Wärme Wärmeleitung in Metallen und Isolatoren Spezifische

PS 10
Wärme
Wärmeleitung in Metallen und Isolatoren
Spezifische Wärmekapazität von Metallen
Version vom 16. März 2016
Inhaltsverzeichnis
0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
0.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Was ist Wärme? . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Hauptsätze der Wärmelehre . . . . . . .
0.4 Mechanismen des Wärmetransports . . .
0.4.1 Wärmeleitung . . . . . . . . . . .
0.4.2 Konvektion . . . . . . . . . . . .
0.4.3 Strahlung . . . . . . . . . . . . .
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1
2
2
3
3
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1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Theorie der Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitung . . . . . .
1.1.4 Thermografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Kalibration der Wärmebildkamera . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Messung des nicht stationären Wärmestroms . . . . . . .
1.3.3 Messung des stationären Wärmestroms . . . . . . . . . .
1.3.4 Temperaturprofile auslesen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Auswertung der Temperaturprofile in QTI-Plot . . . . .
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2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang . . . . . .
2.1.3 Zweiplattenmessverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement
2.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Aufbau der Wärmemesskammer . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Experimentelle Durchführung . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Literaturangaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Spezifische Wärmekapazität in Festkörpern . . . . . . . . .
3.1.2 Bestimmungsmethoden der spezifische Wärmekapazität . .
3.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Versuchsaufbau und Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . .
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0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
Lehr/Lernziele
• Widerholung der Theorie zu den Mechanismen der Wärmeübertragung
• Experimentelle Zugänge zur Messung der Wärmeleitfähigkeit in guten und schlechten
Wärmeleitern
• Erwerb von Anwendungswissen für die Praxis - hohe Wärmeleitfähigkeit zur Kühlung
(z.B. Computerchips), niedrige bei Isolation (z.B. Bauphysik)
• Vertiefung der Physik zu Wärmeübertragung: Wärme(strom)widerstand, Wärmeübergangswiderstand, Wärmedurchgangswiderstand
• Kennenlernen (oder Wiederholung) der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern
• Aufwändigere und mehrstufige Datenauswertungsverfahren mit entsprechender Software üben
0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
0.1 Begriffe
Wärmemenge, spezifische Wärmekapazität1 , Temperaturmessung (mittels Wärmeausdehnung, elektrischem Widerstand, Thermoelementen und Pyrometer), Temperaturgradient,
Wärmestrom(dichte), Wärmeleitung, Wärmeübergang, Strahlung, Konvektion, nichtstationärer und stationärer Zustand, Gleichgewichtszustand, Strahlungsgesetze, schwarzer
Körper,...
0.2 Was ist Wärme?
Wärme ist eine spezielle Form von Energie. Sie strömt von einem Körper auf einen anderen,
sobald eine Temperaturdifferenz zwischen beiden besteht. In der Wärmelehre werden zwei
Betrachtungsweisen unterschieden, die Thermodynamik und die statistische Mechanik. Die
Thermodynamik untersucht Beziehungen zwischen makroskopischen Zustandsgrößen, wie
z.B. Volumen, Druck, Temperatur oder Gesamtenergie zur Charakterisierung des Gesamtsystems. Die statistische Physik macht Annahmen über den Aufbau der Materie und un1
Oft wird an Stelle von „(Massen-)spezifischer Wärmekapazität“, einfach „spezifische Wärme“ verwendet.
Diese Ausdrücke werden äquivalent verwendet.
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PS10
0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
tersucht mikroskopische Größen (Mikroobservable wie z.B. Freiheitsgrade oder Spin) eines
Systems.
Die physikalische Grundlage zur Thermodynamik sind die Hauptsätze der Wärmelehre.
0.3 Hauptsätze der Wärmelehre
1. Wärme ist als thermische Energie in der ungeordneten Bewegung von Atomen und
Molekülen gespeichert. Führt man einem abgeschlossenen System Wärme und Arbeit
von außen zu, so ist deren Summe gleich der Zunahme der inneren Energie. Der erste
Hauptsatz ist ein Energieerhaltungssatz (Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art).
Diese Aussage ist nicht beweisbar, sondern eine reine Erfahrungstatsache.
2. Wärme geht von selbst immer nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen
Körper niederer Temperatur über. Dies bedeutet, dass die Entropiezunahme in einem
abgeschlossenen System immer größer oder gleich Null ist. In der statistischen Physik
(die Boltzmann wesentlich entwickelt hat) wird die Entropie auf die Wahrscheinlichkeit von Zuständen zurückgeführt Ein System wird durch die Zahl der Zustände
und ihre Besetzung, d.h. Häufigkeit der jeweiligen Zustände, die „Zustandssumme“,
beschrieben. Aus dieser lassen sich alle thermodynamischen Größen ableiten. Eine
weitere Formulierung: Es gibt keine periodisch wirkende Maschine, die ohne äußere
Energiezufuhr ein Wärmereservoir abkühlt und die dabei gewonnene Wärmeenergie
vollständig in mechanische Energie umwandelt. So eine Maschine wäre ein Perpetuum
mobile zweiter Art.
3. Es ist prinzipiell unmöglich den absoluten Nullpunkt zu erreichen. In der statistischen
Deutung ist der thermodynamische Gleichgewichtszustand am absoluten Nullpunkt
ein Zustand maximaler Ordnung mit nur einer Realisierungsmöglichkeit. Die Entropie
strebt gegen Null, wenn die Temperatur sich dem Nullpunkt annähert. Der dritte
Hauptsatz wird auch als Nernst’sches Theorem bezeichnet.
0.4 Mechanismen des Wärmetransports
Zum Begriff der Wärmeübertragung gehören alle Erscheinungen und Effekte, die mit einem
räumlichen Transport von Wärme in Zusammenhang stehen. Der Wärmeübergang erfolgt
immer vom Zustand höherer Temperatur zu einem niederer Temperatur (siehe 2. Hauptsatz
der Wärmelehre).
Grundsätzlich existieren drei Möglichkeiten zur Wärmeübertragung (siehe Abbildung 1):
Wärmeleitung, Konvektion und Strahlung. Der direkte Energietransport erfolgt über die
Wärmeleitung. Bei der Konvektion wird Energie über den Transport von Masse übertragen. Einzig die Wärmestrahlung ist als Transportphänomen vollständig unabhängig von
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0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
Materie, sie kann auch im Vakuum erfolgen.
Abbildung 1: Möglichkeiten zur Wärmeübertragung
0.4.1 Wärmeleitung
Wärmeleitung ist vor allem in Festkörpern wirksam. Die Wärmeleitfähigkeit weist dabei
große Unterschiede auf, die in den folgenden Experimenten gemessen werden. Die Übertragung der Bewegungsenergie durch Leitungselektronen ist besonders wirksam, daher sind
gute elektrische Leiter auch gute Wärmeleiter (Wiedemann-Franz´sches Gesetz). In Isolatoren erfolgt die Übertragung mittels Gitterschwingungen (in der Quantenphysik als
Phononen bezeichnet - als der Teilchenaspekt der Gitterschwingungen). Die Wärmeübertragung mittels Phononen erfolgt meist mit wesentlich geringerer Wirksamkeit als mit
Elektronen, da die Phononen eine viel kleinere freie Weglänge als die Leitungselektronen
haben (Ausnahmen sind z.B. der Diamant).
