Lösungsskizze zu Übungsblatt 4 - Hu
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Lösungsskizze zu Übungsblatt 4 (Fehler und Irrtümer vorbehalten) Aufgabe 1. 1(a). Individuelle Nachfrage ergibt sich als Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der Budgetgerade. Erhöht sich das Einkommen, verschiebt sich die Budgetgerade parallel nach außen. Ist zum Beispiel Gut 1 inferior, so muss der Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der neun Budgetgerade links von dem ursprünglich optimalen Punkt liegen: x1 sinkt, wenn m steigt. x2 B A ( Vgl. Abbildung 1. A bezeichnet hier das ursprünglich (bei Preisen p1, p2 und Einkommen m) und B das neue (bei Preisen p1, p2 und Einkommen m’>m) optimale Konsumbündel. Der Verbrauch von Gut 1 sinkt von x1A auf x1B.) 1(b). Für Giffen-Güter gilt: die Nachfrage erhöht sich bei steigenden Preisen. Nehmen wir an, Gut 1 ist ein GiffenGut. Steigt p1, dreht sich die Budgetgerade nach innen. Der Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der neun Budgetgerade muss rechts von dem ursprünglich optimalen Punkt liegen: x1 erhöht sich, wenn p1 steigt. ( Vgl. Abbildung 2. A bezeichnet hier das ursprünglich (bei Preisen p1, p2 und Einkommen m) und B das neue (bei Preisen p1’>p1, p2 und Einkommen m) optimale Konsumbündel. Der Verbrauch von Gut 1 steigt von x1A auf x1B.) Abbildung 1 x1 x1A m/p1 x 1B x2 m'/p1 Abbildung 2 A B x1 x 1A x 1B m/p1' m/p1 1(c). Normale Giffengüter sind nicht möglich! ( Merken Sie sich die folgende Regel: Ist ein Gut für einen Konsumenten ein Giffen-Gut, so ist es für ihn auch inferior! Die umgekehrte Aussage gilt aber nicht, denn die inferioren Güter können, müssen aber nicht Giffen-Güter sein! Beachten Sie, allerdings: im allgemeinen Fall mit der Anfangsausstattung gilt diese Aussage nur für einen NettoKäufer, d.h. einen Konsumenten, der mehr von dem Gut nachfragt, als er davon bereits besitzt.) Sei A das ursprünglich ( bei Preisen p1, p2 und Einkommen m) optimale Konsumbündel: u.a. verbraucht der Konsument die Menge x1A von Gut 1. Vgl. Abbildung 3.1( Zustand A). Abbildung 3.1 x2 (Zustand A) A Angenommen, der Preis p1 steigt auf p1'. Wenn Gut 1 ein Giffen-Gut ist, liegt das neue optimale Konsumbündel B rechts von A, so daß x1B> x1A. Die schraffierte Fläche gibt die neue Budgetmenge wieder. Vgl. Abbildung 3.2( Zustand B). x1 x 1A m/p1 x2 x2 Abbildung 3.2 Abbildung 3.3 (Zustand B) A A B B x1 x1 x1 x1A x1B m/p1' A m'/p1 Konstruiere nun eine (Hilfs-)Budgetgerade, die durch Punkt B parallel zu der ursprünglichen Budgetgerade ( Zustand A) verläuft. Vgl. Abbildung 3.3. Die Preise sind (wie am Anfang) p1 und p2. Das Einkommen ist aber ein anderes: m' < m. Es stellt sicher, daß das Konsumbündel B bei ursprünglichen Preisen gerade noch finanziert werden kann. Wo liegt nun das optimale Konsumbündel? Wenn unser Konsument sich konsistent (rational) verhält, darf er nur Konsumbündel wählen, die auf der konstruierten Budgetgerade rechts von Punkt B liegen, denn alle Punkte links davon waren bereits im Zustand B in seiner Budgetmenge (schraffierte Fläche), und Punkt B wurde ihnen vorgezogen. Damit haben wir