Kurze Einführung in SPSS 11.5

 Matthias Gabriel
Kurze Einführung in SPSS 11.5
2001
überarbeitet Oktober 2003
1
 Matthias Gabriel
Inhaltsverzeichnis
1 Datenaufbereitung
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
4
Die SPSS-Matrix
Variablen definieren
Variablen verschieben, einfügen
Fälle (Personen) einfügen
Fälle, Variablen löschen
Daten sortieren (sort)
Dateien aufteilen (split)
Fälle auswählen bzw. filtern (select)
Variablen kategorisieren
Zählen...
Variablen umkodieren (recode)
Der Befehl „Berechnen“ (compute)
2 Deskriptive Statistik
4
5
5
5
5
5
6
6
6
7
7
9
10
2.1 Tabellen
2.1.1 einfache Tabellen
2.1.2 Häufigkeitstabellen
2.1.3 allgemeine Tabellen
10
10
10
11
2.2 statistische Kennwerte (deskriptive Statistiken)
2.2.1 Mittelwert, Varianz, Median, Standardabweichung...+ Diagramme
13
13
2.3
14
Diagramme
3
Zusammenhangsmaße – Zusammenhangshypothesen
3.1 Arten von Korrelationen
3.2 Beispiele
16
16
17
4
Die einfache/multiple lineare Regression
4.1 Zweck der Regression:
4.2 Stichworte:
4.3 Theoretisches Beispiel
4.4 Praktisches Beispiel
21
21
21
23
23
5
Unterschiedshypothesen
27
5.1 Vergleich zweier Mittelwerte bzw. zentraler Tendenzen
5.1.1 t-Test (unabhängige Stichproben)
5.1.2 t-Test (abhängige Stichproben)
5.1.3 u-Test (2 unabhängige Stichproben, parameterfrei)
5.1.4 Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (2 abhängige Stichproben, parameterfrei)
27
28
30
33
34
5.2 Vergleich von mehr als zwei Mittelwerten bzw. zentraler Tendenzen
5.2.1 einfache Varianzanalyse (unabhängige Stichproben)
5.2.2 einfache Varianzanalyse (abhängige Stichproben)
35
36
43
2
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6
7
5.2.3 mehrfache Varianzanalyse (unabhängige Stichproben)
5.1.3 Kruskal-Wallis-Test (mehr als 2 unabhängige Stichproben, parameterfrei)
5.1.4 Friedman-Test (mehr als 2 abhängige Stichproben, parameterfrei)
49
56
59
Die Reliabilitätsanalyse
62
6.1 Objektivität
62
6.2 Validität (Gültigkeit)
62
6.3 Reliabilität
6.3.1 Paralleltest-Reliabilität
6.3.2 Retest-Reliabilität (=Stabilität)
6.3.3 Innere Konsistenz
62
62
63
63
Die Faktorenanalyse
7.1 Grundidee
7.2 Stichworte
7.3 Bestimmung der Faktorenanzahl bzw. Abbruchkriterium
7.4 Voraussetzungen der FA
7.5 Probleme der FA
7.6 Berechnung der FA mittels SPSS
68
68
68
69
69
70
70
3
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Legende: Im folgenden Text entsprechen die Wörter zwischen Anführungszeichen den
Befehlen bzw. Menüoptionen im SPSS
z.B: „Berechnen“, „Zählen“, „Umkodieren“...
1 Datenaufbereitung
1.1 Die SPSS-Matrix
Der SPSS Editor ist in eine Datenansicht und eine Variablenansicht geteilt (links unten am
Bildschirm). Zwischen den beiden Ansichten kann beliebig gewechselt werden.
1) Die Datenansicht zeigt die vom Benutzer eingegeben Daten an, wobei die Personen
(Fälle) senkrecht angereiht sind und die Variablen waagrecht.
Jede Person i hat also eine ganze Zeile Zi in der ihre Ausprägungen in allen Variablen
k sichtbar werden.
Jede Variable j hat eine Spalte Sj in der die Ausprägungen aller Personen n in dieser
Variable sichtbar werden.
2) Die Variablenansicht gibt Auskunft über die Definitionen und Merkmale der
einzelnen Variablen Vj, wobei in dieser Ansicht die Variablen senkrecht aufgereiht
sind (jede Zeile = eine Variable) und jedes Merkmal, jede Einstellung dieser Variable
eine Spalte darstellt.
Folgende Einstellungen (jede Spalte ist eine Einstellung) werden angeboten:
a) Name: hier wird der Variablenname eingegeben (max. 8 Zeichen, der Name
muss mit einem Buchstaben beginnen), der in der Datenansicht dann über der
Spalte erscheint und somit die „Überschrift“ der Variable darstellt.
b) Typ: Numerisch (für Zahlen), Währung (für Geld), Datum, String (für
Zeichen, Buchstabenketten, alphanumerische Kombination)...
c) Spaltenformat (benutzerdefiniert je nach Variable)
d) Dezimalstellen
e) Variablenlabel: Der hier eingeschriebene Name der Variable wird beim
Output automatisch verwendet; z.B. bei Tabellen, Diagrammen, Tests...(der
Name aus Punkt a) wird also nicht(!) beim Output verwendet)
f) Wertelabels: Hier kann man Werte einer Variablen definieren (meist bei
nominalskalierten bzw qualitiativen Variablen). z.B: Wert „0“ für „männlich“,
Wert „1“ für „weiblich“ (bei Geschlecht), oder „16-20“ für „jung“ und „21-25“
für „mittel“... (bei Altersklassen).
Erscheint ebenfalls im Output (wie das Variablenlabel).
g) Fehlende Wert: Definition des „missing-Wertes“: Falls Personen in
verschiedenen Zellen, Variablen keine Werte haben, wird diese Zelle nicht
einfach ausgelassen! Der missing-Wert wird eingegeben. (z.B: „-1“ oder „99“ ,
damit er nicht mit anderen Werten leicht vertauscht werden kann). Diese
Eingabe ist ebenfalls wichtig für die Auswertung.
h) Spalten: für Spaltenbreite (benutzerdefiniert je nach Variable)
i) Ausrichtung: wo die Werte in der Zelle angeordnet sein sollen (rechts, links...)
j) Messniveau: Nominal (z.B: Geschlecht, Bildung, Hobby...) Ordinal (=
Rangskala z.B: Noten, Dienstgrad...) Metrisch (= Verhältnisskala z.B: Größe,
Gewicht, Längen und u.a. auch Rohwerte...)
4
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1.2 Variablen definieren
Definition: Die oben genannten Einstellungen (a bis j) für eine Variable modifizieren. Dies
geschieht in der Regel gleich zu Beginn der Dateneingabe.
Beispiel: Variable „Geschlecht“ defineren
a) Name: „Gender“
b) Typ: „numerisch“
c) Spaltenformat: 8
d) Dezimalstellen: 0
e) Variablenlabel: Geschlecht
f) Wertelabels: Wert „0“ hat Wertelabel „männlich“ und Wert „1“ hat Wertelabel
„weiblich“ („hinzufügen“ nicht vergessen!)
g) fehlende Wert „-1“
h) Spalten: 8
i) Ausrichtung: rechts
j) Messniveau: „nominal“
1.3 Variablen verschieben, einfügen
Verschieben: Variable markieren (beim Variablennamen), mit linker Maustaste nochmals
anklicken, Taste halten und dann weiterschieben. Erst wenn richtige Stelle erreicht ist,
Mausknopf loslassen. (eine andere Möglichkeit besteht mit kopieren und einfügen)
Einfügen: In der Datenansicht Variable rechts neben der neu einzufügenden Variable
markieren (beim Variablennamen), dann rechter Mausklick und „Variable einfügen“.
1.4 Fälle (Personen) einfügen
In der Datenansicht die Zeile unter der neu einzufügenden Zeile markieren (bei Fallnummer),
dann rechter Mausklick und „Fälle einfügen“.
1.5 Fälle, Variablen löschen
Zeile bzw. Spalte markieren (wie unter 1.3 bzw. 1.4) und „entfernen“ drücken.
1.6 Daten sortieren (sort)
Definition: Sortiert alle Fälle nach einer bestimmten Variable auf- oder absteigend.
Beispiel: Alle Personen nach Alter aufsteigend sortieren (also vom Jüngsten zum Ältesten)
„Daten“ → „Fälle sortieren“ → In „sortieren nach“ die gewünschte Variable eingeben nach
der sortiert werden soll (hier Alter) → „aufsteigend“ → „ok“
5
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1.7 Dateien aufteilen (split)
Definition: Um den Datensatz (imaginär) in Untergruppen zu teilen, z.B: Frauen und Männer
trennen, nach Altersklassen aufteilen...
Anwendung: z.B. bei der Normalverteilungsprüfung, bei Diagrammen, Tabellen und anderen
deskriptiven Auswertungen
Beispiel: Die Daten bezüglich Geschlecht aufteilen
„Daten“ → „Datei aufteilen“ → „Ausgabe nach Gruppen aufteilen“ anklicken und die
gewünschte split-Variable eingeben (hier Geschlecht) → „ok“
Die Daten werden jetzt für alle Berechnungen immer als gesplittet angesehen,
dementsprechend gibt es auch im Output immer getrennte Ergebnisse.
Nicht vergessen die Aufteilung wieder aufzuheben, falls sie nicht mehr gebraucht wird.
1.8
Fälle auswählen bzw. filtern (select)
Definition: Um nur bestimmte Fälle in die Berechnungen einzubeziehen
1) Fälle nach bestimmten Kriterien auswählen
Beispiel: Es werden nur jene Fälle für die Auswertung benötigt, die älter als 35 Jahre sind.
„Daten“ → „Fälle auswählen“ → „Falls Bedingung zutrifft“ anklicken → „Falls“ →
Bedingungsvariable hinzufügen (hier Alter) und Bedingung festlegen (hier „>35“
dazuschreiben) →“weiter“ → „ok“
2) Zufallsstichprobe
Definition: um aus den Daten eine repräsentative Stichprobe auszuwählen (meist nur für
große Datensätze)
„Daten“ → „Fälle auswählen“ → „Zufallsstichprobe“ anklicken
3) Aufgrund einer Filtervariablen filtern
Beispiel: Daten nach Geschlecht filtern
„Daten“ → „Fälle auswählen“ → „Filtervariable verwenden“ anklicken → gewünschte
Filtervariable hinzufügen (hier Geschlecht) → „nicht ausgewählte Fälle“: „löschen“ oder
(besser) „filtern“ auswählen
Die Daten werden jetzt für alle Berechnungen immer als gefiltert angesehen, daher nicht
vergessen die Filterung wieder aufzuheben, falls sie nicht mehr gebraucht wird.
1.9
Variablen kategorisieren
Definition: Kategorisiert eine gewünschte Variable in k (selbst wählbare) Klassen. Die Wahl
der Klassengrößen erfolgt automatisch!
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Anmerkung: Falls die Klassengrößen selbst definiert werden wollen (besser): siehe unter
1.11 Variablen umkodieren
Beispiel: Das Alter soll in 4 Klassen eingeteilt werden
„Transformieren“ → „Variablen kategorisieren“ → In „Kategorien erstellen für“ gewünschte
Variable hinzufügen (hier Alter) → die „Anzahl der Kategorien“ festlegen (hier 4) → „ok“
Ergebnis: Eine neue Variable (hier nalter) mit 4 Kategorien wird erzeugt.
1.10
Zählen...
Definition: Zählt zeilenweise bestimmte Werte nach benutzerdefiniert aufgestellten Formeln.
Das Ergebnis wird in einer neuen Variablen angegeben.
Dieser Befehl kann sehr hilfreich sein, etwa bei der Frage: „Wie oft hat eine Person bei
bestimmten Items/Variablen bestimmte Werte gewählt?“ oder „Wie oft hat eine Person bei
den 20 Items die Antwortmöglichkeit A gewählt?“
Anwendungsbeispiele:
• Darstellung des Antwortverhaltens der einzelnen Personen
• Häufigkeiten von Werten in Zeilen (also pro Person) zählen
Beispiel: Ein Persönlichkeitsfragebogen mit 10 Fragen, 5 kategorielles Antwortmuster. Wie
oft hat eine Versuchsperson Antwort 1, 2, 3, 4, bzw. 5 angekreuzt?
„Transformieren“ → „Zählen...“ → In „Zielvariable“ den Namen der neuen Variable
eingeben (z.B: „Antw_1“ für Antwortmöglichkeit 1) → In „Label“ den Variablennamen
eingeben (zB: „Häufigkeit Antwort 1“) (siehe auch 1.1) → In „Variablen“ jene Variablen
eingeben, die für den Zählvorgang berücksichtigt werden sollen (hier: Item1 bis Item 10) →
„Werte definieren“ → unter „Wert“ den gewünschten zu zählenden Wert eingeben (hier: „1“)
→ „hinzufügen“ → „weiter“ → „ok“
Ergebnis: Eine neue Variable (hier: „Antw_1“) wird erzeugt in der die Häufigkeiten der
Antwortalternative „1“ in den 10 Items für jede Person dargestellt wird.
→ analog erfolgt die Darstellung der anderen 4 Antwortmöglichkeiten in 4 neuen Variablen.
Im Alert-Fenster „Werte definieren“ besteht auch die Möglichkeit nicht nur konkrete einzelne
Werte, sondern auch Wertbereiche und missing Werte, die zu zählen sind, anzugeben.
1.11
Variablen umkodieren (recode)
Ein sehr wichtiger Befehl.
Anwendungsbeispiele:
• Das Alter in einer neuen Variable in Altersklassen einteilen,
• Die Kodierung einzelner Items umdrehen (bei Rating- Likertskalen), also z.B: die
Werte 1,2,3,4,5 in 5,4,3,2,1 umdrehen.
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•
Bestehende Kodierungen umändern: zB: 4 Schulformkategorien (AHS, HTL, HBLA,
HAK) in 2 umkodieren (AHS und „Andere“), sodass unter „Andere“ HTL, HBLA
und HAK enthalten sind.
Die Umkodierung wird in derselben Variablen durchgeführt, oder (besser) es wird eine neue
Variable mit der neuen Kodierung erzeugt.
Beispiel 1: Das Alter (stetige Variable) in die Altersklassen (qualitativ dreikategorielle
Variable) „15-30“, „31-39“ und „40+“ umkodieren. Dafür soll eine neue Variable erzeugt
werden.
„Transformieren“ → „Umkodieren“ →
„in andere Variablen“
→ gewünschte
umzukodierende Variable hinzufügen (hier Alter) → in „Ausgabevariable“ „Name“ den
Namen der neuen Variablen eingeben (z.B: alter2) und „ändern“(!) drücken → „Label“
einschreiben (z.B: „Alter dreikategoriell“) (siehe auch 1.1) → „alte und neue Werte“ → „alter
Wert“ „Bereich“ anklicken (weil ein Altersbereich angegeben werden muss) → die ersten
Klassengrenzen eingeben (hier: 15 und 30) → unter „neuer Wert“ neuen „Wert“ angeben
(hier: „1“ für 1.Altersklasse) → „hinzufügen“ → analog den zweiten Bereich (31 bis 39)
eingeben und 2 für 2. Altersklasse als neuen Wert → für die letzte (offene!!) Klasse (40+)
„Bereich“ „kleinster Wert bis“ anklicken und „40“ eingeben → als „neuen Wert“ „3“ (für 3.
Klasse) „hinzufügen“ → „weiter“ → „ok“
Ergebnis: am Ende der Datenmatrix in der Datenansicht wird nun die neue Variable
(„alter2“) hinzugefügt, welche die Variable Alter in 3 Klassen einteilt. („1“ für 15-13, „2“ für
31-39 und „3“ für 40 und älter)
Die neue Variable muss noch definiert werden (siehe 1.1)
Beispiel 2: Die Werte des 5 kategoriellen Items 1 sollen umkodiert werden, in einer anderen
Variable; also 5 zu 1, 4 zu 2, 3 zu 3, 2 zu 4 und 1 zu 5.
„Transformieren“ → „Umkodieren“ →
„in andere Variablen“
→ gewünschte
umzukodierende Variable hinzufügen (hier Item1) → in „Ausgabevariable“ „Name“ den
Namen der neuen Variablen eingeben (z.B: Item1_a) und „ändern“(!) drücken → „Label“
einschreiben (z.B: „Item1 umkodiert“) → „alte und neue Werte“ → „alter Wert“ „1“ eingeben
→ „neuer Wert“ „5“ eingeben → “hinzufügen“ → analog für die anderen 4 Werte (2 zu 4; 3
zu 3; 4 zu 2 und 5 zu 1) → „weiter“ → ok“
Ergebnis: am Ende der Datenmatrix wird nun die neue Variable („Item1_a“) mit den
umkodierten Werten hinzugefügt.
Die neue Variable muss noch definiert werden (siehe 1.1)
Automatisch umkodieren
Das obige Beispiel 2 kann auch einfacher gelöst werden mit „automatisch umkodieren“
Fortsetzung Beispiel 2:
„Transformieren“ → „automatisch umkodieren“ → gewünschte umzukodierende Variable
hinzufügen (hier Item1) → in „Neuer Name“ den Namen der neuen Variablen eingeben (z.B:
„Item1_a“) und „Neuer Name“(!) drücken → „Umkodieren beginnen bei „größtem Wert“
wählen → „ok“
Ergebnis: Am Ende der Datenmatrix wird nun die neue Variable („Item1_a“) hinzugefügt
Die neue Variable muss noch definiert werden (siehe 1.1)
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1.12
Der Befehl „Berechnen“ (compute)
Der „Berechnen“-Befehl ist ebenfalls eine sehr hilfreiche Anwendung.
Definition: (zumeist zeilenweise) Berechnung von bestimmten statistischen Kennwerten,
Formeln, deren Ergebnis in einer neuen Variable aufscheint.
Anwendungsbeispiele:
• Welchen Rohscore haben die Personen in den k Items (Variablen) (also eine
zeilenweise Summierung der Werte der k Items für jede Person, in einer neuen
Variablen ausgegeben)
• Welchen Mittelwert, welche Varianz, Standardabweichung... hat jeder Fall in den k
Variablen
• Viele weitere Berechnungen (z.B: Body-Maß-Index, relative Lösungshäufigkeiten,
Summen, Wurzel, Potenzen, Logarithmen, Median, Modalwert...)
Beispiel 1: Welche relative Lösungshäufigkeit weist jede Peson in den 10 Items auf?
„Transformieren“ → „Berechnen“ → In „Zielvariable“ gewünschten Namen der neuen
Variable einschreiben (z.B. relHfgkt) → im Feld „numerischer Ausdruck“ werden alle
gewünschten Berechnungen eingetragen. Dafür muss man einfach die benötigten Variablen
aus der Variablenliste einfügen und mit den erwünschten Rechenoperatoren verknüpfen.
Dieses Beispiel verlangt die Anzahl der gelösten Items (Variable „rohscore“) dividiert durch
die Anzahl aller n Items für jede Zeile:
Man schreibt bzw. fügt ins Berechnungsfeld also folgendes ein:
“rohscore / 10”
→ „ok“
Ergebnis: Eine neue Variable „relHfgkt“ wird nun erzeugt, die für jede Person die relative
Lösungswahrscheinlichkeit angibt.
Berechnen mittels Funktionen
Verschiedene vorprogrammierte Berechnungen (wie Mittelwert, Median, Varianz,
Standardabweichung...) sind den vorprogrammierten Funktionen zu entnehmen. Diese
vereinfachen den Rechenprozess oft wesentlich.
Beispiel 2: Mittelwertsberechnung mittels vorprogrammierter Funktion
Die Funktionen sind im Feld „Funktionen“ ersichtlich und mit englischen Wörtern abgekürzt.
Für eine Direkthilfe braucht man nur die gewünschte Funktion markieren und die rechte
Maustaste klicken.
