17. FIBONACCI – ZAHLEN

17. FIBONACCI – ZAHLEN
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Die Zahlen Folge
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . .
bzw.
f1 = 1 ,
f2 = 1
fn = fn−1 + fn−2
heißt Fibonacci-Folge.
2
Fibonacci 1180-1214
Seine Kaninchen-Aufgabe:
Ein Kaninchenpaar wirft vom zweiten Monat an ein junges Paar
und in jedem weiteren Monat ein weiteres Paar. Die Nachkommen verhalten sich ebenso.
fn gleich Anzahl der Kaninchenpaare im Monat n, wenn im Monat
1 ein neugeborenes Paar da ist.
3
1556/57, Baumeister Hieronymus Lotter
4
5
In der Mathematik tritt er beim Euklidischen Algorithmus als
worst case“ auf.
”
Division von fn+1 durch fn ergibt den Rest fn−1:
fn+1 = fn + fn−1
6
Wachstumsgeschwindigkeit der Fibonacci Folge:
f2n = f2n−1 + f2n−2 > 2f2(n−1)
und iterativ
f2n > 2n−1f2 = 2n−1
Die Fibonacci-Zahlen wachsen also geormetrisch schnell, wie
schnell genau?
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Darstellung mit Matrizen:
fn+1
fn
!
!
=
1 1
1 0
!
fn
fn−1
und per Iteration der Gleichung mit f0 = 0,
fn+1
fn
!n
!
=
1 1
1 0
f1
f0
!
Frage: Wie behandelt man Potenzen An von einer Matrix A?
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Diagonalmatrizen sind einfach:
d1 0
0 d2
!
d1 0
0 d2
!
d2
1
0
0
d2
2
Dn =
dn
1
=
!
und allgemeiner
D=
d1 0
0 d2
!
⇒
0
0
dn
2
!
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Definition:
Sei A eine quadratische n × n-Matrix. Sei λ ein Skalar. Ein Vektor
x ∈ Rn heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, falls
Ax = λx
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Auf Eigenvektoren lassen sich Matrixpotenzen leicht ausrechnen:
Anx = An−1(Ax) = λAn−1x
also
Anx = λnx
11
!
Das charakteristische Polynom von
1 1
1 0
ist
!
ϕ(λ) = det
1−λ 1
= −(1 − λ)λ − 1 = λ2 − λ − 1
1
−λ
Die Eigenwerte sind die Lösungen von ϕ(λ) = λ2 − λ − 1 = 0,
also
√
λ1,2 =
1
5
±
2
2
12
!
Oder auch direkt: Aus
1 1
x = λx folgt
1 0
x1 + x2 = λx1
x1 = λx2
und folglich λx2 + x2 = λ2x2 bzw. x2(λ2 − λ − 1) = 0. Also erneut
λ2 − λ − 1 = 0.
Damit ist die erste Gleichung berücksichtigt und es braucht nur
noch die zweite Gleichung berücksichtigt werden.
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Wir haben die beiden Eigenvektoren
b1 = (λ1, 1)T = (1.62, 1)T
b2 = (λ2, 1)T = (−0.62, 1)T
und
die wegen
hb1, b2i = λ1λ2 + 1 =
1
2
√
+
5 1
2
√
5
1 5
−
+1= − +1=0
2
2
4 4
orthogonal sind.
14
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Nun gilt
√ !
5
b1 − b2 =
0
und also
fn+1
fn
!n
!
=
1 1
1 0
!
!n
1 1 1
1
=√
0
5 1 0
(b1 − b2)
λn
b1 − λn
b
1
√ 2 2
=
5
16
Insbesondere
n
λn
−
λ
fn = 1√ 2
5
(Formel von deMoivre-Binet).
Oder, weil fn ganzzahlig ist und |λ2| < 1
λn
fn ist die nächste ganze Zahl bei √1
5
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Zwei Filialen verleihen Fahrräder. Bei Filiale I kommen (im Mittel) 60% der ausgeliehenen Fahrräder zurück, 40% landen bei
Filiale II. Bei Filiale II kommen 70% zurück und 30% bei I.
Kann man die Fahrräder so auf I und II verteilen, dass (im Mittel)
am nächsten Morgen wieder genauso viele Fahrräder da sind?
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Sind p = (p1, p2) und q = (q1, q2) die Verteilung der Fahrräder
auf I und II, heute und morgen, so gilt
q1 = 0.7p1 + 0.4p2
,
q2 = 0.4p1 + 0.6p2
bzw.
!
q = pA
mit
A=
0.7 0.3
0.4 0.6
Gesucht ist p mit pA = p, also ein linker Eigenvektor p zum
Eigenwert 1.
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Das charakteristische Polynom
!
ϕ(λ) = det
0.7 − λ
0.3
0.4
0.6 − λ
= (0.7 − λ)(0.4 − λ) − 0.3 · 0.6
hat offenbar 1 als Nullstelle.
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Das Gleichungsystem
!
pA − p = p
!
0.7 − 1
0.3
−0.3 0.3
=p
=0
0.4
0.6 − 1
0.4 −0.4
hat die Lösung p = (0.4, 0.3). Die Aufteilung auf Filiale I und II
ist also
0.3
0.4
= 57% ,
= 43%
0.7
0.7
Ein einzelnes Fahrrad wird im Laufe der Zeit in 57% der Fälle in
Filiale I abgeliefert und in 43% der Fälle in Filiale II.
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