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STATISTIK
Inhaltsangabe
Themen
Seite
1.
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3.
1.
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3.
1.
1.
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1.
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4.
1.
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1.
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1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
5.
Häufigkeitsverteilung
Rendite
Lageparameter
Streuungsmaße
Konzentrationsmaße
Preisindizes
Korrelationskoeffinzienten
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsvariable
Verteilungsparameter
Ausgewählte
Verteilungen
Schätzfunktion und
Konfidenzintervalle
Statistische Tests
Statistik - Ferit Demir
Nominalskala
Ordinalskala
metrische Skala
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
Histogramm
Rendite & Wachstumsraten
Modalwert und Median
arithmetisches Mittel
gewogenes arithmetisches Mittel
geometrisches Mittel
mittlere absolute Abweichung
mittlerer absolute Differenz
mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
empirische Standardabweichung
Gini-Koeffizient
Lorenzkurve
Preisindex nach Laspeyres
Preisindex nach Paasche
Kovarianz
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient
Begriffe, Ereignisse, Mengenalgebra
Kolmogroff’sche Axiome und Folgerungen
Berechnung, Laplace Experiment= W’keit
Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit
Begriffe
diskrete Zufallsvariable
stetige Zufallsvariable
mehrdimensionale Zufallsvariable
Erwartungswert
(Eigenschaften und Unabhängigkeit)
Varianz
(Eigenschaften und Unabhängigkeit)
Kovarianz
(Unabhängigkeit, Korrelationskoeffizient)
Binominalverteilung und Bernoulliverteilung
stetige Gleichverteilung und Normalverteilung
Standardisierung und zentraler Grenzwertsatz
Punktschätzung und Konfidenzintervallkonstruktion
bei normalverteilter GG und unbekannter Varianz
bei normalverteilter GG und bekannter Varianz
approximatives K-Intervall für unbekannte Anteile
bei bekannter Varianz
bei unbekannter Varianz
approximative Test für unbekannte Anteile
X2 – Anpassungstest
X2 – Unabhängigkeitstest
Seite
0
1
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1
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1
2
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2
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3
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3
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Ø
induktive
Statistik
Skalen
1
Wahrscheinlichkeits
-rechnung
1. deskriptive Statistik Ù induktive Statistik
deskriptive Statistik
Einführung
Deskriptive Statistik
Induktive Statistik
-beschreibendeDatenaufbereitung oder Veranschaulichung
-schließendeTeildaten ermöglichen Schlüsse für die
unbekannte Gesamtmenge
S K A L E N
Nominalskala
keine quantitative oder qualitative Ordnung
Ordinalskala oder Rangskala
eine qualitative Ordnung oder eine Rangfolge
Kardinalskala oder
metrische Skala
quantitative Ordnung
oder zwei
Zuordnungen
Stab- oder
Kreisdiagramm
diskret = speziell
Histogramm
stetig = beliebig
H Ä U F I G K E I T S V E R T E I L U N G
k
h(aj )
absolute Häufigkeit
∑ h(aj ) = n
j =1
k
1
f (aj ) = h(aj )
n
relative Häufigkeit
Histogramm
( Höhe der Balken)
Höhe =
R E N D I T E
&
∑ f (aj ) = 1
j =1
relative Häufigkeit
Intervallbreite
W A C H S T U M S R A T E N
neu Kurs − alt Kurs
alt Kurs
neu Kurs
−1 = r
alt Kurs
Rendite
r =
Wachstumsrate in Prozent
 neu Kurs

rw = 
− 1 ⋅ 100 oder
 alt Kurs

durchschnittliche
Wachstumsrate
r =
Statistik - Ferit Demir
n
oder
(1 + r1 )(1 + r2 ) L (1 + rn )
Seite
1
rw = r ⋅ 100
−1
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L A G E P A R A M E T E R
Die am häufigsten auftretende Merkmalsausprägung.
Modalwert
 n + 1
x
 ; falls n ungerade
 2 
  n
n

 x  2  + x  2 + 1 ; falls n gerade


  
Median




1
 2
arithmetisches Mittel
xa =
gewogenes
arithmetisches Mittel
xa =
∑g
geometrisches Mittel
xg =
n
g
1
n
∑ xi
i
Transformation
   
