Unmögliche Kachelungen

Unmögliche Kachelungen
Mathematisches Seminar für LAK
Christine Brandmüller
Hanna Donner
SS 2013
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 John Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Max Dehn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Unmögliche Kachelungen
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Conways Kachelgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Anwendung bei elektrischen Schaltkreisen . . . . . . . .
2.4 Kachelung durch Rechtecke mit einer ganzzahligen Seite
2.5 Kachelung von Dreiecken mit gleichem Flächeinhalt . .
3 Quellen
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1 Einleitung
1.1 John Conway
John Horton Conway wurde am 26. Dezember 1937 in Liverpool geboren und ist englischer Mathematiker. Conway ist bekannt für seine Arbeiten zur kombinatorischen Spieltheorie, wozu er unter anderem die Bücher „Über Zahlen und Spiele“ (Original: „On
Numbers and Games“), „Zahlenzauber“ („The Book of Numbers“) und „Gewinnen:
Strategien für mathematische Spiele“ („Winning Ways for Your Mathematical Plays“,
zusammen mit Elwyn Berlekamp und Richard Kenneth Guy) veröffentlicht hat. Er kreierte zahlreiche mathematische Spiele, darunter das berühmte Game of Life und das Spiel
Sprouts. Er entdeckte die surrealen Zahlen (so der Titel eines Buches, in dem Donald
Knuth diese Arbeiten popularisierte), eine Zahldefinition in Analogie zum DedekindSchnitt, die auch Spiele und Kardinalzahlen umfasst.
1
1.2 Max Dehn
Max Dehn wurde am 13.11.1878 in Hamburg geboren und verstarb am 27.6.1952 in Black
Mountain (North-Carolina). Er war ein berühmter deutscher Mathematiker, der als erster eines, genauer gesagt das dritte, von Hilberts 23 mathematischen Problemen löste.
Dehn war Schüler von Hilberts und konnte die Frage bereits kurz nach Veröffentlichung
mit „Nein“ beantworten.
1
Abb.1 John Horton Conway
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2
Hilberts 3. Problem:
Fragestellung: Sind zwei beliebige Tetraeder mit gleichen Grundflächen und gleichen
Höhen stets zerlegungsgleich oder lassen sie sich mit kongruenten Polyedern zu zerlegungsgleichen Körpern ergänzen?
Lösung: Weder ersteres noch letzteres ist der Fall.
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Abb.2 Max Dehn
3
2 Unmögliche Kachelungen
2.1 Einführung
Kann man ein Schachbrett, bei dem man zwei diagonal gegenüberliegende Quadrate
entfernt hat, mit Dominosteinen bedecken?
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Unser Kapitel beschäftigt sich mit Kachelungen, insbesondere mit unmöglichen Kachelungen von ebenen Polygonen durch ebene Polygone. Eine typische Kachelung kann so
aussehen.
4
Das ist ein typischer Ausschnitt einer Kachelung mit Dominosteinen- die einzelnen Kacheln überlappen einander nicht, sie berühren einander nur entlang von Teilen der Ränder.
Wichtig dabei ist, dass wir sowohl horizontale als auch vertikale Positionen von Kacheln
zulassen und wir gehen davon aus, dass benachbarte Kacheln keine ganze Seite teilen.
Solche Kachelungsprobleme sind meistens wie folgt gegeben:
Ist es möglich P mit isometrischen Kacheln Qi zu überdecken?
Kommen wir zurück zu unserem Schachbrettproblem.
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Abb.3 Ein beschnittenes Schachbrett
Abb.4 Ausschnitt einer Kachelung
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Das Schachbrett hat eine schwarz-weiß Färbung, das heißt das zwei diagonal geegnüberliegende Quadrate immer die gleiche Farbe haben, in unserem Beispiel schneidet man
zwei schwarze Quadrate weg. Das Schachbrett, das übrig bleibt hat demnach 32 weiße
und 30 schwarze Felder. Da jeder Dominostein immer zwei verschieden färbige Felder
hat, folgt daraus, dass es keine Kachelung für dieses Problem gibt. (31 Steine –> 31
weiße und 31 schwarze Felder)
Dieses Problem lässt sich durch das Prinzip der Färbung lösen. Eine andere Variante dieses Problems, wenn man in jedes weiße Quadrat eine 0 und in jedes schwarze Quadrat
eine 1 schreibt. Die Summe aller Felder auf dem Schachbrett ist 30. Auf den Dominosteinen sind aber auch die Zahlen 0 und 1. Die Summe der Dominosteine ist 31. –> es
kann keine Kachelung geben.
