Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis
Rasa Steuding
Hochschule RheinMain Wiesbaden
Wintersemester 2011/12
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
1 / 20
2. Reihen
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
2 / 20
Die Kochsche Insel
1!3
1!3
1
→
1!3
1!3
Wie groß (Fläche)? Wie lang (Umfang)?
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
3 / 20
Umfang
u0
=
u1
=
u2
=
...,
un+1
bzw.
=
3,
4
4
· 3 = u0 ,
3
3
2
4
4
u0 ,
u1 =
3
3
4
un =
3
n+1
4
u0
3
n
4
un =
u0 −→ ∞,
n→∞
3
divergent!
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
4 / 20
Flächeninhalt
Die Insel wird nicht beliebig groß (man kann sie einsperren in den Umkreis
des Anfangsdreiecks).
a0
a1
a2
a3
an
=
√
3
,
4
√
1
1
3
,
·
= a0 + 3 ·
4
9
√ 2
3
1
= a1 + 3 · 4 ·
·
,
4
9
√ 3
1
3
2
·
= a2 + 3 · 4 ·
,
4
9
...,
√ n
3
1
n−1
= an−1 + 3 · 4
·
·
4
9
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
5 / 20
Flächeninhalt
bzw.
an = a0 +
n−1
X
3 · 4i
i=0
9i+1
a0
n−1 = a0
1X
1+
3
i=0
∞
lim an = a0
n→∞
1X
1+
3
i=0
4
9
i !
;
i !
4
.
9
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
6 / 20
Unendliche Reihe
Sei (ak )k eine Folge reeler Zahlen. Dann bilden wir für jedes m ∈ N die
Partialsumme
m
X
sm :=
ak .
k=0
Die Folge der Partialsummen (sm )m heißt unendliche Reihe mit den
Gliedern ak und wir schreiben hierfür
∞
X
ak ;
k=0
im Falle des konvergenz von (sm )m heißt die Reihe konvergent. Man
nennt den Grenzwert s = lim sm die Summe der Reihe und schreibt
m→∞
s=
∞
X
ak .
k=0
Eine
P∞ nicht-konvergente Reihe heißt divergent. Konvergiert sogar
k=0 |ak |, so nennt man die Reihe absolut konvergent.
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
...
7 / 20
Beispiele
Die ersten Teilsummen von
∞
P
k=0
1
2k
sind:
s0 = 1,
3
1
= ,
2
2
1 1
7
= 1+ + = ,
2 4
4
1 1 1
15
= 1+ + + = ,
2 4 8
8
...
s1 = 1 +
s2
s3
Es sieht so aus, dass die Folge der Partialsummen 1, 32 , 74 , 15
8 ,...
gegen 2 konvergiert. Wir werden es bald sehen, tatsächlich
∞
P
1
= 2.
2k
k=0
Die Reihe
∞
P
2k ist divergent, denn die Partialsummenfolge
k=0
...
1, 3, 7, 15, 31, 63, . . . divergiert.
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NumAna
Wintersemester 2011/12
8 / 20
Geometrische Reihe
Eine Reihe der Form
X
xk,
x ∈R
k
heißt geometrische Reihe.
Satz 2.1
1
K
X
(
k
x =
k=0
K +1
1−x K +1
1−x
für x = 1,
sonst;
2
∞
X
k=0
xk =
1
1−x
für
|x| < 1,
und divergent sonst.
...
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9 / 20
Beweis des Satzes 2.1 (1)
Per Induktion nach K :
K = 0: Klar, denn:
0
X
xk = x0 = 1 =
k=0
1 − x0
.
1−x
K 7→ K + 1: Es ist
K
+1
X
x
k
= x
K +1
+
K
X
x k = x K +1 +
k=0
k=0
=
x K +1 (1
1 − x K +1
1−x
− x) + 1 − x k+1
1 − x K +2
=
;
1−x
1−x
die Wert für x = 1 ist offensichtlich K + 1.
...
