesen Zahlen als Rest, wenn man vollständige Runden nicht
berücksichtigt. Die Zahlen {2, 7, 12, 17, . . . , −3, −8, . . .} heißen darum die Restklasse
der 2 in diesem Fünfeck oder die Restklasse der 2 modulo 5.
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2. Kryptografie
Abb. 2.8 Visualisierung der Restklassen modulo 5
In diesem Abschnitt zeige ich Ihnen ausführlich das modulo-Rechnen, das man für
die Kryptografie unbedingt braucht. Hier ist die Idee: Man rechnet wie immer und
nimmt als Ergebnis aber die Zahl am entsprechenden roten Punkt. Das ist die kleinste
positive Zahl in derselben Restklasse.
Also3+4 ≡ 7 ≡ 2, in Worten: (3+4) modulo 5 ist gleich 2. Bevor wir in die Einzelheiten
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5
gehen, kommt die „Programmvorschau“.
2.3.1 Vorschau auf die kryptografischen Rechnungen
Es wird in der Kryptografie in so einem Kreis wie in Abb. 2.8 gerechnet. Er hat aber
nicht fünf, sondern n Punkte und n ist unvorstellbar groß, in der Größenordnung 10300 .
Auf einen Kreisrand, der unser bekanntes Universum umfassen könnte, passen allenfalls 1050 Atome. Wäre das Universum eine Kugel voller Atome, kämen wir – uns gäbe
es dann gar nicht – auch erst auf die Größenordnung von 10150 Atomen. Das lateinische
Wort potentia heißt Macht und es ist schon erstaunlich, dass wir eine Potenz wie 10300
so einfach hinschreiben können, obwohl die Größe solcher Zahlen unsere menschliche
Vorstellungskraft sprengt. „Vorstellen“ im Sinne von „vor uns hinstellen“ können wir uns
das nicht. Aber mit mathematischem Denkwerkzeug bezwingen wir diese Riesigkeit, sogar noch Potenzen dieser Zahlen.
Als Vorschau zeige ich Ihnen einen typischen Vorgang, dessen Richtigkeit Sie jetzt
überhaupt noch nicht verstehen können. Zunächst die formelmäßige Darstellung:
Berta:
c ≡ me
n
→
Anton:
d
c d ≡ (m e ) ≡ m
n
n
Nun dasselbe als Text: Berta will eine Nachricht m an Anton senden. Sie nimmt Antons
öffentliches Schlüsselpaar (n, e). Sie rechnet modulo n die e-te Potenz von m aus und
sendet das Ergebnis c an Anton. Dieser potenziert modulo n das c mit seinem privaten
Schlüssel d und kann dann m lesen.
Wenn ich Ihnen also in den folgenden Abschnitten das modulo-Rechnen, besonders
das Potenzieren und die Inversenbildung, vorstelle und wenn Sie den mit kleinen Zah-
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