Konkretes Beispiel mit Lösungsschritten:

Konkretes Beispiel mit
Lösungsschritten:
(Bearbeitet von Birgit WIMMER und
Erläuterungen zu den Lösungsschritten:
Heidi HASLAUER, Jänner 2004)
Aufgabenstellung:
Löse -x² + 4 > - x + 2
in R und veranschauliche die Lösung
graphisch.
Es handelt sich um eine quadratische Ungleichung.
Es sind jene reellen Zahlen (Beachte die
Grundmenge G = R ) zu finden, welche beim
Einsetzen statt x in die quadratische Ungleichung
eine wahre Aussage ergeben.
Mathematische Kompetenzen:
Begriffe “R = Menge der reellen Zahlen“ und
„Grundmenge“ kennen;
Kenntnisse über die Aufgabenstellung bei
(quadratischen) Ungleichungen besitzen;
-x² + 4 > - x + 2 / - (- x + 2)
- x ² + x + 2 > 0 / * (- 1)
x² - x – 2 <0
Wie können wir diese Zahlen systematisch finden?
Zuerst konnten wir uns nur mehr vage daran
erinnern, wie wir bei einer gezielten
Lösungsmethode vorzugehen haben. Wir beginnen
wie bei einer quadratischen Gleichung damit, die
Ungleichung so umzuformen, dass auf einer Seite
die Zahl 0 steht. Dabei müssen wir natürlich
beachten, dass wir nur solche Umformungen
anwenden, welche die Lösungsmenge nicht
verändern. Eine Lösung der ursprünglichen
Ungleichung muss auch eine Lösung der
umgeformten Gleichung sein und umgekehrt !.
Umformungen dieser Art nennt man (tröste Dich,
auch wir mussten uns zuerst schlau machen)
Äquivalenzumformungen . Besonders wichtig ist
dabei Folgendes: multipliziert man Ungleichungen
mit einer negativen Zahl, so muss man das
Ungleichheitszeichen (<, >) umdrehen (darauf
konnten wir uns tatsächlich von alleine erinnern !
Du auch ?!).
Mathematische Kompetenzen:
Begriff „Äquivalenzumformungen“ kennen und
anwenden können; Wissen, dass bei der Multiplikation
bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen
Zahl die Ungleichheitszeichen umgedreht werden
müssen.
NR.: x² - x – 2 = 0
1
1
x1 / 2 = ±
+2
2
4
x1= 2
x 2 = -1
Satz von Vieta:
x² + px + q = (x – x1) ⋅ (x - x2)
x² - x – 2 = (x – 2) ⋅(x + 1)
Somit kann die Ungleichung
x² - x – 2 < 0 auch in der Form
( x – 2)⋅(x + 1) <0 geschrieben
werden!
Die gesuchte Zahl muss also beim Einsetzen in
x² - x – 2 eine negative Zahl ergeben. Wie finden wir
nun jene Zahlen, für die das der Fall ist ?
Dazu verwenden wir einen „Trick“ bzw. den Satz
von Vieta. Mit Hilfe dieses Satzes können wir
nämlich den Term x² - x – 2 in ein Produkt
umwandeln x2 – x – 2 = (x – x1)⋅(x – x2). Damit ist
wirklich ein Vorteil verbunden. Denn: Im Gegensatz
zu einer Summe oder Differenz mehrerer Zahlen
kann man bei einem Produkt zweier Zahlen leicht
Kriterien dafür angeben, wann es, wie im gegebenen
Beispiel verlangt, negativ ist: die zwei Faktoren
müssen verschiedene Vorzeichen haben: bekanntlich
gilt:
+*- =-*+=Das sollte einleuchten. Nur – wie bekommt man
diese Zahlen x1 und x2 ?! Das können wir Dir
verraten, oder weißt Du es ohnedies selber ? x1 und
x2 sind jene Zahlen, welche beim Einsetzen in
x² - x – 2 Null ergeben (also die sogenannten
Nullstellen). Diese kann man etwa mit Hilfe der pq –
Formel ermitteln. Diese ist sicherlich nicht neu für
Dich. Man braucht sie ja auf Schritt und Tritt !