Ein anderes Problem ist ein 10*10 Quadrat, das man mit L-förmigen Kacheln überdecken. Zur Einfachheit schreiben wir in die Quadrate die Zahlen 1 und 5.
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Jede Kachel, egal welche der acht verschiedenen Orientierungen sie aufweist, überdeckt
entweder drei 5 und eine 1, oder drei 1 und eine 5. In beiden Fällen ist die Summe ein
Vielfaches von 8. Betrachtet man die Gesamtsumme des Quadrats, kommen wir auf die
Zahl 300. 300 ist aber nicht durch 8 teilbar, also folgt sehr schnell daraus, dass diese
Kachelung auch unmöglich ist.
In einem nächsten Schritt stellen wir uns vor, dass es zu den positiven Kacheln, von
denen wir bis jetzt gesprochen haben, auch negative Kacheln gibt. Diese, mit Vorzei5
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Abb.5 Das Farbargument
Abb.6 Färbung modulo 8
5
chen behafteten Kacheln, darf man überlagern, sodass sich die gemeinsamen Teile der
positiven und negativen Kacheln gegenseitig aufheben.
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Schreibt man auf jede positive Kachel eine 1 und auf jede negative Kachel eine -1, so
heißt die Vielfachheit eines Punktes, die Summe dieser Zahlen über alle Kacheln, die
diesen Punkt überdecken. K
Ëin Polygon P, dass eine Vorzeichenbehaftete Kachelung zulässt, gibt es dann, wenn man
negative und positive Kacheln überlagern kann, sodass die Vielfachheit jedes Punktes P
gleich 1 ist."
Der Beweis über das Farbargument impliziert, dass keine vorzeichenbehaftete Kachelung existiert. ABER: Es gibt auch Kachelungsprobleme, die mit vorzeichenbehafteten
Kacheln gelöst werden können, die aber nur mit positiven Kacheln keine Lösung haben.
8
Dieses Dreieck soll mit Dreilochbändern, die die obigen Orientierungen haben kann,
gekachelt werden. Für welche Werte n existiert eine solche Kachelung? Damit eine Kachelung existieren kann, muss die Anzahl der Löcher ein Vielfaches von 3 sein. Diese
Anzahl ist (n(n+1))/2 und folglich ist 0 mod 3 oder 2 mod 3
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8
Abb.7 Kacheln und Anti-Kacheln
Abb.8 Kann man ein Dreieck mit Dreilochbändern überdecken?
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9
Die Summe der Zahlen, die von den Kacheln überdeckt werden kann, ist immer durch 3
teilbar. Die Gesamtsumme hängt periodisch mit der Periode 9 von n ab. Daraus ergeben
sich folgende Werte für mod3: 0,2,2,2,1,1,1,0,0
Weiters ergibt sich daraus, dass n mod 9 entweder 1 oder 8 sein muss.
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Jetzt liegt es daran zu zeigen, dass für 8 mod 9 und 0 mod 9 eine Kachelung existiert.
Obige Abbbildung zeigt, dass es für n=8 möglich ist.
Satz 1. Für alle n kann ein dreieckiges Feld der Größe n nicht durch Dreilochbänder
überdeckt werden.
2.2 Conways Kachelgruppen
Um diesen Satz beweisen zu können, müssen wir einige Unklarheiten im Vorfeld beseitigen.
Gehen wir davon aus, dass alle Polygone auf kariertem Papier gezeichnet sind (inklusive Kacheln) und die Ränder der Polygone bestehen aus einer geschlossenen Kurve.
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Abb.9 Farben modulo 3
Abb.10 Eine vorzeichenbehaftete Kachelung für n = 8
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Der Weg auf dem Quadratgitter wird durch ein Wort aus vier verschiedenen Symbolen
gekennzeichnet. Diese vier Symbole sind x, x−1 , y und y −1 .
Ein Schritt nach rechts wird mit x, ein Schritt nach links mit x−1 .
Ein Schritt nach oben mit y und ein Schritt nach unten mit y−1 bezeichnet.
K aufeinanderfolgende Symbole x oder x−1 schreiben wir als x0 , genauso verf ahren wir mit y.
Den trivialen Weg bezeichnen wir mit e.
Bsp. xyy−1 x−1 = e
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Die Verknüpfung von zwei Wörtern a und b bezeichnet man mit ab. Für diese Verknüpfung gilt das Assoziativgesetz.