0.4.2 Konvektion
In Flüssigkeiten und Gasen, in denen die Wärmeleitfähigkeit i.a. gering ist, kann es wirkungsvoller sein, erwärmte Materie mit einer Strömung zu transportieren. Dieser Mechanismus hat große Bedeutung in der Natur (Klima und Wetter, Wärmehaushalt von Organismen, Vorgänge im Erdinneren) sowie für Heizung, Energietechnik, „heat pipes“ zur
Kühlung von Bauteilen, chemische Verfahren etc. Treibende Kraft für die Strömung ist im
allgemeinen die Gravitation: Erwärmte Flüssigkeiten und Gase dehnen sich aus und erfahren einen Auftrieb (es gibt auch andere Möglichkeiten, z.B. Konvektion durch Oberflächenspannung). Durch das Design von Doppelglasfenstern mit einer entsprechenden Dicke
kann man Konvektion unterbinden, da die Luft an der Grenzschicht (Prandtl’sche Grenzschicht) haften bleibt.
Damit die Konvektion in Gang kommt, ist es notwendig, dass die Temperaturunterschiede
ein gewisses kritisches Maß überschreiten, denn innere Reibung und Wärmeleitung wirken
der Konvektion entgegen. Im klassischen Benard-Experiment wird ein flüssigkeitsgefülltes,
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PS10
0 Allgemeine Grundlagen - Wärmetransport
flaches Gefäß von unten beheizt. Bei ausreichender Temperaturdifferenz bilden sich charakteristische, geordnete, meist hexagonale Konvektionszellen aus, wie sie auch aus der Meteorologie bekannt sind. Bei Steigerung der Heizleistung werden bei bestimmten kritischen
Werten plötzliche Strukturänderungen (Konvektionszellen werden kleiner) beobachtet, wie
sie für das Verhalten nichtlinearer dynamischer Systeme typisch sind.
0.4.3 Strahlung
Für eine ausführlichere Behandlung der Strahlungsgesetze wird auf den Kurs PS6 (Strahlung) verwiesen. Hier sei nur erwähnt, dass aufgrund des Stefan-Boltzmann-Gesetzes P (T ) =
σ · T 4 die Bedeutung der Strahlung als Wärmetransportmechanismus sehr stark mit der
Temperatur zunimmt. Zu beachten ist auch, dass nach dem Wien´schen Verschiebungsgesetz λmax · T = const. = 2, 898 · 10−3 das Maximum der spektralen Energieverteilungskurve
bei niedrigeren Temperaturen zu größeren Wellenlängen wandert. Eine wichtige Konsequenz daraus ist der Glashauseffekt: Sichtbares Licht (entsprechend der Emissionstemperatur der Sonnenoberfläche bei ca. 5700 K) geht durch das Glas hindurch und wird im
Glashaus absorbiert. Ein Teil dieser Energie wird wiederum emittiert, jedoch entsprechend
der Temperatur der Erdoberfläche von ca. 300 K im Infrarotbereich. Für diese Wellenlänge jedoch ist das Glasdach nicht durchlässig, sodass die Wärmeenergie im Glashaus
„gefangen“ bleibt.
-4-
PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische
Bestimmung
1.1 Grundlagen
1.1.1 Begriffe
Wärmemenge, spezifische Wärmekapazität, Thermografie, Bolometer, Temperaturgradient, Wärmestrom(dichte), Wärmeleitung, nichtstationärer und stationärer Zustand, Gleichgewichtszustand,
1.1.2 Theorie der Wärmeleitung
Wärmeleitung gehört zu den sogenannten Transportphänomenen. Zu diesen zählen Diffusion (hier werden Masse/Teilchen transportiert), Zähigkeit (die transportierte Größe ist der
Impuls) und eben die Wärmeleitung, bei der Energie transportiert wird. Die mathematische Behandlung der Transportphänomene ist identisch, sie unterscheiden sich nur in der
transportierten Größe.
Eine Kontinuitätsgleichung sichert die Erhaltung der jeweiligen Größe (Teilchenzahl, Impuls, Energie). Im folgenden wird dies für den Transport von Energie formuliert (mit der
Wärmeleitfähigkeit λ, beim Materialtransport ist der Proportionalitätsfaktor die Diffusionskonstante D und beim Impulstransport die Zähigkeitskonstante η). Die Kontinuitätsgleichung für den Zusammenhang von Wärmeenergie Q und Wärmestromdichte ~q lautet:
∂ ∂Q
+ div ~q = 0
(1)
∂t ∂V
Das heißt, jede zeitliche Änderung der Wärmeenergie pro Volumen ∂Q/∂V (= Energiedichte) erfolgt über einen Wärmestrom (entweder einen Zu- oder Abfluss von Wärme).
Wenn man mit Φ = ∂Q/∂t den Wärmestrom bezeichnet, kann man die Gleichung auch in
der folgenden Form schreiben:
∂
Φ + div ~q = 0
(2)
∂V
Der Wärmestrom erfolgt entlang eines Gradienten (1. Fick’sches Gesetz2 - Adolf Eugen
Fick, 1829 - 1901. Die Richtung des Wärmestroms wird durch den 2. Hauptsatz der Wärmelehre bestimmt).
→
→
~q = −λ grad T oder q = −λ ∇ T
2
(3)
In der Literatur auch als Fourier’sches Gesetz bezeichnet, welcher es für den Wärmestrom definierte,
wohingegen Fick die Diffusion untersuchte.
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1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Fügt man diese beiden Gleichungen zusammen und berücksichtigt den Zusammenhang von
Wärmeenergie Q, spezifischer Wärmekapazität c, Masse m und Temperatur T Q = c·m·T ,
so erhält man
∂2
c · m · T = −λdiv∇T
(4)
∂V ∂t
bzw. mit ∂m
= ρ erhält man das zweite Fick’sche Gesetz, mit der (Massen-)Dichte ρ:
∂V
∂T
λ ∂ 2T
−
=0
∂t
ρc ∂~x2
Formelzeichen
Einheit
Q
J
V
m3
Φ
J · s−1
~q
J · s−1 · m−2
λ
J · m−1 · s−1 · K −1
T
K
t
s
−1
c
J · kg · K −1
ρ
kg · m−3
(5)
Bezeichnung
Wärmemenge
Volumen
Wärmestrom
Wärmestromdichte
Wärmeleitfähigkeit
Temperatur
Zeit
spezifische Wärmekapazität
(Massen-)Dichte
Beachten Sie bitte, dass in der Literatur die spezifische Wärmekapazität entweder auf
die Masse bezogen werden kann (wie oben) oder auf eine konstante Anzahl von Atomen
(mol).
Wenn man an einem Raumpunkt eine plötzliche Temperaturerhöhung hat (z.B. durch
Beleuchten mit einem Laser), beschreibt die Lösung ist das Auseinanderlaufen eines „Wärmewellenpakets“ in Raum und Zeit. In der Quantenphysik hat etwa die zeitabhängige
Schrödingergleichung dieselbe Form, sie beschreibt ebenfalls das Auseinanderlaufen eines
„Wellenpakets“ in Raum und Zeit.