gezeigt, dass Gut 1, wenn es ein Giffen-Gut ist, zugleich ein inferiores Gut sein muss! Das impliziert natürlich, dass es keine normalen Giffen-Güter geben kann. 2. Definition: Betrachten wir zwei Güter: Gut 1 und Gut 2. Wenn bei steigendem Preis für das Gut 2 die Nachfrage nach Gut 1 sinkt, dann ist Gut 1 ein Brutto-Komplement zu Gut 2. Für zwei gewöhnliche Komplementärgüter ist diese Definition unmittelbar einleuchtend: steigt der Preis eines der Komplemente, geht der Konsum beider Güter zurück. In diesem Fall spricht man auch von Netto-Komplementen. In unserem Fall mit einem Giffen-Gut ist der Zusammenhang ein wenig anders: steigt der Preis eines der Güter, wird es mehr nachgefragt, der Verbrauch seines Komplementen geht aber zurück. Man spricht in diesem Fall (nur) von Brutto-Komplementen. Graphisch Zur Erinnerung: individuelle Nachfrage ergibt sich als Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der Budgetgerade. Steigt p1, dreht sich die Budgetgerade nach innen. Der Tangentialpunkt der Indifferenzkurven mit der neun Budgetgerade muss rechts von dem ursprünglich optimalen Punkt liegen, wenn Gut 1 ein Giffen-Gut ist ( x1 erhöht sich, wenn p1 steigt). Offensichtlich liegt das neue optimale Konsumbündel aber auch unter dem ursprünglichen Tangentialpunkt( vgl. Punkte A und B auf der Abbildung 2 oben). Die Nachfrage nach Gut 2 sinkt also, wenn p1 steigt. Folglich ist Gut 2 ein (Brutto)Komplement zu Gut 1. Mathematisch i) setze Nachfragefunktionen für Gut 1 und Gut 2 in die Budgetgleichung ein: m = p1Â[1( p1, p2, m) + p2Â[2( p1, p2, m) ii) Differenziere diese Gleichung nach p1: ∂ ∂ 0 = x1 ( p1 , p2 , m ) + p1 x1 ( p1 , p 2 , m ) + p2 x2 ( p1 , p2 , m ) ∂p1 ∂p1 >0 >0 ? Da Gut 1 ein Giffen-Gut ist, ist die Ableitung ∂x1( p1, p2, m)/∂p1 positiv( d.h. wenn p1 steigt, erhöht sich auch die Nachfrage nach Gut 1). Damit aber die rechte Seite der Gleichung oben sich zu Null addiert, muss die Ableitung ∂x2( p1, p2, m)/∂p1 negativ sein. Aber das bedeutet ja, dass Gut 2 ein Komplement zu Gut 1 ist. Aufgabe 2. 1) Bestimmung der Nachfragefunktionen: Ohne staatliche Eingriffe ist die Budgetgleichung des Konsumenten durch m = p1Â[1 + p2⋅x2 gegeben. Die Grenzrate der Substitution bestimmt man als MRS = -MU1/MU2 = -2Â[1Â[2 / x1² = -2 x2 / x1. Aus der Tangentialbedingung MRS = (-p1/p2) folgt dann, dass x1* = 2x2*⋅p2/p1 Einsetzen in die Budgetgleichung liefert: m = p1Â[2*⋅p2/p1 + p2⋅x2* ⇔ m = 3p2⋅x2* ⇔ x2( m, p1, p2) = m und 3 p2 der für den Konsumenten optimale Lebensmittelverbrauch ist gleich x1( m, p1, p2) = - 2m 3 p1 2 >0, sind Lebensmittel für den Konsumenten ein normales (kein 3 p1 Da ∂x1( m, p1, p2)/∂m = inferiores) Gut. - Da ∂x1( m, p1, p2)/∂p1 = - 2m <0, sind Lebensmittel für den Konsumenten ein gewöhnliches ( 3 p12 kein Giffen-) Gut. Für m = 150, p1 = 2 und p2 = 1 gilt: x1* = x1(150, 2, 1) = 2 ⋅ 150 150 = 50 und x2* = x2(150, 2, 1) = = 50 3⋅ 2 3 2) Bei Verwendung von Coupons zum Lebensmittel-Kauf sinkt der effektive Preis für Gut 1. Der subventionierte Preis beträgt p1S = 1¼)UP S1S = 1 und p2 = 1 gilt: x1C = x1(150, 1, 1) = 2 ⋅ 150 150 = 50. = 100 und x2C = x2(150, 1, 