Angenommen ein Wort w ist gegeben, w−1 erhalten wir,
indem wir die Symbole von rechts nach links lesen und die Exponenten werden umgekehrt. Um einen Weg zu finden, wählt man einen Startpunkt und durchläuft den Rad
entgegen dem Uhrzeigersinn. Für diesen Weg erhalten wir ein Wort, diese Wort hängt
aber vom Startpunkt ab.
xx−1 = x−1 x = e = yy −1 = y −1 y
Als eine neue Regel beachten wir W1 = W2 = ... = e.
Diese Regel bedeutet nichts anderes als dass, wenn das Wort Wi in einem längeren W ort
vorkommt, wir dieses durch e ersetzten können.
Kann man ein Wort V1 aus einem anderen W ort V2 durch auf einanderf olgende
Anwendungen dieser Regeln erhalten, so nenne wir diese W örter äquivalent.
V1 = V2 .
Das einzige Problem. dass wir jetzt noch haben, ist die Wahl des Startpunktes. Sei P’
ein anderer Startpunkt und sei W’ das Wort, das man erhält, wenn man den Rand von
P’ durchläuft.
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Abb.11 Ein Weg und das zugehörige Wort
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Lemma 1.: Man erhält W’=e.
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Beweis. Sei u der Weg von p nach p’ und sei v der Weg von p’ nach p. Dann ist
Wi = uvundWi0 = vu.
W egen Wi = e erhalten wir uv = e.
Dann ist vu = (uu− 1)(vu) = u− 1(uv)u = e.
Sei P ein Polygon. Wir durchlaufen seinen Rand, um ein Wort U zu erhalten. Eine
notwendige Bedingung liefert nachfolgende Proposition.
Proposition 1.: Ist P durch T1 , ...., Tn überdeckt, dann ist U = e.
Beweis. Induktion über die Anzahl der Kacheln. Ist diese Anzahl eins, so ist P selbst
eine Kachel, etwa Ti .
Das W ort U ist das, was wir oben mitWi0 bezeichnet haben und die Behauptung
f olgt aus dem Lemma.
Nun nehmen wir an, dass es mehrere Kacheln gibt. Dann können wir das Polygon P
durch einen Weg in P in zwei Polygone P1 und P2 zerlegen.
Der Weg verläuft von einem Randpunkt p zu einem Randpunkt p’ und bewegt sich nur
auf den Rändern der Kacheln. Sei w das Wort, das zu diesem Weg pp’ in P gehört und
seien v1 und v2 die Randwörter des P olygons P von p nach p0 und von p0 nach p.
Ein entgegen dem Uhrzeigersinn gerichteter Weg entlang des Randes von P, der im Punkt
p’ startet, ist durch das Wort v1 v2 codiert.
Es gilt v1 v2 = (v1 w− 1)(wv2 ).
Die in Klammer gesetzten Wörter sind die Randwörter des Polygone P1 und P2 .
Aufgrund unserer Wahl des Schneideweges pp’ werden diese Polygone durch eine kleineren Anzahl von Kacheln überdeckt.
Nach der Induktionsannahme ist v1 w− 1 = e und wv2 = e.
Deshalb ist auch v1 v2 = e.
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Abb.12 Beweis von Lemma 1.
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Schließlich kann sich das Randwort U durch die Wahl des Startpunktes von v1 v2 unterscheiden.
Aus dem Lemma folgt: wenn eines dieser Wörter äquivalent zu e ist, so ist es auch das
andere. Warum heißt dieser Abschnitt Kachelgruppe?
Die Kachelmengen Ti bestimmen eine Gruppe mit zwei erzeugenden Elementen
x und y und den Relationen Wi .
Diese Gruppe nennt man Conways Kachelgruppe. Das Randwort des Polygons P ist ein
Element von dieser Kachelgruppe und wenn P durch Ti gekachelt wird, ist das das Einselement.
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Satz 2. Eine Kachelung existiert genau dann, wenn n ≡ 0, 2, 9 oder 11 (mod 12) ist.
Satz 3. Kann ein Rechteck durch Quadrate überdeckt werden, so ist das Verhältnis
seiner Seitenlängen eine rationale Zahl.
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Durch das Bild kann man bereits annehmen, dass die Umkehrung richtig ist. Doch wie
sieht es nun mit dem Satz aus?
Diesen Satz bewies Max Dehn bereits 1903 durch einen Widerspruch.