Die ursprüngliche Lösung dieser Gleichung unter Verwendung einer Reihenentwicklung
stammt von Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier, Theorie analytique de la chaleur 1822)
und ist in der Grundlagenvertiefung ausgeführt.
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1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Material
Diamant
Kupfer
Aluminium
Duraluminium
Eisen (pur)
Stahl
Gusseisen
hoch legierte Stähle
Glas
Wasser
Holz
Luft
Argon
Vakuumdämmplatte
[Js−1 m−1 K −1 ]
2300
400
235
170
80
50
42-50
15-80
1
0.54
0.15
0.024
0.016
0.005
◦
Tabelle 1: Typische Werte der Wärmeleitung λ bei 0 C in W m−1 K −1 (können je nach
Zusammensetzung und Reinheitsgrad variieren)
Diese Tabelle zeigt, dass enorme Unterschiede in der Wärmeleitfähigkeit verschiedener Materialien existieren. Luft hat also eine außerordentlich geringe Wärmeleitfähigkeit. Dies ist
von großer Wichtigkeit für die Bauphysik (Isolation von Gebäuden). Kupfer und Aluminium hingegen sind durch ihre große Wärmeleitfähigkeit zur Kühlung und als Wärmetauscher
besonders geeignet.
1.1.3 Methoden zur Bestimmung der Wärmeleitung
Die Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit erfolgt im allgemeinen durch zwei Methoden:
1. Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit aus Gleichung 5, der Temperaturleitfähigkeit
Dies wird im ersten Teil des Experiments realisiert. In der Praxis verwendet man oft
zweidimensionale Platten, erzeugt eine punktförmige Temperaturerhöhung („Laserflash“Methode) und löst Gleichung 5 analytisch/numerisch mit den entsprechenden Randbedingungen. Eine einfachere Möglichkeit ist es, 2 gleiche Metallstäbe unterschiedlicher Temperatur T0 (Umgebungstemperatur) und Tmax wärmeleitend (mit Wärmeleitpaste) zu verbinden und das Zerfließen des Wärmewellenpaketes in einer Raumλ
richtung zu beobachten. Da auf diese Weise nicht λ , sondern ρc
(die Temperaturleitfähigkeit χ) erhalten wird, müssen mit einem weiteren Experiment die Dichte und
die spezifische Wärmekapazität bestimmt werden, so diese nicht schon bekannt sind.
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PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Lösung der Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall
Will man die Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall lösen, so vereinfacht sich der Laplace-Operator aus Gl. 5 auf eine Raumrichtung (x):
∂T (x, t)
λ ∂ 2 T (x, t)
∂ 2 T (x, t)
=
·
=
χ
·
∂t
ρ·c
∂x2
∂x2
χ =
λ
ρ·c
(6)
ist die Temperaturleitzahl oder Temperaturleitfähigkeit. Eine Lösung für
Abbildung 2: Zeitlich veränderliches Temperaturprofil entlang der Wegkomponente (eines unendlich langen Stabes), in welcher das Wärmewellenpaket zerfließt
T (x, t) bei einem mit der Zeit zerfließenden Wärmewellenpaket (siehe Abb. 2 - je
größer t, desto flacher der Temperaturverlauf) bietet die Fehlerfunktion erf(x). Sie
beschreibt bei bekannten Randbedingungen T0 und Tmax einen Ast des Temperaturprofils, der zweite Ast wird durch ihre Komplementärfunktion beschrieben.
Z x
2
1
2
· x) + Tmax mit erf(x) = √
e−ϕ dϕ (7)
T (x, t) = (T0 − Tmax ) · erf( √
π 0
4·χ·t
Nimmt man ein Temperaturprofil nach einer beliebigen Zeit t auf und kennt T0 und
1
Tmax , kann man eine Fehlerfunktion einpassen und erhält den Parameter √4·χ·t
aus
dem die Temperatur- und bei bekannter Dichte und spezifischen Wärmekapazität
auch die Wärmeleitfähigkeit bestimmt werden kann.
2. Bestimmung der Wärmleitfähigkeit aus Gleichung 3 - Wärmestrom entlang eines
Temperaturgradienten. Dazu wird ein konstanter eindimensionaler Wärmestrom durch
eine konstante Wärmequelle (z.B. elektrische Heizung) erzeugt, womit Gleichung 3
direkt gelöst werden kann. Das Problem liegt hier in der Erzeugung des eindimensionalen Wärmestroms und der Vermeidung parasitärer Wärmeströme. Im nächsten
Experiment verwendet man dazu Styroporisolation in einer Wärmemesskammer nach
dem Zweiplattenverfahren. In der wissenschaftlichen Praxis werden außen zusätzliche weitere Heizspulen verwendet, die Wärmeströme in andere Richtungen als der
gewünschten kompensieren. Im zweiten Teil des ersten Experiments beschränkt man
sich auf sehr kleine Temperaturdifferenzen (bezüglich der Umgebungstemperatur)
um parasitäre Wärmeströme und Verluste durch Strahlung und Konvektion gering
-8-
PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
zu halten. Für einen (unendlich langen) Stab (näherungsweise auch für einen endlich
langen Blechstreifen mit konstanter Wärmequelle und -Senke) gilt die Lösung für
Gleichung 3:
∆Q
dT
Φ = const. ⇒
= −λ · A ·
(8)
∆t
dx
Wobei A die Querschnittsfläche und
z.B. die Heizleistung) ist.
∆Q
∆t
der konstante Wärmestrom (messbar durch
1.1.4 Thermografie
Eine Alternative zur Temperaturmessung über Berührungskontakt zu Sensoren (z.B. PT100 Thermowiderstand oder Typ-K-Thermoelement, siehe 2. Experiment) ist in den letzten
Jahrzehnten die Thermografie (oder Wärmebildgebung)geworden, die ein 2-dimensionales
Bild von Infrarotstrahlung liefert.
Infrarotstrahlung
Als infrarote Strahlung wird jener Teil des elektromagnetischen Strahlungsspektrums bezeichnet, der größere Wellenlängen als das noch vom Auge sichtbare rote Licht einschließt
(ca. 780 nm) und von den Radiowellen mit λ ≥ 1mm begrenzt wird.
Der Infrarotbereich selbst wird weiter unterteilt in:
0, 78µm < λ < 3µm: NIR - nahes Infrarot
3µm < λ < 7µm: MIR - mittleres Infrarot
7µm < λ < 14µm: LIR - langwelliges Infrarot
14µm < λ < 100µm: FIR - fernes Infrarot
Körper mit einer Temperstur T > 900 K können gerade noch im visuellen Teil des Spektrums (rot) einen messbaren Anteil emittieren. Für Thermografie bei Umgebungstemperaturen (z.B. zwischen ca. 250 K - 450 K) ist das LIR besonders wichtig.
Funktionsprinzip Thermografie
Jeder Stoff mit einer Temperatur über dem absoluten Nullpunkt sendet Strahlung aus.