Für unser Beispiel wäre es die Funktion unter „M“ wie „Mean“ (Mittelwert) also
„Mean(numausdr, numausdr,...)“
Die gewünschten 10 Items müssen noch eingefügt und mit einem Beistrich getrennt(!)
werden. Dies sieht so aus:
“MEAN(item1,item2,item3,item4,item5,item6,item7,item8item9,item10)”
→ „ok“
Dies wäre die Berechnung des Mittelwertes mittels Funktion.
Ergebnis: Eine neue Variable wird nun erzeugt, die für jeden Fall den Mittelwert der Werte
der 10 Items angibt.
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2 Deskriptive Statistik
2.1 Tabellen
2.1.1 einfache Tabellen
Definition: zur einfachen, übersichtlichen Darstellung bzw. Zusammenfassung der Werte
(Häufigkeiten) von Variablen nach ihren Ausprägungen (z.B.: Ja/Nein; Geschlecht; Alter...)
Befehl: „Analysieren“ → „Tabellen“ → „einfache Tabellen“ → gewünschte Variable(n) in
„Zeilen“ oder/und „Spalten“ geben → „ok“
Beispiel:
Zeilen: Semester in denen sich die Vps befinden (1-9)
Spalten: Unterteilung Geschlecht (dichotom)
aktuelles Semester 1
2
3
4
5
6
7
9
Geschlecht
männlich
42
12
6
4
1
2
weiblich
237
33
55
7
11
2
1
1
Variationen:
• separate Tabellen (z.B.: je eine Tabelle für Männer/Frauen): → gewünschte Variable
(z.B.: Geschlecht) in „separate Tabellen“ geben um 2 separate Tabellen für 1) Männer
2) Frauen zu erhalten
• gestapelte/verschachtelte Tabellen
• Zeilen/Spaltenprozente, Prozentangaben...: → „Statistik“
• die Anordnung der Zeilen/Spaltenprozente, Prozentangaben...innerhalb der Tabelle
können geändert werden:
→ „Layout“ → „Beschriftung für Statistik“ wie gewünscht ändern
• Werte sortieren: → „Statistik“
• Gesamtwerte (Gesamtergebnis für die Tabelle / Zeilen/Spaltensummen): → „Gesamt“
• Darstellung leerer Zellen (z.B.: mit Null): → „Format“
2.1.2 Häufigkeitstabellen
Definition: Häufigkeitstabellen sind den einfachen Tabellen sehr ähnlich. Sie eignen sich aber
zusätzlich besonders zur Darstellung von Häufigkeiten mehrerer Variablen, welche gleiche
Antwortmöglichkeiten/kategorien haben (z.B.: Ja/Nein/weiß nicht; Multiple Choice...)
Beispiel:
Spalten: Zufriedenheit und Lebenssituation (2 Variablen(!))
Zeilen: Antwortkategorien (bei beiden Variablen gleich(!))
Befehl: „Analysieren“ → „Tabellen“ → „Häufigkeitstabellen“
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Allgemeine Zufriedenheit
Anzahl
Sehr zufrieden
467
Ziemlich zufrieden 872
Nicht sehr zufrieden 165
Ist das Leben aufregend oder langweilig?
Anzahl
434
505
41
Variation:
• Für jede Variable eine eigene Spalte: → alle gewünschten Variablen in „Häufigkeit
für“ geben
• Verschachtelte Tabellen (mehrdimensional): → zusätzliche Variable(n) in „In jeder
Tabelle“ geben
• Separate verschachtelte Tabellen: → zusätzliche Variable(n) in „separate Tabellen“
geben
• Prozente, Gesamtwerte: → „Statistik“
2.1.3 allgemeine Tabellen
Definition: Mit allgemeinen Tabellen können Mehrfachantworten ausgewertet werden
(mehrdimensionale Darstellungen, also viele Variablen in einer Tabelle). Weiters können
auch verschiedene Stufen der Verschachtelung innerhalb der Tabellen festgelegt werden.
Befehl: „Analysieren“ → „Tabellen“ → „allgemeine Tabellen“
Beispiel 1: (eine verschachtelte mehrdimensionale Tabelle)
In den Zeilen: Beschreibung der Lebenssituation und (verschachteltes) Geschlecht
In der Spalte: die Region (Lebensraum)
Ist das Leben aufregend oder Aufregend Männlich
langweilig?
Weiblich
Routine
Männlich
Weiblich
Langweilig Männlich
Weiblich
Region
Nordost
92
94
88
140
7
12
Südost
56
51
58
90
3
9
West
65
76
54
75
2
8
Beispiel 2: (eine unverschachtelte mehrdimensionale Tabelle)
In den Zeilen: Beschreibung der Lebenssituation und (unverschachteltes) Geschlecht
In der Spalte: die Region
Region
Nordost
Ist das Leben aufregend oder langweilig? Aufregend 186
Routine
228
Langweilig 19
Geschlecht
Männlich 281
Weiblich 398
11
Südost
107
148
12
177
238
West
141
129
10
178
245
 Matthias Gabriel
Variationen:
• Verschachteln von einzelnen Variablen (z.B.: Geschlecht): → Variable markieren und
„Verschachtelt“ wählen
• Zellenstatistiken für einzelne Variablen (z.B.: nur Geschlecht hat Zeilenprozente alle
anderen haben Absolutwerte): → Variable markieren und „Statistik bearbeiten“
wählen
• Gesamtwerte einblenden: → Variable markieren und „Gesamtergebnis einfügen“
wählen.
• Mittelwert, Varianz.... berechnen: → Variable markieren und „wird ausgewertet“
wählen: → dann „Statistik“ wählen und die gewünschten Statistiken (Mittelwert...)
„hinzufügen“ (eventuell Mittelwert... markieren und „Format“ ändern für
Dezimalzahlen)
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2.2 statistische Kennwerte (deskriptive Statistiken)
2.2.1 Mittelwert, Varianz, Median, Standardabweichung...+ Diagramme
1. Möglichkeit: (mit Diagrammen)
Befehl: „Analysieren“ → „deskriptive Statistiken“ → „Häufigkeiten“ → gewünschte Variable
eingeben (z.B. Alter) → „Statistik“ → gewünschte Statistiken eingeben (z.B.7 Mittelwert,
Varianz...)
→ „Diagramme“ → gewünschtes Diagramm eingeben
Beispiel:
Anzahl der Geschwister
N
Gültig
Fehlend
Mittelwert
Median
Standardabweichung
Varianz
1505
12
3,93
3,00
3,05
9,28
2. Möglichkeit: (leichter und übersichtlicher Vergleich von Mittelwerten, Varianzen...
bezüglich Kategorien) ohne Diagramme
Beispiel: Welchen Mittelwert, welche Varianz... hat die Variable Alter separat dargestellt
nach der Variable Geschlecht?
Befehl: „Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → “Mittelwerte...“ → in „unabgängige
Variable“ kommt die Breakvariable (hier: Geschlecht) → in „abhängige Variable“ kommt
jene Variable, deren Statistiken (Mittelwert...) ausgerechnet werden soll (hier Alter) →
„Optionen“ → gewünschte statistische Kennwerte hinzufügen → „weiter“ → „ok“
Bericht
alter
Geschlecht
männlich
weiblich
Insgesamt
Mittelwert
24,15
21,65
22,04
Standardabweichung
6,14
3,97
4,46
Varianz
37,757
15,743
19,928
Median
22,00
20,00
21,00
3. Möglichkeit: (über Tabellen)
Befehl: „Analysieren“ → „Tabellen“ → „einfache Tabellen“ → die gewünschte Variable(n)
in das Feld „Auswerten“ geben → „Statistik“ → die gewünschten statistischen Kennwerte
(zB: Mittelwert, Median, Varianz..) „hinzufügen“ (eventuell das „Format“ „ändern“, um
Dezimalzahlen anzuzeigen).
Beispiel:
Mittelwert Median Standardabweichung Varianz
Anzahl Geschwister 3,932
3,000 3,047
9,282
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4. Möglichkeit: (eher für Intervallskalierte Daten, ohne Median, Modalwert...)
Befehl: „Analysieren“ → „deskriptive Statistiken“ → „deskriptive Statistiken...“ →
Variable(n) eingeben → „Optionen“ → gewünschte Statistiken auswählen
Beispiel:
N
Mittelwert Standardabweichung Varianz
Anzahl Geschwister
1505 3,93
3,05
9,282
Gültige Werte (Listenweise) 1505
2.3 Diagramme
Definitionen:
• Balkendiagramm: gibt pro Balken die Werte einer Ausprägung (z.B.: Mann/Frau)
einer Variable (z.B.: Geschlecht) an.
• Kreisdiagramm: ein „Kuchen“ dessen „Kuchenstücke“ die verschiedenen
Ausprägungen darstellen (z.B.: Anzahl der Studiensemester). Desto mehr Personen in
eine Kategorie fallen (z.B.: erstes Semester) desto größer ist dieses Kuchenstück.
• Histogramm: (Vergleich: Häufigkeitsklassen) Verwendung: bei stetigen(!) Variablen,
wenn die Variable in Klassen gegliedert ist oder in Klassen abgebildet werden soll
(z.B.: Körpergröße, Klassen: 151-160cm, 161-170cm,...)
• Streudiagramm: (XY-Diagramm) Jeder Punkt im Diagramm hat einen X und einen Y
Koordinate. Dadurch ergibt sich eine Punktwolke. Verwendung: z.B.: Regression,
Korrelation, Modellkontrolle Rasch Modell
• Liniendiagramm: gibt eine Gerade/Kurve/Funktion an. Verwendung z.B.: bei
Einkommen, Alter, Körpergröße, Konzentrationskoeffizienten...
Befehl: → „Grafiken“ → gewünschten Diagrammtyp (Balken, Kreis...) auswählen
Beispiel 1: Balkendiagramm
Wie viele Kinder haben männliche bzw. weibliche befragte Personen im Durchschnitt?
Lösung: Darstellung mittels Balkendiagramm mit a) Kategorienvariable: Geschlecht b)
auszuwertende Variable: durchschnittliche Anzahl der Kinder (Mittelwert)
Befehl: → „Grafiken“ → „Balken...“ → „einfach“ und „Auswertung über Kategorien einer
Variable“ (weil hier nur Kategorien der einen Variable Geschlecht gefragt sind. Für die
Abbildung mehrerer Variablen in einem Diagramm → „Auswertung über verschiedene
Variablen“ wählen) → „definieren“ → in „Kategorienachse“ Geschlecht hinzufügen → bei
„Bedeutung der Balken“ „andere Auswertefunktion“ wählen (weil der Mittelwert der Anzahl
der Kinder gefragt ist und nicht die Häufigkeit bzw. Anzahl der Fälle) → gewünschte
auszuwertende Variable hinzufügen (hier Anzahl der Kinder) → „Auswertefunktion“ →
„Mittelwert“ wählen → „weiter“ → „ok“
14
 Matthias Gabriel
Ergebnis:
2,2
2,1
2,0
Mittelwert Anzahl Kinder
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
Männlich
Weiblich
Geschlecht
Die durchschnittliche Anzahl der Kinder überwiegt bei den Frauen (ca. 2,1) im Vergleich zu
den Männern (ca 1,6).
Variationen:
• Häufigkeiten oder Prozente der Ausprägungen einer Variablen angeben (z.B.: Wie
viele Männer/Frauen) → „Anzahl der Fälle“ oder „%der Fälle“ wählen statt „andere
Auswertefunktion“
• Fehlende Werte anzeigen (als eigenen Balken) → „Optionen“
• Diagrammtitel → „Titel“
• Varianz, Median, Standardabweichung... → „andere Auswertefunktion“ (wie bei
Mittelwert)
Anmerkung: Die Darstellung von Kreis-, Linien-, Flächendiagramm erfolgt fast äquivalent.
Beispiel 2: Histogramm
Nur sinnvoll bei (quantitativen) Variablen, die eine Klassenbildung benötigen, um
zusammengefasst zu werden (z.B: Alter, Körpergröße, Gewicht, (Punkte in einem Test)...)
Nicht bei qualitativen Variablen!
Frage: Wie sieht die Verteilung der Variable „Alter“ aus?
Eine Abbildung des Alters mit jedem Alter (Jahr) als eigene Kategorie bei einer Stichprobe
von z.B:15 bis 70 jährigen wäre nicht sinnvoll und überhaupt nicht überschaubar.
Lösung: Altersklassen bilden und Histogramm erstellen
Befehl: → „Grafiken“ → „Histogramm“ → in „Variable“ die gewünschte Variable
einfügen (hier: Alter) → „ok“
300
200
100
Std.abw. = 4,45
Mittel = 22,0
N = 419,00
0
20,0
25,0
22,5
30,0
27,5
35,0
32,5
40,0
37,5
45,0
42,5
47,5
alter
Die Verteilung des Alters in diesem Beispiel ist nicht normalverteilt, die Klasse 19-21jährige
beinhaltet den Großteil der Stichprobe.
Variationen:
• „Normalverteilungskurve (dazu) anzeigen“
Anmerkung: Die Klassen werden in der Regel automatisch gebildet.
15
 Matthias Gabriel
3 Zusammenhangsmaße – Zusammenhangshypothesen
Zusammenhänge (zwischen 2 Variablen) misst man mittels Korrelationen. Die Wahl der
Korrelation hängt ab von:
a) Skalenniveau der beiden Variablen:
1) intervallskaliert (Größe, Gewicht, Längen, Rohscore, Temperatur...)
2) rang- oder ordinalskaliert (Noten, Rangreihen, Dienstgrade, Beliebtheit von
Personen...)
3) nominalskaliert (Geschlecht, Bildungsgrad, Haarfarbe, Beruf...)
b) Art der Variable
1) Quantitativ
I)
stetig
wenn
sie
(theoretisch)
unendlich
viele
Ausprägungen/Intervalle annehmen kann (wie Größe, Gewicht,
Längen,...)
II)
diskret, wenn sie nur eine bestimmte, endliche Anzahl aufweist
(z.B: Anzahl der Personen in einem Raum, Testscore,...).
2) Qualitativ wenn sie nur beschränkte Ausprägungen oder in Klassen
zusammengefasst ist.
I)
Dichotom: 2 Ausprägungen (z.B: Geschlecht, VersuchsKontrollgruppe, Psychologie vs. Nicht-PsychologiestudentInnen
II)
Polytom: mehr als 2 Ausprägungen (z.B: Bildung, Haarfarbe,
Beruf...)
Intervallskala
Rangskala
Nominalskala
Quantitativ stetig, diskret
Qualitativ dichotom, polytom
3.1 Arten von Korrelationen
Definitionen:
• Produktmomentkorrelation (Pearson) rxy: geht von –1 bis +1; Verwendung
grundsätzlich bei intervallskalierten, quantitativen Variablen
• Rangkorrelation (Spearman) r`: geht von –1 bis +1; Verwendung grundsätzlich bei
rangskalierten Variablen
• Kendall-Tau-Korrelation: ist der Spearmankorrelation sehr ähnlich, nützt aber die
Ranginformation besser aus. (ebenfalls für rangskalierte Daten)
• Vierfelderkorrelation (phi): geht von –1 bis +1; Verwendung bei 2 nominalskalierten
dichotomen (qualitativen) Variablen (z.B.: Geschlecht und Raucher/Nichtraucher)
• Partielle Korrelation: geht von –1 bis +1; Um den Einfluss einer möglichen dritten
Variable (intervenierenden oder Störvariable) auszuschließen und die reine
Korrelation zwischen den 2 gewünschten Variablen anzuzeigen. (Voraussetzung wie
Pearson Korrelation)
• Kontingenzkoeffizient (CC): geht von 0 bis 1; Verwendung bei 2 qualitativen
Variablen, wobei mindestens eine polytom (mehrkategoriell) ist.
• Cramer V: geht von 0 bis 1; ist dem CC sehr ähnlich und wird ebenfalls bei 2
qualitativen, dichotomen/polytomen Variablen verwendet.
16
 Matthias Gabriel
3.2 Beispiele
Beispiel 1: Pearson Korrelation zwischen Körpergröße (cm) und Gewicht (kg)
Ein klassisches Beispiel: beide Variablen sind einerseits intervallskaliert (oder sogar
verhältnisskaliert) und andererseits quantitativ (es gibt theoretisch unendlich viele
Ausprägungen).
Logischer Weise (wie aus der Praxis bekannt) sollten die beiden Variablen korrelieren.
(Jemand der größer ist, ist in der Regel auch schwerer.)
Befehl:
→ „Analysieren“ → „Korrelation“ → „Bivariat...“ → gewünschten 2 Variablen (hier
Größe und Gewicht) hinzufügen → „Pearson“ wählen (=Produkt-Moment-Korrelation) →
„signifikante Korrelationen markieren“ anklicken → „zweiseitig“ → „ok“
Ergebnis:
Die Korrelation ergibt 0,635, das Bestimmtheitsmaß (Korrelation zum Quadrat;
selbsterrechnet) beträgt r2 = 40%. Die zweiseitige Signifikanzprüfung ergibt eine Signifikanz
von 0,000 bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,01. Es besteht demnach ein
mittelmäßiger signifikant positiver Zusammenhang zwischen Gewicht und Größe.
Korrelationen
CM
KG
Korrelation nach Pearson
1,000 ,635
Signifikanz (2-seitig)
,
,000
N
446
446
KG
Korrelation nach Pearson
,635
1,000
Signifikanz (2-seitig)
,000
,
N
446
446
** Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig) signifikant.
CM
Beispiel 2: Spearman Korrelation und Kendall-Tau zwischen Deutsch und Englischnote.
Deutsch und Englischnote sind beide rangskaliert, daher Spearman bzw. Kendall-Tau
Befehl:
→ „Analysieren“ → „Korrelation“ → „Bivariat...“ → die 2 gewünschten Variablen
eingeben → „Spearman“ und „Kendall-Tau“ wählen → „signifikante Korrelationen
markieren“ anklicken → „zweiseitig“ → „ok“
Ergebnis:
Die Korrelation r`= 0,436 (Spearman) sowie Kendall-Tau mit τ = 0,373 ist mit einem p-Wert
von 0,000 signifikant bei α = 0,01. Es besteht also ein signifikanter positiver Zusammenhang
zwischen Deutsch und Englischnote in beiden Korrelationen.
Korrelationen
Kendall-Tau-b DEUTSCH Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
ENGLISCH Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
N
17
DEUTSCH ENGLISCH
1,000
,373
,
,000
424
381
,373
1,000
,000
,
381
393
 Matthias Gabriel
1,000
Spearman-Rho DEUTSCH Korrelationskoeffizient
Sig. (2-seitig)
,
N
424
ENGLISCH Korrelationskoeffizient
,436
Sig. (2-seitig)
,000
N
381
** Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 signifikant (2-seitig).
,436
,000
381
1,000
,
393
Beispiel 3: Phi (Vierfelder)korrelation
Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen Geschlecht und der besuchten Schulform (AHS
und HTL) der Versuchspersonen
Lösung: 2 dichotome Variablen und nominalskaliert, Frage nach Zusammenhang
→
Vierfelderkorrelation für unabhängige Daten.
Befehl:
→ „Analysieren“ → „deskriptive Statistiken“ → „Kreuztabellen“ → eine dichotome
Variable in die „Zeile“ und eine dichotome in die „Spalte“ → „Statistik“ → „Phi und
Cramer-V“ wählen (ev. auch „Korrelationen“) →
„weiter“ →
ev. „Gruppierte
Balkendiagramme anzeigen“ → „ok“
Ergebnis:
Geschlecht * besuchte Schulform2 Kreuztabelle
Anzahl
besuchte Schulform
Gesamt
Ahs
HTL
Geschlecht männlich
46
21
67
weiblich
277
82
359
Gesamt
323
103
426
Symmetrische Maße
Wert
Nominal- bzgl.