1) = 3 ⋅1 3 ⋅1 Der Subventionsbetrag beträgt S* = (p1 – p1S)Â[1* = (2 – 1)⋅100 = 100 ¼ 3) Der Schwarzmarktpreis eines Coupons beträgt 2¼ 9HUNDXIW GHU .RQVXPHQW DOOH VHLQH Coupons, erhöht sich sein Einkommen um 100¼¼(UO|VDXVGHP9HUNDXIGHU&RXSRQVDXI dem Schwarzmarkt minus 100¼.RVWHQEHLP.DXIGHU&RXSRQVEHLP6WDDWDXILQVJHVDPWPS = 250¼'LH/HEHQVPLWWHONDXIWQXQXQVHU.RQVXPHQW]XPQRUPDOHQ0DUNWSUHLVYRQ¼ Für mS = 250, p1 = 2 und p2 = 1 gilt: x1S = x1(250, 2, 1) = 2 ⋅ 250 250 = 250/3 und x2S = x2(250, 2, 1) = = 250/3 3⋅ 2 3 ⋅1 4) Bei dem alternativen Transfer-Programm erhöht sich das Budget des Konsumenten pauschal um S* = 100¼DXIPT = 250¼'HU3UHLVIU/HEHQVPLWWHOEOHLEWGDJHJHQXQYHUlQGHUW Für mT = 250, p1 = 2 und p2 = 1 gilt: x1T = x1(250, 2, 1) = 2 ⋅ 250 250 = 250/3 und x2T = x2(250, 2, 1) = = 250/3 3⋅ 2 3 ⋅1 Der optimale Haushaltsplan ist nun ( 250/3, 250/3 ). Um die Frage nach dem aus der Sicht des Konsumenten besseren Subventionsprogramm beantworten zu können, vergleichen wir den Nutzen des Konsumenten beim Coupon-Programm (ohne Schwarzmarkt!) und beim alternativen Programm mit Pauschal-Transfer. Dafür setzen wir die jeweils optimalen Werte für x1 und x2 in die Nutzenfunktion ein: U(100, 50) = 100²Â ≈ 250²/9 8 Fazit: Der Konsument würde das Pauschal-Transfer-Programm bevorzugen! Aufgabe 3. Nehmen wir an, der Konsument entscheidet bei gegebenem Einkommen m über den Konsum von Gut 1 ( x1) und Gut 2 (x2). Die Preise der Güter seien p1 bzw. p2. Sei A = (x1*, x2*) das ursprünglich optimale Konsumbündel. Für diesen Punkt auf der Budgetgerade gilt: MRS = -p1/p2. Angenommen, die Regierung erhebt eine Mengensteuer auf Gut 2 in Höhe von t. Unter der Annahme, dass die Steuer vollständig auf die Konsumenten überwälzt wird, entspricht sie aus der Sicht der Konsumenten einer Preiserhöhung für das Gut 2 um t Geldeinheiten. Die Steigung der neuen Budgetgerade beträgt -p1/(p2+t). Für das neue optimale Konsumbündel B = (x1’, x2’) gilt also MRS = -p1/(p2+t). Der Steuerertrag beträgt t⋅x2’. Wird die Mengensteuer durch eine Pauschalsteuer mit dem gleichen Ertrag ersetzt, wird die neue Budgetgerade durch die folgende Gleichung beschrieben: m – t⋅x2’ = p1x1 + p2x2 Offensichtlich liegt B auch auf dieser Budgetgerade: der Konsument kann sich B immer noch leisten! Konsumbündel B ist bei einer Pauschalsteuer, allerdings, keine optimale Konsumentscheidung, weil für diesen Punkt die Bedingung MRS = -p1/p2 nicht erfüllt ist. In B wird zu wenig von Gut 2 konsumiert, nämlich so, als ob sein Preis noch p2+t wäre. Der nutzenmaximierende Konsument wählt einen Punkt C, der links oberhalb von B liegt und vorher nicht erreichbar war. Also muss er auf einer höheren Indifferenzkurve liegen und damit einen mindestens so hohen oder höheren Nutzen stiften als das Konsumbündel B. x2 Ursprüngliche Budgetgerade A: Ursprüngliche Konsumentscheidung, (x1*, x2*) C: Das optimale Konsumbündel bei einer Pauschalsteuer B: Das optimale Konsumbündel bei einer Mengensteuer auf Gut 2, (x1’, x2’) x1 Budgetgerade bei einer Mengensteuer auf Gut 2 Budgetgerade bei einer Pauschalsteuer mit dem gleichen Steueraufkommen wie bei einer Mengensteuer