Max Planck hat in dem von ihm beschriebenen Strahlungsgesetz (siehe PS6 - Strahlung)
gezeigt, dass zu jeder Temperatur T eine Wellenlänge λmax mit maximaler spektraler Stahldichte existiert. Mit zunehmender Temperatur T verschiebt sich die Wellenlänge λmax der
maximalen Stahlungsleistung zu kleineren Werten (Wien’sches Verschiebungsgesetz). Gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist die Strahlungsleistung eines Körpers zur vierten
Potenz seiner Temperatur proportional.
P (T ) = (T ) · σ · A · T 4
-9-
(9)
PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Formelzeichen
P
σ
A
λ
T
Einheit
J · s−1
1
−1
J · s · m−2 · T −4
m2
−1
J · m · s−1 · K −1
K
Bezeichnung
Strahlungsleistung
Emissionskoeffizient
Stefan-Boltzmann-Konstante
Fläche
Wärmeleitfähigkeit
Temperatur
Über eine Infrarotoptik wird ein Bild der Wärmestrahlung auf einen Detektor projiziert,
der die jeweilige Strahlungsleistung P pro Pixel mit bekannter Fläche A über das StefanBoltzmann-Gesetz einer bestimmten Temperatur zuordnet. Das funktioniert jedoch nur
bei bekanntem Emissionskoeffizienten der untersuchten Probe und bei bekannter Umgebungstemperatur, da die Infrarotoptik eigentlich nur strahlungsleistungsbedingte Temperaturdifferenzen (zur Umgebungstemperatur) messen kann.
Transmission, Reflexion, Emission
Jeder Stoff mit T > 0 K emittiert Strahlung bzw. Photonen, abhängig von seiner Temperatur. Abhängig von seiner Materialbeschaffenheit und Oberflächenstruktur kann jeder
Stoff auch Strahlung/Photonen von außen reflektieren oder für diese durchlässig sein transmittieren (vgl. Abb. 3). Das Maß für die Fähigkeit, Strahlung zu emittieren ist der
Emmissionskoeffizient (oder auch „Emissionsgrad“) . Bei = 1 wäre das Material ein
idealer schwarzer Strahler und würde 100% der der Energie abstrahlen. Ideale schwarze Strahler treten in der Realität jedoch praktisch nicht auf. Vielmehr existieren „graue“
Strahler, deren von λ abhängt und zusätzlich durch Reflexion und Transmission beeinflusst wird.
Viele nichtmetallische Materialien (z.B. PVC, Beton, organische Stoffe) haben eine hohen Emissionsgrad 0, 8 < < 0, 95 im LIR. Metalle, vor allem mit glänzender Oberfläche
haben einen niedrigen (und mit der Temperatur schwankenden) Emissionsgrad. Für eine
zuverlässige Temperaturmessung mittels Strahlungsthermografie muss der Emissionsgrad
des untersuchten Materials bekannt und nach Möglichkeit hoch sein. Messungen auf glänzenden Oberflächen sollten vermieden werden, sie sollten lackiert oder stark aufgerauht
werden.
Der Reflexionsgrad (oder Reflexionskoeffizient) ρ ist ein Maß für die Fähigkeit eines Materials, Strahlung zu reflektieren. ρ ist ein materialspezifischer Parameter, der zudem von
der Oberflächenbeschaffenheit und der Temperatur abhängt. Je glatter und spiegelnder desto mehr Strahlung wird reflektiert. Für eine zuverlässige Temperaturmessung mittels
Strahlungsthermografie sollten reflektierbare Einstrahlungen per se vermieden werden, die
Oberflächenbeschaffenheit sollte Reflexion behindern. Sind alle diese Einflüsse beachtet,
bleibt noch die Wärmeeinstrahlung auf Grund der Umgebungstemperatur, welche in gewissem Maße auch immer reflektiert wird. Bei bekannter Umgebungstemperatur kann dieser
Einfluss jedoch automatisch korrigiert werden (RTC - reflected temperature correction).
Der Transmissionsgrad τ ist das Maß für den Anteil der transmittierten Strahlung. Die
meisten Alltagsmaterialien sind für LIR nicht, oder nur vernachlässigbar transmittiv.
- 10 -
PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Abbildung 3: Strahlungseinflüsse bei der Wärmebildaufnahme
Nach dem aus der Thermodynamik folgenden Kirchhoff’schen Strahlungsgesetz ist das
Verhältnis des Emissionsvermögens zum Absorptionsvermögen bei einer bestimmten Wellenlänge und gegebener Temperatur für alle Körper gleich. Ein Körper strahlt daher umso
besser, je wirksamer er Strahlung absorbiert. Ferner folgt:
+ρ+τ =1
(10)
bzw. nach Vernachlässigung der Transmission gilt für LIR näherungsweise:
+ρ=1
(11)
Die meisten (bau/technischen) Thermografiegeräte (Wärmebildkameras) beschränken sich
auf LIR, weil sich zudem vorteilhaft auswirkt, dass bei Freiluftmessungen die atmosphärische Gegenstrahlung in diesem Wellenlängenbereich besonders gering ist. Man spricht
hierbei vom atmosphärischen Fenster. Wärmestrahlung von der Erde wird von den Bestandteilen der Atmosphäre (O2 , N2 , H2 O, CO2 ) absorbiert (sie regt die Gasmoleküle dabei zu typischen Rotationsschwingungen an). Gemäß dem Kirchhoff’schen Strahlungsgesetz
emittieren die Gase dann auch wieder Wärmestrahlung mit einer (oder mehreren) charakteristischen Wellenlängen. Zwischen etwa 8 und 14 µm, also im atmosphärischen Fenster,
liegen jedoch keine Strahlungsmaxima (vgl. Abb. 4).
Infrarotoptik und Detektortechnik
Um ein Wärmebild digital zu erfassen, bedarf es einer bildgebenden Optik und einer
möglichst hochauflösenden Detektoreinheit. Das Linsenmaterial muss einen entsprechend
großen Brechungsindex für LIR aufweisen bei gleichzeitiger hoher Transmissivität. Auf Effekte wie Dispersion (die zur chromatischen Aberration führt), sphärische, astigmatische
u. a. Fehler muss selbstverständlich auch hier geachtet werden. Germanium oder GalliumArsenid beispielsweise eignen sich für infrarotoptische Anwendungen gut. Der gewünschte
Wellenlängenbereich kann zudem durch gezielte Entspiegelung eingegrenzt werden.
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PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Abbildung 4: Atmosphärische Gegenstrahlung
Abbildung 5: Bolometerschaltung
Als Detektor für LIR Strahlung dient im gegenständlichen Experiment ein sehr weit verbreitetes und vergleichsweise günstiges System für Wärmebildgebung: Eine MikrobolometerMatrix. Ein Bolometer ist ein Sensorelement, welches Wärmestrahlung in ein elektrisches
Signal umwandelt (siehe Abb. 5). Es ist schaltungstechnisch eine Wheatstonebrücke mit
zwei Referenzwiderständen R2 und R3 , die in einem festen Widerstandsverhältnis stehen,
zwei Thermistoren RT und [RT + ∆RT ] (=temperaturempfindliche Widerstände mit bekannten Temperaturkoeffizienten) und einem Brückenwiderstand R1 , an welchem ein Spannungsabfall gemessen werden kann. Die Messbrücke ist ausgeglichen, für den Fall, dass die
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PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
beiden Thermistoren gleiche Temperatur haben. Einer der beiden Thermistoren ist gegen einfallende Wärmestrahlung abgeschirmt, der andere ist ein exzellenter LIR-Absorber.