Nominalmaß
Asymptotischer Näherungsweises
Standardfehler
T
Phi -,072
Näherungsweise
Signifikanz
,136
Cramer-V ,072
,136
Der p-Wert der Phi-Korrelation beträgt 0,136 (nicht signifikant); es bestehen daher keine
signifikanten Zusammenhänge zwischen Geschlecht und Schulform.
Beispiel 4: Kontingenzkoeffizient CC bzw. Cramer V
Frage: besteht ein Zusammenhang zwischen der besuchten Schulform (Ahs, Htl, Hbla,
Andere) und dem aktuellen Studiensemester (1-9) der Personen?
Lösung: 2 qualitative, polytome Variablen → CC bzw. Cramer V.
Befehl:
→ „Analysieren“ → „deskriptive Statistiken“ → „Kreuztabellen“ → eine polytome
Variable in die „Zeile“ und eine polytome in die „Spalte“ →
„Statistik“ →
„Kontingenzkoeffiezient“ und „Cramer-V“ wählen → „weiter“ → ev. „Gruppierte
Balkendiagramme anzeigen“ → „ok“
18
 Matthias Gabriel
Ergebnis:
Symmetrische Maße
Wert Näherungsweise Signifikanz
Phi ,179
,962
Cramer-V ,104
,962
Kontingenzkoeffizient ,176
,962
Anzahl der gültigen Fälle
412
a Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.
Nominal- bzgl. Nominalmaß
Interpretation:
1) CC:
Der Kontingenzkoeffiezient wird nur unkorrigiert ausgegeben! Man muss daher händisch
folgende Berechnung (Korrektur) durchführen (da CC von der Größe der Tabelle abhängig
ist). Nach der Korrektur geht CC von 0 bis 1 und ist leichter interpretierbar:
min(r , s ) − 1
1) Berechnung von Cmax: C max =
wobei „r“ die Reihen und „s“ die Spalten der
min(r , s )
Tabelle sind. In unserem Beispiel gibt es 9 Zeilen und 4 Spalten. Min(r,s) ist also 4.
3
C max =
= 0,86
4
C
0,176
2) Berechnung des korrigierten CC: C korr =
=
= 0,204
C max
0,86
Der korrigierte CC beträgt 0,204, bei einem p-Wert von 0,962 (siehe Tabelle). Es besteht
daher kein signifikanter Zusammenhang zwischen besuchter Schulform und Anzahl der
Semester.
2) Cramer-V:
Auch der Cramer-V Wert ist mit 0,104 und einem p-Wert von 0,962 nicht signifikant.
Beispiel 5: Partielle Korrelation rxy.z
Frage: Spielt das Alter eine Rolle in Bezug auf den Zusammenhang von Mathe- und
Allgemeinwissen?
Lösung: partielle Korrelation mit Alter als eventuelle Störvariable, welche eine
„Scheinkorrelation“ zwischen den beiden Variablen Mathe und Allgemeinwissen verursachen
könnte. Falls das Alter keinen Einfluss auf die beiden Variablen ausübt, entspricht die
partielle Korrelation ungefähr der Produktmomentkorrelation!
Befehl:
→ „Analysieren“ → „Korrelation“ → „Partiell“ → die zwei gewünschten Variablen in
„Variablen“ einfügen (hier: Mathe und Allgemeinwissen) →
Störvariable in
„Kontrollvariable“ eingeben (hier: Alter) → „zweiseitig“ → „ok“
19
 Matthias Gabriel
Ergebnis:
- - -
P A R T I A L
Controlling for..
C O R R E L A T I O N
AGE
C O E F F I C I E N T S
- -
(=Alter)
ALLGW
MATHE
ALLGW
1,0000
(
0)
P= ,
,3613
(
97)
P= ,000
MATHE
,3613
(
97)
P= ,000
1,0000
(
0)
P= ,
Die partielle Korrelation ergibt eine Korrelation von rxy.z 0,3613 (B = 13%). Im Vergleich
dazu ergibt die Produktmomentkorrelation rxy =336 (B = 11%) (Muss noch separat errechnet
werden; siehe Beispiel 1!) Die beiden Korrelationen sind also numerisch fast gleich. Das
Alter übt demnach keinen relevanten Einfluss auf den Zusammenhang der beiden Variablen
mathematisches und allgemeines Wissen aus.
Anmerkung: Würde beispielsweise nur das Alter verantwortlich für die Korrelation sein,
müsste beim Konstanthalten der Variable Alter (also bei der partiellen Korrelation) der
Zusammenhang verschwinden, also
rxy.z gegen 0 gehen, während bei der
Produktmomentkorrelation der „Scheinzusammenhang“ bestehen würde, da das Alter nicht
berücksichtigt wird.
20
 Matthias Gabriel
4 Die einfache/multiple lineare Regression
(vgl. Bortz S.174, Statistik for you S. 16)
4.1 Zweck der Regression:
1. Funktionalen Zusammenhang zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen
(UV) oder X und der abhängigen (AV) bzw. Y Variablen untersuchen. (vgl.
Korrelation)
2. Untersuchung, ob von bestimmten Prädiktoren (X) auf die Variable Y geschlossen
werden kann. (Werte prognostizieren bzw. vorhersagen)
z.B.: Prädiktoren X: Geschlecht, Gewicht, Ausdauer, Alter
Frage: Kann aufgrund dieser Prädiktoren die AV Sauerstoffverbrauch gut geschätzt
bzw. vorausgesagt werden?
4.2 Stichworte:
1. Residuen: sind die Schätzfehler. Also die Differenz der geschätzten AV ( ŷ ) und der
wahren AV (y):
yi − yˆi = ei = Re siduum
wenn alle yi − yˆi = ei → 0 dann ist die Regression sehr gut ausgefallen und der
Zusammenhang der Prädiktoren und der AV ist hoch.
2. Regressionsgleichung
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + ...... + β k x k
vgl.
y = kx+d (lineare Funktion)
wobei
• β 0 ................Konstante (der Abstand vom Ursprung zur Regressionsgeraden
auf der y-Achse; die Höhenlage der Regressionsgeraden (alternativ: „d“ oder
ayx)) (unbekannt!)
• β 1 , β 2 ,......β k ...die Regressionskoeffizienten (alternativ: „k“ oder byx) der
Prädiktoren X (unbekannt!)
• x1 , x 2 ,...., x k ......die Unabhängigen Variablen, Prädiktorvariablen oder UV
• y......Kriteriumsvariable oder AV
Merke: verschiedene Bezeichnungen für :
Statistik 1
Regressionskoeffizienten der byx
k Prädiktoren
b = 1....k
ayx
Konstante (Höhenlage der
Regressionsgeraden)
Prädiktoren
X
Kriterium
Y
SPSS
β 1 , β 2 ,......β k
Lineare Funktion
k (Steigung)
β 0 , Intercept oder d (Konstante)
Konstante
Unabhängige bzw. X
Einflussvariablen
Abhängige
Y = f(X)
Variable
X= 1....n
21
 Matthias Gabriel
3. Regressionsgerade
•
•
•
Mit der Regressionsgeraden wird der Trend festgelegt, der die Punkte am besten
beschreibt.
Sie wird durch den Punkteschwarm so gelegt, dass die Abweichungen (Residuen) der
einzelnen XY-Punkte zur Regressionsgerade ein Minimum werden. Da die Summe der
positiven und negativen Residuen sich aber aufheben können, könnte es auch mehrere
Regressionsgeraden geben (nicht eindeutig!). Daher soll die Summe der quadrierten
Abweichungen (Residuen) ein Minimum ergeben.
Schätzmethode: Ordinary least squares (Kleinste Quadrate Schätzung)
Beispiel: 27 Personen, X-Achse: Gewicht (kg), Y-Achse: Körpergröße (cm)
ayx: 124,563
byx: 0,723
Eine Person die 60 Kilo wiegt ist laut dieser Regressionsgleichung wie groß?...wir setzten ein
Y = kX + d
y = 124,563 + 0,723 ⋅ 60
y = 167,943
Die Person ist dem Regressionsmodell zufolge ca. 168 cm groß.
Eine positive Steigung bedeutet, dass die y-Werte bei steigenden x-Werten ebenfalls größer
werden. (bei negativer Steigung umgekehrt)
22
 Matthias Gabriel
4.3 Theoretisches Beispiel
Frage: Kann aufgrund Geschlecht, Gewicht, Alter, Ausdauer auf den Sauerstoffverbrauch
einer Person geschlossen werden?
AV: Sauerstoffverbrauch
UV: Geschlecht, Alter, Gewicht, Ausdauer
Regressionsgleichung:
Sauerstoffverbr. y = β 0 + β 1 ⋅ Geschlecht + β 2 ⋅ Alter + β 3 ⋅ Gewicht + β 4 ⋅ Ausdauer
Die Regressionskoeffizienten β̂ (=Schätzer) werden geschätzt und es wird überprüft,
welche β̂ optimal sind d.h. welche β̂ signifikante Einflüsse auf AV haben.
Durch Einsetzen der Schätzer in das Regressionsmodell erhält man schließlich die
geschätzte AV: Yˆ (geschätzter Sauerstoffverbrauch)
4.4 Praktisches Beispiel
Frage: Kann aufgrund der Variablen Körpergröße der Mutter bzw. Körpergröße des Vaters
auf die Körpergröße der Kinder geschlossen werden?
AV: Körpergröße (des Kindes)
UV: Körpergröße Mutter, Körpergröße Vater
Regressionsgleichung:
Körpergröße (y) = β 0 + β1 iGröße _ Mutter + β 2 iGröße _ Vater
Befehl:
→ „Analysieren“ → „Regression“ → „Linear...“ → in „abhängige Variable“ die
gewünschten AV einfügen (hier: Körpergröße des Kindes) → in „unabhängige Variable(n)“
die gewünschte(n) UV einfügen (hier: Körpergröße Mutter bzw. Vater) → bei „Methode“
„schrittweise“ wählen → „Statistiken...“ → „Schätzer“ und „Anpassungsgüte des Modells“
anklicken → „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1:
Modellzusammenfassung
Modell
R R-Quadrat Korrigiertes R-Quadrat
1 ,534
,285
,284
2 ,606
,367
,364
a Einflußvariablen : (Konstante), CM_M
b Einflußvariablen : (Konstante), CM_M, CM_V
Standardfehler des Schätzers
8,53
8,04
Tabelle 2:
ANOVA
Modell
Quadratsumme df Mittel der Quadrate
F Signifikanz
1 Regression
11914,140
1
11914,140 163,647
,000
Residuen
29849,511 410
72,804
Gesamt
41763,650 411
2 Regression
15341,779
2
7670,889 118,742
,000
Residuen
26421,872 409
64,601
Gesamt
41763,650 411
a Einflußvariablen : (Konstante), CM_M
b Einflußvariablen : (Konstante), CM_M, CM_V
c Abhängige Variable: CM
23
 Matthias Gabriel
Tabelle 3:
Koeffizienten
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Modell
B Standardfehler
1 (Konstante)
9,183
58,682
CM_M
,055
,708
2 (Konstante)
10,017
21,889
CM_M
,059
,512
CM_V
,054
,393
a Abhängige Variable: CM
Standardisierte
Koeffizienten
Beta
T Signifikanz
6,390
,534 12,792
2,185
,386 8,725
,322 7,284
,000
,000
,029
,000
,000
Interpretation:
Die Regression wurde „schrittweise“ gewählt, d.h. die Prädiktoren werden der Reihe nach zur
Gleichung hinzugefügt. Zuerst wird die Gleichung mit Prädiktor 1 (Modell 1 in den Tabellen)
aufgestellt, im Modell 2 kommt der 2. Prädiktor in die Gleichung hinzu.
1) Tabelle 1: Modellprüfung!
korrigiertes R-Quadrat (korrigiertes Bestimmtheitsmaß): Wird zur Modellprüfung
herangezogen (also wie gut ist die Regression, wie gut ist der Zusammenhang zwischen UV
und AV; wie sinnvoll ist es, die Regression anzuwenden)
Zeigt den Anteil der erklärten Varianz von Y (hier: Größe) durch die Prädiktoren an (hier:
Größe Vater bzw. Mutter).
Modell 1 (also nur die Größe der Mutter) erklärt 28,5% der Varianz
Modell 2: kommt die Größe des Vaters als Prädiktor noch dazu wird 36,7% der Varianz
erklärt.
100-36,7% = 63,3% unerklärte Varianz (Schätzfehler) bleiben jedoch noch offen. Das Modell
ist daher nicht sehr gut! Es fehlen also noch weitere wichtige/relevante Prädiktoren.
2) Tabelle 2: Modellprüfung!
F-Wert: wird ebenfalls zur Modellprüfung herangezogen
Die Hypothesen lauten:
H 0 : βˆ 0 = βˆ1 = .... = βˆ k = 0
(also alle Regressionskoeffizienten sind Null, sie sind also schlechte Prädiktoren bzw.
Konstante)
H 1 : βˆ j ≠ 0
(also mindestens ein β ist nicht 0; min. ein Prädiktor beschreibt die AV gut)
Die F-Werte sind in beiden Modellen signifikant mit den p-Werten von 0,000. Die
Alternativhypothese wird angenommen. Das Modell ist daher sinnvoll, weil die Körpergröße
von Vater und Mutter einen Einfluss auf AV (Größe Person) hat.
3) Tabelle 3: Regressionskoeffizienten! (byx, ayx)
Folgende 2 Hypothesen für jeden einzelnen Koeffizienten β̂ j :
24
 Matthias Gabriel
H 0 : βˆ j = 0
(also der Regressionskoeffizient ist Null)
H 1 : βˆ j ≠ 0
(der Koeffizient ist ungleich Null)
Wenn β̂ j signifikant ungleich von 0 ist dann ist der zugehörige Prädiktor X eine
gute/sinnvolle Vorhersage für Y. (Gemessen mit der Prüfgröße t =
β
)
S tan dardfehler
Folgende Koeffizienten sind aus der Tabelle ablesbar:
Unter „Konstante“ wird das ayx dargestellt (also die Höhenlage der Regressionsgeraden)
Unter „CM_M“ (Größe der Mutter) wird der Koeffizient by1 des ersten Prädiktors abgebildet.
Unter „CM_V“ (Größe des Vaters) wird der Koeffizient by2 des zweiten Prädiktors
abgebildet.
Aus Tabelle 3 kann man entnehmen dass alle Koeffizienten der Prädiktoren signifikante pWerte aufweisen. (Konstante: p = 0,029; CM_M: p = 0,000; CM_V: p = 0,000)
Die Prädiktoren Größe des Vaters bzw. der Mutter sind demnach sinnvolle Schätzer für die
abhängige Variable Größe der Person.
Händische Berechnung zur Veranschaulichung:
Die Regressionsgleichung wird wie folgt aufgestellt:
Körpergröße (y) = β 0 + β 1Größe _ Mutter + β 2 Größe _ Vater
oder (wie in Statistik 1)
Körpergröße (y) = a yx + b y1Größe _ Mutter + b y 2 Größe _ Vater
Die Größe einer Person, dessen Mutter 162 cm und Vater 184 cm groß ist, kann aufgrund der
Regressionsgleichung geschätzt werden.
Eingesetzt werden folgende Werte aus Tabelle 3:
β 0 = 21,889
(vgl. ayx)
β 1 = 0,512
(vgl. by1)
β 2 = 0,393
(vgl. by2)
Körpergröße (y) = 21,889 + 162*0,512 + 184*0,393
Körpergröße = 177,145
Aufgrund der Regressionsgleichung ist die Person ca. 177 cm groß.
Die wahre Größe dieser Person ist 178 (aus den Daten entnommen). Das Residuum y − yˆ
(„wahrer“ Wert minus Schätzer) ist demnach 178-177,145 = 0,855.
(Die Regressionsgleichung ist umso besser, je kleiner die Residuen werden.)
25
 Matthias Gabriel
Variationen:
• Speichern der vorhergesagten Werte ( ŷ ): „Speichern“ → „vorhergesagte Werte“
„nicht standardisiert“ anklicken → „weiter“
• Speichern der Residuen ( uˆ = y − yˆ ):
„Speichern“ → „Residuen“ „nicht
standardisiert“ anklicken → „weiter“
26
 Matthias Gabriel
5 Unterschiedshypothesen
5.1 Vergleich zweier Mittelwerte bzw. zentraler Tendenzen
Sind die Daten intervallskaliert ist die Berechnung von Mittelwerten und Varianzen bzw.
Standardabweichungen sinnvoll bzw. erlaubt. Unter diesen Voraussetzungen können auch
Verteilungsannahmen der Daten gemacht werden. Verteilungen werden mit Parametern
( x , sx ...) charakterisiert, daher werden alle hypothesenprüfenden Verfahren, deren eine
Verteilungstheorie unter Ho Zugrunde liegt, als „Parametertests“ bezeichnet.
Ist das Skalenniveau der Daten lediglich rang- bzw. ordinalskaliert sind oben genannte
Parameter nicht mehr zulässig, daher beruht die Grundlage der parameterfreien Tests auf
Rangordnungen und Rangplätzen.
1) Parametertests sind die mächtigsten Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte. Vorteil also
die Macht/Power und Aussagekraft, Nachteil die strengen Voraussetzungen.
a) t-Test für unabhängige Stichproben
Voraussetzungen des T-Tests für unabhängige Stichproben
• Intervallskala der Daten (siehe Kapitel 3)
• Normalverteilung der Daten in beiden Gruppen
• Homogenität der Varianzen der beiden Gruppen
• Unabhängige Stichprobe
b) t-Test für abhängige Stichproben
Voraussetzungen des T-Tests für abhängige Stichproben (z.B: Messwiederholungen,
Geschwister, Parallelisierung)
• Intervallskala der Daten (siehe Kapitel 3)
• Normalverteilung der Differenz der Daten
• Abhängige Stichprobe
2) Parameterfreie Tests werden herangezogen, wenn die Voraussetzungen für einen
Parametertest nicht gegeben sind. Vorteil: mildere Voraussetzungen; Nachteil: weniger
Macht; aber trotzdem eine gute Alternative
a) U-Test (unabhängige Stichproben)
• Rangskalierte Daten
b) Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (abhängige Stichproben)
• Die Differenzenbildung der Messwerte muss sinnvoll erscheinen
• Rangskalierte Daten (mit „Intervallskaleneigenschaft“) (=ordered
metric scale)
27
 Matthias Gabriel
5.1.1 t-Test (unabhängige Stichproben)
Wie aus der Statistik bekannt ist der t-Test der mächtigste Test zum Vergleich 2er
Mittelwerte; dementsprechend müssen auch seine Voraussetzungen erfüllt sein:
a) Normalverteilung der Werte beider Gruppen
b) Homogenität der Varianzen beider Gruppen
c) Intervallskalierte Daten in beiden Gruppen
Beispiel:
Frage: Unterscheiden sich Männer und Frauen signifikant hinsichltich ihrer Testpunkte in
einem Leistungstest?
H0: Männer und Frauen unterscheiden sich nicht signifikant bezüglich ihrer Testpunkte.
H1: Männer und Frauen unterscheiden sich signifikant bezüglich ihrer Testpunkte.
Unabhängige Variable „Geschlecht“ (qualitativ, dichotom)
Abhängige Variable „Anzahl der Punkte im Test“ (intervallskaliert, quantitativ diskret)
Zuerst erfolgt die Prüfung der Voraussetzungen des t-Tests für unabhängige Stichproben.
Ad a) Normalverteilungsprüfung:
Die Normalverteilung wird mittels „Kolmogorov-Smirnov-Test (K+S-Test)“ übergeprüft.
Die Hypothesen werden wie folgt formuliert:
H0: Die Verteilung (der abhängigen Variable) ist eine Normalverteilung (in jeder Gruppe)
bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten) weicht nicht signifikant von der theoretischen
(Normal)verteilung ab.
H1: Die Verteilung ist nicht normalverteilt bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten)
weicht signifikant von der theoretischen (Normal)verteilung ab.
