(T4) Blatt 7 Prof. Dr. U. Schollwöck Wintersemester

Theoretische Physik
Thermodynamik und statistische Physik (T4)
Prof. Dr. U. Schollwöck
28. November 2014
Blatt 7
Wintersemester 2014
Aufgabe 15: Markov Prozesse
Ein stochastischer Prozess ist eine Familie {Xt : t ∈ T } von Zufallszahlen, die von einer Menge T
indiziert werden und anschaulich in einer Zeitentwicklung aufeinanderfolgen. Für diskrete Zeit t, lässt
sich eine Realisierung des Prozess als {x0 , x1 , ...} schreiben, wobei xt ∈ S. S nennen wir Zustandsmenge.
Ein stochastischer Prozess heißt Markov-Kette, wenn
P (Xn = s|X0 = x0 , X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 ) = P (Xn = s|Xn−1 = xn−1 ).
(1)
Bei einer Markov-Kette hängt der Zustand von Xn also nur vom Zustand von Xn−1 ab, und nicht von
früheren Zuständen. Damit wird die Zeitentwicklung einer homogenen Markov-Kette vollständig von
der |S| × |S| Übergangsmatrix P = (pij ), mit
pij = P (Xm+1 = j|Xm = i),
(2)
bestimmt, wobei i, j ∈ S. Homogen bedeutet dabei Zeitunabhängigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten im folgenden Sinn: P (Xm+1 = j|Xm = i) = P (X1 = j|X0 = i). Wir definieren schließlich noch
die Übergangsmatrix Pn = (pij (n)), mit
pij (n) = P (Xm+n = j|Xm = i),
(3)
für größere Zeitsprünge n.
(a) Betrachten Sie den Bernoulli Prozess, der durch die Wahrscheinlichkeiten für die einzigen erlaubten
Übergänge
P (Xm+1 = i + 1|Xm = i) = p, P (Xm+1 = i|Xm = i) = 1 − p
(4)
mit S = {0, 1, 2, . . . } definiert ist. Skizzieren Sie die Übergangsmatrix und berechnen Sie p0j (n).
(b) Beantworten Sie die beiden Fragen aus (a) auch für den 1D-random walk aus der Vorlesung (mit
der Konvention, dass p die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts ist und folglich 1 − p
die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach links).
(c) Zeigen Sie
Pm+n = Pm Pn .
(5)
(Siehe (3) für die Definition der Übergangsmatrix Pm .)
(d) Zeigen Sie, dass daraus folgt: Der Zeilenvektor v (n) = (P (Xn = i)) mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände von Xn als Einträgen, ergibt sich als
v (n) = v (0) P n .
Tipp: Zeigen Sie zuerst P (A ∩ B|C) = P (A|B ∩ C)P (B|C), um (c) zu lösen.
1
(6)
Aufgabe 16: Schlussfolgerungen aus dem Mittelwert
(a) Sei X eine reellwertige Zufallsvariable, c > 0, h : R → R+ eine nicht-negative, monoton-wachsende
Funktion. Zeigen Sie, dass
P (X ≥ c) ≤ hh (X)i /h (c) .
(7)
Schlussfolgern Sie aus Gl. (7) weiter, dass
P (|X| ≥ c) ≤ h|X|i /c und
P (|X| − h|X|i ≥ c) ≤ (X − hXi)2 /c2 .
(8)
(9)
Letzteres ist gerade die in der Vorlesung besprochene Tschebyscheff-Ungleichung.
(b) Gemäß der Erfahrung der letzten Jahre weiß der Professor, dass die in seiner Standardklausur
erreichte Punktzahl eine Zufallsvariable mit Mittelwert 75 ist.
(b1) Geben Sie eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Punktzahl eines Studenten
größer als 85 ist.
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(b2) Sei die Varianz im Weiteren σX
= 25. Geben Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit
an, mit der ein Student zwischen 65 und 85 Punkte erhält.
(b3) Verwenden Sie die Tschebyscheff-Ungleichung um eine obere Schranke an die Anzahl von Klausurteilnehmern zu bestimmen, sodass mit Mindestwahrscheinlichkeit 0.9 der Klausurschnitt im Bereich
von 70 bis 80 Punkten liegt.
Aufgabe 17: Zentraler Grenzwertsatz am Beispiel der Poisson-Verteilung
Seien X1 , ..., X20 unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Mittelwert λi = 1 für i ∈ {1, .., 20}.
P
(a) Zeigen Sie, dass i Xi (für beliebige λi ) ebenfalls Poisson-verteilt ist.
(b) Bestimmen
Sie mittels
der Ungleichung (8) eine obere Schranke an die Wahrscheinlichkeit
P20
X
>
15
.
P
i
i=1
P20
(c) Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz um einen Näherungswert für P
X
>
15
zu
i
i=1
erhalten. Vergleichen Sie nach Möglichkeit mit dem exakten Wert.
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