Kommt es zu einem Wärmestrahlungsfluss Φ für eine Zeitspanne (realisiert durch einen
Shutter (9 Hz im Fall der verwendeten Kamera) in der Kameraoptik), ändert sich das
Widerstands-Verhältnis der beiden Thermistoren und der Spannungsabfall über R1 kann
ausgelesen werden. Dieser ist direkt proportional zur Strahlungsleistung pro Pixelfläche
P (T )/A.
Als Absorber dienen verschiedene Materialien. Am gängigsten sind wohl Vanadiumoxid
oder amorphes Silizium. Letzteres findet in der Kamera Verwendung, die im gegenständlichen Experiment eingesetzt wird. In Abb. 6 b) ist ein Mikrobolometer im Querschnitt
schemetisch dargestellt, a) zeigt die Aneinanderreihung der Bolometer: Viele Bolometerelemente werden in Matrix-Form zusammengesetzt um einen zweidimensionalen Empfänger
zu erhalten, auf den das Wärmebild projiziert wird. Die Auflösung ergibt sich aus der
Bolometerelemente-Anzahl, wobei ein Element einem „Pixel“ entspricht. Gängige Auflösungen im günstigen Preissegment sind etwa 120x160 Pixel.
Abbildung 6: Mikrobolometermatrix und Querschnitt durch ein Bolometerelement (Butler et. a. 1995)
1.2 Aufgabenstellung
1. Bestimmen Sie die Temperaturleitfähigkeit und daraus die Wärmeleitfähigkeit von
Eisen durch thermografische Auswertung eines nicht stationären Wärmestroms.
2. Bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit von Aluminium durch thermografische Auswertung eines stationären Wärmestroms.
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1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
1.3 Versuchsaufbau und Durchführung
1.3.1 Kalibration der Wärmebildkamera
Um zuverlässige Temperaturmessungen mit der Wärmebildkamera zu erhalten, müssen Sie
feststellen, wie groß der Emissionskoeffizient Ihrer Probe ist und welche Korrektur Sie
auf Grund der reflektierten Umgebungstemperatur RT C (reflected temperature correction)
durchführen müssen. Die Umgebungstemperatur wird mit einem kalibrierten Thermoelement gemessen (z.B. Fluke 179). Für die Bestimmung von wenden Sie am einfachsten
die Kontakttemperaturmethode an:
Im Menü der Wärmebildkamera wählen Sie „Emissivity“ und stellen vorerst den Wert
= 1,00 ein. Im Einstellfeld „RTC“ daneben tragen Sie die gemessene „Reflected Temperature“, also die Umgebungstemperatur ein. Währenddessen erwärmen Sie Ihre Probe
(das Eisenstück) z.B. auf der Wärmeplatte um einige Grad Celsius ( auf ca. 40◦ C). Messen
Sie nun die Oberflächentemperatur mit dem selben Thermoelement, mit dem Sie zuvor
die Umgebungstemperatur gemessen haben und vergleichen diese mit der gleichzeitig gemessenen Temperatur in der Wärmebildkamera. Richten Sie dazu das Fadenkreuz auf die
gewünschte und von Hand temperaturvermessene Stelle. Vergleichen Sie die Temperaturen
und korrigieren Sie (bei Bedarf) die „Emissivity“ der Kamera schrittweise herunter bis die
Temperaturen von Thermoelement und Wärmebildkamera auf ± 1-2◦ C gleich sind. Da alle
im Versuch verwendeten Metalle matt schwarz matt lackiert sind, sollten die Emissionskoeffizienten sehr hoch sein. Eine Styroporabschirmungung sollte zudem die Störungen durch
Reflexion oder Einstrahlung von Wärmequellen mit höherer Temperatur als der Umgebung
gering halten. Achten Sie jedoch trotzdem darauf, dass Sie Einstrahlungen vermeiden.
1.3.2 Messung des nicht stationären Wärmestroms
• Wärmen Sie 2 Eisenstäbe mit der Heizplatte auf eine Temperatur von mindestens
10◦ C über Raumtemperatur.
• Tragen Sie auf der unlackierten Kontaktfläche des 3. Stabes bei Raumtemperatur
eine dünne Schichte Wärmeleitpaste auf, die die Kontaktfläche jedoch vollständig
abdeckt.
• Pressen Sie den erwärmten und den Stab bei Raumtemperatur kräftig zusammen,
entfernen Sie rasch die ausgequillte Paste und legen Sie die Stäbe auf eine Styroporunterlage.
• In dem Moment, wo die beiden Eisenstäbe in Kontakt kommen, müssen Sie die Zeit
zu stoppen beginnen.
• Nach ca. 30-60 Sekunden Kontaktzeit nehmen Sie ein Wärmebild auf. Hierzu üben
Sie vorher im Trockentraining das Schärfen des Bildes im gewünschten Abstand. Um
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PS10
1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
die Auflösung zu maximieren müssen Sie den Bildausschnitt mit den Stäben so groß
wie möglich wählen. Die Bildaufnahme erfolgt per „Abzug“. Das Speichern des Bildes
aufdem Datenträger müssen Sie mit der Taste „OK“ quittieren.
• Wenn Sie den Eisenstab mit der höheren Temperatur links platzieren, sodass der
Wärmestrom auf dem Foto v.l.n.r. entlang der späteren x-Koordinate verläuft, vereinfachen Sie sich die Auswertung.
• Daten Eisenstab: ρ = (7480 ± 350)kg/m3 , c32◦ C = (454, 6 ± 0, 7)Jkg −1 K −1
1.3.3 Messung des stationären Wärmestroms
Der Messaufbau für den stationären Wärmestrom ist vorgegeben. Auf einem 4 mm dicken
Aluminium-Blech (Duraluminium) ist an einem Ende ein Heizwiderstand R=330 Ω(als
konstante Wärmequelle) montiert, dessen Leistung über die Betriebsspannung mit dem
Netzgerät regelbar ist. Als Isolationsmedium dient die Umgebungsluft. Am anderen Ende
(nach etwa 4 cm) ist das Aluminiumblech mit einem großen Kupferblock wärmeleitend
verbunden, der als Wärmesenke fungiert.
• Wählen Sie die Betriebsspannung so, dass etwa 0,5-0,7 J/s Wärmestrom aus der
Wärmequelle fließt.
• Nach etwa 5 Minuten sollte sich auf dem ca. 4 Zentimeter langen Stück zwischen
Wärmequelle und Wärmesenke ein Temperaturgradient von ca. 5◦ C ausgebildet haben (überprüfen Sie das mit der Wärmebildkamera).
• Nehmen Sie nun ein Wärmebild.
• Sie können den Emissionskoeffizienten nochmals überprüfen, er sollte jedoch wegen
der gleichen Lackierung in etwa gleich hoch sein, wie im ersten Versuch.
1.3.4 Temperaturprofile auslesen
• Schließen Sie die Wärmebildkamera mit dem USB Kabel an einen PC an, welcher
über die Testo-IR-Software verfügt.