Befehl:
Jede Gruppe (hier: Männer/Frauen) der UV, deren Mittelwert verglichen werden soll, muss
separat auf Normalverteilung geprüft werden. Dafür müssen die Fälle erst nach der
betreffenden Variable (hier: Geschlecht) getrennt werden (siehe 1.7)
„Daten“ → „Datei aufteilen...“ → „Ausgabe nach Gruppen aufteilen“ wählen und in
„Gruppe basierend auf“ die gewünschte Variable (hier: Geschlecht) hinzufügen → „ok“
Die Fälle sind jetzt bezüglich Geschlecht imaginär getrennt, jede Berechnung wird jetzt
separat für Männer und Frauen ausgegeben.
Anmerkung: Zur Auflösung dieser Gruppierung: „Daten“ → „Datei aufteilen“ → „alle Fälle
analysieren, keine Gruppen bilden“ → „ok“
Nun kann die Normalverteilung separat für Männer und Frauen überprüft werden:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K+S bei einer Stichprobe“ → „Normal“
(für Normalverteilung) → gewünschte zu testende (abhängige) Variable (hier: Anzahl der
Punkte) eingeben → „ok“
Ergebnis:
Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest
N
Parameter der Normalverteilung
Anzahl der Punkte
70
Mittelwert
11,01
Standardabweichung 2,76
28
 Matthias Gabriel
Extremste Differenzen
Absolut
Positiv
Negativ
Kolmogorov-Smirnov-Z
Asymptotische Signifikanz (2-seitig)
a Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.
b Aus den Daten berechnet.
c Geschlecht = männlich
,131
,131
-,100
1,093
,183
Anmerkung: Die gleiche Tabelle wird auch für Frauen ausgegeben!
Interpretation:
Der p-Wert 0,183 ist bei α = 0,05 nicht signifikant. Die H0 bleibt beibehalten. Die
Verteilung der Variable „Anzahl der Punkte“ entspricht bei der Gruppe „Männer“ einer
Normalverteilung! (auch die Verteilung der Daten der Frauen muss einer Normalverteilung
entsprechen, um die Voraussetzungen des t-Tests zu erfüllen)
Anmerkung: Ein Histogramm der Daten zur visuellen Überprüfung der NV ist sehr sinnvoll.
Ad b) Homogenität der Varianzen:
Die Homogenität der Varianzen wird im Zuge des t-Tests automatisch durchgeführt (LeveneTest)!
Ad c) Intervallskalierung:
Wird Grundsätzlich nur durch studieren der Daten überprüft (sind die Daten quantitativ?...,
gibt es Ausreißer?, ...ist es möglich bzw. sinnvoll die Differenzen von Werten zu
vergleichen?...sind lineare Transformationen zulässig?...)
t-Test:
Anwendung nur bei Erfüllung aller oben genannten Voraussetzungen! (andernfalls u-Test)
Befehl:
Vorerst die Gruppierung nach Geschlecht für den K+S-Test aufheben! („Datei aufteilen...“)
(siehe Punkt a) )
„Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → „t-Test bei unabhängigen Stichproben“ →
„Testvariable“ eingeben (hier: Anzahl der Punkte) → „Gruppenvariable“ eingeben (hier:
Geschlecht) → „Gruppe def...“ (hier: 1 und 0 für Frauen bzw. Männer; je nach eigener
Kodierung!) → „weiter“ → „Optionen“ → „Konfidenzintervall“ eingeben (95% für α =
0,05 und 99% für 0,01) → „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Gruppenstatistiken
Geschlecht N
Anzahl Punkte
weiblich
männlich
Mittelwert Standardabweichung Standardfehler
Mittelwertes
361 10,91
2,76
,15
70 11,01
2,76
,33
29
des
 Matthias Gabriel
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene
F
Anzahl d. Varianzen ,014
Punkte
sind gleich
Varianze
nicht gleich
T-Test
Signifikan T
z
df
,907
-,286
429
-,285
97,492 ,776
Sig.
(2- Mittlere
Standardf 95%
seitig)
Differenz
Konfidenzintervall
Untere
Obere
,775
-,10
,36
-,81
,60
-,10
,36
-,82
,61
Interpretation:
Der Levene F-Test weist einen p-Wert von 0,907 auf. 0,907 ist weit größer als α = 0,05, die
Varianzen sind demnach homogen! (Dies ist schon aus der 1. Tabelle ersichtlich; die
Standardabweichungen sind identisch)
Der t-Test ergibt einen p-Wert von 0,775. Männer und Frauen unterscheiden sich also nicht
signifikant bezüglich der Anzahl der Testpunkte. H0 muss beibehalten werden.
Anmerkung: Der geringe Unterschied zw. Männern und Frauen kann schon aus den
Mittelwerten 10,91 und 11,01 (1. Tabelle) erkannt werden.
Variationen:
• t-Test bei einer Stichprobe: (vgl. split half, eine Variable (z.B.: Anzahl der Punkte)
wird aufgrund eines splitting points in 2 Teile getrennt und diese beiden resultierenden
Teile werden auf signifikante Unterschiede getestet) → „t-Test bei einer Stichprobe“
• Diagramme (z.B.: Mittelwerte vergleichen): siehe 2.3
• Einseitige Testung: gleicher Vorgang wie oben beschrieben, nur den p-Wert
(Signifikanz 2-seitig) im SPSS-Output händisch durch 2 dividieren.
Beispiel: 2-seitiger p-Wert: 0,08 → 1-seitiger p-Wert: 0.04 (einseitige Testung ist
daher schneller signifikant, wenn das Ergebnis in die vermutete Richtung geht, da die
Fläche von α = 0,05 nur auf einer Seite der Verteilung als Verwerfungsbereich
definiert wird und nicht wie bei der zweiseitigen Testung 2,5% auf beiden Seiten.)
5.1.2 t-Test (abhängige Stichproben)
Was sind abhängige Stichproben?
Eine Stichprobe ist dann abhängig, wenn einer Person bzw. einem Objekt in der ersten
Gruppe immer eine Person bzw. ein Objekt in der zweiten Gruppe zugewiesen wird.
a) Messwiederholungen (z.B: die Messergebnisse zu zwei Zeitpunkten sind nicht
unabhängig, da sie immer von der gleichen Person erzielt wurden; dem Wert von
Zeitpunkt 1 wird der Wert des Zeitpunktes 2 zugewiesen)
b) Parallelisierung: z.B: Jede Person in Gruppe A hat einen „Testzwilling“ in Gruppe B,
mit ähnlichen, für die Untersuchung relevanten Merkmalen
c) Zwillinge, Partner, Geschwister oder sonstige Paare.
Voraussetzungen des t-Test (abhängig)
a) Normalverteilung der Differenzen (der Werte) beider Gruppen.
b) Intervallskalierte Daten in beiden Gruppen
30
 Matthias Gabriel
Beispiel
Frage: Gibt es zu den Zeitpunkten 1 und 2 Unterschiede im Atmungsverhalten der Patienten?
Hypothesen
H0: Die Werte der Zeitpunkte 1 und 2 unterscheiden sich nicht signifikant bezüglich des
Atmungsverhaltens der Patienten.
H1: Die Werte der Zeitpunkte 1 und 2 unterscheiden sich signifikant bezüglich des
Atmungsverhaltens der Patienten.
Variablen
Gruppenvariable: „Zeitpunkt“ mit 2 Gruppen (Zeitpunkt 1 und Zeitpunkt 2)
Abhängige Variable „Atmungsverhalten“.
Zuerst erfolgt die Prüfung der Voraussetzungen des t-Tests für abhängige Stichproben.
Ad a) Normalverteilungsprüfung
Die Normalverteilung der Differenzen wird mittels „Kolmogorov-Smirnov-Test (K+S-Test)“
geprüft.
Befehl
Da die Differenz der Werte der beiden Zeitpunkte auf Normalverteilung geprüft wird, muss
sie erst berechnet werden.
Unter „Berechnen“ generieren wir eine neue Variable (z.B: „Diff1_2“) die die Differenzen
der Werte des ersten bzw. zweiten Zeitpunktes darstellen (siehe dazu 1.12!)
Nun kann die Normalverteilung für die Differenz geprüft werden:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K+S bei einer Stichprobe“ → „Normal“
(für Normalverteilung) → gewünschte zu testende (abhängige) Variable (hier: „Diff1_2“)
eingeben → „ok“
Ergebnis
Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest
Diff1_2
12
Mittelwert
-1,6667E-02
Standardabweichung 7,177E-02
Extremste Differenzen
Absolut
,258
Positiv
,242
Negativ
-,258
Kolmogorov-Smirnov-Z
,895
Asymptotische Signifikanz (2-seitig)
,399
a Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.
b Aus den Daten berechnet.
N
Parameter der Normalverteilung
Interpretation
Der p-Wert 0,399 ist bei α = 0,05 nicht signifikant. Die H0 bleibt beibehalten. Die
Verteilung der Variable „Diff1_2“ entspricht einer Normalverteilung.
Ad b) Intervallskalierung
Wird Grundsätzlich nur durch studieren der Daten überprüft (sind die Daten quantitativ?...,
gibt es Ausreißer?,... ist es möglich bzw. sinnvoll die Differenzen von Werten zu
vergleichen?...sind lineare Transformationen der Daten zulässig?...)
31
 Matthias Gabriel
t-Test (abhängige Stichproben)
Anwendung nur bei Erfüllung aller oben genannten Voraussetzungen! (andernfalls WilcoxonTest)
Befehl
„Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → „t-Test bei gepaarten Stichproben“ →
„gepaarte Variablen“ eingeben (hier: Zeitpunkt 1 bzw. Zeitpunkt 2) → „weiter“ →
„Optionen“ → „Konfidenzintervall“ eingeben (95% für α = 0,05 und 99% für 0,01) →
„weiter“ → „ok“
Ergebnis
Statistik bei gepaarten Stichproben
Mittelwert N Standardabweichung Standardfehler des Mittelwertes
Paaren 1 Atmung, Zeitpunkt 1 3,292
12 7,930E-02
2,289E-02
Atmung, Zeitpunkt 2 3,308
12 7,930E-02
2,289E-02
Test bei gepaarten Stichproben
Gepaarte
T
df Sig.
(2Differenzen
seitig)
Mittelwert
Standarda Standardfe 95%
bweichung hler
des Konfidenzi
Mittelwerte ntervall der
s
Differenz
Untere
Obere
Paaren Atmung,
-1,667E-02 7,177E-02 2,072E-02 -6,227E-02 2,894E-02 -,804 11 ,438
1
Zeitpunkt 1 Atmung,
Zeitpunkt 2
Interpretation:
Der t-Test ergibt einen p-Wert von 0,438. Die Atmung der Patienten unterscheidet sich also
nicht signifikant bezüglich der Zeitpunkte 1 und 2. H0 muss beibehalten werden. (Der
geringe Unterschied zwischen den Zeitpunkten kann schon aus den Mittelwerten 3,292 und
3,308 erkannt werden.)
32
 Matthias Gabriel
5.1.3 u-Test (2 unabhängige Stichproben, parameterfrei)
Definition: Wenn die Voraussetzungen für einen t-Test nicht gegeben sind kann als gute
Alternative der u-Test herangezogen werden. Er zählt zu den parameterfreien Tests (da die
Formulierung der Hypothesen nicht auf Parametern µ , x , σ 2 ... beruhen) und hat viel mildere
Voraussetzungen bei nur geringem Machtverlust im Vergleich zum t-Test.
Voraussetzungen:
• Rangskalierte Daten
• Stetigkeit des Merkmale (keine qualtitativen bzw. nominalskalierten Variablen wie
z.B: Geschlecht, Schulbildung...)
Beispiel:
Frage: Gibt es signifikante Unterschiede bezüglich des durchschnittlichen Alters der
Teilnehmer in Übungsgruppe A bzw. B?
Hypothesen
H0: Es bestehen keine signifikanten Unterschiede in Übungsgruppe A bzw. B hinsichtlich des
Alters.
H1: Es bestehen signifikanten Unterschiede in Übungsgruppe A bzw. B hinsichtlich des
Alters.
Das Alter ist zwar eine verhätnisskalierte Variable (-> t-Test), war jedoch in der
Voruntersuchung laut K+S-Test nicht normalverteilt daher wird der u-Test herangezogen.
Befehl:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „2 unabhängige Stichproben“ →
„Testvariable“ eingeben (hier: Alter) → „Gruppenvariable“ eingeben (hier: Übungsgruppe
A,B) → „Gruppe definieren“ (hier: A bzw. B)→ „weiter“ → „Mann-Whitney-u-Test“
wählen → „ok“
Ergebnis:
Ränge
GRUPPEA,B N Mittlerer Rang Rangsumme
alter A
283 194,94
55167,00
B
136 241,35
32823,00
Gesamt
419
Statistik für Test
Mann-Whitney-U
Wilcoxon-W
Z
Asymptotische Signifikanz (2-seitig)
a Gruppenvariable: GRUPPEA,B
alter
14981,000
55167,000
-3,743
,000
Interpretation:
Es bestehen signifikante Unterschiede zwischen Gruppe A und B bezüglich Alter. Der pWert von 0,000 ist kleiner als 0,05. Aufgrund der mittleren Ränge (Rangsumme/nj) erkennt
man, dass Gruppe B durchschnittlich ältere Personen aufweist als Gruppe A (hohe Werte
stehen für ältere Personen).
33
 Matthias Gabriel
Aufgrund der mittleren Rangsummen kann man also beim u-Test die Richtung der Ergebnisse
interpretieren (wie beim t-Test durch Mittelwerte).
5.1.4 Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (2 abhängige Stichproben, parameterfrei)
Definition: Der Wilcoxon-Test dient als gute Alternative falls die Voraussetzungen für den tTest für abhängige Stichproben nicht gegeben sind.
Voraussetzungen
• Stetigkeit des Merkmals (nicht qualtitativ)
• rangskalierte Daten (mit „Intervallskaleneigenschaft“) (=ordered metric scale) → die
Differenzbildung der Werte der beiden Variablen muss also sinnvoll erscheinen
Beispiel
Frage: Gibt es signifikante Unterschiede in den Rohscores von mathematischem Wissen und
allgemeinen Wissen der n=100 Personen einer Stichprobe?
→ abhängig, da jede Person den Mathematik- und Allgemeinwissenstest bearbeitet.
Die Beiden Variablen sind laut K+S-Test nicht normalverteilt (daher kein t-Test erlaubt) →
Wilcoxon Test als Alternative
Befehl
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „zwei verbundene Stichproben“ →
„Wilcoxon“ wählen → die „ausgewählten Variablenpaare“ eingeben (hier: MathematikRohscore, Allgemeinwissen-Rohscore)→ „ok“
Ergebnis:
Ränge
N
mathematische kenntnisse - allgemeines wissen Negative Ränge
Positive Ränge
Bindungen
Gesamt
a mathematische kenntnisse < allgemeines wissen
b mathematische kenntnisse > allgemeines wissen
c allgemeines wissen = mathematische kenntnisse
90 a
6b
4c
100
Mittlerer
Rang
51,01
10,92
Rangsumme
4590,50
65,50
Statistik für Test
mathematische kenntnisse - allgemeines wissen
Z
-8,276
Asymptotische Signifikanz (2-seitig) ,000
Interpretation
Der p-Wert (0,000) ist signifikant, es gibt daher signifikante Unterschiede in den
Roscorewerten des Mathematik- bzw. Allgemeinwissens. Die Richtung des Ergebnisses
interpretiert man mit den mittleren Rängen. Da der mittlere Rang von 51,01 bei den
negativen Rängen (N = 90) größer ist als der mittlere Rang bei den positiven Rängen (10,92)
und die mathematischen Kenntnisse bei den negativen Rängen kleiner sind als allgemeines
Wissen (siehe Fußnote „a“), kann der Rohscore des allgemeinen Wissens der Befragten als
signifikant höher eingestuft werden.
34
 Matthias Gabriel
5.2 Vergleich von mehr als zwei Mittelwerten bzw. zentraler Tendenzen
1) Parametertests (siehe 5.1) sind die mächtigsten Tests zum Vergleich von Mittelwerten.
Vorteil also die Macht/Power und Aussagekraft, Nachteil die strengen Voraussetzungen.
a) einfache Varianzanalyse für unabhängige Stichproben
Voraussetzungen der Varianzanalyse für unabhängige Stichproben
• Intervallskala der Daten (siehe Kapitel 3)
• Normalverteilung der Daten in allen k Gruppen
• Homogenität der Varianzen aller k Gruppen
• Unabhängige Stichprobe
b) Varianzanalyse für abhängige Stichproben
Voraussetzungen der Varianzanalyse für abhängige Stichproben (z.B:
Messwiederholungen, Geschwister, Parallelisierung)
• Intervallskala der Daten (siehe Kapitel 3)
• Normalverteilung der Messwertdifferenzen
• Zirkularität bzw. Homogenität der Varianzen der Messwertdifferenzen
(Mauchly Test auf Sphärizität)
• Abhängige Stichprobe
c) mehrfache (zweifache) Varianzanalyse für unabhängige Stichproben
Voraussetzungen der zweifachen Varianzanalyse für unabhängige Stichproben
• Intervallskala der Daten (siehe Kapitel 3)
• Normalverteilung der Daten in allen k*m Gruppen
• Homogenität der Varianzen aller k*m Gruppen
• Unabhängige Stichprobe
2) Parameterfreie Tests werden herangezogen, wenn die Voraussetzungen für einen
Parametertest nicht gegeben sind. Vorteil: mildere Voraussetzungen; Nachteil: weniger
Macht; aber trotzdem eine gute Alternative
a) Kruskal-Wallis-Test (Rangvarianzanalyse) (unabhängige Stichproben)
Voraussetzungen:
• Mindestens Rangskalierte Daten
• Stetigkeit des Merkmals (keine qualtitativen bzw. nominalskalierten
Variablen wie z.B: Geschlecht, Schulbildung...)
• Unabhängige Stichproben
b) Friedman-Test (abhängige Stichproben)
• Stetigkeit des Merkmals (keine qualtitativen bzw. nominalskalierten
Variablen wie z.B: Geschlecht, Schulbildung...)
• Mindestens Rangskalierte Daten
• Abhängige Stichproben
35
 Matthias Gabriel
5.2.1 einfache Varianzanalyse (unabhängige Stichproben)
Wie aus der Statistik bekannt ist die Varianzanalyse der mächtigste Test zum Vergleich von
mehr als 2 Mittelwerten; dementsprechend müssen auch ihre Voraussetzungen erfüllt sein:
d) Normalverteilung der Werte in allen k Gruppen
e) Homogenität der Varianzen aller k Gruppen
f) Intervallskalierte Daten in allen Gruppen
Das Modell der Varianzanalyse beruht auf einer Varianzzerlegung.
QT = QZ + QI
QT...Quadratsumme total; die gesamte Streuung der Daten
∑∑
i
j
( xij − x.. ) 2
mit xij ...alle Messwerte x.. ...Gesamtmittelwert
QZ...Quadratsumme zwischen; die Streuung zwischen den k Gruppen
n∑ j ( x. j − x.. ) 2
mit x. j ....Gruppenmittelwert
x.. ...Gesamtmittelwert
QI...Quadratsumme Innen; die Streuung innnerhalb der k Gruppen
∑∑
i
j
( xij − x. j ) 2
mit xij ...alle Messwerte x. j ...Gruppenmittelwert
Die Annahme ist nun, dass unter H0 (keine signifikanten Gruppenunterschiede) das
Verhältnis zwischen QZ und QI (mit ihren Freiheitsgraden) um den Wert 1 ist, da die
Schwankungen innerhalb bzw. zwischen den Gruppen nur zufällig sind. Unter H1
(signifikante Unterschiede zwischen den Gruppen) müsste QZ wesentlich größer sein als QI
und daher auch das Verhältnis QZ / QI wesentlich größer als 1.