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Wintersemester 2011/12
10 / 20
Beweis des Satzes 2.1 (2)
Nach Teil 1 des Satzes gilt
sm =
m
X
1 − x m+1
,
1−x
xk =
k=0
also folgt mit Rechenregeln für konvergente Folgen und Satz 1.5
lim sm =
n→∞
1 1
.
1 − lim x m+1 =
n→∞
1−x
1−x
Beispiele: Mittels Satz 2.1 gilt:
1+
1 1 1
+ + + · · · = 2,
2 4 8
1−
1 1 1
2
+ − + ··· = .
2 4 8
3
...
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Wintersemester 2011/12
11 / 20
Harmonische Reihe
Satz 2.2
Die harmonische Reihe
P∞
1
n=1 n
ist divergent.
Beweis. Für k ∈ N betrachten wir die Partialsummen
2k
X
1
1
1 1
1
1
s2k =
= 1+ +
+
+ ... +
+ ... + k
n
2
3 4
2k−1 + 1
2
n=1


j+1
k−1 2
1 X X 1
.
= 1 + +
2
n
j
j=1 n=2 +1
Es gilt
j+1
2
X
1
≥
n
j
n=2 +1
1
2j · j+1
2 }
| {z
=
1
,
2
Anzahl der Summanden
x Minimum der Summanden
und damit s2k ≥ 1 + k2 . Also divergiert die harmonische Reihe bestimmt gegen
+∞. (Es ist klar, dass s2k < sm < s2k+1 für 2k < m < 2k+1 .)
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Wintersemester 2011/12
...
12 / 20
Eine interessante Folgerung
zeigt die Macht des Kalküls unendlicher Reihen.
Satz 2.3
Es gibt unendlich viele Primzahlen (d.h. natürliche Zahlen n > 1, die nur
durch 1 und sich selbst teilbar sind).
Beweis: Mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen gilt
∞
X
1
n
n=1
1 1
1
1
1
+ +
+ +
+ ...
2 3 22
5 2·3
1
1
1
1
1 + + 2 + ... · ...
1 + + 2 + ...
2 2
3 3
Y Y
1
1
1
1 + + 2 + ... =
,
p
p
1 − p1
= 1+
=
=
p prim
p prim
wobei wir auf jeden Faktor Satz 2.1 angewandt haben. Gäbe es endlich viele
Primzahlen, so müsste die harmonische Reihe konvergieren, zu Satz 2.2.
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...
13 / 20
Rechenregeln für konvergente Reihen
Satz 2.4
Seien
gilt
P∞
k=0 ak
und
P∞
k=0 bk
zwei konvergente Reihen reeller Zahlen, dann
∞
∞
X
X
(c · ak ) = c ·
ak für ein beliebiges c ∈ R;
k=0
k=0
∞
X
(ak ± bk ) =
k=0
∞
X
k=0
ak ±
∞
X
bk .
k=0
Absolut konvergente Reihen darf man auch multiplizieren:
! ∞ !
∞
∞
k
X
X
X
X
ak
bk =
ck mit ck =
aj bk−j .
k=0
k=0
k=0
j=0
...
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NumAna
Wintersemester 2011/12
14 / 20
Konvergenzkriterien für Reihen. I
Satz 2.5 (Notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe)
Es gilt:
∞
X
ak konvergiert =⇒ ak Nullfolge.
k=0
Beispiele:
Weil ak = 42k keine Nullfolge ist, ist
∞
P
42k divergent.
k=0
ak =
dass
1
k ist
∞
P
1
k
k=1
eine Nullfolge, aber daraus kann nicht geschlossen werden,
konvergiert (tatsächlich ist die harmonische Reihe nach
Satz 2.2 divergent).
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
15 / 20
Konvergenzkriterien für Reihen. II
Satz 2.6 (Majorantenkriterium)
P
Sei ∞
k=0 bk eine konvergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern bk und
(ak )k eine Folge mit
|ak | ≤ bk
P
für (fast) alle k ∈ N. Dann konvergiert die Reihe ∞
k=0 ak absolut.
Die Reihe
P∞
k=0 bk
ist dann eine Majorante von
P∞
k=0 ak .