Beweis. Wir führen einen Beweis durch Widerspruch durch:
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Abb.13 Das beschnittene Schachbrett neu überdacht
Abb.14 Ein (p ×q) − Rechteck von Quadraten überdeckt
10
Unser Rechteck wird nun so skaliert, dass es nun die Breite 1 und die Höhe x hat, wobei
x∈ I, also ein(1 × x) − Rechteck.
Annahme: Es gibt eine Kachelung von Quadraten über die volle Höhe und Breite des (1
×x) − Rechtecks.Seien nun a1 , a2 , ..., an die Seitenlängen der Quadrate in beliebiger
Reihenf olge.
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Betrachten wir die Folge 1, x, a1 , a2 , ..., an .
Nun werden die Terme gestrichen, wenn sie als Linearkombination der vorherigen Terme
mit rationalen Koeffizienten dargestellt werden können. Also verbleiben noch die Terme
b1 = 1, b2 = x, b3 , ..., bm .
Sei nun f die Funktion über die Zahlen b1 , ..., bm :
f (1) = 1, f (x) = −1, f (b3 ) = ... = f (bm ) = 0.
Nun setzten wir die Funktion f durch die Linearität zu einer rationalen Linearkombination der Zahlen b1 , ..., bm f ort :
f (r1 b1 + ... + rm bm ) = r1 f (b1 ) + ... + rm f (bm ).
Seien u und v die rationalen Linearkombinationen der Zahlen b1 , ..., bm :
f (u + v) = f (u) + f (v) ⇒ somit ist die F unktion additiv.
Wir definieren nun den Flächeninhalt eines (u ×v) − Rechtecksals f (u)f (v).
Wenden wir nun unser Wissen auf auf das (1 ×x)−Rechteckan : Somit ist der F lächeninhalt
f (1)f (x) = 1(−1) = −1.
Durch die Additivität der Funktion wissen wir:
Der Flächeninhalt des (1 ×x) − Rechtecks ist gleich der Summe der F lächeninhalte
der Quadrate.
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Kachelung des (1 ×x) − Rechtecks durch Quadrate
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Sehen wir uns nun den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge w an:
f(w)f(w)=f(w)2 ≥ 0.
Widerspruch
2.3 Anwendung bei elektrischen Schaltkreisen
Wir betrachten hierfür nun eine Kachelung eines Rechtecks durch unterschiedliche Quadrate. Die Seitenlängen der Quadrate sind x1 , x2 , ..., xn .
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Wir können nun einige Relationen dieser Kachelung aufstellen. Diese ergeben sich aus
der Seitenlänge eines Quadrats und der Summe, der daran angrenzenden Quadrate.
Relationen horizontaler Segmente:
x2 = x4 + x5 ; x6 = x3 + x5 ; x9 = x6 + x8 ; x7 + x8 = x1 + x4
(1)
Relationen vertikaler Segmente:
x1 = x2 + x4 ; x3 = x2 + x5 ; x7 = x8 + x9 ; x4 + x8 = x5 + x6
Dieses System ist eindeutig, bis auf Multiplikation mit einem Vielfachen, lösbar.
Eine Lösung davon wäre:
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Abb.16 Kachelung eines Rechtecks durch Quadrate mit Seitenlängen x1 , ..., xn
12
(2)
x1 = 15, x2 = 8, x3 = 9, x4 = 7, x5 = 1, x6 = 10, x7 = 18, x8 = 4, x9 = 14.
Nun können wir unsere Kachelung eines Rechtecks durch Quadrate auf einen elektrischen
Schaltkreis umlegen. Hierbei entspricht jedes horizontale Segmente in der Kachelung einem Knoten im Schaltkreis. und die Quadrate der Kachelung entsprechen den Widerständen des Schaltkreises. Ein Widerstand verbindet zwei Knoten, wenn das jeweilige
Quadrat an die beiden entsprechenden horizontalen Geraden angrenzt.
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Nun können wir wieder Gleichungen aufstellen. Diese ergeben sich anhand der kirchhoffschen Gesetzte. Aus der Knotenregel, die besagt, dass die zufließenden Ströme gleich der
abfließenden Ströme in einem Knoten sind, folgen die Relationen horizontaler Segmente (1). Die Maschenregel drückt aus, dass der Spannungsabfall in jedem geschlossenen
Weg ist gleich Null. Daraus entstehen die Relationen vertikaler Segmente (2). Durch
diesen Schaltkreis könnte man die Gleichungen (1) und (2) auch lösen und würde eine
eindeutige Lösung bekommen (bis auf Multiplikation mit einem gemeinsamen Faktor).