→
g i ≥ 0,
xi
∑g
i
y a = a ⋅ xa + b
=1
∏ xi
S T R E U U N G S M A ß E
mittlere absolute
Abweichung
dx =
mittlere absolute Differenz
∆x =
mittlere quadratische
Abweichung (Varianz)
S 2x =
Standardabweichung
Sx =
Transformation von Varianz und
Standardabweichung
Statistik - Ferit Demir
1
∑ xi − xm
n
1
n2
∑∑
xi − x j
(
1
∑ xi − xa
n
oder
1
xi 2 − xa 2
∑
n
S2x
S 2 y = a2 ⋅ S 2x
Sy =
)2
und
S 2x
Seite
oder
2
a2 ⋅ S 2 x =
a ⋅ Sx
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K O N Z E N T R A T I O N S M A ß E
Gini-Koeffizient
Mögliche 3 Formen um den Gini-Koeffizienten zu berechnen.
∆x
2 xa
2
Gx =
n∑ xi
Gx =
Gx =
Konzentration
Wie verändert sich der GiniKoeffizient?
Intervall /Klassen ändern
Lorenzkurve
( ∑ i xi ) − 1 − 1
n
siehe unten
Lorenzkurve
(Tabelle erstellen)
m
∑ (K i + K i −1 )(Li − Li −1 ) − 1
i =1
0 < Gx < 1
; gegen 1 Konzentration größer
; gegen 0 Konzentration kleiner
Zu betrachten ist dann die Differenz von Gx – Gy
Bei gröberer Einteilung der Intervalle/Klassen nimmt der
Gini-Koefizient ab
LK = 1 ist die WH , wobei dann G x = 0 ist.
i − te Zeile
n
− Spalte
Tabelle
j
i