• Speichern Sie ihre IR-Bilder auf dem lokalen Datenträger und öffnen Sie diese mit
Doppelklick in der Testo-Software.
• Zeichnen Sie im Bearbeitungsfenster mit dem IR-Bild ein Temperaturprofil längs
einer waagrechten Linie ein (vgl. Abb. 7). Für das Experiment mit dem nicht konstanten Wärmestrom wählen Sie bloß eine Hälfte (die sich erwärmende), für das
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1 Wärmeleitfähigkeit von Metallen - thermografische Bestimmung
Experiment mit dem konstanten Wärmestrom wählen Sie die ausgemessene Strecke
vom Wärmwiderstand bis zum Kupferblock.
• Nun erscheint im Bearbeitungsfenster Temperaturprofil die Temperatur für jedes angewählte Pixel. Klicken Sie auf „Zwischenspeicher“ um den Datensatz aus der Software zu exportieren. Es werden dabei gleichzeitig der Datensatz und der Screenshot
in den Zwischenspeicher geladen. Der Datensatz ist jedoch in einer Form, welche
den brauchbaren Import in ein Datenverarbeitungsprogramm wie QTI-Plot nicht
ermöglicht (da als Zeilentrennzeichen ein Semikolon ausgegeben wird).
• Um die Daten in vernünftiger Form in QTI-Plot einzufügen, müssen die Semikolons
durch Zeilentrennzeichen ersetzt werden. Dafür stellen wir mit „TestoCopyPaste“
eigens ein kleines Programm zur Verfügung. Wenn Sie es öffnen, so erscheint ein
Button mit der Aufschrift „Convert Clipboard“. Sind Daten im Zwischenspeicher, so
werden diese direkt konvertiert, wenn Sie auf den Button klicken. Danach können Sie
die Daten unmittelbar in QTI-Plot einfügen.3
Abbildung 7: relevante Bearbeitungsfenster aus Testo-IR-Software
1.3.5 Auswertung der Temperaturprofile in QTI-Plot
Der Datensatz des Temperaturprofils ist ohne Bezugswert ausgegeben. Sie wissen jedoch,
dass die Werte in ihrer Reihenfolge den ausgelesenen Pixeln von links nach rechts entsprechen. Wenn Sie die ausgelesenen Längen kennen, können Sie in QTI-Plot direkt die
zugehörigen x-Werte generieren, da Sie somit wissen, welche Länge in m in wieviele Pixel
geteilt wurde. Wählen Sie dazu im Menü der leeren x-Spalte „Spaltenwerte setzen“: Hier
können Sie Formeln eingeben, „i“ steht für die Zeilennummer (und entspricht damit der
Pixelnummer).
3
Sollte das Programm nicht zur Verfügung stehen, müssen Sie die Zeilentrennzeichen manuell ersetzen: Dazu fügen Sie den Datensatz in ein Textverarbeitungsprogramm ein, das die Funktion „Suchen/Ersetzen“ besitzt. Sie suchen im gesamten Datensatz nach den Messwerttrennungszeichen ; (Semikolon) und ersetzen diese durch die Absatzmarke (in MS Word ist das: „∧p“, in LibreOffice ist
das „\n“). Dann können Sie den Datensatz abermals markieren, kopieren und einfach in eine belibige
Tabelle in QTI-Plot einfügen.
- 16 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Anpassung einer Fehlerfunktion
Mit einem Rechtsklick im Diagramm gelangen Sie ins Auswertemenü –> Analyse. Dort
öffnen Sie den Fit-Assistenten und erstellen sich selbst die notwendige Funktion nach Gleichung 7. Sie haben 3 unbekannte Parameter, die Sie z.B. mit A, B und C benennen können
1
(A = T0 , B = Tmax , C = √4·χ·t
). Die Fehlerfunktion erf() können Sie aus den vorgegebenen
Funktionen wählen und einfügen. Wenn Sie den Fit anwenden können Sie überprüfen, ob
A und B nachvollziehbare Größen sind und aus C können Sie λ berechnen.
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
2.1 Grundlagen
2.1.1 Begriffe
Temperatur, Wärmemenge, Wärmestrom, Wärmeleitung, Wärmeübergang, Wärmewiderstand, stationärer Zustand, Wärmeleitzahl, Wärmeübergangszahl, Wärmedurchgangskoeffizient
2.1.2 Stationäre Wärmeleitung und Wärmeübergang
Befindet sich ein System im stationären Zustand, ändert sich die Temperatur nicht mit
der Zeit ( dT
= 0) und folglich ist auch der Wärmestrom (Φ = ∆Q
) konstant.
dt
∆t
In einer Platte der Dicke d mit den Oberflächentemperaturen (Wandtemperaturen) TW 1 , TW 2
(siehe Abbildung 8) hängt der Temperaturverlauf in der eindimensionalen Betrachtung
nur von der Ortskoordinate x im Bereich (0 ≤ x ≤ d) ab. Jetzt ist die Temperatur stationär, also nicht mehr von der Zeit abhängig, daher vereinfacht sich die Gleichung 6
zu
d2 T (x)
= 0.
dx2
(12)
Als Lösung dieser Gleichung folgt für 0 ≤ x ≤ d ein linearer Temperaturverlauf
x
T (x) = TW 1 + (TW 2 − TW 1 ) · .
d
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(13)
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Abbildung 8: Ebene Platte mit Wärmeleitfähigkeit λ.
Weiters resultiert ein konstanter Wärmestrom
Φ=
dT
(TW 1 − TW 2 )
dQ
= −λ · A ·
=λ·A·
dt
dx
d
(14)
mit der Wärmestromdichte (auf die Querschnittsfläche A bezogener Wärmestrom):
q=
(TW 1 − TW 2 )
1 dQ
·
=λ·
A dt
d
(15)
dQ
TW 1 − TW 2
=
dt
Rλ
(16)
1 d
·
λ A
(17)
In der Formulierung
Φ=
lässt sich der Wärmewiderstand
Rλ =
herleiten.
1
λ
wird als spezifischer Wärmewiderstand bezeichnet.
Man beachte die Analogie zwischen Wärme- und Ladungstransport. In der Elektrizitätslehre gilt das Ohm’sche Gesetz I = UR (vgl. Analogie in Gleichung 16), wobei I die elektrische
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PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Stromstärke, R den elektrischen Widerstand und U eine Potentialdifferenz symbolisiert.
Für den elektrischen Widerstand R eines Drahtes der Länge d mit Querschnittsfläche A
und elektrischer Leitfähigkeit σ gilt der Zusammenhang R = σ1 · Ad (vgl. Analogie in Gleichung 17). Die folgende Tabelle stellt die entsprechenden elektrischen und thermischen
Größen einander gegenüber.
Thermodynamik
Wärmewiderstand Rλ
Temperaturdifferenz ∆T
Wärmestrom Φ
Wärmeleitfähigkei λ
Elektrizität
elektrischer Widerstand R
elektrische Spannung (potentialdifferenz) U
elektrischer Strom I
elektrische Leitfähigkeit σ
Tabelle 2
Es ist physikalisch sinnvoll und einsichtig, dass der Wärmewiderstand Rλ mit zunehmender
Plattendicke d zunimmt und mit größer werdender Plattenquerschnittsfläche A abnimmt.
