Mikro II, Lösung AB Weihnachten

Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
Lösung Übungsblatt Weihnachten
Aufgabe 1
Die Unternehmen einer Branche produzieren ein Gut mit der identischen Technologie
Y = F ( K , L) = K 1/ 6 L1/ 3 .
Arbeit und Kapital können frei variiert werden, der Lohnsatz beträgt w = 1 , der Zinssatz
r = 1/ 2 . Bei der Produktion fallen Fixkosten in Höhe von 3/8 an.
a) Berechnen Sie die Kostenfunktion der Firmen. Welche Menge wird im langfristigen Konkurrenzmarktgleichgewicht von jedem Unternehmen angeboten und zu welchem Preis,
wenn neu eintretende Unternehmen nur mit der gleichen Technologie und mit den gleichen Faktorpreisen produzieren können?
GRTS =
1
∂F / ∂L 6 ⋅1⋅ K 1/ 6 L−2 / 3 2 K w
=
=
= =
= 2 => K = L , in Produktionsfunktion
−5 / 6 1/ 3
∂F / ∂K 1⋅ 3 ⋅ K L
L
r 0,5
einsetzen
=> Y = K 1/ 6 K 1/ 3 = K 1/ 2 => K = Y 2 = L , einsetzen in Kostenfunktion C = wL + rK + FK
=> C (Y ) = 1Y 2 + 0,5Y 2 + 3 / 8 = 1,5Y 2 + 3 / 8
Im langfristigen Konkurrenzmarktgleichgewicht produziert jede Firma zu den Grenzkosten und erzielt Nullgewinne
!
=> G = pY − C (Y ) = pY − 1, 5Y 2 − 3 / 8 = 0
=> inverse Angebotsfunktion: p = GK =
∂C
= 3Y , einsetzen in Gewinnfunktion
∂Y
!
=> G = 3Y ⋅ Y − 1,5Y 2 − 3 / 8 = 1,5Y 2 − 3 / 8 = 0 => Y 2 = 1/ 4 => Yˆ = 1/ 2 , einsetzen in inverse Angebotsfunktion
=> pˆ = 3 ⋅
1
= 1,5
2
Im langfristigen Konkurrenzmarktgleichgewicht produziert jedes Unternehmen zum Preis
pˆ = 1,5 die Menge Yˆ = 1/ 2 .
1
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
b) Wie viele Unternehmen sind langfristig im Markt, wenn die Gesamtnachfragefunktion
X D ( p ) = 400 − 100 p ist? Wie hoch ist die Nachfrage nach Kapital und Arbeit je Unternehmen?
Xˆ D = 400 − 100 ⋅1,5 = 250
Xˆ D 250
Nˆ =
=
= 500 ; langfristig sind 500 Unternehmen im Markt
0,5
Yˆ
1
Kˆ = Yˆ 2 = = Lˆ
4
Aufgabe 2
Gegeben seien die Nutzenfunktion u ( x1 , x2 ) = x1 + ln x2 . Ermitteln Sie rechnerisch y = 10 ,
p1 = 1 und p2 = 2 die im Nutzenoptimum nachgefragten Gütermengen, den Einkommensexpansionspfad und die Preiskonsumkurven und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar.
GRS =
1
∂u / ∂x1
p
=
= x2 = 1 , in Budgetgerade p1 x1 + p2 x2 = y einsetzen
∂u / ∂x2 1/ x2
p2
=> p1 x1 + p2
10
p1
y
p 1
= y => x1* = − 1 = − 1 = 9 ; x2* = 1 =
1
p2
p1
p2 2
EX-Pfad: Die Nachfrage nach x2 ist unabhängig vom Einkommen y
=> x2 = 1/ 2 für jedes y => EX-Pfad ist eine Parallele zur x1 -Achse in x2 = 1/ 2
x2
1
2
0
x1
2
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
Preiskonsumkurve bei Variation von p1 :
y
p1
=> p1 = p2 x2 , einsetzen in x1 = − 1
p1
p2
x2 =
=> x1 =
10
10
5
y
−1 =
− 1 => x1 + 1 =
=> x2 =
2 x2
2 x2
p2 x2
x1 + 1
x2
x1
Preiskonsumkurve bei Variation von p2 :
Die Nachfrage nach x1 ist unabhängig von p2 => PKK ist eine Parallele zur x2 -Achse in
x1 =
10
−1 = 9
1
x2
0
x1
9
3
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
Aufgabe 3
Der Nutzen eines Individuums werde durch die Funktion u ( F , c) = Fc beschrieben. Dabei
bezeichnen F und c die vom Individuum konsumierte Menge an Freizeit und Güterkonsum.
