¨Ubungen zur Lokalen Klassenkörpertheorie Wintersemester 2017

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Prof. Dr. Peter Schneider
Marius Kley M.Sc.
Übungen zur Lokalen Klassenkörpertheorie
Wintersemester 2017/18
Übungsblatt 1
Für jede Aufgabe außer der Präsenzaufgabe gibt es 4 Punkte.
Abgabetermin: Donnerstag, der 19.10.2017 14 Uhr in Briefkasten 7.
Die Präsenzaufgabe ist nicht zur Abgabe gedacht.
Präsenzaufgabe (Wiederholung zur Körpertheorie aus der Einführung in die Algebra)
i) Besprechen Sie die Begriffe “algebraische Körperweiterung”, “Minimalpolynom eines algebraischen Elements”, “separable Körpererweiterung” und “normale Körpererweiterung”.
ii) Besprechen Sie den Hauptsatz der Galoistheorie.
iii) Sei K ein Körper und L|K eine galoische Erweiterung mit Galoisgruppe
Gal(L|K). Wir definieren die Körpernorm
Y
NL|K : L → L, x 7→
σ(x).
σ∈Gal(L|K)
Zeigen Sie, dass NL|K (x) ∈ K für alle x ∈ L gilt.
iv) Sei nun L = K(α) und p(X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ K[X] das
Minimalpolynom von α über K.
Zeigen Sie, dass NL|K (α) = (−1)[L:K] a0 gilt.
Aufgabe 1 Sei K ein Körper. Eine Funktion
| · | : K → R≥0
heißt Absolutbetrag oder einfach Betrag, falls es die folgenden Bedingungen erfüllt.
i) |x| = 0 ⇔ x = 0.
ii) |xy| = |x||y| ∀x, y ∈ K.
iii) |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ K.
Wir nennen ein solches Tupel (K, | · |) einen bewerteten Körper und fixieren ein
solches Tupel.
i) Zeigen Sie, dass der Betrag | · | genau dann nichtarchimedisch ist, wenn es ein
C ∈ R>0 gibt, so dass
|n · 1K | ≤ C
für alle n ∈ N erfüllt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass C = 1 gewählt werden kann, falls es so
eine Schranke für (|n · 1K |)n gibt, und reduzieren Sie das Problem darauf zu
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Prof. Dr. Peter Schneider
Marius Kley M.Sc.
Übungen zur Lokalen Klassenkörpertheorie
Wintersemester 2017/18
Übungsblatt 1
zeigen, dass |x + 1K | ≤ 1 für alle x ∈ K mit |x| ≤ 1 gilt. Betrachten Sie dann
die Potenzen von |x + 1K |.
ii) Sei nun K von positiver Charakteristik char(K) = p > 0.
Zeigen Sie, dass der Betrag | · | nichtarchimedisch ist.
Aufgabe 2 Zwei Beträge | · |1 und | · |2 auf einem Körper K heißen äquivalent, falls es
ein σ ∈ R>0 gibt, so dass |x|1 = |x|σ2 für alle x ∈ K gilt.
Zeigen Sie, dass für jeden nichtarchimedischen Betrag | · | auf Q eine Primzahl p
existiert, so dass | · | äquivalent zum p-adischen Betrag | · |p ist.
Hinweis: Benutzen Sie, dass |n| ≤ 1 für alle n ∈ Z gilt.
Aufgabe 3 Sei (K, | · |) ein nichtarchimedisch bewerteter Körper und (xn )n eine Folge
in K.
i) Sei σ : N → N eine Bijektion.
Zeigen Sie,dass die Folge von Partialsummen (
wenn die Folge von Partialsummen (
Fall
∞
P
xσ(k) =
k=0
∞
P
n
P
n
P
xk )n genau dann konvergiert,
k=0
xσ(k) )n konvergiert und dass in dem
k=0
xk gilt.
k=0
Hinweis: Zeigen Sie, dass es für jedes ε > 0 natürliche Zahlen N, M ∈ N gibt,
N
m
N
∞
P
P
P
P
xk | < ε für alle m ≥ M gilt.
xk | < ε und | xσ(k) −
so dass | xk −
k=0
k=0
k=0
k=0
Warum ist die Behauptung damit gezeigt?
ii) Sei nun (xn )n eine in K konvergente Folge mit lim xn = x und x 6= 0.
n
Zeigen Sie, dass dann ein N ∈ N existiert, so dass |xn | = |x| für alle n ≥ N
gilt.
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