Jedoch kann man hierbei die Vorzeichen der Ströme nicht steuern. Diese könnten auch
negativ oder null sein. Somit würde der Schaltkreis keiner Kachelung von Quadraten
mehr entsprechen.
2.4 Kachelung durch Rechtecke mit einer ganzzahligen Seite
Satz 4. Ein Rechteck R sei von Rechtecken überdeckt, die alle eine ganzzahlige Seite
haben. Dann hat auch R eine ganzzahlige Seite.
Dieser Kachelungssatz besitzt über 15 verschiedene Beweise. Hier führen wir einen eleganteren aus, den auch das Buch empfiehlt.
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Abb.17 Ein Schaltkreis (mit Knoten und Widerständen)
13
R
Beweis. Das Integral sin(2πx)dx über einem Intervall mit ganzzahliger Länge ist gleich N ull.
Daraus folgt, dass auch das Doppelintegral über jedes Rechteck (bzw. jede Kachel) Null
ist.
Folglich verschwindet diese Integral!
RR
∀x ∨ y ∈ Z
sin(2πx)sin(2πy)dxdy = 0
Nehmen wir nun an, wir legen das Rechteck R mit den Seitenlängen a und b in den
Koordinatenursprung. Daraus folgt:
Ra Rb
sin(2πx)sin(2πy)dxdy =
0 0
−cos(2πx) −cos(2πy) a b
)(
) =
=(
2π
2π
0 0
1
=
[1 − cos(2πa)][1 − cos(2πb)] = 0
(2π)2
⇒ entweder cos(2πa) = 1 oder cos(2πb) = 1
⇒ also a ∨ b ∈ Z
Dieser Satz lässt nun auch auf einen weiter Satz schließen.
Satz 5. Angenommen man überdeckt ein (m ×n) − Rechteck mit kleineren (p × q) −
Rechtecke, wobei m, n, p, q ∈ Z.Dadurch ergibt sich, dass pq ein T eiler von mn sein muss!
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Korollar. Also ist p entweder Teiler von m oder von n. Gleiche gilt für q!
Also pm ∧ pn bzw. q m ∧ q n.
Beweis. Um zu zeigen, dass p ein Teiler von m ist bzw. p ein Teiler von n ist, können
1
m
wir die Seiten des Rechtecks mit
reskalieren. Darausergibt sich, dass das ( ×
p
p
n
q
) − Rechteck von (1 × ) − Rechtecken überdeckt ist.
p
p
18
(m ×n) − Rechteck von (p × q) − Rechtecken überdeckt
14
Aus Satz 4. folgt, dass entweder m/p oder n/p eine ganze Zahl ist!
⇒ Also entweder pm oder pn.
Analog für q!
2.5 Kachelung von Dreiecken mit gleichem Flächeinhalt
Satz 6. Man kann ein Quadrat nicht durch eine ungerade Anzahl von Dreiecken mit
gleichem Flächeninhalt überdecken.
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Ein ebenso verblüffendes Resultat ist auch: Es gibt gleichseitige Dreiecke, die durch
keine Anzahl von Dreiecken mit gleichem Flächeninhalt überdeckt werden können. Eine
unmögliche Kachelung sozusagen!
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Abb.19 Kachelung eines Quadrats durch eine gerade Anzahl an Dreiecken mit gleichem Flächeninhalt
15
3 Quellen
im Allgemeinen das Kapitel 23 „Unmögliche Kachelungen“ aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ von D. Fuchs, S.
Tabachnikov
Abbildung 1: http://www.adeptis.ru/vinci/john-conway6.jpg [Stand 12.6.2013]
Abbildung 2: http://www.math.utah.edu/seminars/maxdehn/ [Stand 1.6.2013]
Abbildung 3: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.1, S. 365)
Abbildung 4: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.2, S. 366)
Abbildung 5: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.3, S. 366)
Abbildung 6: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.4, S. 367)
Abbildung 7: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.5, S. 367)
Abbildung 8: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.6, S. 368)
Abbildung 9: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über klassische Mathematik“ (Abb. 23.7, S. 368)
Abbildung 10: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.8, S. 369)
Abbildung 11: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.10, S. 370)
Abbildung 12: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.11, S. 371)
Abbildung 13: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.13, S. 372)
16
Abbildung 14: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.19, S. 377)
Abbildung 15: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.20, S. 377)
Abbildung 16: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.21, S. 378)
Abbildung 17: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.22, S. 379)
Abbildung 19: aus dem Buch „Ein Schaubild der Mathematik: 30 Vorlesungen über
klassische Mathematik“ (Abb. 23.23, S. 382)
17