P∞
Entsprechend gilt auch das folgende Divergenzkriterium: Ist k=1 bk eine
divergente Reihe mit nichtnegativen Gliedern bk und (ak )k eine Folge mit ak ≥ bk
P∞
P∞
für alle k ∈ N, so divergiert auch k=1 ak . (ansonsten wäre ja k=1 ak eine
P∞
konvergente Majorante von k=1 bk .)
P
1
Beispiel: Die harmonische Reihe ∞
k=1 k ist divergent. Da
P∞ 1
alle k ≥ 1 gilt, ist auch k=1 √k divergent.
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
1
k
≥
√1
k
Wintersemester 2011/12
für
...
16 / 20
Konvergenzkriterien für Reihen. III
Die Anwendung des Majorantenkriteriums mit der geometrische Reihe
liefert:
Satz 2.7 (Quotientenkriterium)
P
Sei ∞
k=0 ak eine Reihe mit bk 6= 0 für alle k ≥ N. Gibt es dann eine reelle
Zahl α mit 0 < α < 1, so dass
ak+1 ak ≤ α
P
für alle k ≥ N, so konvergiert die Reihe ∞
k=0 ak absolut.
Diese Bediengung ist insbesondere erfüllt, falls
ak+1 =α<1
lim
k→∞ ak ist (wenn dieser Grenzwert existiert).
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
...
Wintersemester 2011/12
17 / 20
Beispiele
P∞ 2
Die Reihe k=0 k2k konvergiert, denn für k ≥ 3 gilt
2
2
(k+1)2 (k + 1)2 2k
1
1
1
8
1
2k+1 1
+
≤
1
+
= < 1.
=
k2 =
2 2k+1
k k
2
k
2
3
9
2
P∞ 1
Die Reihe k=0 k+2
kann nicht mit dem Quotientenkrterium behandelt
werden. Zwar ist
1 k +2
1
k+3 =1−
< 1,
1 =
k+2 k + 3
k +3
1
aber wegen lim 1 − k+3
= 1 können wir kein α mit
k→∞
1
0 < 1 − k+3
< α < 1 finden. Tatsächlich ist die Reihe divergent, was aus
unserem Divergenzkriterium im Vergleich mit der divergenten harmonischen
Reihe folgt:
m
m
1X1 X 1
≤
(denn: k + 2 ≤ 3k).
3
k
k +2
k=1
R. Steuding (HS-RM)
k=1
NumAna
Wintersemester 2011/12
...
18 / 20
Konvergenzkriterien für Reihen. IV
Für alternierenden Reihen, d.h. Reihen deren Glieder ein abwechselndes
Vorzeichen haben, gilt
Satz 2.8 (Leibnizsches Konvergenzkriterium)
Sei (ak )k eine monoton fallende Folge nichtnegativer Zahlen mit
lim ak = 0. Dann konvergiert
k→∞
∞
X
(−1)k ak .
k=0
Beispiel: Im Gegensatz zur harmonischen Reihe konvergiert die
alternierende harmonische Reihe mit Grenzwert
∞
X
(−1)k+1
k=1
k
=1−
1 1 1
+ − ± · · · = log 2.
2 3 4
...
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
19 / 20
Bruchdarstellung einer periodischen Dezimalzahl
Unendliche Dezimalbrüche sind spezielle Reihen. Als Beispiel betrachten
wir den periodischen Dezimalbruch
0, 10232323 · · · = 0, 1023
Nach den Sätzen 2.1
1
+
0, 1023 =
10
1
=
+
10
1
+
=
10
=
und 2.4 gilt
23
23
+ 6 + ...
4
10
10
23
23
+ 6 + ...
4
10 10
23
1
+ ...
1+
104
100
∞ 1
23 X
1 k
1
23
+ 4
=
+
10 10
100
10 104
k=0
1
1
1 − 100
!
=
1013
.
9900
Offensichtlich kann man so jeden periodischen Dezimalbruch als rationale Zahl
darstellen. Unschwer zeigt man auch die Umkehrung. Damit haben also genau
die rationalen Zahlen eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
R. Steuding (HS-RM)
NumAna
Wintersemester 2011/12
...
20 / 20