Die Zeitausstattung des Individuums betrage F = 12 , der Lohnsatz pro Arbeitsstunde w = 1
und der Preis für eine Einheit Güterkonsum p = 1 . In der folgenden Periode steigt der Lohnsatz auf wˆ = 2 . Berechnen Sie den Einkommens- und Substitutionseffekt und stellen Sie beide grafisch dar. Gehen Sie dabei so vor, dass Sie die Budgetgerade der Ausgangssituation
verschieben.
c
tan α = w = 1
tan αˆ = wˆ = 2
B
SE
C
EE
A
α̂
0
F
F
GRS =
=> p
α
α
∂u / ∂F c w
w
= =
=> c = F , in Budgetgerade pc + wF = wF einsetzen
∂u / ∂c F p
p
w
w
w
F
F
F + wF = wF => F * = , c* = F * =
2p
p
2
p
Ausgangssituation ( w = p = 1, F = 12 ):
FA =
12
1
= 6; c A = ⋅12 = 6; u A = 6 ⋅ 6 = 36
2
2
4
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
Endsituation ( p = 1, wˆ = 2, F = 12 ):
FB =
12
2
= 6; c B = ⋅12 = 12; u B = 6 ⋅12 = 72
2
2
Berechnung der Zeitausstattungskompensation:
ˆ B = wF
ˆ
gedrehte Budgetgerade ( p = 1, wˆ = 2, F = 12 ): pc B + wF
=>
pc B
+ F B = F (I.)
wˆ
alte ( w = p = 1, F = 12 ), durch B verschobene BG:
pc B + wF B = wF + w∆F =>
pc B
+ F B = F + ∆F (II.)
w
1 1
1 1 
(II.)-(I.): pc B  −  = ∆F => ∆F = 1⋅ 12  −  = 6
 w wˆ 
1 2 
=> Punkt C ( p = w = 1, Fkomp = F + ∆F = 18 ):
FC =
18
1
= 9; c C = ⋅18 = 9; u C = 81
2
2
Einkommenseffekt (A->C): F EE = F C − F A = 9 − 6 = 3, c EE = c C − c A = 9 − 6 = 3
Substitutionseffekt (C->B): F SE = F B − F C = 6 − 9 = −3, c SE = c B − cC = 12 − 9 = 3
Gesamteffekt (A->B): F GE = F B − F A = 6 − 6 = 0, c GE = c B − c A = 12 − 6 = 6
Aufgabe 4
Wieso kann eine allgemeine Verbrauchssteuer zu einer Einkommensteuer äquivalent sein?
Da eine allgemeine Verbrauchssteuer ebenso wie eine Einkommensteuer zu einer Parallelverschiebung der Budgetgerade führt, wird mit einem Einkommensteuersatz t in Höhe von
t=
τ
die selbe Wirkung erzielt wie mit einem allgemeinen Verbrauchsteuersatz in Hö(1 + τ )
he von τ .
Wie sieht es in diesem Falle mit den Excess Burdens aus?
5
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
WS 05/06
Da die Wirkung von allgemeiner Verbrauchsteuer und Einkommensteuer die selbe ist, sind
bei Steuersätzen, die die Bedingung t =
τ
erfüllen, die Excess Burdens in beiden Fällen
(1 + τ )
gleich hoch und bei konstantem Einkommen gleich null.
Aufgabe 5
Wie reagiert ein Unternehmen auf eine Erhöhung des Lohnsatzes? Beantworten Sie die Frage
auf Basis der in der Vorlesung behandelten Modelle.
Zwei mögliche Vorgehensweisen:
x wird konstant gehalten:
K
C2 / r
w
r
w!
tan α =
r
tan α =
C1 / r
K **
K*
0
x
**
L
β
L* C2
w!
α
C1
w
L
Aus dem Modell wird ersichtlich, dass bei einer Erhöhung des Lohnsatzes der Output x mit
einer geringeren Menge des Inputs Arbeit (da der Faktor teurer geworden ist) und einer größeren Menge Kapital (da der Faktor relativ billiger geworden ist) als in der Ausgangssituation
produziert wird.
Die Kosten C sollen konstant bleiben:
Wenn die Kosten konstant gehalten werden, sinkt eindeutig die nachgefragte Menge nach
Arbeit (sowohl Einkommenseffekt als auch Sustitutionseffekt sind eindeutig negativ). Der
Effekt auf die nachgefragte Menge nach Kapital ist hingegen nicht eindeutig, da Substitutionseffekt und Einkommenseffekt gegenläufig sind.
6
Prof. Dr. Wolfgang Buchholz
Mikroökonomie II
K
C/r
w
r
w!
tan α =
r
tan α =
K ***
K
x1
x2
0
**
L
β
L* C
w!
α
C
w
L
7
WS 05/06