n

i + i− 1
 Zähler wird

n
 kummuliert
i + i − 1 + ... + i − n

= 1 
n

P R E I S I N D I Z E S
Preisindex nach Laspeyres
P01 L =
∑ pt q0 = pt
∑p
∑ p0 q0
0
g0 ; g0 =
Preisindex nach Paasche
P01 P =
∑ pt qt = pt
∑p
∑ p0 qt
0
gt ; gt =
p0 q0
∑ p0 q0
p0 qt
∑ p0 qt
Immer Tabelle in dieser Form erstellen:
Berechnungshilfe Æ
Statistik - Ferit Demir
p0
M
Seite
q
0
M
3
pt
M
qt
M
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K O R R E L A T I O N S K O E F F I Z I E N T E N
empirische Kovarianz
S xy =
Kovarianz ist nicht normiert, daher schlechte Vergleichbarkeit
1
n
∑ (xi − x a )(y i − y a )
Transformation von Kovarianz
1
n
oder
∑
xi y i − x a y a
S ~x~y = a ⋅ c ⋅ S xy wenn
~
x = a ⋅ xa + b und ~
y = c ⋅ ya + d
Æ Bravais-Pearson benötigt metrisch Skalierte Merkmalsausprägungen und
misst nur den linearen Zusammenhang
s xy
rxy =
Bravais-PearsonKorrelationskoeffizient
sx s y
M
∑ (xi − xa )(yi − ya )
2
2
∑ (xi − xa ) ∑ (yi − ya )
Ð eine Tabelle mit 7 Spalten erstellen Ð
Berechnungshilfe Æ
xi
=
(xi − xa ) (xi − xa )2
M
M
(yi − ya ) (yi − ya )2 (xi − xa )(yi − ya )
yi
M
M
M
M
BPK ist invariant gegenüber linearer Transformation.
Transformation von BPK
positiver, linearer Zusammenhang = rxy nahe bei 1
negativer,linearer Zusammenhang = rxy nahe bei –1
Zusammenhang
− 1 ≤ rxy ≤ 1
Im Gegensatz zu Kovarianz normiert, aber Korrelation sagt nichts über Kausalität aus.
Æ Spearman benötigt mindestens ordinal skalierte Merkmalsausprägungen und
die Ausprägungen werden durch Ränge ersetzt
rS =
Spearman’sche
Rangkorrelationskoeffizient
∑ (R( x ) − Rx ) (R( y ) − Ry )
2
2
∑ (R( x ) − Rx ) ∑ (R( y ) − Ry )
i
i
i
i
Falls bei x und y alle Ränge verschieden sind, lässt sich rS auch
berechnen durch: Ð
Berechnungshilfe IÆ
(
6 ∑ R( xi ) − R( y i )
rS = 1 −
n (n − 1)(n + 1)
Berechnungshilfe IIÆ
)2
Ð ansonsten eine Tabelle mit 5 Spalten erstellen Ð
(R(x ) − Rx ) (R(x ) − Rx )2 (R( y ) − R y ) (R( y ) − R y )2 (R(x ) − Rx ) (R( y ) − R y )
i
i
M
i
M
Statistik - Ferit Demir
i
M
i
M
Seite
4
i
M
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W A H R S C H E I N L I C H K E I T S R E C H N U N G
Begriffe
Zufallsexperiment (ZE)Æ
Ergebnismenge Ω Æ
Elementereignis ω Æ
Umfang von |Ω|Æ
Ereignis A Æ
SchnittmengeÆ
VereiningungmengeÆ
Ereignisse
Bedeutungen:
Ein Experiment dessen Ausgang unbekannt ist.
Ω ={1,2,3,4,5,6} Menge aller möglichen Ausgänge
ω1={1,3,5}; ω2={2,4,6}; eindeutige Teilmenge von Ω
|Ω|= 6 Æ Anzahl der ein elementigen Teilmengen von Ω
Teilmenge von Ω
A∩ B
A∪ B
Schreibweisen:
A ist sicheres Ereignis
A=Ω
A ist unmögliches Ereignis
A=∅
A ist Teilereignis von B
A⊂ B
A und B sind äquivalente M
Mengenalgebra
Assoziativgesetz
A= B
Distributivgesetz
Gesetz vom
komplementären
Element
Gesetze von de Morgan
Umformungen:
A∪ A = Ω
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) bzw.
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
disjunkt
komplementär
A ∩A=∅
A∪ A =Ω
(A ∩ B) = A ∪ B
(A ∪ B) = A ∩ B
bzw.
Wahrscheinlichkeitsmaß:
P ( A) ≥ 0
Kolmogroff’sche Axiome
P(Ω ) = 1
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B )
; wenn A, B disjunkt
P(0/ ) = 0
Folgerungen aus den
Kolmogroff’schen Axiomen
Statistik - Ferit Demir
P ( A ) = 1 − P ( A)
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
Seite
5
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W A H R S C H E I N L I C H K E I T S R E C H N U N G
mathematische Berechnung
der Wahrscheinlichkeit
Laplace-Experiment
Ω < ∞ dann
P ( A) =
A
Ω
=
P({ω }) =
1
Ω
Anzahl der günstigen Fälle
;A⊂ Ω
Anzahl der möglichen Fälle
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
Unabhängigkeit
wenn 2 Ereignisse unabhängig sind
P( A ∩ B )
P(B )
P ( A | B ) ≠ P ( B | A)
P( A | B ) =
wenn A, B ⊂ Ω mit P(B ) > 0
nicht beliebig austauschbar!
kurz ↑ = P von A unter B ; hier wird Ω auf das Ereignis B reduziert!
bedingte
Wahrscheinlichkeit
falls unabhängig :
P( A | B ) =
Statistik - Ferit Demir
P ( A ∩ B ) P ( A) ⋅ P (B )
=
= P ( A)
P(B )
P(B )
Seite
6
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Z U F A L L S V A R I A B L E
Begriffe
Bedeutungen:
Zufallsvariable XÆ
Wertebereich X(Ω)Æ
Realisation x=X(ω)Æ
diskrete Zufallsvariable
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Verteilungsfunktion:
Wertebereich von W’keit-fkt
und Vtlgs-fkt:
stetige Zufallsvariable
Dichtefunktion:
X: ΩÆIR, deren mögliche Werte vom Ausgang des ZE abhängen
Menge aller möglichen Realisationen
Wert einer Zufallsvariable
Wertebereich hat nur abzählbar viele Werte
f ( x ) = P( X = x ) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion
F ( x ) = P( X ≤ x ) heißt Verteilungsfunktion
0 ≤ f (x ) ≤ 1
∑ f (xi ) = 1
und
0 ≤ F (x ) ≤ 1
F ( x ) = monoton steigend , rechtsseitig stetig
Wertebereich kann (od. in Grenzen) alle reellen Werte umfassen
x
P( X = x ) = 0 ≠
f ( x ) = F ′( x ) =
∫ f (t ) ⋅ dt
−∞
b
Verteilungsfunktion:
P(a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a ) = ∫ f ( x ) dx
⇔ [F ( x ) ⋅ dx ]ba
a
Wertebereich von Dichte-fkt
und Vtlg-fkt:
f (x ) ≥ 0
∞
∫ f (x ) ⋅ dx = 1
und
0 ≤ F (x ) ≤ 1
−∞
F ( x ) = monoton steigend , stetig in x
mehrdimensionale
Zufallsvariable
Unabhängigkeit
Statistik - Ferit Demir
Fx1 x 2 ( x1 , x2 ) = P( X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 ) " , " = ∩
P( X1 ≤ x1, X 2 ≤ x2 ) = P( X1 ≤ x1 ) ⋅ P( X 2 ≤ x2 )
14243 14243
F ( x1 )
Seite
7
F ( x2 )
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V E R T E I L U N G S P A R A M E T E R
Erwartungswert
x diskrete Zufallsvariable mit Realisation x1,x2,…xn ,dann gilt:
E ( X ) = ∑ xi ⋅ f ( xi )
bei diskreter Verteilung
x stetige Zufallsvariable mit Dichtefunktion f(x) ,dann gilt:
E(X ) =
∞
∫ x ⋅ f (x ) ⋅ dx
bei stetiger Verteilung
−∞
E (a ⋅ X + b ) = a ⋅ E ( X ) + b
Eigenschaften
E (∑ x i ) =
∑ E (X i )
E (∑ a i ⋅ x i ) =
od .
 ∑ g ( x i ) ⋅ f ( x i )
E (g ( x ) ) = 
 ∫ x ⋅ f ( x ) ⋅ dx
E( XY ) = E( X ) ⋅ E(Y )
Unabhängigkeit
Var
Varianz
einfacher:
Eigenschaften
Unabhängigkeit
Statistik - Ferit Demir
(X ) = E
für diskrete
∑ ai
⋅ E (X i )
ZV
für stetige ZV
wenn X , Y unabhängig
(

