Lösungsskizze zu Übungsblatt 4 - Hu

Lösungsskizze zu Übungsblatt 4
(Fehler und Irrtümer vorbehalten)
Aufgabe 1.
1(a). Individuelle Nachfrage ergibt sich als Tangentialpunkt
der Indifferenzkurven mit der Budgetgerade. Erhöht sich
das Einkommen, verschiebt sich die Budgetgerade parallel
nach außen. Ist zum Beispiel Gut 1 inferior, so muss der
Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der neun
Budgetgerade links von dem ursprünglich optimalen Punkt
liegen: x1 sinkt, wenn m steigt.
x2
B
A
( Vgl. Abbildung 1. A bezeichnet hier das ursprünglich (bei
Preisen p1, p2 und Einkommen m) und B das neue (bei
Preisen p1, p2 und Einkommen m’>m) optimale
Konsumbündel. Der Verbrauch von Gut 1 sinkt von x1A auf
x1B.)
1(b). Für Giffen-Güter gilt: die Nachfrage erhöht sich bei
steigenden Preisen. Nehmen wir an, Gut 1 ist ein GiffenGut. Steigt p1, dreht sich die Budgetgerade nach innen.
Der Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der neun
Budgetgerade muss rechts von dem ursprünglich
optimalen Punkt liegen: x1 erhöht sich, wenn p1 steigt.
( Vgl. Abbildung 2. A bezeichnet hier das ursprünglich (bei
Preisen p1, p2 und Einkommen m) und B das neue (bei
Preisen p1’>p1, p2 und Einkommen m) optimale
Konsumbündel. Der Verbrauch von Gut 1 steigt von x1A auf
x1B.)
Abbildung 1
x1
x1A m/p1
x 1B
x2
m'/p1
Abbildung 2
A
B
x1
x 1A
x 1B
m/p1' m/p1
1(c). Normale Giffengüter sind nicht möglich! ( Merken Sie sich die folgende Regel: Ist ein Gut für
einen Konsumenten ein Giffen-Gut, so ist es für ihn auch inferior! Die umgekehrte Aussage gilt
aber nicht, denn die inferioren Güter können, müssen aber nicht Giffen-Güter sein! Beachten Sie,
allerdings: im allgemeinen Fall mit der Anfangsausstattung gilt diese Aussage nur für einen NettoKäufer, d.h. einen Konsumenten, der mehr von dem Gut nachfragt, als er davon bereits besitzt.)
Sei A das ursprünglich ( bei Preisen p1, p2 und
Einkommen m) optimale Konsumbündel: u.a.
verbraucht der Konsument die Menge x1A von Gut 1.
Vgl. Abbildung 3.1( Zustand A).
Abbildung 3.1
x2
(Zustand A)
A
Angenommen, der Preis p1 steigt auf p1'. Wenn Gut 1
ein Giffen-Gut ist, liegt das neue optimale
Konsumbündel B rechts von A, so daß x1B> x1A. Die
schraffierte Fläche gibt die neue Budgetmenge wieder.
Vgl. Abbildung 3.2( Zustand B).
x1
x 1A
m/p1
x2
x2
Abbildung 3.2
Abbildung 3.3
(Zustand B)
A
A
B
B
x1
x1
x1
x1A x1B m/p1'
A
m'/p1
Konstruiere nun eine (Hilfs-)Budgetgerade, die durch Punkt B parallel zu der ursprünglichen
Budgetgerade ( Zustand A) verläuft. Vgl. Abbildung 3.3. Die Preise sind (wie am Anfang) p1 und
p2. Das Einkommen ist aber ein anderes: m' < m. Es stellt sicher, daß das Konsumbündel B bei
ursprünglichen Preisen gerade noch finanziert werden kann. Wo liegt nun das optimale
Konsumbündel? Wenn unser Konsument sich konsistent (rational) verhält, darf er nur
Konsumbündel wählen, die auf der konstruierten Budgetgerade rechts von Punkt B liegen, denn
alle Punkte links davon waren bereits im Zustand B in seiner Budgetmenge (schraffierte Fläche),
und Punkt B wurde ihnen vorgezogen.
Damit haben wir gezeigt, dass Gut 1, wenn es ein Giffen-Gut ist, zugleich ein inferiores Gut sein
muss! Das impliziert natürlich, dass es keine normalen Giffen-Güter geben kann.
2.
