¨Ubungen Blatt 4

Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften
SS 2004
Übungen Blatt 4
Abgabe der gelösten Aufgaben: 12./14. Mai 2004
Bedingte Wahrscheinlichkeit
43) [3P.] In einer Schachtel hat es 400 gemischte Büroklammern, davon sind 250 gross (G)
und 150 klein (K). Von den grossen sind 120 rot (R) und 80 blau (B), von den kleinen
sind 50 rot und 80 blau, der Rest ist jeweils orange (O). Das Zufallsexperiment
besteht in der zufälligen Auswahl einer Büroklammer. Berechnen Sie die folgenden
Wahrscheinlichkeiten und überlegen Sie sich dabei ihre konkrete Bedeutung.
a) P (R), b) P (G ∩ B), c) P (G ∪ B), d) P (G|B), e) P (B|G), f) P (G|O).
44) [4P.] In einem Laden ist nach Ostern eine grosse Zahl von Zuckereili übrig geblieben,
die alle zusammen in einer Schachtel gelandet sind. Nach Farben gibt es rote (R),
blaue (B) und weisse (W ), nach Grösse grosse (G) und kleine (K). Durch Schätzen
wurden die folgenden (z.T. bedingten) Wahrscheinlichkeiten bestimmt: P (B) = 0.3,
P (W ) = 0.3, P (K) = 0.4, P (G | R) = 0.75. Bestimmen Sie a) P (G ∩ R), b)
P (R | G).
45) [3P.] Ein roter und ein blauer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Das Ereignis E
besteht darin, dass die Augensumme ≥ 8 ist. Wie gross ist die bedingte Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass E eintritt, falls der rote Würfel die Augenzahl k zeigt? Behandeln Sie alle möglichen Fälle, also k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
46) [4P.] Aus der Menge der Zahlen {11, 12, . . . , 40} wird eine Zahl zufällig ausgewählt.
Wir betrachten die folgenden Ereignisse: A = “die Zahl ist ungerade”, B = “die Zahl
ist durch 5 teilbar”, C = “die Zahl ist eine Primzahl”. Berechnen Sie die folgenden
bedingten Wahrscheinlichkeiten:
a) P (A|B), b) P (B|A), c) P (C|A), d) P (A|C).
Eines der Ergebnisse ist in einem gewissen Sinn speziell. Geben Sie eine Erklärung.
47)
◦
Wir befassen uns wieder einmal mit Xaver und Yvonne. Die Voraussetzungen
sind dieselben wie in Beispiel 32.3.F. a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das
Ereignis E: “Xaver trifft vor 12.30 und Yvonne nach 12.30 ein”? b) Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass E eingetroffen ist? c)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit eines Treffens unter der Bedingung, dass beide
nach 12.45 eintreffen? Wir erklärt sich das Resultat?
Baumdiagramme
48)
◦
In einer Fabrik wird ein Massenartikel von drei Maschinen A, B, C hergestellt,
welche 40%, 35% und 25% der Produktion liefern. Die Maschinen produzieren 2%,
3% bzw. 4% Ausschuss. Die Artikel gelangen gesamthaft und zufällig gemischt in die
Kontrolle. Mit welcher Wahrscheinlichkeit a) ist ein Artikel brauchbar, b) stammt ein
brauchbarer Artikel von Maschine C, c) stammt ein defekter Artikel von Maschine
A?
49) [4P.] In einem Korb hat es acht Äpfel, sieben Birnen und fünf Orangen. Es werden
Ihnen zufällig zwei Früchte ausgehändigt. Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm. Bestimmen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a)
Sie erhalten zwei Früchte derselben Sorte. b) Sie erhalten genau eine Orange. c) Sie
erhalten mindestens eine Birne.
50) [3P.] In einem Dorf sind 30% der Frauen Mitglied des Trachtenvereins. Von den
Vereinsmitgliedern tragen am Sonntag 80% ihre Tracht, aber auch 20% der Nichtmitglieder tun dies. Sie kommen in das Dorf und treffen eine Trachtenfrau an. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit ist sie Vereinsmitglied?
51) [3P.] In einer Schachtel sind 20 Tombola-Lose und zwar 16 Nieten und 4 Treffer. Eine
Person zieht so lange Lose (natürlich ohne sie zurückzulegen), bis sie einen Treffer
erwischt hat. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geschieht dies genau im 3. Zug?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Treffer spätestens im 4. Zug
erscheint?
52) [4P.] Anna und Bernhard spielen gegeneinander. Sie ziehen abwechslungsweise und
ohne Zurücklegen eine Kugel aus einem Gefäss, das anfänglich drei schwarze und
drei weisse Kugeln enthält. Anna beginnt das Spiel. Sie gewinnt, sobald sie eine
schwarze Kugel zieht. Bernhard andrerseits gewinnt dann, wenn er eine weisse Kugel
zieht. Sobald die Siegerin oder der Sieger feststeht, wird das Spiel abgebrochen. a)
Berechnen Sie die Siegeschancen der beiden. b) Wie ist es möglich, dass das Spiel
unentschieden endet? Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür?
53) [4P.] Ein Korb enthält 8 Zitronen und zwei Orangen. Drei Personen, Anita, Bruno
und Claudia, wählen ohne zu gucken in alphabetischer Reihenfolge je eine Frucht
(ohne diese zurückzulegen). Wie gross sind die Chancen von A, B, C, eine Orange
zu erwischen?
Unendliche Baumdiagramme
54) [4P.] Wir würfeln solange mit zwei Würfeln, bis erstmals die Augensumme 5 auftritt.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit pk dafür, dass dies im k-ten Wurf passiert (k =
1, 2, 3, . . .)?
55) [5P.] In einer Urne liegen 3 rote und 9 weisse Kugeln. Hänsel und Gretel ziehen in
der Reihenfolge GHHGHHG . . . je eine Kugel aus der Urne und legen sie, falls sie
weiss ist, wieder zurück. Wer zuerst eine rote Kugel zieht, hat gewonnen. Berechnen
Sie die Gewinnchancen der beiden.
Repetitionsaufgabe zum Wintersemester
56) [3P.] Gegeben ist das Vektorfeld F~ (~x) = (x2 , −x1 + 2x2 , x3 ). Berechnen Sie das KurR
venintegral C F~ (~x) d~x, wobei C der (einmal) im Gegenuhrzeigersinn durchlaufene
Einheitskreis in der x1 -x2 -Ebene ist.