Serie 5

Dr. Vladimir Lazić
Dr. Robert Kucharczyk
Mathematisches Institut
Universität Bonn
Übungen zur Vorlesung
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE UND TOPOLOGIE
Sommersemester 2015
Serie 5
Abgabe bis Mittwoch, 13. Mai 2015.
Aufgabe 1 (10 = 2 + 2 + 3 + 3 Punkte). Eine topologische Gruppe ist eine Menge G
zusammen mit einer Gruppenstruktur · : G × G → G und einer Topologie T ⊆ P(G)
derart, dass die Abbildungen
G × G → G,
(g, h) 7→ gh
und
G → G,
g 7→ g −1
stetig sind (hierbei trägt G × G die Produkttopologie). Zeigen Sie:
(a) GL(n, R) ist mit der Topologie, die von der Einbettung GL(n, R) ⊂ Mat(n×n, R) '
2
Rn (Isomorphismus von Vektorräumen) herrührt, eine topologische Gruppe.
(b) Wenn G eine topologische Gruppe ist und H ⊆ G eine offene Untergruppe ist
(d.h. eine Untergruppe, die gleichzeitig eine offene Teilmenge ist), dann ist H auch
abgeschlossen.
(c) Es sei G eine topologische Gruppe und G+ ⊆ G diejenige Wegzusammenhangskomponente von G, die das neutrale Element e ∈ G enthält. Dann ist G+ eine
Untergruppe von G.
(d) Es gilt GL(2, R)+ = {g ∈ GL(2, R) | det g > 0}.
Aufgabe 2 (10 = 2+3+3+2 Punkte). Es sei G eine topologische Gruppe (vgl. Aufgabe 1)
mit neutralem Element e.
(a) Für Schleifen γ1 , γ2 : S 1 → G sei γ1 ∗ γ2 : S 1 → G definiert durch (γ1 ∗ γ2 )(t) =
γ1 (t) · γ2 (t). Zeigen Sie, dass dies eine wohldefinierte Verknüpfung
∗ : π1 (G, e) × π1 (G, e) → π1 (G, e)
definiert.
(b) Zeigen Sie, dass ∗ eine Gruppenstruktur auf π1 (G, e) definiert. — Zur Unterscheidung wollen wir die übliche (d.h. die für alle topologischen Räume definierte und
von der Aneinanderhängung von Schleifen herkommende) Gruppenstruktur mit ·
bezeichnen. Zeigen Sie ebenfalls, dass das neutrale Element für · und das für ∗
übereinstimmen.
(c) Zeigen Sie, dass
(α · β) ∗ (γ · δ) = (α ∗ γ) · (β ∗ δ)
für alle α, β, γ, δ ∈ π1 (G, e) gilt.
(d) Schließen Sie, dass π1 (G, e) eine abelsche Gruppe ist.
Aufgabe 3 (10 = 2 + 3 + 2 + 3 Punkte). (a) Es sei X ein topologischer Raum und
Y ⊆ X. Eine Retraktion von X auf Y ist eine stetige Abbildung r : X → Y mit
r(y) = y für alle y ∈ Y . Zeigen Sie: Wenn r : X → Y eine Retraktion ist und y ∈ Y ,
dann ist die Abbildung r∗ : π1 (X, y) → π1 (Y, y) surjektiv.
(b) Finden Sie eine Retraktion r : X → Y , bei der Y aus mehr als einem Punkt besteht und für die die induzierte Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen nicht
injektiv ist.
(c) Es sei wieder X ein topologischer Raum und Y ⊆ X. Eine schwache Deformationsretraktion von X auf Y ist eine Retraktion r : X → Y , die (aufgefasst als
stetige Abbildung X → X) homotop zur Identität idX : X → X ist. Zeigen Sie:
Wenn r : X → Y eine schwache Deformationsretraktion ist und y ∈ Y , dann ist die
induzierte Abbildung r∗ : π1 (X, y) → π1 (Y, y) ein Isomorphismus.
(d) Es sei X = S 1 ∪ {(x, y) | x ∈ R, y = ±1}. Zeigen Sie, dass π1 (X, (0, 1)) ' Z
gilt. Hinweis: Finden Sie eine geeignete Teilmenge Y ⊂ X, für die eine schwache
Deformationsretraktion X → Y existiert.
Aufgabe 4 (10 = 2 + 3 + 3 + 2 Punkte). In dieser Aufgabe können Sie den Brouwer’schen
Fixpunktsatz (in Dimensionen n ≤ 2) beweisen: Jede stetige Abbildung f : Dn → Dn hat
einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein x ∈ D2 mit f (x) = x.
(a) Zeigen Sie den Brouwer’schen Fixpunktsatz für n = 1.
(b) Nehmen Sie an, dass f : D2 → D2 eine stetige Abbildung derart ist, dass f (x) 6= x
für alle x ∈ D2 gilt. Zeigen Sie, dass es dann genau ein y ∈ S 1 gibt, das auf der
durch x und f (x) laufenden Geraden liegt, und dort näher an x als an f (x). Setzen
Sie g(x) = y.
(c) Zeigen Sie, dass die so definierte Abbildung g : D2 → S 1 eine Retraktion ist.
(d) Folgern Sie hieraus einen Widerspruch.
Anmerkung. Die Aussage gilt für alle n ∈ N.
Zusatzaufgabe 5 (10 = 5 + 3 + 2 Punkte). Betrachten Sie die folgenden drei Untergruppen von SL(2, R):
(
!
)
cos α − sin α K = SO(2) =
α ∈ R ,
sin α cos α (
A=
λ 0
0 λ−1
!
λ
)
×
∈R
(
,
N=
!
)
1 t t ∈ R .
0 1 (a) Zeigen Sie, dass die Abbildung K × A × N → SL(2, R), (k, a, n) 7→ kan ein
Homöomorphismus, aber kein Gruppenisomorphismus ist.
(b) Schließen Sie, dass π1 (SL(2, R), 1) isomorph zu Z ist.
(c) Schließen Sie, dass π1 (GL(2, R), 1) ebenfalls isomorph zu Z ist.
Anmerkung. Es sei g ∈ SL(2, R); nach Aufgabenteil (i) können wir dann g als Produkt
g = kan schreiben. Diese Produktzerlegung heißt Iwasawa-Zerlegung.