Die F-verteilte Prüfgröße F ist also das Verhältnis von QZ zu QI relativiert an den
Freiheitsgraden, also
QZ
MQZ σˆ12
k
−
1
F=
=
=
QI
MQI σˆ 02
N −k
mit df1 = k-1 und df 2 = N-k
k....Anzahl der (Faktor)Gruppen
N...Gesamtstichprobe
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
36
 Matthias Gabriel
Variablen:
UV (Faktor): Die einfache Varianzanalyse benötigt als unabhängige (Gruppen)Variable eine
qualitative bzw. eine zu Messwertklassen zusammengefasste quantitative Variable.
AV: die abhängige Variable muss quantitativ und intervallskaliert sein.
Beispiel: Gibt es signifikante Unterschiede zwischen in den 3 Altersklassen bezüglich den
Punktescores im Raumvorstellungstest?
Hypothesen
H0: Die 3 Altersklassen unterscheiden sich nicht signifikant bezüglich ihrer Testpunkte.
H1: Die 3 Altersklassen unterscheiden sich signifikant bezüglich ihrer Testpunkte.
Variablen
Unabhängige Variable (Faktor): 3 Altersklassen (=Messwertklassen)
Abhängige Variable: „Punktescore“ (intervallskaliert, quantitativ diskret)
Personen
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15-25
9
13
15
16
14
19
15
14
16
12
13
Altersklassen
26-35
36-45
20
29
24
33
22
35
26
36
28
38
23
33
19
31
28
29
29
28
30
35
29
35
34
QI
QI
QZ
QI
QZ
QT
Zuerst erfolgt die Prüfung der Voraussetzungen der Varianzanalyse für unabhängige
Stichproben.
Ad Normalverteilungsprüfung:
Die Normalverteilung wird mittels „Kolmogorov-Smirnov-Test (K+S-Test)“ übergeprüft.
Die Hypothesen werden wie folgt formuliert:
H0: Die Verteilung (der abhängigen Variable) ist eine Normalverteilung (in jeder Gruppe)
bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten) weicht nicht signifikant von der theoretischen
(Normal)verteilung ab.
37
 Matthias Gabriel
H1: Die Verteilung ist nicht normalverteilt bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten)
weicht signifikant von der theoretischen (Normal)verteilung ab.
Befehl:
Jede Gruppe (hier: 3 Altersklassen) der UV, deren Mittelwert verglichen werden soll, muss
separat auf Normalverteilung geprüft werden. Dafür müssen die Fälle erst nach der
betreffenden Variable (hier: Altersklasse) getrennt werden (siehe 1.7)
„Daten“ → „Datei aufteilen...“ → „Ausgabe nach Gruppen aufteilen“ wählen und in
„Gruppe basierend auf“ die gewünschte Variable (hier: Altersklassen) hinzufügen → „ok“
Die Fälle sind jetzt bezüglich Altersklasse imaginär getrennt, jede Berechnung wird jetzt
separat für alle 3 Klassen ausgegeben.
Anmerkung: Zur Auflösung dieser Gruppierung: „Daten“ → „Datei aufteilen“ → „alle Fälle
analysieren, keine Gruppen bilden“ → „ok“
Nun kann die Normalverteilung separat für alle 3 Klassen überprüft werden:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K+S bei einer Stichprobe“ → „Normal“
(für Normalverteilung) → gewünschte zu testende (abhängige) Variable (hier: Punktescore)
eingeben → „ok“
Ergebnis:
Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest(c)
15-25
Punktescore
11
N
Parameter der
Normalverteilung(a,b)
Mittelwert
14,18
26-35
Punktescore
10
24,90
36-45
Punktescore
13
32,69
Standardabweichung
2,562
3,872
3,199
Absolut
,148
,148
-,140
,188
,184
,097
-,188
,184
Kolmogorov-Smirnov-Z
,491
,596
-,154
,662
Asymptotische Signifikanz (2-seitig)
,969
,870
,774
Extremste Differenzen
Positiv
Negativ
a Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.
b Aus den Daten berechnet.
Interpretation:
Die p-Werte 0,969; 0,870; 0,774 sind bei α = 0,05 nicht signifikant. Die H0 bleibt
beibehalten. Die Verteilung der Variable „Punktescore“ entspricht in allen 3 Altersklassen
einer Normalverteilung!
Anmerkung: Ein Histogramm der Daten zur visuellen Überprüfung der NV ist sehr sinnvoll.
Ad Homogenität der Varianzen:
Die Homogenität der Varianzen wird im Zuge der Varianzanalyse automatisch durchgeführt
(Levene-Test)!
Ad Intervallskalierung:
Wird Grundsätzlich nur durch studieren der Daten überprüft (sind die Daten quantitativ?...,
gibt es Ausreißer?,... ist es möglich bzw. sinnvoll die Differenzen von Werten zu
vergleichen?...sind lineare Transformationen zulässig?...)
38
 Matthias Gabriel
Varianzanalyse:
Anwendung nur bei Erfüllung aller oben genannten Voraussetzungen! (andernfalls KruskalWallis-Test)
Befehl:
Vorerst die Gruppierung nach Altersklassen für den K+S-Test aufheben! („Datei aufteilen...“)
(siehe Punkt Normalverteilungsprüfung)
„Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → „einfaktorielle ANOVA“ → unter „Faktor“
die UV eingeben (hier: Altersklassen) → unter „Abhängige Variablen“ die AV eingeben
(hier: Punktescore) → „Optionen“ → „Deskriptive Statistik“ und „Test auf Homogenität der
Varianzen“ anklicken → „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1:
ONEWAY deskriptive Statistiken
Punktescore
N
Mittelwert
Standardabw
eichung
Standardfe
hler
95%-Konfidenzintervall für
den Mittelwert
15-25
11
14,18
2,562
,772
Untergrenze
12,46
26-35
10
24,90
3,872
1,224
22,13
36-45
13
32,69
3,199
,887
30,76
Gesamt
34
24,41
8,471
1,453
21,46
Tabelle 2:
Obergrenze
15,90
Minimum
9
19
27,67
19
30
34,63
28
38
27,37
9
38
Test der Homogenität der Varianzen
Punktescore
LeveneStatistik
2,121
Tabelle 3:
df1
df2
2
31
Signifikanz
,137
ONEWAY ANOVA
Punktescore
Zwischen den Gruppen
Quadratsu
mme
2044,930
Innerhalb der Gruppen
Gesamt
2
Mittel der
Quadrate
1022,465
323,306
31
10,429
2368,235
33
df
F
98,039
Signifikanz
,000
Interpretation:
Tabelle 2
Der Levene F-Test weist einen p-Wert von 0,137 auf. 0,137 ist größer als α = 0,05, die
Varianzen sind demnach homogen!
39
Maximum
 Matthias Gabriel
Tabelle 3
Die Varianzanalyse ergibt einen p-Wert von 0,000. Die 3 Altersklassen unterscheiden sich
also signifikant bezüglich ihres Punktescores im Raumvorstellungstest. H1 wird
angenommen.
Anmerkung: Der Unterschied zw. den Altersklassen kann schon aus den Mittelwerten in
Tabelle 1 erkannt werden.
Die Richtung des signifikanten Ergebnisses (welche Gruppe unterschiedet sich signifikant
von welcher?) kann durch 2 Methoden ermittelt werden:
1) Lineare Kontraste
2) Post hoc Tests
5.2.1.1 Lineare Kontraste (a-priori-Verfahren):
Vorgehensweise:
a) Wird verwendet, wenn man schon vor der Hypothesenprüfung eine Vorahnung hat,
welche Gruppen von welchen signifikant abweichen, und welche Gruppen eher
ähnliche Werte aufweisen.
b) Zuerst erstellt man ein Balkendiagramm mit den 3 Altersklassen als
Kategorienachse und dem Mittelwert des Punktescores als Auswertungsvariable.
(siehe 2.3)
40
Mittelwert Punktescore
30
20
10
15-25
26-35
36-45
Altersklassen
c) Nachdem graphisch die Vorahnung überprüft wurde, definiert man die
Koeffizienten der Kontraste. Vermutung in diesem Beispiel: Alle 3 Gruppen
unterschieden sich signifikant voneinander, also Gruppe 1 mit 3, Gruppe 1 mit 2 und
Gruppe 2 mit 3.
Befehl:
„Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → „einfaktorielle ANOVA“ → „Kontraste“ →
unter „Koeffizienten“ unsere Vermutung in Zahlen ausdrücken
40
 Matthias Gabriel
Die Koeffizientensumme muss immer 0 sein; wenn wie in diesem Beispiel alle 3 Gruppen
gegeneinander getestet werden, müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass jede
Gruppe einen eigenen Koeffizienten hat und die Summe der 3 Koeffizienten 0 ist.
Die Reihenfolge der Eingabe der Koeffizienten bezieht sich auf die Kodierungsnummern
der UV (hier: 3 Altersklassen); erster Koeffzient für erste Altersklasse, 2. Koeffizient für 2.
Altersklasse...
z.B.:
→ „-1“ (für 1. Altersklasse)→ „hinzufügen“ → „0“ (für 2. Altersklasse)→ „hinzufügen“ →
„1“ (für 3. Altersklasse)→ „hinzufügen“ → die „Koeffizientensumme“ kontrollieren (muss 0
sein!)→ „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1
Kontrast-Koeffizienten
Altersklassen
Kontrast
1
Tabelle 2
15-25
26-35
-1
36-45
0
1
Kontrast-Tests
Punktescore
Varianzen sind
gleich
Varianzen sind
nicht gleich
Kontrast
1
Kontrastwert
1
Standardfe
hler
T
Signifikanz
(2-seitig)
df
18,51
1,323
13,991
31
,000
18,51
1,176
15,736
21,952
,000
Interpretaion:
Tabelle 1: Gibt die Koeffizienten wieder
Tabelle 2: Da die Varianzen homogen sind (vgl. Levene Test oben) wird der p-Wert der
ersten Zeile entnommen; p=0,000, das Ergebnis ist signifikant, die Koeffizientenwahl in
diesem Beispiel war gut, alle Gruppen unterscheiden sich signifikant voneinander.
Anmerkung: Falls der Kontrast-Test nicht signifikant ausfällt müssen die Koeffizienten
anders gewählt werden bzw. die Gruppen anders gegenübergestellt werden (zB: Gruppe 1 und
2 gegen Gruppe 3 -> Koeffizienten z.B.: -0,5; -0,5; +1), damit die signifikante Richtung
erkannt wird.
Anmerkung: Fällt die Varianzanalyse nicht signifikant aus ist ein Prüfung mittels
Kontraste natürlich nicht notwendig, da keine signifikanten Unterschiede zwischen keiner der
Gruppen vorliegen.
41
 Matthias Gabriel
5.2.1.2 Post Hoc Tests
Eine andere Methode sind Post Hoc Tests; sie zeigen auf Anhieb welche Gruppen mit
welchen signifikante Unterschiede aufweisen. Eine Vorahnung der Ergebnisse ist nicht
notwendig; Problem ist nur die Alpha-Kumulierung.
Befehl:
„Analysieren“ → „Mittelwerte vergleichen“ → „einfaktorielle ANOVA“ → „Post Hoc“ →
„Scheffe“ wählen; „Signifikanzniveau“ festlegen (Alpha z.B. 5%) → „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1:
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Punktescore
Scheffé-Prozedur
Standardfe
hler
1,411
1,323
Signifikanz
,000
,000
(I) Altersklassen
15-25
(J) Altersklassen
26-35
36-45
26-35
15-25
10,72(*)
1,411
36-45
-7,79(*)
18,51(*)
7,79(*)
1,358
1,323
1,358
36-45
15-25
26-35
95%-Konfidenzintervall
Mittlere
Differenz (I-J)
-10,72(*)
-18,51(*)
Untergrenze
-14,35
-21,91
Obergrenze
-7,09
-15,11
,000
7,09
14,35
,000
,000
,000
-11,28
15,11
4,30
-4,30
21,91
11,28
* Die mittlere Differenz ist auf der Stufe .05 signifikant.
Tabelle 2:
Punktescore
Scheffé-Prozedur
Untergruppe für Alpha = .05.
Altersklassen
15-25
N
11
26-35
10
36-45
13
Signifikanz
1
14,18
2
3
24,90
32,69
1,000
1,000
1,000
Die Mittelwerte für die in homogenen Untergruppen befindlichen Gruppen werden angezeigt.
a Verwendet ein harmonisches Mittel für Stichprobengröße = 11,201.
b Die Gruppengrößen sind nicht identisch. Es wird das harmonische Mittel der Gruppengrößen verwendet.
Fehlerniveaus des Typs I sind nicht garantiert.
Interpretation:
Tabelle 1: Stellt jede (Faktor)Gruppe jeder gegenüber und markiert jene Gruppen, die
signifikante Unterschiede aufweisen in der Spalte „mittlere Differenz“ mit einem Stern (auch
unter der Spalte „Signifikanz“ ablesbar).
In diesem Beispiel:
1. Zeile: Gruppe 15-25 sign. Unterschiede mit 26-35 und 36-45
2. Zeile: Gruppe 26-35 sign. Unterschiede mit 15-25 und 36-45
3. Zeile: Gruppe 36-45 sign. Unterschiede mit 15-25 und 26-35
42
 Matthias Gabriel
Tabelle 2: Zeigt - wie in den Kontrasten selbst eingeteilt wird – welche (Faktor)Gruppen zu
einer homogenen Gruppe zugeordnet werden können und sich von anderen (Faktor)Gruppen
eben signifikant unterschieden. In unserem Beispiel sind alle 3 Gruppen signifikant
voneinander unterschiedlich, daher bildet jede Altersklasse eine homogene Gruppe.
5.2.2 einfache Varianzanalyse (abhängige Stichproben)
Was sind abhängige Stichproben?
Eine Stichprobe ist dann abhängig, wenn einer Person bzw. einem Objekt in der ersten
Gruppe immer eine Person bzw. ein Objekt in der zweiten Gruppe zugewiesen wird.
d) Messwiederholungen (z.B: die Messergebnisse zu zwei Zeitpunkten sind nicht
unabhängig, da sie immer von der gleichen Person erzielt wurden; dem Wert von
Zeitpunkt 1 wird der Wert des Zeitpunktes 2 zugewiesen)
e) Parallelisierung: z.B: Jede Person in Gruppe A hat einen „Testzwilling“ in Gruppe B,
mit ähnlichen, für die Untersuchung relevanten Merkmalen
f) Zwillinge, Partner, Geschwister oder sonstige Paare.
Das Modell der abhängigen Varianzanalyse beruht ebenfalls auf einer Varianzzerlegung.
QT = QZVp + QZBed + QRes
QT...Quadratsumme total; die gesamte Streuung der Daten
∑∑
i
j
( xij − x.. ) 2
xij ....alle Messwerte x.. ...Gesamtmittelwert
QZVP...Quadratsumme zwischen Versuchspersonen; die Streuung zwischen den n Personen
(SPSS: Zwischensubjekteffekte)
k ∑ i ( xi. − x.. ) 2
mit xi. ....Mittelwert Person i
x.. ...Gesamtmittelwert
QZBed...Quadratsumme zwischen Bedingungen; die Streuung zwischen den k Faktorenstufen
(SPSS: Inneresubjekteffekte)
n∑ j ( x. j − x.. ) 2
mit x. j ...Mittelwert Faktorgruppe j
x.. ...Gesamtmittelwert
QRes...Quadratsumme Rest(fehler), welche Interaktionseffekte (Vpn x Faktorgruppen ) und
Fehlereffekte enthält, die nicht getrennt beobachtbar sind
∑∑
i
j
( xij − xi. − x. j + x.. ) 2
43
 Matthias Gabriel
2 Hypothesen können durch dieses Modell geprüft werden:
1. Hypothese
HO1: Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den Faktorstufen
H11: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den Faktorstufen
Die Annahme ist nun, dass unter H0 (keine signifikanten Faktorunterschiede) das Verhältnis
zwischen QZBed und QRes (dividiert durch ihre Freiheitsgrade) um den Wert 1 ist, da die
Schwankungen zwischen Faktorstufen nur zufällig sind, so wie die Residuen.
Unter H1 (signifikante Unterschiede zwischen den Faktorstufen) müsste QZBed wesentlich
größer sein als QRes und daher auch das Verhältnis QZBed / QRes wesentlich größer als 1.
Die F-verteilte Prüfgröße F ist also das Verhältnis von QZBed zu QRes relativiert an den
Freiheitsgraden, also
QZ Bed
σˆ12
k
−
1
F=
= 2
QRes
σˆ 0
(n − 1)(k − 1)
mit df1 = k-1 und df 2 = (n-1)(k-1)
k....Anzahl der Faktorstufen
n....Anzahl der Personen
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
2. Hypothese
HO2:Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den Versuchspersonen.
H12: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den Versuchspersonen.
Die F-verteilte Prüfgröße F ist hier das Verhältnis von QZVp zu QRes relativiert an den
Freiheitsgraden, also
QZVp
F=
σˆ 2
n −1
= 22
QRes
σˆ 0
(n − 1)(k − 1)
mit df1 = n-1 und df 2 = (n-1)(k-1)
k....Anzahl der Faktorstufen
n....Anzahl der Personen
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
Diese Hypothesenprüfung zwischen den Versuchspersonen ist letztlich aber meist
uninteressant.
44
 Matthias Gabriel
Variablen:
Die einfache abhängige Varianzanalyse benötigt eine abhängige Stichprobe, wobei jede
Versuchsperson mehrere Messwerte zu verschiedenen Zeitpunkten/Treatments/....hat.
Beispiel: Gibt es signifikante Unterschiede zwischen den 3 Zeitpunkten der Testung und den
Ergebnissen des Konditionstrainings?
Hypothesen
H01: Die Versuchspersonen unterscheiden sich nicht signifikant bezüglich der Ergebnisse im
Konditionstraining.
H11: Die Versuchspersonen unterscheiden sich signifikant bezüglich der Ergebnisse im
Konditionstraining.
H02: Die Ergebnisse im Konditionstraining unterscheiden sich nicht signifikant bezüglich der
3 Zeitpunkte
H12: Die Ergebnisse im Konditionstraining unterscheiden sich signifikant bezüglich der 3
Zeitpunkte
Variablen
Faktorstufen: 3 Zeitpunkte
Abhängige Variable: Ergebnisse im Konditionstraining (hohe Werte stehen für hohe
Kondition) (intervallskaliert, quantitativ diskret)
Personen
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zeitpunkt (Faktorstufe)
T1
T2
T3
9
20
29
13
24
33
15
22
35
16
26
36
14
28
38
19
23
33
15
19
31
14
28
29
16
29
28
12
30
35
Zuerst erfolgt die Prüfung der Voraussetzungen der Varianzanalyse für abhängige
Stichproben.
Ad Intervallskalierung:
Wird Grundsätzlich nur durch studieren der Daten überprüft (sind die Daten quantitativ?...,
gibt es Ausreißer?,... ist es möglich bzw. sinnvoll die Differenzen von Werten zu
vergleichen?...sind lineare Transformationen zulässig?...)
Ad Normalverteilungsprüfung der Messwertdifferenzen:
Die Normalverteilung wird bei n>30 aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes angenommen.
(eventuelle Berechnung mittels K+S-Test für alle Messwertdifferenzen (siehe 5.1.2) )
45
 Matthias Gabriel
Ad Zirkularität:
Die Homogenität der Varianzen der Messwertdifferenzen wird im Zuge der Varianzanalyse
automatisch durchgeführt (Mauchly-Test auf Sphärizität)!
