Zahlentheorie

Zahlentheorie
Serie 1
Abgabe bis 14. März 12 Uhr an Tobias Berner (Y27K52)
1. Beweise die folgenden Sätze mit Induktion, wobei alles was bereits bewiesen wurde
(inklusive Satz 0, Satz 1, Hilfssatz 0, und Satz 2 aus der Vorlesung) in den Beweisen
verwendet werden darf.
Satz 2. Für alle natürlichen Zahlen x, y gilt Kommutativgesetz für die Addition:
x+y =y+x
Satz 3. Für alle natürlichen Zahlen x gilt:
0·x=0
Hilfssatz 1. Für alle natürlichen Zahlen x gilt:
0I · x = x
Satz 4. Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt das Rechtsdistributivgesetz:
(x + y) · z = (x · z) + (y · z)
Satz 5. Für alle natürlichen Zahlen x, y gilt das Kommutativgesetz für die Multiplikation:
x·y =y·x
Satz 6. Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt das Assoziativgesetz für die Multiplikation:
x · (y · z) = (x · y) · z
[12]
2. Beweise die folgenden Aussagen mit Induktion nach n:
(a)
n
∑
n(n + 1)(2n + 1)
k =
6
k=1
2
(b)
n
∑
k=1
(∑
)2
n
k =
k
3
k=1
[6]
3. Farey-Folgen. Für jede natürliche Zahl n ist die Farey-Folge n-ter Ordnung Fn die
geordnete Folge aller gekürzten Brüche zwischen 0 und 1 mit Nenner ≤ n.
)
(
)
(
)
(
Beispiele: F1 = 01 , 11 , F2 = 01 , 12 , 11 , F3 = 10 , 13 , 12 , 23 , 11
(a) Bestimme die Farey-Folgen F4 und F5 .
(b) In jeder Farey-Folge gilt:
Sind ac und db zwei aufeinanderfolgende Brüche, so
sind ad und bc zwei aufeinanderfolgende Zahlen.
Wir sagen, die Brüche
a
c
und
b
d
haben die Eigenschaft (`).
Überprüfe die Eigenschaft (`) in den Farey-Folgen F1 , . . . , F4 .
(c) Zeige: Haben die Brüche ac und db die Eigenschaft (`), so haben sowohl die
Brüche ac und a+b
, wie auch a+b
und db die Eigenschaft (`).
c+d
c+d
(d) Es lässt sich zeigen, dass wenn die Brüche ac und db aufeinanderfolgende Brüche
einer Farey-Folge sind, dass dann auch ac , a+b
, b aufeinanderfolgende Brüche
c+d d
einer Farey-Folge sein müssen. (Bonus Zeige diese Behauptung).
Leite daraus eine Methode ab, wie aus der Farey-Folge Fn die Farey-Folge Fn+1
bestimmt werden kann.
(e) Bestimme die Farey-Folgen F6 , F7 , F8 .
[7]