Definition: Betrachten wir zwei Güter: Gut 1 und Gut 2. Wenn bei steigendem Preis für das Gut 2
die Nachfrage nach Gut 1 sinkt, dann ist Gut 1 ein Brutto-Komplement zu Gut 2. Für zwei
gewöhnliche Komplementärgüter ist diese Definition unmittelbar einleuchtend: steigt der Preis
eines der Komplemente, geht der Konsum beider Güter zurück. In diesem Fall spricht man auch
von Netto-Komplementen. In unserem Fall mit einem Giffen-Gut ist der Zusammenhang ein wenig
anders: steigt der Preis eines der Güter, wird es mehr nachgefragt, der Verbrauch seines
Komplementen geht aber zurück. Man spricht in diesem Fall (nur) von Brutto-Komplementen.
Graphisch
Zur Erinnerung: individuelle Nachfrage ergibt sich als Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit
der Budgetgerade. Steigt p1, dreht sich die Budgetgerade nach innen. Der Tangentialpunkt der
Indifferenzkurven mit der neun Budgetgerade muss rechts von dem ursprünglich optimalen Punkt
liegen, wenn Gut 1 ein Giffen-Gut ist ( x1 erhöht sich, wenn p1 steigt). Offensichtlich liegt das neue
optimale Konsumbündel aber auch unter dem ursprünglichen Tangentialpunkt( vgl. Punkte A und
B auf der Abbildung 2 oben). Die Nachfrage nach Gut 2 sinkt also, wenn p1 steigt. Folglich ist Gut
2 ein (Brutto)Komplement zu Gut 1.
Mathematisch
i)
setze Nachfragefunktionen für Gut 1 und Gut 2 in die Budgetgleichung ein:
m = p1Â[1( p1, p2, m) + p2Â[2( p1, p2, m)
ii)
Differenziere diese Gleichung nach p1:
∂
∂
0 = x1 ( p1 , p2 , m ) + p1
x1 ( p1 , p 2 , m ) + p2
x2 ( p1 , p2 , m )
∂p1
∂p1
>0
>0
?
Da Gut 1 ein Giffen-Gut ist, ist die Ableitung ∂x1( p1, p2, m)/∂p1 positiv( d.h. wenn p1 steigt,
erhöht sich auch die Nachfrage nach Gut 1). Damit aber die rechte Seite der Gleichung
oben sich zu Null addiert, muss die Ableitung ∂x2( p1, p2, m)/∂p1 negativ sein. Aber das
bedeutet ja, dass Gut 2 ein Komplement zu Gut 1 ist.
Aufgabe 2.
1) Bestimmung der Nachfragefunktionen:
Ohne staatliche Eingriffe ist die Budgetgleichung des Konsumenten durch
m = p1Â[1 + p2⋅x2
gegeben. Die Grenzrate der Substitution bestimmt man als
MRS = -MU1/MU2 = -2Â[1Â[2 / x1² = -2 x2 / x1.
Aus der Tangentialbedingung MRS = (-p1/p2) folgt dann, dass
x1* = 2x2*⋅p2/p1
Einsetzen in die Budgetgleichung liefert:
m = p1Â[2*⋅p2/p1 + p2⋅x2* ⇔ m = 3p2⋅x2* ⇔ x2( m, p1, p2) =
m
und
3 p2
der für den Konsumenten optimale Lebensmittelverbrauch ist gleich
x1( m, p1, p2) =
-
2m
3 p1
2
>0, sind Lebensmittel für den Konsumenten ein normales (kein
3 p1
Da ∂x1( m, p1, p2)/∂m =
inferiores) Gut.
-
Da ∂x1( m, p1, p2)/∂p1 = -
2m
<0, sind Lebensmittel für den Konsumenten ein gewöhnliches (
3 p12
kein Giffen-) Gut.
Für m = 150, p1 = 2 und p2 = 1 gilt:
x1* = x1(150, 2, 1) =
2 ⋅ 150
150
= 50 und x2* = x2(150, 2, 1) =
= 50
3⋅ 2
3
2) Bei Verwendung von Coupons zum Lebensmittel-Kauf sinkt der effektive Preis für Gut 1. Der
subventionierte Preis beträgt p1S = 1¼)UP S1S = 1 und p2 = 1 gilt:
x1C = x1(150, 1, 1) =
2 ⋅ 150
150
= 50.