 X − E ( X )
) 
2
( X ) = E (X 2 ) − [E ( X )] 2
Var ( x ) ≥ 0
Var (a ⋅ x + b) = a 2 Var( x ) "+b hat keine Auswirkung"
Var(a ⋅ x + b ⋅ y ) = a 2 Var( x ) + b 2 Var( y ) + 2ab Cov( x, y )
Var
x 1 ,..., x n unabhängig
Var
(∑ x i ) = ∑
Seite
8
Var
dann
(x i )
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Kovarianz
Cov ( X , Y ) = E [( X − E ( X ) ) ⋅ (Y − E (Y ) )] = E ( XY ) − E ( X ) ⋅ E (Y )
Unabhängigkeit
Korrelationskoeffizient
x, y unabhängig dann
Cov( x, y ) = 0
Pxy =
Cov ( X , Y )
σ X ⋅σY
wenn X eine beliebige ZV mit unabhängigen
Gesetz der großen Zahl
Realisation x1 L xn , dann
lim
n→∞
1
∑ xi = E ( X )
n
A U S G E W Ä H L T E
eine diskrete ZV heißt,
Binominalverteilung
Zahl der möglichen
Anordnungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Verteilungsfunktion:
Erwartungswert
Varianz
V E R T E I L U N G E N
X~B(n, p)Æ wenn x die Erfolge bei n unabhängigen
Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p zählt.
x = Zahl der Erfolge mit Wahrscheinlichkeit px,
wobei (n – x) die Anzahl der Misserfolge misst
 n
n!
  =
x! (n − x )!
 x
n
f X ( x ) =   p
x
F X (x ) =
x
∑
k =0
wenn x ≤ n
x
(1 −
p )n− x
n k
  p (1 − p ) n − k
k
E(X ) = n ⋅ p
Var ( X ) = n ⋅ p (1 − p )
n = 1 ⇒ X ~ Bin (1, p )
SpezialfallÆ Bernoulli-Vtlg
Statistik - Ferit Demir
X i ~ Bin (1, p ) ⇒ ∑ xi ~ Bin (n, p )
Seite
9
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A U S G E W Ä H L T E
stetige Gleichverteilung
X ~ R [a, b] , heißt gleichverteilt
(rechteckverteilt ) im Intervall [a, b]
 1