Der Übergang von den Wänden der Platte zum angrenzenden Luftvolumen stellt einen
Widerstand für den Wärmefluss dar. Es entstehen Konvektionsströme in den Grenzschichten jeweils zwischen der Plattenwand und der angrenzenden erwärmten Luft wegen der
Temperaturunterschiede T1 − TW 1 und TW 2 − T2 . Die Beschaffenheit der Oberfläche, wie
z.B Rauhigkeit, Reflexionsvermögen, usw ist dabei von Bedeutung. Aufgrund der Enerin der Platte
gieerhaltung im stationären Gleichgewicht ist der Wärmestrom Φ = dQ
dt
gleich der jeweils über die Oberfläche zu- und abströmenden Wärmemenge pro Zeiteinheit. Entsprechend dem Ansatz nach Newton bzw. Fourier ist der Wärmestrom durch eine
Oberfläche in ein angrenzendes Medium proportional zur Größe der Oberfläche, zur Temperaturdifferenz und aus Dimensionsgründen zum Wärmeübergangskoeffizienten α (auch
Wärmeübergangszahl). In Abbildung 8 gilt daher für den Wärmeübergang an der Wand
W1
Φ=
dQ
= α1 · A · (T1 − TW 1 )
dt
(18)
Φ=
dQ
= α2 · A · (TW 2 − T2 )
dt
(19)
und an der Wand W2
Gleichungen 14, 18 und 19 werden zusammengefasst zu:
Φ=
dQ
(TW 1 − TW 2 )
= α1 · A · (T1 − TW 1 ) = λ · A ·
= α2 · A · (TW 2 − T2 )
dt
d
- 19 -
(20)
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
wobei α1 und α2 die Wärmeübergangskoeffizienten sind.
Die Gesamttemperaturdifferenz T1 − T2 wird durch eine Summe von drei Temperaturdifferenzen dargestellt, so dass gilt:
T1 − T2 = T1 − TW 1 + TW 1 − TW 2 + TW 2 − T2
| {z } | {z } | {z }
Φ
α1 ·A
Φ·d
λ·A
(21)
Φ
α2 ·A
Diese Temperaturdifferenzen sind jeweils dem Wärmestrom Φ proportional (siehe Gleichung 20). Die daraus folgenden Terme (unter den geschweiften Klammern) in die Gleichung 21 eingesetzt definiert die Péclet-Gleichung:
Φ=
dQ
=
dt
1
α1 ·A
T1 − T2
d
+ λ·A
+
1
α2 ·A
=
T1 − T2
T1 − T2
=
Rα1 + Rλ + Rα2
Rk
(22)
In Analogie zur Elektrotechnik wird der Wärmedurchgang durch eine Reihenschaltung
thermischer Widerstände modelliert. Die Summe der Einzelwiderstände ist der Gesamtwiderstand oder Wärmedurchgangswiderstand.
Rk = Rα1 + Rλ + Rα2 =
Rα1 =
1
α1 ·A
und Rα2 =
1
α2 ·A
1
d
1
+
+
α1 · A λ · A α2 · A
(23)
sind die Wärmeübergangswiderstände.
Bei Berechnungen zur Wärmedämmung wird der k-Wert (Wärmedurchgangskoeffizient)
verwendet, mit der Definition
Φ=
dQ
= k · A · (T1 − T2 )
dt
(24)
Der Vergleich mit den obigen Gleichungen ergibt für den Wärmedurchgangswiderstand
Rk =
1
k·A
(25)
und weiters folgt
1
1
1
d
=
+ +
k
α1 λ α2
- 20 -
(26)
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Abbildung 9: Schema zum Wärmedurchgang durch zwei ebene Platten
Der Wärmedurchgangswiderstand einer Probe, die aus mehreren Schichten (unterschiedliche Materialien) besteht setzt sich zusammen aus den Wärmewiderständen in den einzelnen Schichten und den Wärmeübergangswiderständen zu den beidseitig angrenzenden
Luftschichten (oder Fluiden).
2.1.3 Zweiplattenmessverfahren
Zur Untersuchung der Wärmeleitfähigkeit eines wärmeisolierenden Materials wird häufig
eine relative Messmethode verwendet, bei der zwei aus verschiedenen Materialien bestehende Platten übereinander gelegt werden, wobei die Wärmeleitfähigkeit eines Materials
bekannt ist. Für eine aus zwei aneinander gereihten Platten (Wärmeleitzahlen λa und λb )
aufgebaute Probe (siehe Abbildung 9) mit unterschiedlichen Querschnittsflächen Aa und
Ab und unterschiedlichen Plattendicken da und db gilt daher
Φ=
(TW 1 − TW 2 )
(TW 2 − TW 3 )
dQ
= αa ·Aa ·(T1 −TW 1 ) = λa ·Aa ·
= λb ·Ab ·
= αb ·Ab ·(TW 3 −T2 )
dt
da
db
(27)
Ist eine der beiden Wärmeleitzahlen bekannt (z.B λb ) kann die zweite (λa ) berechnet
werden. Für dieses Zweiplatten-Messverfahren lautet die zugehörige Bestimmungsgleichung
für die unbekannte Wärmeleitzahl
- 21 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
λa = λb ·
Ab da (TW 2 − TW 3 )
·
·
Aa db (TW 1 − TW 2 )
(28)
Bei gleich großen Querschnittsflächen (Aa = Ab ) und gleichen Dicken (da = db ) gilt
λa = λb ·
(TW 2 − TW 3 )
(TW 1 − TW 2 )
(29)
Aus dem Wärmestrom Φ lassen sich auch die Wärmeübergangszahlen berechnen
αa =
αb =
Φ
Aa · (T1 − TW 1 )
(30)
Φ
(31)
Ab · (TW 3 − T2 )
Für den Wärmedurchgangskoeffizienten gilt
1
1
da
db
1
=
+
+
+
k
αa λa λb αb
Formelzeichen
Q
T
Φ
q
d
A
λ
α
k
Rλ
Rα
Rk
Einheit
J
K
−1
J ·s =W
J · m−2 · s−1 = W · m−2
m
m2
−1
−1
−1
J · m · s · K = W · m−1 · K −1
J · m−2 · s−1 · K −1 = W · m−2 · K −1
J · m−2 · s−1 · K −1 = W · m−2 · K −1
J −1 · s · K = W −1 · K
J −1 · s · K = W −1 · K
J −1 · s · K = W −1 · K
(32)
Bezeichnung
Wärmemenge
Temperatur
Wärmestrom
Wärmestromdichte
Plattendicke
Plattenquerschnittsfläche
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeübergangskoeffizient
Wärmedurchgangskoeffizient
Wärmewiderstand
Wärmeübergangswiderstand
Wärmedurchgangswiderstand
Tabelle 3
2.1.4 Temperaturmessung mit einem NiCr-Ni Thermoelement
Ein Themoelement (siehe schematisch in Abbildung 10) besteht aus zwei Drähten verschiedener Metalle oder metallischer Legierungen (z.B. NiCr und Ni). Die beiden Enden (A und
- 22 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
B) sind verlötet. Aufgrund der unterschiedlichen Energien (Fermi-Energie) der Elektronen
in den Metallen entsteht an den Lötstellen eine Kontaktspannung die temperaturabhängig
ist. Befinden sich die beiden Löstellen auf gleicher Temperatur kompensieren einander die
Kontaktspannungen. Sind die Temperaturen der Lötstellen verschieden, so zeigt das Voltmeter eine Potentialdifferenz, die sogenannte Thermospannung an. Dieser Effekt wird nach
dem Entdecker als Seebeck-Effekt bezeichnet. Die Größenordnung dieser Potentialdifferenz
liegt im mV-Bereich.
