Musterlösung zu Aufgabe 26 a) Beh.: Es gilt (v 1,v2,v3)Q = (w 1,w2,w3)

Musterlösung zu Aufgabe 26
a) Beh.: Es gilt hv1 , v2 , v3 iQ = hw1 , w2 , w3 iQ .
Beweis:
Zu zeigen ist
i) hv1 , v2 , v3 iQ ⊆ hw1 , w2 , w3 iQ
ii) hv1 , v2 , v3 iQ ⊇ hw1 , w2 , w3 iQ
zu ii):
Diese Aussage ist nach Voraussetzung bereits erfüllt, da sich jedes Element aus
hw1 , w2 , w3 iQ als Linearkombination der Erzeugenden von hv1 , v2 , v3 iQ darstellen
lässt.
zu i):
Nach einigem Umformen der Ausgangsgleichungen ergibt sich:
1
1
1
v1 = − w1 + w2 + w3 ,
3
3
3
2
7
1
v2 = − w1 − w2 + w3 ,
3
3
3
1
5
2
v3 = w1 + w2 − w3 .
3
3
3
Alle Koeffizienten sind rationale Zahlen. Mit dem gleichen Schluss wie bei ii)
ergibt sich also auch diese Behauptung.
Da i) und ii) gelten, gilt auch
hv1 , v2 , v3 iQ = hw1 , w2 , w3 iQ .
b) Beh.: dimQ hw1 , w2 , w3 iQ = 3, falls (v1 , v2 , v3 ) linear unabhängig sind.
Beweis:
Da (v1 , v2 , v3 ) linear unabhängig sind, gilt nach 6.25 und 6.19:
dimQ hv1 , v2 , v3 iQ = 3 .
Nach Aufgabe 26 a) gilt mit hv1 , v2 , v3 iQ = hw1 , w2 , w3 iQ auch, dass die Dimensionen gleich sind.
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