Varianzanalyse:
Anwendung nur bei Erfüllung aller oben genannten Voraussetzungen! (andernfalls FriedmanTest)
Befehl:
„Analysieren“ → „allgemein lineares Modell“ → „Messwiederholung...“ → unter „Name
des Innersubjektfaktors“ den Faktornamen eingeben (hier: Zeit) unter „Anzahl der Stufen“ die
Faktorstufen eingeben (hier: 3) → „hinzufügen“ → „definieren“ → die Faktorstufen (hier 3
Zeitpunkte) in „Innersubjektvariablen“ “hinzufügen“ → „Diagramme...“ → Faktor (hier Zeit)
in „horizontale Achse“ geben und „hinzufügen“ drücken→ „weiter“ → „Optionen“ →
„Deskriptive Statistik“ anklicken → „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Nach den Deskriptiven Statistiken und der Tabelle „Multivariate Tests“ (nicht relevant)
werden folgende Tabellen ausgegeben:
Tabelle 1
Mauchly-Test auf Sphärizität(b)
Maß: MASS_1
Innersubjekteffekt
Mauchly-W
Approximiertes
Chi-Quadrat
df
Signifikanz
Epsilon(a)
GreenhouseGeisser
Huynh-Feldt
ZEIT
,863
,964
,294
2
,965
1,000
Prüft die Nullhypothese, daß sich die Fehlerkovarianz-Matrix der orthonormalisierten transformierten abhängigen
Variablen proportional zur Einheitsmatrix verhält.
a Kann zum Korrigieren der Freiheitsgrade für die gemittelten Signifikanztests verwendet werden. In der Tabelle
mit den Tests der Effekte innerhalb der Subjekte werden korrigierte Tests angezeigt.
b Design: Intercept Innersubjekt-Design: ZEIT
Tabelle 2:
Untergr
enze
,500
Tests der Innersubjekteffekte
Maß: MASS_1
Quelle
ZEIT
Quadratsumme
vom Typ III
Sphärizität
angenommen
GreenhouseGeisser
Huynh-Feldt
Untergrenze
Fehler(ZEIT)
Sphärizität
angenommen
GreenhouseGeisser
Huynh-Feldt
Untergrenze
Mittel der
Quadrate
df
F
Signifikanz
1705,867
2
852,933
88,847
,000
1705,867
1,930
883,725
88,847
,000
1705,867
2,000
852,933
88,847
,000
1705,867
1,000
1705,867
88,847
,000
172,800
18
9,600
172,800
17,373
9,947
172,800
18,000
9,600
172,800
9,000
19,200
46
 Matthias Gabriel
Tabelle 3:
Tests der Innersubjektkontraste
Maß: MASS_1
Quelle
ZEIT
Fehler(ZEIT)
Tabelle 4:
Quadratsumme
vom Typ III
ZEIT
Stufe 1 gegen
Stufe 3
Stufe 2 gegen
Stufe 3
Stufe 1 gegen
Stufe 3
Stufe 2 gegen
Stufe 3
Mittel der
Quadrate
df
1
3385,600
217,026
,000
608,400
1
608,400
28,283
,000
140,400
9
15,600
193,600
9
21,511
Tests der Zwischensubjekteffekte
Quadratsumme
vom Typ III
5744,011
Fehler
1
Mittel der
Quadrate
5744,011
9
4,752
df
42,767
F
1208,794
Abbildung 1:
Geschätztes Randmittel von MEASU
40
Geschätztes Randmittel
30
20
10
1
Signifikanz
3385,600
Maß: MASS_1
Transformierte Variable: Mittel
Quelle
Intercept
F
2
3
ZEIT
47
Signifikanz
,000
 Matthias Gabriel
Interpretation:
Tabelle1:
Der Mauchly-Test auf Sphärizität fällt nicht signifikant aus. (p=0,863), die Sphärizität
kann angenommen werden. Sollte der Test signifikant ausfallen, ist die Sphärizität nicht
gegeben, was zu einer Erhöhung des Alpha-Fehlers führt: die Varianzanalyse wird folglich zu
progressiv (fällt zu schnell signifikant aus). In solchen Fällen müssen die Freiheitsgrade
korrigiert werden; in den Resultaten der Varianzanalyse müssen daher die Werte in den
Zeilen „Greenhouse-Geisser“ oder „Huynh-Feldt“ abgelesen werden.
Tabelle 2:
Die Innersubjekteffekte sind signifikant (p=0,000); die Werte der Vesuchspersonen in den 3
Zeitpunkten unterschieden sich also signifikant. Die H12 kann also angenommen werden.
Tabelle 3:
Die Kontraste zeigen wie in der Varianzanalyse für unabhängige Stichproben die Richtung
der Ergebnisse.
„Stufe 1 gegen Stufe 3“ und „Stufe 2 gegen Stufe 3“ fallen jeweils signifikant aus. Die
Messwerte des Konditionstrainings der Personen sind somit in allen 3 Zeitfaktorstufen
signifikant unterschiedlich.
Tabelle 4:
Beantwortet die zweite Hypothese (Unterschiede zwischen den Personen). In diesem Beispiel
unterscheiden sich die Personen signifikant hinsichtlich ihrer Messwerte. Auch hier darf
die H11 angenommen werden, obwohl diese Fragestellung eher zu vernachlässigen ist.
Abbildung 1:
Gibt das Profildiagramm wieder, um die Interpretation zu erleichtern. Abgebildet sind die
Mittelwerte der Messwerte in den 3 Zeitpunkten. Wie schon aus der Tabelle „deskriptive
Statistiken“ ersichtlich steigen die Werte des Konditionstrainings im Mittel von Zeitpunkt 1
zu Zeitpunkt 3.
48
 Matthias Gabriel
5.2.3 mehrfache Varianzanalyse (unabhängige Stichproben)
Das Modell der zweifachen Varianzanalyse
QT = QZA + QZB + QI + Q(AxB)
QT...Quadratsumme total; die gesamte Streuung der Daten
QZA...Quadratsumme zwischen den Faktorstufen des Faktors A
QZB...Quadratsumme zwischen den Faktorstufen des Faktors B
Q(AxB)...Quadratsumme der Wechselwirkungen von Faktor A und B
QI...Quadratsumme Innen; die Streuung innnerhalb der Faktorgruppen A und B
Variablen:
UV 1 (Faktor A): Erste (Gruppen)Variable; qualitative bzw. eine zu Messwertklassen
zusammengefasste quantitative Variable.
UV 2 (Faktor B): Zweite (Gruppen)Variable; qualitative bzw. eine zu Messwertklassen
zusammengefasste quantitative Variable.
AV: die abhängige Variable; quantitativ, intervallskaliert
Mit der 2-fachen Varianzanylse sind die Prüfung von 3 Hypothesen möglich :
1. Hypothese
H01: Es gibt keinen signifikanten Unterschiede zwischen den Stufen des Faktors A
H11: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den Stufen des Faktors A
Die F-verteilte Prüfgröße F ist das Verhältnis von QZA zu QI relativiert an den
Freiheitsgraden, also
QZA
σˆ 2
F = k − 1 = A2
QI
σˆ 0
km(n − 1)
mit df1 = k-1 und df 2 = km(n-1)
k.....Anzahl der Faktorstufen Faktor A
m... Anzahl der Faktorstufen Faktor B
n....Anzahl der Personen
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
2. Hypothese
H02: Es gibt keinen signifikanten Unterschiede zwischen den Stufen des Faktors B
H12: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den Stufen des Faktors B
49
 Matthias Gabriel
Die F-verteilte Prüfgröße F ist das Verhältnis von QZB zu QI relativiert an den
Freiheitsgraden, also
QZB
σˆ 2
F = m − 1 = B2
QI
σˆ 0
km(n − 1)
mit df1 = m-1 und df 2 = km(n-1)
k.....Anzahl der Faktorstufen Faktor A
m... Anzahl der Faktorstufen Faktor B
n....Anzahl der Personen
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
3. Hypothese
H03: Es gibt keine signifikanten Wechselwirkungen zwischen Faktor A und Faktor B
H13: Es gibt signifikante Wechselwirkungen zwischen Faktor A und Faktor B
Die F-verteilte Prüfgröße F ist das Verhältnis von Q(AxB) zu QI relativiert an den
Freiheitsgraden, also
Q( AxB)
2
(k − 1)(m − 1) σˆ AxB
F=
= 2
QI
σˆ 0
km(n − 1)
mit df1 = (k-1)(m-1) und df 2 = km(n-1)
k.....Anzahl der Faktorstufen Faktor A
m... Anzahl der Faktorstufen Faktor B
n....Anzahl der Personen
Der resultierende Wert wird mit dem kritischen Wert der F-Verteilung (einseitig) verglichen;
ist der empirische Wert höher als der kritische ist das Ergebnis signifikant.
Beispiel: In einer wirtschaftspsychologischen Studie wurden die Variablen Alter (jung, mittel,
alt) IQ (niedrig, mittel, hoch) und Einstellung zur EU (hohe Werte stehen für positive
Einstellung zur EU) erhoben.
Variablen:
UV 1 (Faktor A): Altersklassen
UV 2 (Faktor B): Intelligenzstufe
AV: Einstellung zur EU
50
 Matthias Gabriel
Personen
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
IQ
niedrig
mittel
hoch
16-30
9
13
15
16
14
19
15
14
16
12
13
14
16
13
117
20
21
14
Altersklassen
31-45
46-60
20
29
24
33
22
35
26
36
28
38
23
33
19
31
28
29
29
28
30
35
24
29
26
35
28
34
21
30
22
33
21
31
29
29
25
29
Fragestellungen / Hypothesen:
H01: Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den 3 Altersklassen bezüglich
Einstellung zur EU.
H11: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den 3 Altersklassen.
H02: Es gibt keine signifikanten Unterschiede zwischen den 3 Stufen der Intelligenz bezüglich
Einstellung zur EU.
H12: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen den 3 Stufen der Intelligenz.
H03: Es gibt keine signifikanten Wechselwirkungen zwischen Intelligenz und Alter
H13: Es gibt signifikante Wechselwirkungen zwischen Intelligenz und Alter
Zuerst erfolgt die Prüfung der Voraussetzungen der zweifachen Varianzanalyse für
unabhängige Stichproben.
Ad Intervallskalierung:
Wird Grundsätzlich nur durch studieren der Daten überprüft (sind die Daten quantitativ?...,
gibt es Ausreißer?,... ist es möglich bzw. sinnvoll die Differenzen von Werten zu
vergleichen?...sind lineare Transformationen zulässig?...)
Ad Normalverteilungsprüfung:
Die Normalverteilung wird mittels „Kolmogorov-Smirnov-Test (K+S-Test)“ übergeprüft.
Die Hypothesen werden wie folgt formuliert:
H0: Die Verteilung (der abhängigen Variable) ist eine Normalverteilung (in jeder Gruppe)
bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten) weicht nicht signifikant von der theoretischen
(Normal)verteilung ab.
51
 Matthias Gabriel
H1: Die Verteilung ist nicht normalverteilt bzw. die empirische Verteilung (aus den Daten)
weicht signifikant von der theoretischen (Normal)verteilung ab.
Befehl:
Jede k*m Gruppe (hier: 3 Altersklassen mal 3 IQ-Klassen = 9 Gruppen) der UVn, muss
separat auf Normalverteilung geprüft werden. Dafür müssen die Fälle erst nach den
betreffenden Variable (hier: Altersklasse und IQ-Klasse) getrennt werden (siehe 1.7)
„Daten“ → „Datei aufteilen...“ → „Ausgabe nach Gruppen aufteilen“ wählen und in
„Gruppe basierend auf“ die gewünschten Variablen (hier: Altersklassen und IQ-Klasse)
hinzufügen → „ok“
Die Fälle sind jetzt bezüglich Altersklasse und IQ-Klasse imaginär getrennt, jede Berechnung
wird jetzt separat für alle 9 Gruppen ausgegeben.
Anmerkung: Zur Auflösung dieser Gruppierung: „Daten“ → „Datei aufteilen“ → „alle Fälle
analysieren, keine Gruppen bilden“ → „ok“
Nun kann die Normalverteilung separat für alle 9 Gruppen überprüft werden:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K+S bei einer Stichprobe“ → „Normal“
(für Normalverteilung) → gewünschte zu testende (abhängige) Variable (hier: Einstellung
zur EU) eingeben → „ok“
Ergebnis (Auswahl):
Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest(c)
Jung
niedrig
N
Parameter der
Normalverteilung(a,b)
Mittelwert
Jung
mittel
Jung
hoch
6
6
6
14,33
14,00
33,5
Standardabweichung
3,327
1,414
41,03
Absolut
,178
,142
-,178
,167
,167
-,167
,453
-,309
Kolmogorov-Smirnov-Z
,435
,408
1,11
Asymptotische Signifikanz (2-seitig)
,991
,996
,170
Extremste Differenzen
Positiv
Negativ
,453
a Die zu testende Verteilung ist eine Normalverteilung.
b Aus den Daten berechnet.
Interpretation: Die K+S-Tests für die Gruppen „jung, niedrig“, „jung, mittel“ „jung, hoch“
fallen alle nicht signifikant (p = 0,991; 0,996; 0,170) aus. Die H0 wird beibehalten. Die
Normalverteilung in den 3 Gruppen ist gegeben.
Anmerkung: Analog gibt SPSS die restliche 6 Gruppen aus (aus Platzgründen nicht
angeführt), die ebenfalls alle nicht signifikant ausfallen müssen.
Ad b) Homogenität der Varianzen:
Die Homogenität der Varianzen wird im Zuge der Varianzanalyse durchgeführt (LeveneTest)!
52
 Matthias Gabriel
Varianzanalyse:
Anwendung nur bei Erfüllung aller oben genannten Voraussetzungen!
Befehl:
Vorerst die Gruppierung nach Altersklassen für den K+S-Test aufheben! („Datei aufteilen...“)
(siehe unter Punkt Normalverteilung)
„Analysieren“ → „allgemeines linears Modell“ → „univariat“ → unter „abhängige
Variable“ die AV eingeben (hier: Einstellung zur EU) → unter „feste Faktoren“ die UVn bzw.
Faktoren eingeben (hier: Altersklassen und IQ-Klassen) → „Optionen“ → „Deskriptive
Statistik“ und „Homogenitätstests“ anklicken → „weiter“ → „post hoc“ → unter „post hoc
Test für“ beide Fakoteren (hier Altersklassen und IQ-Klassen) „hinzufügen“ und „Scheffe“
anklicken → „weiter“ → „Diagramme“ → unter „horizontale Achse“ einen Faktor eingeben
(hier: Altersklasse) und unter „separate Linien“ den zweiten Faktor eingeben (hier IQ-Klasse)
und „hinzufügen“ anklicken → „weiter“ → „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1:
Levene-Test auf Gleichheit der Fehlervarianzen(a)
Abhängige Variable: Einstellung zur EU
F
df1
df2
Signifikanz
5,090
8
45
,000
Prüft die Nullhypothese, daß die Fehlervarianz der abhängigen Variablen über Gruppen hinweg gleich ist.
a Design: Intercept+ALTER+IQ+ALTER * IQ
Tabelle 2:
Tests der Zwischensubjekteffekte
Abhängige Variable: Einstellung zur EU
Quelle
Korrigiertes Modell
Intercept
ALTER
IQ
ALTER * IQ
Fehler
Quadratsumme
vom Typ III
2754,926(a)
8
Mittel der
Quadrate
344,366
35934,241
1
35934,241
184,009
,000
1209,926
2
604,963
3,098
,055
393,926
2
196,963
1,009
,373
1151,074
4
287,769
1,474
,226
195,285
df
8787,833
45
Gesamt
47477,000
54
Korrigierte
Gesamtvariation
11542,759
53
a R-Quadrat = ,239 (korrigiertes R-Quadrat = ,103)
53
F
1,763
Signifikanz
,110
 Matthias Gabriel
Tabelle 3:
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Einstellung zur EU
Scheffé
(I) Intelligenzquotient
niedrig
(J) Intelligenzquotient
mittel
hoch
mittel
niedrig
Standardfe
hler
4,658
4,658
Signifikanz
,997
,496
Untergrenze
-11,46
-17,35
Obergrenze
12,13
6,24
-,33
4,658
,997
-12,13
11,46
-5,89
5,56
5,89
4,658
4,658
4,658
,456
,496
,456
-17,68
-6,24
-5,90
5,90
17,35
17,68
hoch
hoch
95% Konfidenzintervall
Mittlere
Differenz (I-J)
,33
-5,56
niedrig
mittel
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
Tabelle 4:
Einstellung zur EU
Scheffé
Untergruppe
Intelligenzquotient
mittel
N
1
18
23,72
niedrig
18
24,06
hoch
18
29,61
Signifikanz
,456
Die Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Basiert auf Typ III Quadratsumme
Der Fehlerterm ist "Mittel der Quadrate (Fehler) = 195,285".
a Verwendet Stichprobengrößen des harmonischen Mittels = 18,000
b Alpha = ,05
Tabelle 5:
Mehrfachvergleiche
Abhängige Variable: Einstellung zur EU
Scheffé
(I) Altersklassen
jung
(J) Altersklassen
mittel
alt
mittel
jung
Standardfe
hler
4,658
4,658
Signifikanz
,680
,059
4,11
4,658
-7,33
11,44
7,33
4,658
4,658
4,658
alt
alt
95% Konfidenzintervall
Mittlere
Differenz (I-J)
-4,11
-11,44
jung
mittel
Untergrenze
-15,90
-23,24
Obergrenze
7,68
,35
,680
-7,68
15,90
,299
,059
,299
-19,13
-,35
-4,46
4,46
23,24
19,13
Basiert auf beobachteten Mittelwerten.
Tabelle 6:
Einstellung zur EU
Scheffé
Untergruppe
Altersklassen
jung
N
1
18
20,61
mittel
18
24,72
alt
18
32,06
Signifikanz
,059
Die Mittelwerte für Gruppen in homogenen Untergruppen werden angezeigt. Basiert auf Typ III Quadratsumme
Der Fehlerterm ist "Mittel der Quadrate (Fehler) = 195,285".
a Verwendet Stichprobengrößen des harmonischen Mittels = 18,000
b Alpha = ,05
54
 Matthias Gabriel
Abbldung 1:
Geschätztes Randmittel von Einstel
40
Geschätztes Randmittel
30
Intelligenzquotient
20
niedrig
mittel
hoch
10
jung
mittel
alt
Altersklassen
Interpretation:
Nach den deskriptiven Statistiken werden folgende Tabellen ausgegeben:
Tabelle 1:
Der Levene F-Test weist einen p-Wert von 0,000 auf. Die Varianzen sind demnach nicht
homogen! Die Ergebnisse der Varianzanalyse sind demnach mit Vorsicht zu geniesen(!), da
eine Voraussetzung nicht erfüllt ist.
Tabelle 2:
Die Varianzanalyse ergibt für die 3 aufgestellten Hypothesen folgende Endresultate:
Hypothese 1: Der p-Wert von 0,055 ist knapp nicht signifikant; zwischen den Altersklassen
bestehen keine signifikanten Unterschiede bezüglich Einstellung zur EU. Die H01 wird
beibehalten.
Hypothese 2: Der p-Wert von 0,373 ist nicht signifikant; zwischen den IQ-Klassen bestehen
keine signifikanten Unterschiede bezüglich Einstellung zur EU. Die H02 wird beibehalten.
Hypothese 3: Der p-Wert von 0,226 ist nicht signifikant; es bestehen keine signifikanten
Wechselwirkungen zwischen den Altersklassen und den IQ-Klassen. Die H03 wird
beibehalten.
55
 Matthias Gabriel
Tabelle 3 und 4:
Gibt den post hoc Scheffe Test wieder (vgl 5.2.1.2) für den Faktor IQ-Klasse. Da die
Varianzanalyse für Faktor IQ-Klasse nicht signifikant ausgefallen ist, enthält auch der Scheffe
Test keine signifikanten Ergebnisse.
Tabelle 5 und 6:
Gibt den Scheffe Tests für den Faktor Altersklassen wieder. Da die Varianzanalyse für Faktor
Altersklasse ebenfalls nicht signifikant ausgefallen ist, ist auch hier der Scheffe Test sinnlos.