Abbildung 10: Schema zum Aufbau eines Thermoelementes
Zur genauen Messung der Temperatur an einer Lötstelle (z.B. A) muss die Temperatur an
der anderen Lötstelle (B) konstant gehalten werden. Die Kontaktstellen mit dem Messgerät
bzw. Geräte interne Drahtverbindungen verursachen zusätzliche Spannungsdifferenzen, die
ebenfalls zu berücksichtigen sind. In der Praxis schaut daher ein Thermoelement Messkreis
aus, wie in Abbildung 11 dargestellt. Neben der Kontaktstelle A sind die Anschlusskontakte (B1 und B2) an das Messgerät (im Experiment wird ein Fluke 179 verwendet) eingezeichnet. Die Anschlusskontakte befinden sich auf Raumtemperatur und erzeugen ebenfalls
eine Thermospannung. Die Temperatur der beiden Kontakte (B1 und B2) wird vom Messgerät selbst über einen temperaturabhängigen Metallwiderstand (PT-100) gemessen und
in ein Kontaktpotential umgewandelt. Ein integrierter Schaltkreis mit einen DifferenzenOperationsverstärker rechnet die kompensierte Kontaktspannung in die Messtemperatur
an der Lötstelle A um.
Eine Temperaturmessung mit einem PT-100 Metallwiderstand ist eine sehr genaue Temperaturbestimmung. Hochpräzise gefertigte und geeichte Platindrähte werden z.B. in Keramik eingebettet und ermöglichen so stabile Messungen in einem Bereich von -200◦ C bis
850◦ C. Ihr Widerstand beträgt bei 0◦ C exakt 100 Ω der Widerstand ist über einen großen
Bereich linear von der Temperatur abhängig und kann mit geeigneten Messgeräten bis zu
einigen ±mK genau bestimmt werden.
- 23 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Abbildung 11: NiCr-Ni Thermoelement
2.2 Aufgabenstellung
1. Berechnen Sie mit dem Zweiplatten-Messverfahren den Wärmestrom Φ und die Wärmestromdichte q.
2. Bestimmen Sie die Wärmeleitfähigkeit λ einer Probe und die Wärmeübergangskoeffizienten α1 , α2 .
3. Berechnen Sie den Wärmewiderstand Rλ und Wärmeübergangswiderstände Rα1 ,
Rα2 .
4. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k und den Wärmedurchgangswiderstand Rk .
2.3 Versuchsaufbau und Durchführung
2.3.1 Aufbau der Wärmemesskammer
Die Abbildung 12 zeigt den experimentellen Aufbau. Das Gehäuse der Wärmemesskammer besteht aus einem thermisch isolierten Material mit quadratischer Öffnung nach oben.
Dadurch werden die Wärmeverluste über die Seitenwände vernachlässigbar. Im unteren Bereich der Messkammer unterhalb der Proben befindet sich eine elektrische Heizung (Plattenheizer), mit der ein konstanter Wärmestrom eingeregelt werden kann. Kanäle in der
Gehäusewand ermöglichen die Montage von Messfühlern (Thermoelemente) zur Temperaturmessung oberhalb und unterhalb der Zweiplattenprobe bzw an deren Ausswänden und
an der Zwischenwand. Zusätzlich benötigen Sie eine Spannungsquelle (Power-Supply) und
Voltmeter zur Messung der Thermospannungen.
Die Abbildung 13 illustriert den Aufbau einer Zweiplatten-Probe. Eine Eichplatte und die
unbekannte Probe sind jeweils getrennt durch dünne Metallplatten (Bleche) aneinandergereiht. Die Metallplatten sind an der Außenseite schwarz lackiert und ermöglichen damit
einen besseren Wärmeübergang. Die Platten sind mit zwei dünnen Nuten ausgestattet (an
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PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Abbildung 12: Versuchsaufbau zur Wärmeleitfähigkeit
- 25 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
Abbildung 13: Aufbau einer Probe
jeder Oberfläche eine Nut), wobei sich am Ende jeweils eine kreisförmige Aussparung zum
Einlegen eines Kontaktplättchens befindet. Das Thermoelement, das in die Nut eingelegt
wird, hat somit optimalen Wärmekontakt mit der Platte.
2.3.2 Experimentelle Durchführung
1. Bauen Sie eine Probe aus der Eichplatte und einer vom Betreuer zu erfragenden Probe (Platte) auf. Messen Sie zunächst jeweils die Dicken und die Querschnittsflächen
der beiden Platten.
2. Sie können die Probe direkt in der Wärmemesskammer zusammenbauen. Beginnen
Sie mit dem Einsetzen des untersten Thermoelements zur Messung der „Ofentemperatur“. Dazu verwenden Sie einen Gummistöpsel (ohne Abb.), den Sie zusammen
mit dem Thermoelement in den Wandkanal richtig einsetzen. Legen Sie dann die erste einseitig schwarz gefärbte dünne Metallplatte (schwarze Fläche nach unten) ein.
Der weitere Aufbau erfolgt nach der Darstellung in Abbildung 13. Auf die oberste
Metallplatte (schwarze Fläche nach oben) legen Sie dann die Steinplatte (ohne Abb).
3. Schließen Sie die Heizung an und wählen Sie 6 V Versorgungsspannung. Notieren Sie
in Zeitintervallen von etwa 30 Minuten die Temperaturen. Sie verwenden 5 Thermoelemente in diesem Experiment, benötigen jedoch nur ein Fluke 179-Multimeter,
denn Sie können die Thermoelement nacheinander an- und ausstecken. Vorsicht, sie
sollen möglichst nicht in der Wärmekammer verrutschen und auch nicht geknickt
werden. Warten Sie (ca. 2-2,5 h) bis sich ein stationärer Wärmestrom einstellt, d.h.
- 26 -
PS10
2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
die Temperaturen konstant bleiben. (Es empfiehlt sich daher dieses Experiment zu
Beginn des Kurstages zu starten und während der Aufwärmphase ein anderes Experiment durchzuführen.
Achtung: Setzen sie die Kontaktplättchen so ein, dass die Thermoelemente geeignet kontaktieren! Achten Sie darauf, dass Sie die Thermoelemente nicht knicken! Herausnehmen
der Platten nur mit dem Montagehaken, dabei besonders auf die Thermoelemente achten!
2.3.3 Auswertung
1. Dokumentieren Sie den Temperaturanstieg während des Aufheizens im nichtstationären Bereich.
2. Messen Sie die stationären Temperaturen. Danach berechnen Sie aus den beiden
W
) den
Wandtemperaturen der Eichplatte (Polystrol: Wärmeleitfähigkeit λ = 0,16 m·K
Wärmestrom. