Lineare Funktionen:

Lineare Funktionen:
F 1. Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen und gib jeweils
(i) die Steigung und den Steigungswinkel an!
(ii) die Wertemenge der Funktion an, wenn die Definitionsmenge D f = R ist!
(a) y = − 2x + 2
(d) y = 3x + 2
(g) y = −2, 2
(j) y = −x
(b) y = −x − 1
(e) y = −2x
(h) y = −4x + 2
(k) y = 4x − 23
(c) y = 4
(f) y = 0, 3x
(i) y = x
(l) y = − 13 x + 32
F 2. Von einer Geraden kennt man zwei Punkte A und B. Ermittle die Steigung und gib die
Funktionsgleichung an!
(a) A(1| − 1), B(3|5)
(c) A(1| − 2), B(−1|4)
(e) A(−1| − 1), B(1|1)
(b) A(2|2), B(4|2)
(d) A(0|2), B(2|2)
(f) A(1| − 1), B(−1|1)
F 3. Zwei Stromanbieter A und B haben folgende Konditionen:
A: Grundgebühr: 25 e pro Jahr und 15 Cent für jede verbrauchte Kilowattstunde (kWh)
B: 10 e Grundgebühr pro Jahr, 17 Cent pro KWh
(a) Konstruiere die Graphen der Kosten in Abhängigkeit des Verbrauchs (in kWh)!
(b) Bei welchem Verbrauch sind die Gesamtkosten gleich?
F 4. Ein Wald hat einen Bestand von 5000 m3 Holz. Nach 3 Jahren sind es 5600 m3 .
(a) Gib eine Funktion an, die den Holzbestand in Abhängigkeit von der Zeit angibt,
wenn lineares Wachstum angenommen wird!
(b) Wieviele Jahre dauert es, bis sich der Holzbestand verdoppelt?
F 5. Bei einem Getränkeautomaten wurden folgende Beobachtungen gemacht: Wenn ein Getränk 60 Cent kostet, dann werden täglich 280 Stück verkauft. Steigert man den Preis
um 20 Cent, so sinkt der Verkauf auf 240 Stück. Es darf angenommen werden, dass die
Nachfrage (verkaufte Stückzahl) linear vom Preis abhängt.
(a) Gib jene Funktion an, die die verkaufte Stückzahl in Abhängigkeit vom Preis angibt!
(b) Zeichne den Funktionsgraphen und gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die
Funktion an!
(c) Wie groß ist der tägliche Absatz, wenn die Getränke verschenkt werden?
(d) Ab welchem Preis kauft niemand mehr ein Getränk?
F 6. Für den Kauf eines Handys stehen folgende Angebote zur Auswahl:
A: 10 e monatliche Grundgebühr und 2 Cent pro Minute in alle Netze
B: Keine Grundgebühr, dafür 8 Cent pro Minute in alle Netze.
In welchem Fall ist es besser das Angebot A anzunehmen?
1
Stückweise lineare Funktionen:
F 7. Die folgenden Funktionen haben die Definitionsmenge D f = R.
(i) Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen und gib an ob die Funktion stetig ist!
(ii) Gib die Wertemenge der Funktion an!
x + 5 für x < −3
x + 1 für x ≤ 0
(a) f (x) =
(b) f (x) =
−x − 1 für x ≥ −3
x − 1 für x > 0




2
für
x < −2
x
(c) f (x) =
− + 1 für −2 ≤ x ≤ 4
 2
−1
für
x>4
2 für x < 1
(d) f (x) =
−x für x = 1

