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Topologie WS 2007/2008
Prof. Dr. Anton Deitmar
Dr. Mark Blume
Blatt 1
Abgabe am 29.10.2007
in der Vorlesung
Sei X ein topologischer Raum und sei E ⊆ P(X) eine Teilmenge der Potenzmenge
von X, die die Topologie von X erzeugt. Man zeige:
a) Sei B = {E1 ∩ . . . ∩ En | nS∈ , Ei ∈ E}. Dann sind die offenen Mengen von X
genau die Mengen der Form i∈I Ui mit Ui ∈ B.
b) Es gilt: f : Y X ist stetig ⇐⇒ ∀ E ∈ E : f −1 (E) ist offen.
2.
Sei X eine Menge versehen mit der koendlichen Topologie, d.h. U ⊆ X ist offen
genau dann, wenn X \ U endlich ist oder U = ∅. Man zeige:
a) Ist X unendlich, so ist diese Topologie nicht Hausdorffsch.
b) Jede Teilmenge von X ist kompakt.
3.
Sei X = × versehen mit der Produkttopologie, wobei der eine Faktor die
durch die Betragsmetrik induzierte Topologie und der andere Faktor die diskrete
Topologie trage. Man zeige:
a) Die relative Topologie auf Y1 = {(a, b) | a = b} ⊂ × ist die diskrete Topologie
(analog für Y2 = {(a, b) | a = −b} ⊂ × ).
b) Die Topologie auf X = × ist keine Produkttopologie bezüglich der Projektionen
q 1 : X = Y 1 × Y 2 Y1 , q 2 : X = Y 1 × Y 2 Y2 .
4.
Seien G1 , G2 , H Gruppen und α1 : G1 H, α2 : G2 H Gruppenhomomorphismen.
Verifiziere, dass die Menge P := {(g1 , g2 ) ∈ G1 × G2 | α1 (g1 ) = α2 (g2 )} eine Untergruppe von G1 × G2 ist, die Projektionen πi : P Gi Gruppenhomomorphismen
sind, das Diagramm
P π2
π1
−
−
1.
G1 −
−
G2
α1
α2
−
−
H
kommutiert und folgende universelle Eigenschaft eines gefaserten Produkts erfüllt ist:
Ist
ϕ1 G ϕ2
G1 −
−
G2
α1
α2
H
ein kommutatives Diagramm von Gruppen, so existiert genau ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G P , so dass das Diagramm
G−
−−− − P −−
G1 G2
ϕ
−
−
−
−
−
H
kommutiert.