Abildung 1:
Gibt die Wechselwirkungen wieder. Da die Wechselwirkungen in der Varianzanalyse auch
nicht signifikant ausgefallen sind, ist eine Interpretation von Wechselwirkungen des Faktors
IQ und Alter nicht sinnvoll.
Mögliche Interpretation: Junge Personen mit hohen IQ und ältere Personen unabhängig vom
IQ sind positiver zur EU eingestellt als die anderen Gruppierungen.
5.1.3 Kruskal-Wallis-Test (mehr als 2 unabhängige Stichproben, parameterfrei)
Definition: Wenn die Voraussetzungen für eine einfache Varianzanaylse nicht gegeben sind
kann als gute Alternative der Kruskla-Wallis-Test herangezogen werden. Er zählt zu den
parameterfreien Tests (da die Formulierung der Hypothesen nicht auf Parametern µ , x , σ 2 ...
beruhen) und hat viel mildere Voraussetzungen bei nur geringem Machtverlust (ca. 95% der
Macht der VA) .
Im Unterschied zur einfachen Varianzanalyse wird hier nicht QT, QZ bzw. QI, sondern die
mittleren Rangsummen der k Gruppen berechnet; dazu werden nicht die Messwerte
herangezogen, sondern die Rangwerte aller Messwerte! (daher Rangvarianzanalyse)
Beim Kruskal-Wallis-Test ist die Rangvarianz zwischen den Gruppen
RZ = ∑ j n j (r. j − r.. ) 2
nj.....Stichprobenumfang der Gruppe j
r. j ....mittlere Rangsumme der Gruppe j
r.. ...mittlere Rangsumme gesamt
k.....Anzahl der Gruppen
ausreichend um Gruppenunterschiede zu testen.
Die Prüfgröße H ist mit nj → ∞ asymptotisch χ 2 -verteilt
12
H=
n (r − r.. ) 2
∑
j j .j
mit df = k-1
N ( N + 1)
56
 Matthias Gabriel
Voraussetzungen:
• Mindestens rangskalierte Daten
• Stetigkeit des Merkmals (keine qualtitativen bzw. nominalskalierten Variablen wie
z.B: Geschlecht, Schulbildung...)
• Unabhängige Stichproben
Beispiel:
Frage: Gibt es signifikante Unterschiede bezüglich der Bearbeitungszeit in einem
Konzentrationstest in den Berufsgruppen A, B, C und D?
Person
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
A
23
24
33
25
100
26
35
44
B
48
45
99
55
34
26
49
55
43
45
C
70
58
66
45
58
24
58
79
77
D
22
58
59
110
58
56
57
56
Variablen:
UV: 4 Berufsgruppen
AV: Bearbeitungszeit (quantitative Variable; aber Ausreißer(!), daher Intervallskala nicht
gegeben)
Da die Voraussetzung „Intervallskala“ der Varianzanalyse wegen der zahlreichen Ausreißer
nicht gegeben ist, muss der Kruskal-Wallis-Test angewandt werden.
Hypothesen:
H0: Es bestehen keine signifikanten Unterschiede in den Berufsgruppen hinsichtlich der
Bearbeitungszeit des Konzentrationstests.
H1: Es bestehen signifikante Unterschiede in den Berufsgruppen hinsichtlich der
Bearbeitungszeit des Konzentrationstests.
Befehl:
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K unabhängige Stichproben“ →
„Gruppenvariable“ eingeben (hier: Berufsgruppe) → „Bereich definieren“ → „Minimum“
und „Maximum“ eingeben (hier 1 bzw. 4) → „weiter“ → unter „Testvariable“ die AV
„hinzufügen“ (hier: Bearbeitungszeit) → „Kruskal-Wallis-H“ anklicken → „ok“
57
 Matthias Gabriel
Ergebnis:
Tabelle 1
Ränge
Bearbeitungszeit
Tabelle 2
Berufsgruppe
Beruf 1
N
8
Mittlerer Rang
10,13
Beruf 2
10
15,75
Beruf 3
9
23,83
Beruf 4
8
22,13
Gesamt
35
Statistik für Test(a,b)
Chi-Quadrat
Bearbeitun
gszeit
9,457
df
Asymptotische Signifikanz
3
,024
a Kruskal-Wallis-Test
b Gruppenvariable: Berufsgruppe
Interpretation:
Tabelle 1
Gibt die mittleren Rangsummen der 4 Berufsgruppen bezüglich ihrer Bearbeitungszeit
wieder. Wie ersichtlich weisen Gruppe 1 und 2 gegen Gruppe 3 und 4 deutlich Unterschiede
in ihrer Bearbeitungszeit auf.
Tabelle 2
Es bestehen signifikante Unterschiede zwischen Gruppe 1, 2, 3 und 4 bezüglich
Bearbeitungszeit im Konzentrationstest. Der p-Wert von 0,024 ist kleiner als 0,05. Die H0
wird verworfen.
Aufgrund der mittleren Ränge (Rangsumme/nj) erkennt man, dass Gruppe 1 und 2
durchschnittlich weniger Bearbeitungszeit benötigt als Gruppe 3 und 4.
Da es beim Kruskal-Wallis-Test keine Kontraste bzw. post hoc Tests gibt, muss mittles der
mittleren Rangsummen interpretiert werden.
Anmerkung: eine Berechung der einfachen Varianzanalyse würde nicht signifikant
ausfallen (p= 0,182, df1=3 df2=31), da die höhe der Ausreißer in die Mittelwerts- und
Varianzberechnungen einfließen würde (weil mit den Messwerten selbst und nicht mit ihren
Rangwerten gerechnet wird) und dadurch die Werte verzerrten!
58
 Matthias Gabriel
5.1.4 Friedman-Test (mehr als 2 abhängige Stichproben, parameterfrei)
Definition: Der Friedman-Test dient als Alternative falls die Voraussetzungen für die
einfache Varianzanalyse für abhängige Stichproben nicht gegeben sind (Macht zur
Varianzanalyse jedoch nur 64 - 95,5% je nach Gruppenanzahl).
Der Friedman-Test rechnet im Gegensatz zur abhängigen Varianzanalyse nicht mit den
Messwerten selbst, sondern mit den Rangzahlen der Messwerte in jeder der k Gruppen.
Beim Friedman-Test ist ebenfalls die Rangvarianz zwischen den k Gruppen
RZ = ∑ j (r. j − r.. ) 2
r. j ...mittlere Rangsumme der Gruppe j
r.. ...mittlere Rangsumme gesamt
k...Anzahl der Gruppen
ausreichend um Gruppenunterschiede zu testen.
Die Prüfgröße v ist mit n → ∞ asymptotisch χ 2 -verteilt
12
v=
∑ r. 2j − 3n(k + 1) mit df = k-1
nk (k + 1) j
Voraussetzungen
• Stetigkeit des Merkmals (nicht qualtitativ)
• mindestens rangskalierte Daten
• abhängige Stichproben
Beispiel
Frage: 16 Personen mussten 4 Politiker nach persönlicher Beliebtheit rangreihen (hohe Werte
stehen für hohe Beliebtheit). Gibt es in dieser Stichprobe signifikante Unterschiede in der
Beliebtheit der 4 Politiker?
59
 Matthias Gabriel
Politiker
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
Person
A
1
3
4
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
B
3
2
3
3
2
3
2
3
4
3
2
1
2
3
2
C
4
4
2
4
4
4
4
1
3
4
3
3
4
4
1
D
2
1
1
1
1
1
1
4
2
1
4
4
1
1
4
Variablen:
Faktorstufen: 4 Politiker
Abhängige Variable: Rangwerte der Politiker
Da die AV auf einer Rangreihung basiert (=Rangskala und keine Intervallskala), muss statt
der Varianzanalyse der Friedman-Test herangezogen werden.
Da jede Person jedem der 4 Politiker einen Rangwert zuornet, ist die Stichprobe abhängig.
Befehl
„Analysieren“ → „Nichtparametrische Tests“ → „K verbundene Stichproben“ →
„Friedman“ wählen → unter „Testvariablen“ die k abhängigen Gruppen eingeben (hier:
Politiker A, B, C, D)→ „ok“
Ergebnis:
Tabelle 1
Ränge
A
Mittlerer Rang
2,27
B
2,53
C
3,27
D
1,93
Tabelle 2
Statistik für Test(a)
N
Chi-Quadrat
df
Asymptotische Signifikanz
15
8,680
3
,034
a Friedman-Test
60
 Matthias Gabriel
Interpretation:
Tabelle 1
Gibt die mittleren Rangsummen der Bewertung der 4 Politiker wieder. Wie ersichtlich
weisen Politiker A und B ähnliche mittlere Rangwerte auf, während Politiker C besser und
Politiker D schlechter bewertet wird.
Tabelle 2
Es bestehen signifikante Unterschiede zwischen den Bewertungen der 4 Politiker. Der pWert von 0,034 ist kleiner als 0,05. Die H0 wird verworfen.
Aufgrund der mittleren Ränge erkennt man, dass Politiker D am schlechtesten, Politker A
und B durchschnittlich und Politiker C am besten bewertet wurde.
61
 Matthias Gabriel
6 Die Reliabilitätsanalyse
Tests bzw. Fragebögen müssen bestimmte Gütekriterien erfüllen. Die drei wichtigsten sind
6.1 Objektivität
Objektivität beschreibt den Grad der Unabhängigkeit des Tests vom Versuchsleiter.
Theoretisch bedeutet diese Annahme, dass alle Versuchsleiter zum gleichen Ergebnis
kommen müssen. Dies ist aber aufgrund der Testwiederholungseffekte in der Psychologie
nicht möglich.
Die Objektivität ist abhängig von der Art bzw. Konstruktion der Items, von der
Durchführung, der Auswertung und der Interpretation des Tests bzw. Fragebogens.
6.2 Validität (Gültigkeit)
gibt den Grad der Genauigkeit an, mit dem ein Test das zu testende Merkmal tatsächlich
misst. Sie ist das wichtigste Gütekriterium und gleichzeitig am schwierigsten zu prüfen.
Mögliche Frage: „Misst der Test bzw. Fragebogen auch wirklich die
Eigenschaft(en)/Fähigkeiten, die er angibt, messen zu können?“
• Inhaltliche Gültigkeit: wenn der Test quasi definitionsgemäß das optimale Kriterium
des interessierenden Merkmals ist. Diese Annahme wird meist mittels „ExpertenRating“ überprüft: Jedes Item wird kontrolliert, ob es tatsächlich die gewünschte
Eigenschaft, die der Test bzw. Fragebogen messen soll, misst.
• Konstruktvalidität wenn ein Test nicht nur praktische sondern auch theoretische
Vorstellungen, Kriterien erfüllt. (Modelle, Theorien, Konstrukte)
Klassische Methode: Faktorenanalyse
• Kriteriumsvalidität Diese Validität sollte den eigentlichen Grad der Genauigkeit auf
statistischem Wege überprüfen; z.B. die Korrelation des Tests mit dem zu testenden
Kriterium.
6.3 Reliabilität
Die Reliabilität ist der Grad der Genauigkeit, Zuverlässigkeit mit der ein Test ein Merkmal
misst.
Unabhängig davon, was gemessen wird, sollten die Testwerte einer Person bei
Messwiederholungen übereinstimmen. Diese theoretische Reproduzierbarkeit unter gleichen
Bedingungen ist in der Praxis nicht 100%ig möglich. (Wiederholungseffekte)
Die Reliabilität wird mit dem Reliabilitätskoeffizienten gemessen.
Folgende Arten der Reliabilität werden unterschieden:
6.3.1 Paralleltest-Reliabilität
Idee: Testwiederholung hat Wiederholungseffekte, aber die erneute Testung mit einem
identen, äquivalenten Paralleltest würde diesen unerwünschten Effekt minimieren..
Die Korrelation des Tests mit seinem Paralleltest r(X, X`) ergibt die Reliabilität.
X....Test 1
X`...zu Test 1 äquivalenter Test 2
62
 Matthias Gabriel
Problem: Die Konstruktion eines identen Paralleltests ist mittels klassischer Testtheorie
problematisch, jedoch mit neuen Methoden / Ansätzen (probabilistische Testtheorie, ItemResponse-Theorie) durchaus möglich.
6.3.2 Retest-Reliabilität (=Stabilität)
Idee: Eine Wiederholung des gleichen Tests nach einem bestimmten Zeitraum (z.B: 4
Wochen) und eine anschließende Korrelation r(X, X`) liefert relevante Informationen zur
Stabilität des Tests und der gemessenen Eigenschaft. → „Stabilitätsgebung“
X....Test X zum Zeitpunkt 1
X`...Test X zum Zeitpunkt 2
6.3.3 Innere Konsistenz
Definition: Die Homogenität (Gleichheit) der Items wird überprüft. Alle Items müssen
zusammenpassen und eine gemeinsame Dimension/Eigenschaft messen.
Beispiel: 20 Mathematikitems sollen eine Dimension messen: mathematische Fähigkeit.
Um die Homogenität der Items zu überprüfen gibt es eine Reihe an Verfahren und
Prüfgrößen.
Faustregeln:
Wenig Homogenität der Items → schlechte Reliabilität
Je ähnlicher die Items und je länger der Test desto besser ist die Reliabilität (Die Reliabilität
ist abhängig von der Anzahl der Items!)
Eine Reliabilität > 0,8 kann als zufriedenstellend bezeichnet werden.
0,8-0,9...zufriedenstellend
>0,9....hohe Reliabilität
>0,5... ist für Gruppenvergleiche noch zulässig
Methoden der Reliabilitätsmessung:
1) Split-Half-Methode
Definition: Der Test wird aufgrund eines splitting points in 2 Teile geteilt (z.B:
hoher/niedriger Rohscore) und korreliert. Die zugrundeliegende Idee ist, den Test intern in 2
Paralleltests zu teilen und die Ähnlichkeit (Korrelation) der beiden internen Tests zu
berechnen.
Anmerkung: Im SPSS wird die erste Testhälfte der zweiten gegenübergestellt.
2) Cronbach alpha
Definition: Cronbach Alpha gibt die untere Schranke der Reliabilität an. Die wahre
Reliabilität ist größer oder gleich dem Alpha-Wert.
63
 Matthias Gabriel
Anmerkung: Bei dichotomen Items wird automatisch die Kuder-Richardson-Formel benützt.
3) Guttman
Der Guttman-Wert stellt die Korrektur des Cronbach-Alpha-Wertes dar.
4) Parallel
Wird dann verwendet, wenn die Annahme besteht, dass die Items dieselbe Varianz besitzen.
5) Strikt parallel
Unter der Annahme, dass die Items gleiche Varianz und gleichen Mittelwert besitzen.
Beispiel 1: Reliabilität mittels (Cronbach) Alpha
Zur Verfügung steht ein Allgemeinwissenstest mit 9 Kategorien (Geschichte, Geographie,
Technik, Chemie, Biologie, Kunst, Kultur, Wirtschaft und Sport) mit je 3 Items; also
insgesamt 27 Items. Das Antwortformat ist 4-kategoriell und eine Antwort ist richtig.
Die Frage ist nun die Homogenität der Items, also die Reliabilität.
Befehl
„Analysieren“ → „Skalieren“ → „Reliabilitätsanalyse...“ → die gewünschten Items in das
Feld „Items“ geben (hier: 27 Items) → bei „Modell“ „Alpha“ wählen → „Statistik“ →
„Skala wenn Item gelöscht“ wählen und bei „ANOVA-Tabelle“ „Keine“ → „weiter“ → „ok“
1. Ergebnis
R E L I A B I L I T Y
A N A L Y S I S
-
S C A L E
(A L P H A)
Item-total Statistics
GESCHPO1
GESCHPO2
GESCHPO3
GEOREIS1
GEOREIS2
GEOREIS3
TECHWIS1
TECHWIS2
TECHWIS3
CHEMED1
CHEMED2
CHEMED3
NATBIO1
NATBIO2
NATBIO3
KUNST1
KUNST2
KUNST3
KULTUR1
KULTUR2
Scale
Mean
if Item
Deleted
Scale
Variance
if Item
Deleted
14,2700
14,8500
14,5300
14,5800
14,9600
14,7100
14,3800
14,7600
14,8800
14,3500
14,4700
14,3100
14,4700
14,6400
14,4500
14,9300
14,4700
14,5200
14,5000
14,7100
15,3506
15,5631
14,0294
14,7309
15,7762
15,3999
14,9248
14,6489
14,7127
15,3813
15,6254
15,2868
14,4334
15,0610
14,3914
15,2173
14,8981
15,2016
14,6768
14,8140
Corrected
ItemTotal
Correlation
,2663
,0543
,4872
,2718
,0115
,0867
,2999
,2881
,2987
,1650
,0462
,2351
,3957
,1759
,4210
,1693
,2561
,1544
,3091
,2400
64
Alpha
if Item
Deleted
,6730
,6882
,6497
,6693
,6898
,6862
,6682
,6677
,6671
,6779
,6881
,6737
,6590
,6781
,6572
,6780
,6709
,6796
,6662
,6722
 Matthias Gabriel
KULTUR3
WIRTSCH1
WIRTSCH2
WIRTSCH3
SPORT1
SPORT2
SPORT3
14,6000
15,1200
14,6700
14,4600
14,8100
14,7400
14,8000
14,9697
16,0057
14,8092
14,9378
14,9029
14,1539
15,4343
,2039
-,0378
,2413
,2485
,2265
,4226
,0829
,6755
,6875
,6721
,6716
,6734
,6549
,6862
Reliability Coefficients
N of Cases =
Alpha =
100,0
N of Items = 27
,6819
Interpretation
1. Spalte: “Scale mean if item deleted”
Gibt den Skalenmittelwert wieder, wenn das betroffene Item ausselektiert wird.
2. Spalte: „Scale variance if Item deleted“
Gibt die Skalenvarianz wieder, wenn das betroffene Item ausselektiert wird.
3. Spalte: „corrected Item-total correlation“
Bezeichnet die korrigierte Trennschärfe des Items.
Die Trennschärfe ist die Korrelation des Items i mit dem Gesamttest X → r(i; X)
Die korrigierte Trennschärfe ist die Korrelation des Items i mit dem Gesamttest X ohne dem
Item i → r*(i; X*) mit X*=X ohne i.
Eine hohe Trennschärfe weist darauf hin, dass das Item gut zu den anderen passt. Eine
Trennschärfe von 1 bedeutet, dass das Item so gut misst wie der gesamte Test.
Items mit niedrigen Trennschärfen (um 0) und vor allem negativen Trennschärfen werden
ausselektiert, da sie nicht der Dimension der restlichen Items entsprechen!
Im Beispiel: Item „Wirtsch1“ hat eine negative Trennschärfe und wird im nächsten Schritt auf
jeden Fall ausselektiert.
Einige andere Items weisen eine Trennschärfe um Null auf.
4. Spalte: „Alpha if Item deleted“
Gibt den Reliabilitätswert an, im Falle, dass das Item ausgeschlossen wird.
Wenn Item „Wirtsch1“ ausselektiert wird, erhöht sich die Reliabilität minimal (auf: 0,6875).
Reliability coefficients: Alpha:
Alpha, der Reliabilitätskoeffizient stellt nun die Prüfgröße dar. Das Alpha von 0,6819 aus
dem Beispiel liegt unter der erwünschten Schranke von 0,8. Die Reliabilität der 27 Items ist
daher nur mäßig gut.
Natürlich stellt sich in diesem Beispiel allgemein die Frage der Eindimensionalität der
Items!!!
Weiterer Vorgang
Die Reliabilität wird erneut berechnet, jedoch ohne dem Item „Wirtsch1“.