= 100 und x2C = x2(150, 1, 1) =
3 ⋅1
3 ⋅1
Der Subventionsbetrag beträgt S* = (p1 – p1S)Â[1* = (2 – 1)⋅100 = 100 ¼
3) Der Schwarzmarktpreis eines Coupons beträgt 2¼ 9HUNDXIW GHU .RQVXPHQW DOOH VHLQH
Coupons, erhöht sich sein Einkommen um 100¼¼(UO|VDXVGHP9HUNDXIGHU&RXSRQVDXI
dem Schwarzmarkt minus 100¼.RVWHQEHLP.DXIGHU&RXSRQVEHLP6WDDWDXILQVJHVDPWPS =
250¼'LH/HEHQVPLWWHONDXIWQXQXQVHU.RQVXPHQW]XPQRUPDOHQ0DUNWSUHLVYRQ¼
Für mS = 250, p1 = 2 und p2 = 1 gilt:
x1S = x1(250, 2, 1) =
2 ⋅ 250
250
= 250/3 und x2S = x2(250, 2, 1) =
= 250/3
3⋅ 2
3 ⋅1
4) Bei dem alternativen Transfer-Programm erhöht sich das Budget des Konsumenten pauschal
um S* = 100¼DXIPT = 250¼'HU3UHLVIU/HEHQVPLWWHOEOHLEWGDJHJHQXQYHUlQGHUW
Für mT = 250, p1 = 2 und p2 = 1 gilt:
x1T = x1(250, 2, 1) =
2 ⋅ 250
250
= 250/3 und x2T = x2(250, 2, 1) =
= 250/3
3⋅ 2
3 ⋅1
Der optimale Haushaltsplan ist nun ( 250/3, 250/3 ).
Um die Frage nach dem aus der Sicht des Konsumenten besseren Subventionsprogramm
beantworten zu können, vergleichen wir den Nutzen des Konsumenten beim Coupon-Programm
(ohne Schwarzmarkt!) und beim alternativen Programm mit Pauschal-Transfer. Dafür setzen wir
die jeweils optimalen Werte für x1 und x2 in die Nutzenfunktion ein:
U(100, 50) = 100²Â ≈ 250²/9 8
Fazit: Der Konsument würde das Pauschal-Transfer-Programm bevorzugen!
Aufgabe 3.
Nehmen wir an, der Konsument entscheidet bei gegebenem Einkommen m über den Konsum von
Gut 1 ( x1) und Gut 2 (x2). Die Preise der Güter seien p1 bzw. p2. Sei A = (x1*, x2*) das ursprünglich
optimale Konsumbündel. Für diesen Punkt auf der Budgetgerade gilt: MRS = -p1/p2.
Angenommen, die Regierung erhebt eine Mengensteuer auf Gut 2 in Höhe von t. Unter der
Annahme, dass die Steuer vollständig auf die Konsumenten überwälzt wird, entspricht sie aus der
Sicht der Konsumenten einer Preiserhöhung für das Gut 2 um t Geldeinheiten. Die Steigung der
neuen Budgetgerade beträgt -p1/(p2+t). Für das neue optimale Konsumbündel B = (x1’, x2’) gilt
also MRS = -p1/(p2+t). Der Steuerertrag beträgt t⋅x2’.
Wird die Mengensteuer durch eine Pauschalsteuer mit dem gleichen Ertrag ersetzt, wird die neue
Budgetgerade durch die folgende Gleichung beschrieben:
m – t⋅x2’ = p1x1 + p2x2
Offensichtlich liegt B auch auf dieser Budgetgerade: der Konsument kann sich B immer noch
leisten! Konsumbündel B ist bei einer Pauschalsteuer, allerdings, keine optimale
Konsumentscheidung, weil für diesen Punkt die Bedingung MRS = -p1/p2 nicht erfüllt ist. In B wird
zu wenig von Gut 2 konsumiert, nämlich so, als ob sein Preis noch p2+t wäre. Der
nutzenmaximierende Konsument wählt einen Punkt C, der links oberhalb von B liegt und vorher
nicht erreichbar war. Also muss er auf einer höheren Indifferenzkurve liegen und damit einen
mindestens so hohen oder höheren Nutzen stiften als das Konsumbündel B.
x2
Ursprüngliche Budgetgerade
A: Ursprüngliche Konsumentscheidung, (x1*, x2*)
C: Das optimale Konsumbündel bei einer
Pauschalsteuer
B: Das optimale Konsumbündel
bei einer Mengensteuer auf Gut 2, (x1’, x2’)
x1
Budgetgerade bei einer Mengensteuer auf Gut 2
Budgetgerade bei einer Pauschalsteuer mit dem gleichen
Steueraufkommen wie bei einer Mengensteuer