f X (x ) =  b − a
 0
Dichtefunktion:
Verteilungsfunktion:
Erwartungswert
Varianz
Normalverteilung
Dichtefunktion:
Verteilungsfunktion:
Erwartungswert
Varianz
Eigenschaften
V E R T E I L U N G E N
x ∈ [a , b]
sonst
x<a
 0
 x − a
FX ( x ) = 
x ∈ [a , b]
−
b
a

x>b
 1
(a + b )
1
E ( X ) = (a + b ) oder
2
2
(
1
b − a )2
2
(b − a ) oder
Var ( X ) =
12
12
X ~ N (µ , σ 2 ) , dann ist eine stetige ZV normalvert eilt
f
F
X
X
1
(x ) =
( x − µ )2
2σ 2
2 πσ
x
1
−∞
2 πσ
(x ) =
E(X ) = µ
−
∫
−
( x − µ )2
2σ 2
Var ( X ) = σ 2
f (µ − x ) = f (µ + x ) , d .h. Dichte ist symmetrisch
Median → ( X ) = µ
arg max f ( x ) = µ
Modalwert → ( X ) = µ
Wendestellen von f → x1 = (µ − σ ) ∧ x2 = (µ + σ )
Statistik - Ferit Demir
Seite
10
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Z ~ N (0 , 1) , d.h. Z ist standardnormalverteilt
Standardisierung
(
X ~ µ ,σ 2
)
dann ist die Standardis ierung von x
Dichtefunktion:
Verteilungsfunktion:
Eigenschaften
1
(
σ
− x
1
ϕ 2
2πσ
ϕ (x ) =
Φ (x ) =
x−µ
Z=
gegeben durch :
x
∫ ϕ (t ) dt
−∞
2
→ tabelliert
)
dann
→ F ( x ) = P( X ≤ x )
X ~ µ , σ 2 


 X −µ x−µ
x−µ
x−µ
 ⇔ P Z ≤
⇔ P
≤
 ⇔ Φ

σ3
σ 
σ 
 12
 σ 



 Z ~ N (0,1)