2
x1 / 2
p
 p
= − ±   −q
2
2
Mathematische Kompetenzen:
Satz von Vieta kennen und anwenden können;
pq – Formel kennen und anwenden können;
Begriff „Nullstellen“ kennen;
Wissen, wann ein Produkt negativ ist:.
1.Fall: + * x- 2 > 0
x>2
x+1<0
x<-1
-1 0 1 2
L1 = { }
Das Produkt ( x- 2)⋅(x+ 1)kann also auf zwei Arten
negativ sein. Entweder der erste Faktor (x – 2) ist
positiv und der zweite Faktor (x+ 1) ist negativ, oder
umgekehrt. In diesem Sinne unterscheiden wir zwei
Fälle: Beginnen wir mit dem 1.Fall, eben jenem, dass
x – 2 positiv (x- 2> 0) und x+ 1 negativ (x +1< 0) ist.
Lösen wir die beiden Bedingungen jeweils nach x auf,
sehen wir, dass eventuelle Lösungen die Bedingungen
x>2 und x<-1 erfüllen müssen. Mit Hilfe einer
Veranschaulichung am Zahlenstrahl wird schnell klar,
dass die beiden Bedingungen einander ausschließen.
Und somit von keiner Zahl erfüllt werden können
(keine Zahl kann größer als 2 und gleichzeitig kleiner
als –1 sein). Also gilt: L1={ }
Mathematische Kompetenzen:
Zwei Bedingungen „konjunktiv“ „schneiden“ können.
Größenbedingungen für Zahlen auf der Zahlengeraden
darstellen können.
2.Fall: - * +
x- 2 < 0
x<2
x+1>0
x>-1
-1 0 1 2
L2 =] –1; 2[
Lges = L1 ∪ L2 = L2
Beim zweiten Fall ist x + 1 positiv (x + 1> 0) und
x – 2 negativ (x – 2 < 0). Lösen wir wieder jeweils
nach x auf, sehen wir, dass eventuelle Lösungen die
Bedingungen x < 2 und x > -1 erfüllen müssen.
Veranschaulicht man die beiden Bedingungen am
Zahlenstrahl, sieht man, dass die Zahlen zwischen –1
und 2 beide Bedingungen erfüllen und somit die
Lösungsmenge alle Zahlen zwischen –1 und 2
umfasst: L2 = ] –1; 2[
Als Gesamtlösung ergibt sich: L2
Mathematische Kompetenzen:
Intervallschreibweise kennen und anwenden können;
Gesamtlösungsmenge „disjunktiv“ aus zwei
Teillösungen zusammensetzen können;
Nun zur graphischen Interpretation der Ungleichung.
Dabei können wir wie folgt überlegen: die beiden
Seiten der Ungleichung repräsentieren die “Kurven“
y = -x² + 4 bzw. y = -x + 2.Offensichtlich handelt es
sich um eine Parabel (linke Seite) und eine Gerade
(rechte Seite) .
Wegen ypar > yger Gerade kann die Ungleichung nun
im Sinne der Fragestellung „wo erläuft die Parabel
oberhalb der Geraden“ interpretiert werden. Anhand
der Funktionsgraphen (gezeichnet mit DERIVE )
sieht man, dass dies im „Streifen“ zwischen
x1 = -1 und x2 = 2 der Fall ist, also für
x ∈ ]-1; 2[
gilt. Das rechnerisch erhaltene Ergebnis wird somit
durch die graphische Darstellung bestätigt.
Mathematische Kompetenzen:
Wissen, dass man die Terme auf den Seiten einer
Ungleichung im Sinne von Funktionsgleichungen
interpretieren kann.
Wissen, dass eine Ungleichung so interpretiert werden
kann, dass der Graph der einen Funktion je nach Angabe
ober- oder unterhalb des anderen Funktionsgraphen liegen
muss.