x für x > 1
(e) y = |x| + x
(g) y = sgn(x − 2)
(i) y = sgn(x) − 2
(k) y = −sgn(x)
(f) y = |x − 2|
(h) y = sgn(x + 2)
(j) y = sgn(x) + 2
(l) y = sgn(−x)
F 8. Bei einem Handyvertrag gilt folgende Vereinbarung: Man zahlt 15 e pro Monat. Dafür
darf man 1500 Minuten telefonieren. Jede weitere Minute kostet dann 6 Cent.
Gib die Kosten für die Gesamtgesprächsdauer von t Minuten in einem Monat als stückweise lineare Funktion an und zeichne den Graphen dieser Funktion!
Funktionen vom Typ f (x) = ax2 + bx + c
F 9. (i) Berechne die Nullstellen der Funktion!
(ii) Gib den Funktionsterm in der Form f (x) = a(x − b)2 + c an!
(iii) Gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an!
(iv) Lies aus dem Graphen ab, auf welchen Intervallen die Funktion f monoton wachsend
bzw. monoton fallend ist!
(v) Gib die Wertemenge der Funktion f an!
(a) f (x) = x2 − 4x − 5
(d) f (x) = 0.8x2 + x − 6
(g) f (x) = x2 − 4x + 4
(b) f (x) = 2x2 − 8x
(e) f (x) = − 14 x2 − x + 1
(h) f (x) = 13 x2
(c) f (x) = −x2 + 3
(f) f (x) =
x2
2
−2
(i) f (x) = −4 − 4x − x2
F 10. Gib eine Funktion der Form y = ax2 + bx + c an, auf der die Punkte P, Q und R liegen!
(d) P(0|0), Q(−1| − 1), R(1| − 1)
(a) P(−2|13), Q(1|4), R(3|18)
(b) P 3| 21
4 ) , Q(2|3), R(4|8)
9
1 3
(c) P 4| 13
4 , Q 2| 4 , R 2 | 16
(e) P(−3|53), Q(1| − 3), R(2| − 7)
(f) P(−3| − 1), Q(0| − 10), R(4|6)
F 11. Die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen sollen jeweils im kartesischen Koordinatensystem (ii) um 1 Einheit nach links (iii) um 4 Einheiten nach rechts und
2
1 Einheit nach unten geschoben werden. Berechne den zugehörigen Funktionsterm.
(b) f (x) = x2 + x
(a) f (x) = 2x − 1
(c) f (x) = |x|
Gebrochen rationale Funktionen:
F 12. (i) Gib die größtmögliche Definitionsmenge der Funktion f an!
(ii) Gib senkrechte und schiefe Asymptoten der Funktion f an!
(iii) Zeichne den Graphen der Funktion f !
(a) f (x) =
(b) f (x) =
2
x−2
1
x
(c) f (x) =
(d) f (x) =
2x
4x−3
x−1
3x+2
(e) f (x) =
(f) f (x) =
2x−3
x+1
−1
2x
Wurzelfunktionen, Relationen
F 13. Gib die größtmögliche Definitionsmenge an, zeichne den Graphen der Funktion und gib
die Wertemenge an!
√
√
√
(c) y = − 2x − 4
(a) y = x − 1
(e) y = 4 2x + 3 − 4
√
√
√
(b) y = 3 − 2x
(d) y = −3 3 − x
(f) y = −2 x + 1 + 2
F 14. Zeichne die Graphen der folgenden Kurven:
(a) y2 = 2x
(c) y2 = x + 3
(e) y2 = −x + 3
(b) y2 = −2x
(d) y2 = x − 3
(f) y2 = −x − 3
Umkehrfunktion
F 15. (i) Skizziere den Graphen der folgenden Funktion!
(ii) Bestimme die Wertemenge der Funktion!
(iii) Verändere die Definitionsmenge und die Zielmenge der Funktion so, dass die
Funktion eine Inverse besitzt!
(iv) Berechne den Funktionsterm der Umkehrfunktion und bestimme Definitions- und
Zielmenge der Umkehrfunktion!
(v) Skizziere den Graphen der Umkehrfunktion!
(a) f : R → R, y = 12 x + 3
(b) f : R → R, y =
x2
3
+2
√
(c) f : [−5; ∞[→ R, y = x + 5
(d) f : R → R, y = −x
(e) f : R → R, y = 2x − 4
(f) f : R → R, y = −x2 − 2x + 1
3
Exponentialfunktion:
F 16. Bringe die folgenden Funktionsterme auf die Form y = c · ax und skizziere den Graphen
der Funktion:
21−2x
(a) y = 22x−1
(d) y = − √
3
(b)
3x+2
y = 3 232x
(e) y =
√
(c) y = 51−x
73−4x
3 2−3x
2
x
5 +1
(f) y = 2 · 3
√
· 2−x
F 17. Ein Sparbuch wird mit einem Kapital K0 eröffnet. Der Zinssatz beträgt p% pro Jahr. Der
Betrag K(n), welcher nach n Jahren auf dem Sparbuch liegt wird mit folgender Formel
berechnet:
p n
K(n) = K0 1 +
100
Berechne wieviel Geld (i) nach einem Jahr (ii) nach 5 Jahren, (iii) nach 25 Jahren auf dem
Sparbuch liegt!
(a) K0 = 5000 e, p = 1, 25%
(c) K0 = 1000 e, p = 4, 5%
(b) K0 = 1000 e,
(d) K0 = 500 e,
p = 2, 75%
p = 6%
F 18. Der Luftdruck p nimmt mit zunehmender Höhe (über Meeresspiegel) ab und zwar mit
dem Gesetz:
p = p0 · e−0.13h ,
p0 = 1.013 bar,
h in km über dem Meeresspiegel
Wie groß sind demnach die durchschnittlichen Luftdruckwerte an folgenden geographischen Punkten?
Ort
h in m
Wien
171
Großglockner
3797
Kilimandscharo
5895
Mount Everest
8848
F 19. Im Jahr 1980 war die Fläche Mitteleuropas von rund 5 · 106 Hektar Wald bedeckt. Nach
Schätzungen nimmt der Bestand jährlich um 2,67 Promille zu. Um wieviel Prozent wird
die Waldfläche bis zum Jahr 2020 im Vergleich zu 1980 zugenommen haben?
F 20. In einer Tasse befindet sich T2 = 80◦ C heißer Tee. Die Umgebung hat T1 = 20◦ C. Die
Abkühlung erfolgt nach dem Gesetz
T (t) = T1 + (T2 − T1 ) · e−0,05·t ,
T [◦C],
Welche Temperatur hat das Wasser
(a) nach 10 min?
(b) nach 20 min?
t[min.]
(c) nach 40 min?
(d) nach 60 min?
F 21. Der Wert eines Autos sinkt jährlich um 15%. Wie groß ist der Wert eines Autos mit einem
Neupreis von 10 000e
(a) nach 1 Jahr?
(b) nach 5 Jahren?
(c) nach 10 Jahren?
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