Φ(− x ) = 1 − Φ( x )
(
X 1 ~ N µ1 , σ 1
2
)
→ tabelliert
;
(
X 2 ~ N µ2 , σ 2
2
)
X 1 , X 2 sind unabhängig, dann gilt :
Unabhängigkeit



2
2
X 1 + X 2 ~ N  µ1 − µ 2 , σ 1 + σ 2 
424
3
1424
3
 1
Erwartungs
wert
Varianz
∑
∑

zentraler Grenzwertsatz
X 1 , X 2 ,...Folge unabhängig, identisch
verteilter ZV mit gl . Erw. µ mit gl . Var. σ
X ~ Bin(n, p ) dann gilt : ↓
2

1


xi − µ
∑


Fo lg erung
lim P  n

→
≤ x  = Φ( x ) 
2
n→∞
↓
σ


↓


n


Diese Approximation ist
akzeptabel, wenn folgende
Faustregeln gelten:
Statistik - Ferit Demir
 x − n⋅ p

lim P 
≤ x  = Φ( x )
n→∞
 n ⋅ p(1 − p )

n ≥ 30

wenn das gilt dann kann man

Binominalverteilung zu
n ⋅ p ≥ 10

n (1 − p ) ≥ 10  Standardnormalverteiltung approximieren
Seite
11
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K O N F I D E N Z I N T E R V A L L E
Punktschätzung
Schätzfunktion
θ̂ = g ( x1 ,K, xn ) für den unbekannten Parameter
x1,…xn StiPro aus GG mit unbekanntem Erwartungswert µ . Dann gilt:
Eigenschaften
→ Eine Schätzfunktion θˆ heißt erwartungstreu
()
(unverzerrt) für θ , wenn gilt: E θˆ = θ
Erwartungstreue Æ
→ Die Verzerrung (Bias) einer Schätzfunktion θˆ
() ()
ist definiert durch Bias θˆ = E θˆ − θ
→ Eine erwartungstreue Schätzung hat Bias 0 (null).
Eine erwartungstreue Schätzfunktion trifft im Mittel den
unbekannten Parameter Æ jedes gewogene arithmetische
Mittel ist eine erwartungstreue Schätzung
θˆ1 ,θˆ2 erwartungstreue Schätzfunktion für θ .
Effizienz Æ
θˆ1 heißt
( 1 ) < Var (θˆ2 )
effizienter (wirksamer) als θˆ2 wenn : Var θˆ
→ µˆ = x : effizienteste Schätzfunktion : x ist BLUE für µ
θˆ Schätzfunktion für θ . θˆ heißt Konsistent , wenn
Konsistenz Æ
(
)
lim P θˆ − θ > E = 0
n→∞
()
lim E θˆ = θ
n→∞
( x ist Konsistent für µ )
()
lim Var θˆ = 0
und

→
n→∞
x1,…xn StiPro aus GG mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ2 . Dann gilt:
Vorsicht:
1
2
Schätzfunktion σˆ 2 = S 2 =
empirische Varianz
xi − x
ist nicht
n−1
erwartungstreu!
1
einfacher: σˆ 2 = S 2 =
xi 2 − n ⋅ x 2
σ2 aber schon !
n−1
∑(
)
(∑
)
Konfidenzintervalle
1. Konfidenzniveau festlegen (Irrtums - W' keit) → α
2. Fraktil aus zugehöriger Verteilung ausrechnen → c
Konstruktionsprinzip für alle
behandelten Konfidenzintervalle
Æ in 5 Schritten
3. Schätzer berechnen → x
4.
c ⋅σ
berechnen
n
[
5. Konfindenzintervall aufstellen → KI = V ;V
Statistik - Ferit Demir
Seite
12
u
o
]
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Konfidenzintervall für µ bei normalverteilter GG und bekannter Varianz
KI mit unbekanntem
Erwartungswert und
bekannter Varianz
mit Erwartungswert µ und Varianz σ
 σ 2  dann
 → n ⋅ x − µ ~ N (0,1)
X ~ N  µ ,
n 
σ

