Begegnungen mit Mathematik

Professor Dr. C. Hesse
Institut für Stochastik und Anwendungen
Fakultät Mathematik und Physik
Universität Stuttgart
Übungsblatt 10
Sommersemester 2006
Begegnungen mit Mathematik
Aufgabe 1 Beweisen Sie das kleine Fermat–Theorem: Für jede natürliche Zahl n und jede
Primzahl p ist (np − n) durch p teilbar.
Hinweis: Aus Perlen in n unterschiedlichen Farben soll eine Kette mit genau p Perlen
gemacht werden. Wir reihen als p Perlen auf einen Faden auf. Jede Perle kann aus n
verschiedenen Farben gewählt werden, es gibt also np mögliche verschiedene Aufreihungen.
Davon sind n einfarbige Aufreihungen. Diese verwerfen wir. Bleiben (np − n) gemischte
Aufreihungen. Wir machen nun aus dem Faden eine Kette indem wir die beiden Enden
zusammenbinden. Wann führen 2 Anordnungen der Farben entlang des Fadens zur gleichen
Kette?
Aufgabe 2 Prüfen Sie nach, ob die Polyasche Vermutung für die natürlichen Zahlen n
von 2 bis 20 gilt, d.h. ob die Anzahl G(n) der natürlichen Zahlen k ≤ n vom geraden Typ
höchstens so groß ist wie die Anzahl U (n) der natürlichen Zahlen k ≤ n vom geraden Typ
ist.
Eine natürlichen Zahl k heißt vom geraden Typ, wenn sie als Produkt von einer geraden
Zahl von Primfaktoren und vom ungeraden Typ, wenn sie als Produkt von einer ungeraden
Zahl von Primfaktoren darstellbar ist. Dabei wird 1 nicht als Primfaktor angesehen, sei
aber definitonsgemäß eine Zahl vom ungeraden Typ.
Aufgabe 3 Drei unterschiedlich große Pizzen wurden in der Form eines regelmäßigen
Sechsecks gebacken. Wie kann man ohne zu messen, ohne zu wiegen und auch ohne sie
zu zerschneiden feststellen, ob die größte weniger, mehr oder das gleiche Gewicht hat wie
die beiden anderen zusammen?
Aufgabe 4 Ein Zelt in der Form eines Quaders zur Aufbewahrung von Gartengeräten
soll hergestellt werden. Dazu stehen Stangen von 20cm Länge, Verbindungsstücke, mit denen man stabile Verlängerungsverbindungen und stabile Diagonalverbindungen herstellen
kann, und Planen, die man beliebig zuschneiden kann, zur Verfügung. Was für ein Quaderzelt mit welchen Maßen kann man damit aufbauen, wenn man zur Stabilisierung eine
Flächendiagonale und eine Raumdiagonale einsetzt.
Hinweis: Verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 3 von Blatt 5.
Hausübungsaufgabe 10 (4 Punkte):
Wie groß müssen Grundradius r und Höhe h einer Konservendose mit 1l Inhalt sein,
damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird, also die Oberfläche
möglichst klein wird?
Hinweise: a) Eliminieren Sie die zweite Variable h, so dass Sie eine Funktion von nur einer
Variablen r zu minimieren brauchen.
b) Die Ableitung von f (x) := xa ist auch für beliebige reelle a durch f 0 (x) = a · xa−1
gegeben.
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c) b = x−b .
x
Die Bearbeitung dieser Hausübungsaufgabe geben Sie bitte am Dienstag, den
18.07.06, am Beginn der Übungsstunde bei der Übungsgruppenleitung ab.
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