M Mittelstufe

38. Internationaler Städtewettbewerb Mathematik
Herbstrunde
M
1. November 2016
Hamburg
Mittelstufe
Aufgabe 1 (5 P.). Von zehn Jungen hat jeder 100 Kekse auf seinem Teller. Anstatt sie zu essen,
spielen die Jungen ein Spiel: In jedem Schritt gibt ein Junge jeweils einen Keks von seinem Teller
an jeden anderen Jungen. Was ist die kleinste Anzahl an Schritten, die notwendig ist, um die
Anzahl an Keksen für alle Jungen verschieden zu machen?
Aufgabe 2 (5 P.). In jeder Zelle eines 8 × 8-Feldes steht eine positive ganze Zahl. Bei jeder
Zerlegung des Feldes in Steine aus zwei sich an einer Seite berührenden Feldern (also 1 × 2 oder
2 × 1) ist die Summe der Zahlen für jeden Stein verschieden. Ist es möglich, dass die größte Zahl
des Feldes nicht größer ist als 32?
Aufgabe 3 (6 P.). Ein beliebiges Dreieck ist durch Geraden parallel zu seinen Seiten in kongruente Dreiecke zerlegt wie im Bild
zu sehen. Beweise, dass die Höhenschnittpunkte der sechs angemalten Dreiecke auf einem Kreis liegen.
Aufgabe 4 (8 P.). Eine quadratische Pralinenschachtel ist in 49 gleichgroße quadratische Zellen
zerlegt, die jeweils dunkle oder weiße Pralinen enthalten. In jedem Schritt isst Alex zwei gleiche
Pralinen aus benachbarten Zellen (seitlich oder an der Ecke). Welches ist die größte Anzahl an
Pralinen, die Alex in jedem Fall essen kann, unabhängig von der Verteilung der Pralinen in der
Schachtel?
Aufgabe 5 (8 P.). Paarweise verschiedene positive Zahlen sind auf drei rote und drei blaue Karten geschrieben. Auf den Karten der einen Farbe (man weiß nicht, welcher) stehen die Summen
der drei möglichen Paare aus drei bestimmten Zahlen, auf den Karten der anderen Farbe stehen
die Produkte derselben drei Paare. Ist es immer möglich, die drei Zahlen zu bestimmen?
Aufgabe 6 (9 P.). A1 A2 . . . A2n mit n ≥ 5 sei ein regelmäßiges 2n-Eck mit Mittelpunkt O. Die
Diagonalen A2 An−1 und A3 An schneiden sich in F , die Diagonalen A1 A3 und A2 A2n−2 schneiden
sich in P . Beweise, |P F | = |P O|.
Aufgabe 7. (a) (5 P.) Ein Fragebogen besteht aus 20 Fragen, welche jeweils zwei mögliche
Antworten haben. Es ist bekannt, dass für jede Auswahl von 10 Fragen und jede Kombination an Antworten dieser Fragen (mindestens) eine Person genau diese Antworten gegeben
hat. Müssen dann zwei Personen existieren, die jede Frage verschieden beantwortet haben?
(b) (6 P.) Das gleiche Problem mit 12 verschiedenen Antwortmöglichkeiten pro Frage.
Alle Aussagen sind zu begründen! Bitte eine lesbare Reinschrift anfertigen! An Hilfsmitteln sind
nur das ausgegebene Papier, Schreibgerät, Zirkel und Lineal zugelassen. Auf jedem Blatt sind
der Name, Vorname und die Nummer der Aufgabe einzutragen. Gewertet werden höchstens drei
Aufgaben.
Zeit: 5 Stunden.
Viel Erfolg!