c ⋅σ

PX −
n

≤µ≤
X+
c ⋅σ

KI (µ ) =  X −
n

Fraktil
2
c =U
α
1−
2
c ⋅σ
n

 = 1−α

≤µ≤
X+
c ⋅σ 

n 
 α
=  1 −  - Fraktil der N (0,1) − Verteilung
2

Konfidenzintervall für µ bei normalverteilter GG und unbekannter Varianz
KI mit unbekanntem
Erwartungswert und
unbekannter Varianz
n⋅
x−µ
entsprechende
~ t (n−1) → t − Verteilung
S
Verteilung
σ 2 = kann erwartungstreu geschätzt werden → S
c⋅S

KI (µ ) =  X −
n

Standardabweichung
≤µ≤
X+
c⋅S

n 
1
(xi − x )2
∑
n−1
 α
=  1 −  - Fraktil der t
c=t
(n − 1)  2 
(n − 1) − Verteilung
S = S2 =
Fraktil
approximatives Konfidenzintervall für unbekannte Anteile Æ StiPro aus dichotomer GG
KI mit unbekanntem Anteil
c ⋅ σˆ

KI ( p ) =  X −
n

KI für den unbekannten Anteil p p =
Für jede
Stichprobenvariable
aus GG gilt:
Eigenschaften
c ⋅ σˆ 

n 
Grundgesamtheit
1 , Element hat Eigenschaft A
Xi = 
0 , sonst
X i ~ Bin (1, p ) → E ( X ) = p
Schätzer
c =U
α
1−
2
Var ( X i ) = p ⋅ (1 − p )
σˆ = X ⋅ (1 − X )
1442443
Standardab weichung
der N (0,1) − Verteilung
 α
=  1 −  - Fraktil 
2

standardisiert, approximiert
Länge und Größe
L = Vo − Vu
Statistik - Ferit Demir
X+
Element hat Eigenschaft A
pˆ = x ,
123
Fraktil
≤µ≤
c ⋅σ
= 2⋅
n
Seite
13
c ⋅σ 

⇔ n = 2⋅

L 

2
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S T A T I S T I S C H E
T E S T S
Begriffe
Statistischer Test
Prüfgröße (V)
Vermutungen
Ablehnbereich
Verwerfungsbereich
folgende Situationen möglich:
Irrtümlich Ablehnung der NH
Irrtümlich Annahme der NH
Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese anhand der StiPro
ZV zur Überprüfung der Nullhypothese H0 bei einem statist. Test
H0=Nullhypothese H1=Alternative
B ⊂ R = Menge mit der Eigenschaft
{V ∈ B ⇒ H
0
verwerfen
}
ablehnen | H0 wahr )
P(Fehler 1. Art)=P(H0
P(Fehler 2. Art)=P(H0 nicht ablehnen | H0 falsch)
1. Testproblem formulieren a H vs. H
0
Konstruktionsprinzip für alle
behandelten statistischen Tests
Æ in 5 Schritten
1
2. Signifikanzniveau bestimmen → α
3. Teststatistik berechnen → V = ?
4. Verwerfungsbereich bestimmen → Ablehnregel
5. Testentscheidung treffen → V ∈ B od. V ∉ B
Test auf µ bei bekannter Varianz (Gauß-Test)
Test mit unbekanntem
Erwartungswert und
bekannter Varianz
Entscheidungsregeln
für das Testproblem
mit Verwerfungsbereich
Punkte (1+2)
einseitiger Test
Punkt (3)
zweiseitiger Test
→ Erwartungswert µ und → Varianz σ
V = n⋅
X −µ
σ
2
H0
~ N (0,1)
1. H 0 : µ ≥ µ 0
vs. H 1 : µ < µ 0
2. H 0 : µ ≤ µ 0
vs. H 1 : µ > µ 0
3. H 0 : µ = µ 0
vs. H 1 : µ ≠ µ 0
H 0 ablehnen falls a V ∈ (− ∞ ; − U 1−α )
H 0 ablehnen falls a V ∈ (U 1−α ; ∞ )
H 0 ablehnen falls a V ∈ (− ∞ ;−U 1−α / 2 ) ∪ (U 1−α / 2 ; ∞ )
Test auf µ bei unbekannter Varianz (t-Test)
Test mit unbekanntem
Erwartungswert und
bekannter Varianz
Standardabweichung
Entscheidungsregeln
für das Testproblem
mit Verwerfungsbereich
Ho verwerfen fallsÆ
(Rest siehe oben)
Statistik - Ferit Demir
→ Erwartungswert µ und → Varianz σ
V = n⋅
2
X − µ H0
~ t (n−1)
S
S = S2 =
1
(xi − x )2
∑
n−1
(
)
2. a V ∈ (t (n−1) ; 1 − α ; ∞ )
1. a V ∈ − ∞ ; − t (n−1) ; 1 − α
α 
α