65
 Matthias Gabriel
2. Ergebnis
R E L I A B I L I T Y
A N A L Y S I S
-
S C A L E
(A L P H A)
Item-total Statistics
GESCHPO1
GESCHPO2
GESCHPO3
GEOREIS1
GEOREIS2
GEOREIS3
TECHWIS1
TECHWIS2
TECHWIS3
CHEMED1
CHEMED2
CHEMED3
NATBIO1
NATBIO2
NATBIO3
KUNST1
KUNST2
KUNST3
KULTUR1
KULTUR2
KULTUR3
WIRTSCH2
WIRTSCH3
SPORT1
SPORT2
SPORT3
Scale
Mean
if Item
Deleted
Scale
Variance
if Item
Deleted
14,2000
14,7800
14,4600
14,5100
14,8900
14,6400
14,3100
14,6900
14,8100
14,2800
14,4000
14,2400
14,4000
14,5700
14,3800
14,8600
14,4000
14,4500
14,4300
14,6400
14,5300
14,6000
14,3900
14,7400
14,6700
14,7300
15,3333
15,5875
14,0893
14,7373
15,7959
15,3438
14,9231
14,7009
14,7211
15,3754
15,6768
15,2954
14,4444
15,0355
14,3794
15,2125
14,8889
15,2197
14,6516
14,8388
14,9991
14,8485
14,9474
14,9014
14,1627
15,4516
Corrected
ItemTotal
Correlation
,2800
,0509
,4728
,2732
,0092
,1042
,3043
,2771
,2996
,1712
,0351
,2363
,3958
,1857
,4283
,1741
,2622
,1526
,3198
,2365
,1991
,2339
,2490
,2300
,4233
,0814
Alpha
if Item
Deleted
,6781
,6942
,6573
,6752
,6957
,6905
,6738
,6748
,6730
,6833
,6947
,6794
,6651
,6831
,6627
,6835
,6763
,6856
,6713
,6785
,6818
,6787
,6774
,6790
,6610
,6921
Reliability Coefficients
N of Cases =
Alpha =
100,0
N of Items = 26
,6875
Interpretation
Die verbleibenden 26 Items ergeben eine Reliabilität von Alpha = 0,6875, welches auch
kleiner 0.8 ist. Einige Trennschärfen sind noch um 0 („fett“ markiert), negative Trennschärfen
gibt es jedoch keine.
Das Weglassen der Items mit niedriger Trennschärfe würde jedoch die Reliabilität nur
unwesentlich steigern (z.B: eine Selektion des Items „Georeis2“ würde Alpha nur auf 0,6957
heben), daher ergibt sich folgendes Endresultat:
26 Items weisen eine Reliabilität von 0,6875 auf, der Grad der Homogenität der Items ist
daher nur mäßig.
66
 Matthias Gabriel
Beispiel 2: Reliabilität mittels split half Methode
Die Berechnungsschritte sind gleich wie im Beispiel 1; lediglich das „Modell“ ändert sich auf
„Split half“.
Ergebnis:
R E L I A B I L I T Y
A N A L Y S I S
-
S C A L E
(S P L I T)
Item-total Statistics
Scale
Mean
if Item
Deleted
Scale
Variance
if Item
Deleted
Corrected
ItemTotal
Correlation
Alpha
if Item
Deleted
GESCHPO1
14,2000
15,3333
,2800
,6781
GESCHPO2
14,7800
15,5875
,0509
,6942
GESCHPO3
14,4600
14,0893
,4728
,6573
Usw-----------------usw------------------usw----------------usw--Reliability Coefficients
N of Cases =
100,0
N of Items = 26
Correlation between forms = ,5457
Equal-length Spearman-Brown = ,7061
Guttman Split-half =
Unequal-length Spearman-Brown =,7061
,7014
13 Items in part 1
13 Items in part 2
Alpha for part 1 = ,4828
Alpha for part 2 =
,5440
Interpretation
split half Reliabilität für die halbe
• Correlation between forms = ,5457
Itemanzahl (n=13). Wie aus der Testtheorie bekannt muss die split half Reliabilität
auf die doppelte Länge (n=26) aufgewertet werden. Dies geschieht durch...
• Equal-length Spearman-Brown = ,7061
Unequal-length Spearman-Brown = ,7061
Aufwertung der split half Rel. Für a) gleiche Länge der beiden Testteile b)
unterschiedliche Länge der beiden Testhälften
•
Guttman Split-half =
,7014
Noch eine andere Methode der Reliabilitätsberechnung.
Das Ergebnis ist ähnlich dem Resultat aus Beispiel 1, die
Berechnungsmethoden führen in der Regel auch zu ähnlichen Ergebnissen.
67
verschiedenen
 Matthias Gabriel
7 Die Faktorenanalyse
7.1 Grundidee
Die Faktorenanalyse ist ein Verfahren zur Datenreduktion. Es wird versucht, die zwischen
den Variablen/Items/Fragen bestehenden (Inter)Korrelationen zu erklären, indem latente
Faktoren angenommen werden, welche den beobachteten Variablen zugrunde liegen.
Ziel ist die Anzahl der resultierenden Faktoren wesentlich geringer zu halten, als die Anzahl
der Variablen/Items; daher Datenreduktion, Informationszusammenfassung.
Man versucht also Faktoren zu finden, welche die Korrelationen zwischen den Items erklären.
Nach Extrahieren dieser Faktoren müssen die Interkorrelationen der Items/Variablen in der
Korrelationsmatrix wesentlich niedriger werden (oder sogar um 0 sein, falls die Varianz bzw.
Korrelationen zum Großteil durch die latenten Faktoren erklärt wird).
Die Faktorenanalyse ist also ein datenreduzierendes, „klassifizierendes“ Verfahren.
7.2 Stichworte
Beispiel Faktorenextraktion: Bei 5 Variablen resultieren in diesem Beispiel 3 latente
Faktoren.
Variablen i
Faktorladung
Faktor 2
a12
Faktorladung
Faktor3
a13
Kommunalität hi2
Variable 1
Faktorladung
Faktor 1
a11
Variable 2
a21
a22
a23
a212 + a22 2 + a232
Variable 3
a31
a32
a33
a312 + a32 2 + a332
Variable 4
a41
a42
a43
a412 + a42 2 + a432
Variable 5
a51
a52
a53
a512 + a52 2 + a532
Eigenwerte
a112 + a212 + a312
a12 2 + a22 2 + a32 2
a132 + a232 + a332
+ a412 + a512
+ a42 2 + a52 2
+ a432 + a532
a112 + a12 2 + a132
Faktorladung: ist die Korrelation der beobachteten Variable i mit dem Faktor j;
aij = r ( X i ; F j )
2
Quadrat der Faktorladung aij gibt den erklärten Varianzanteil einer Variable i an, der
durch den einen Faktor j beschrieben wird.
Kommunalität ist die Summe der Quadrate der Ladungen der k Faktoren in einer Variablen i,
also jener Varianzanteil einer Variablen i, der durch alle k Faktoren erklärt wird
k
k
0 ≤ ∑ aij 2 ≤ 1 -> zeilenweise summiert!
Weiters gilt: 0 ≤ ∑ aij 2 ≤ 1
j
j
68
 Matthias Gabriel
Eigenwert λ j ist die Summe der Quadrate der Faktorenladungen eines Faktors j in allen m
Variablen, also der erklärte Varianzanteil aller Variablen durch einen Faktor j.
m
∑
aij 2 -> spaltenweise summiert!
i
Markervariablen werden zur Interpretation der Faktoren herangezogen. Das sind jene
(manifeste) Variablen, in denen die Ladungen der (latenten) Faktoren (positiv oder negativ)
hoch sind.
Jede Variable hat einen Varianzanteil von 1.
Ausgangspunkt der Faktorennanalyse ist die Interkorrelationsmatrix, also jede Variable mit
jeder (auch mit sich selbst = Hauptkomponente) korreliert (siehe Abbildung 1 unten).
7.3 Bestimmung der Faktorenanzahl bzw. Abbruchkriterium
2) Restkorrelation: Wenn die Restkorrelationen nach der Faktorenextraktion um
0 schwanken, wird abgebrochen.
3) Eigenwerte (Kaiser-Guttman-Kriterium): In der Praxis werden meist jene
Faktoren verwendet mit einem Eigenwert (erklärten Varianzanteil) > 1 (da ein
Faktor mit einem Eigenwert < 1 weniger erklären würde als eine Variable)
Nachteil: Bei großen Variablenanzahlen führt dies zu zu vielen Faktoren.
4) Eigenwertdiagramm (Screeplot): die Eigenwerte werden in einem Diagramm
dargestellt. Wenn ein großer Abfall des Eigenwertes von einem zum
nächstkleineren Faktor beobachtet wird, wird an dieser Stelle die Faktoranzahl
festgelegt (also alle Faktoren vor dem „Knick“) (siehe Abbildung 2 unten).
7.4 Voraussetzungen der FA
1) Die FA setzt strenggenommen quantitative Daten voraus (dichotome bzw. polytome
Daten führen zu artifiziellen Faktoren; also Schwierigkeitsfaktoren)
2) Idealer Weise sollte das Skalenniveau der Variablen mindestens Intervallskala
aufweisen und die Korrelationen in Form von Produkt-Moment-Korrelationen
berechnet werden.
3) Die
manifesten,
beobachteten
Variablen
müssen
zusammenhängen
(Interkorrelationsmatrix), sonst macht es keine Sinn latente Faktoren, die den
Zusammenhang beschreiben sollen, zu extrahieren.
Messung vor der FA mittels Bartlett-Test: Es wird überprüft, ob die
Korrelationsmatrix signifikant von der Einheitsmatrix abweicht.
4) Die Stichprobe muss groß und repräsentativ sein.
69
 Matthias Gabriel
Abbildung 1: Interkorrelationsmatrix von 5 Variablen mit sehr hohen Korrelationen
Korrelationsmatrix
Korrelation
ITEM1
ITEM1
1,000
ITEM2
,807
ITEM3
,928
ITEM4
,948
ITEM5
,992
ITEM2
,807
1,000
,923
,789
,812
ITEM3
,928
,923
1,000
,886
,941
ITEM4
,948
,789
,886
1,000
,964
ITEM5
,992
,812
,941
,964
1,000
7.5 Probleme der FA
1)
2)
3)
4)
5)
Wie viele Faktoren sollen extrahiert werden?
Wie benenne ich die Faktoren? (inhaltliche Begründungen)
Die Faktorenanalyse ist stark stichprobenabhängig
Das Modell der FA ist nicht prüfbar
Wie sollen die Faktoren rotiert werden, um eine optimale Lösung zu erhalten?
Trotzdem ist die FA ein wichtiges und häufig verwendetes Verfahren in der (klassischen)
Testtheorie bzw. Testkonstruktion.
7.6 Berechnung der FA mittels SPSS
Zur Verfügung steht ein Mathematiktest mit 20 Items.
Befehl
→ „Analysieren“ → „Dimensionsreduktion“ → „Faktorenanalyse...“ → in „Variablen“ die
gewünschten Variablen/Items hinzufügen (hier: 20 Items) → „deskriptive Statistik“ → unter
„Korrelationsmatrix“ „Koeffizienten“ wählen und „Anfangslösung“ anklicken→ „weiter“ →
„Extraktion“ → bei „Methode“ „Hauptkomponenten“ wählen; weiters „Korrelationsmatrix“,
„nicht rotierte Faktorenlösung“, „Screeplot“ und „Eigenwerte größer als 1“ anklicken →
„weiter“ → „Rotation“ → „Varimax“ und „rotierte Lösung“ anklicken → „weiter“ →
„Optionen“ → „Listenweiser Fallausschluss“ und „sortiert nach Größe“ wählen → “weiter“
→ „ok“
Ergebnis
Nach der Interkorrelationsmatrix werden folgende Tabellen ausgegeben:
Tabelle1
Kommunalitäten
Anfänglich Extraktion
Item 1 1,000
,609
Item 2 1,000
,526
Item 3 1,000
,507
Item 4 1,000
,461
Item 5 1,000
,788
Item 6 1,000
,634
Item 7 1,000
,693
Item 8 1,000
,643
Item 9 1,000
,673
Item 10 1,000
,544
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.
70
 Matthias Gabriel
Tabelle 2
Erklärte Gesamtvarianz
Anfängliche Eigenwerte
Summen von quadrierten Rotierte
Summe
Faktorladungen für Extraktion quadrierten Ladungen
Kompone Gesamt %
der Kumuliert Gesamt
nte
Varianz e %
1
1,494
14,939 14,939 1,494
2
1,256
12,557 27,497 1,256
3
1,175
11,749 39,245 1,175
4
1,091
10,912 50,157 1,091
5
1,061
10,614 60,771 1,061
6
,938
9,378
70,149
7
,851
8,513
78,662
8
,779
7,795
86,457
9
,705
7,052
93,509
10
,649
6,491
100,000
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.
%
der Kumuliert
Varianz e %
14,939 14,939
12,557 27,497
11,749 39,245
10,912 50,157
10,614 60,771
Abbildung 2
Screeplot
1,6
1,4
1,2
Eigenwert
1,0
,8
,6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Faktor
Tabelle 3
Komponentenmatrix
Komponente
1
2
3
4
Item 3 -,693
,157 -4,256E-02 -7,959E-03
Item 2 ,614
,295 ,101
6,304E-02
Item 6 -,465
,406 ,175
,438
Item 7 2,734E-02
-,659 5,151E-02 ,163
Item 9 8,000E-02
,614 -,277
2,553E-02
Item 1 ,228
,173 ,594
2,363E-02
Item 5 -7,245E-02 ,102 ,591
,387
Item 4 ,318
,249 -,489
,240
Item 8 ,430
-,173 -3,403E-02 ,581
Item 10 -,265
-,186 -,334
,569
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.
a 5 Komponenten extrahiert
71
5
1,208E-02
,219
-,173
,478
,460
-,417
,523
-3,738E-02
-,299
-6,558E-02
Gesamt
1,411
1,231
1,179
1,139
1,117
der
%
der Kumuliert
Varianz e %
14,112 14,112
12,308 26,420
11,787 38,207
11,391 49,598
11,173 60,771
 Matthias Gabriel
Tabelle 4
Rotierte Komponentenmatrix
Komponente
1
2
3
4
5
Item 6 ,700
,105
,259
,160
,199
Item 3 ,650
-4,925E-02 -,131
-,254
-1,043E-02
Item 2 -,463
,449
,236
9,726E-02 ,211
Item 9 6,500E-02
,788
-,100
-,168
,100
Item 4 -8,754E-02 ,494
-7,510E-02 ,371
-,259
Item 1 -8,325E-02 -,195
,734
7,337E-02 ,141
Item 7 -,280
-,325
-,578
,102
,404
Item 8 -,186
-4,302E-02 ,139
,766
2,988E-02
Item 10 ,379
-3,857E-02 -,357
,521
-1,521E-02
Item 5 9,099E-02
6,702E-02 5,523E-02 -1,967E-02 ,878
Extraktionsmethode: Hauptkomponentenanalyse.
Rotationsmethode:
Normalisierung.
a Die Rotation ist in 29 Iterationen konvergiert.
Varimax
mit
Kaiser-
Interpretation
1) Tabelle 1
Gibt die Kommunalitäten wieder (siehe 7.2). Zeilenweise wird also angegeben, wieviel
Varianz von jeder Variablen durch alle extrahierten Faktoren erklärt wird.
1) Tabelle 2
• Die Spalte „anfängliche Eigenwerte“ gibt unter „Gesamt“ die Eigenwerte (siehe 7.2)
der Faktoren wieder. Die Faktoren werden sukzessiv extrahiert, d.h. nach ihrem
Eigenwert bzw. Erklärungswert gerangreiht (beginnend mit dem größten). Wie zu
erkennen ist, haben die ersten 5 Faktoren einen Eigenwert über 1, diese werden auch
für die spätere Berechnung herangezogen.
• In der Spalte „% der Varianz“ kann die erklärte Varianz des Faktors abgelesen
werden. Da jede Variable einen Varianzanteil von 1 hat ist der Prozentsatz des
Eigenwertes eines Faktors gleich seinem Eigenwert durch die Gesamtvarianz (hier bei
10 Items Gesamtvarianz = 10); beispielsweise beim ersten Faktor 1,494/10 = 14,94%
der Gesamtvarianz.
• In der Spalte „kumulierte %“ kann die von Faktor zu Faktor aufsummierte
Gesamtvarianz abgelesen werden. In diesem Beispiel erklären alle 5 Faktoren mit
einem Eigenwert >1 60,771% der Gesamtvarianz.
• Die Spalte „Summen von quadrierten Faktorladungen für Extraktion“ gibt das gleiche
wie die erste Spalte wieder, jedoch beschränkt auf die Faktoren mit einem Eigenwert
über 1.
• Die Spalte „Rotierte Summe der quadrierten Ladungen“ gibt die (optimale)
Faktorenlösung nach der Varimax-Rotation wieder. In unserem Beispiel sind sie den
Werten der unrotierten Lösung sehr ähnlich.
2) Abbildung 2 (Screeplot)
Das Diagramm zeigt den Abfall der Eigenwerte der Faktoren. In unserem Beispiel ist ein
großer Abfall nach Faktor 1 und ein weiterer beobachtbarer nach Faktor 5 zu erkennen. Wir
beenden die Anzahl der Faktoren bei Faktor 5.
72
 Matthias Gabriel
3) Tabelle 3 und 4
Diese beiden Tabellen geben die Faktorladungen (siehe 7.2) wieder. Alle 5 Faktoren laden in
den 10 Variablen unterschiedlich. Tabelle 2 gibt die unrotierte, Tabelle 3 die rotierte Lösung
wieder. Die rotierte Komponentenmatrix ist leichter interpretierbar, da die Ladungen
extremisiert werden. Die Ladungen sind geordnet, d.h dass zuerst die Variablen (zeilenweise)
dargestellt werde, die in Faktor 1 hoch laden, dann jene Variablen , die in Faktor 2 hoch
laden... Die fette Zickzacklinie (nicht von SPSS ausgegeben!) veranschaulicht, welche
Faktoren in welchen Markervariablen (siehe 7.2) hoch laden.
Faktor 1 lädt in den (Marker)Variablen Item6 und Item3
Faktor 2 lädt in den (Marker)Variablen Items 2, 9, 4
Faktor 3 lädt in den Items 1 und 7
Faktor 4 lädt in den Items 8 und 10
Faktor 5 lädt im Item 5
Bei der Namensgebung bzw. Interpretation der Faktoren müssen die Variablen, die in den
betreffenden Faktoren hoch laden berücksichtigt werden.
Beispiel: Angenommen, die Items 6 und 3 wären Gleichungsaufgaben, dann könnte der
Faktor 1 beispielsweise „lineare Gleichungen“ benannt werden.
Variationen
• Abbruchkriterium der Faktorenextraktion: statt Eigenvektor > 1 kann auch eine
selbst definierte Anzahl an Faktoren gewählt werden (z.B: 3 Faktoren)
→ „Extraktion“ → „Anzahl der Faktoren“ wählen
• Überprüfung, ob die Variablen überhaupt signifikant korrelieren: wenn nicht, ist
eine FA sinnlos.
→ „deskriptive Statistik“ → „KMO und Bartlett Test auf Sphärizität“ wählen.
Ist die Signifikanz nach Bartlett im Output kleiner als 0,05 ist das Ergebnis
signifikant -> eine FA ist daher sinnvoll, weil die Variablen signifikant miteinander
korrelieren und die beobachtete Korrelationsmatrix signifikant von der Einheitsmatrix
abweicht.
• In der Komponentenmatrix (vgl. Tabelle 3 und 4) können die
Korrelationen/Ladungen um Null ausgeblendet werden, um einen besseren Überblick
zu erhalten. → „Optionen“ → „Unterdrückung von Absolutwerten kleiner als ...0,1“
wählen
• unter „Rotation“ können „Ladungsdiagramme“ erstellt werden, die die
Variablen/Items im rotierten Faktorenraum darstellen .
73