3. a V ∈  − ∞ ;−t (n−1) ; 1 −  ∪  t (n−1) ;1 − ; ∞ 
2 
2


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14
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Tests auf unbekannte Anteile
unter Verwendung des zentralen Grenzwertsatzes
Faustregeln beachten
(Seite 11 unten)
Stichprobenvariable aus
dichotomer GG mit
unbekanntem Anteil p
Eigenschaften
V = n⋅
H0
X−p
~ approx. N (0,1)
p ⋅ (1 − p )
1 , Element hat Eigenschaft
Xi = 
0 , sonst
X i ~ Bin (1, p ) → E( X i ) = p
Var( X i ) = p ⋅ (1 − p )
E( X i ) = p
⇒ pˆ = x ,
123
Var( X i ) =
Schätzer
Entscheidungsregeln
für das Testproblem
mit Verwerfungsbereich
identisch wie bei Test auf µ bei
bekannter Varianz
1. H 0 : p ≥ p0
vs. H 1 : p < p0
2. H 0 : p ≤ p0
vs. H 1 : p > p0
3. H 0 : p = p0
vs. H 1 : p ≠ p0
p ⋅ (1 − p )
n
H 0 ablehnen falls a V ∈ (− ∞ ; − U 1−α )
H 0 ablehnen falls a V ∈ (U 1−α ; ∞ )
H 0 ablehnen falls a V ∈ (− ∞ ;−U 1−α / 2 ) ∪ (U 1−α / 2 ; ∞ )
X2 – Anpassungstest (Chi-Quadrat)
Anpassungstest
X 1 ,K, X n StiPro aus GG mit K möglichen Realisation
(
i
K
(hi − n ⋅ pi )2
i =1
n ⋅ pi
V =∑
Begriffe
)
x1 ,.., xn und P X = x = p i = 1,K , K. Dann gilt für V :
i
i
~ approx.χ 2 (K −1)
H0
K = mögliche Realisatio n
hi = beobachtet e Anzahl → Datenreihe
Entscheidungsregeln
für das Testproblem
mit Verwerfungsbereich
Anmerkung
n ⋅ p i = erwartete Anzahl → p i = W ' keit
H 0 : pi = P (X j = xi ) , i = 1,K, K vs. H 1 : ¬ H 0
H 0 ablehnen falls a V ∈ ( χ 2 (K −1) ; 1 − α ; ∞
)
V ist approximativ χ 2 − Verteilt
Die Anpassung ist umso besser , je größer n ⋅ p ist.
i
Statistik - Ferit Demir
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X2 – Unabhängigkeitstest (Chi-Quadrat)
- S K R I P T E N D E Dies ist kein offizielles Skript und erhebt somit keinen
Anspruch auf Vollständigkeit und Richtigkeit.
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Mit freundlichen Grüßen
Ferit Demir
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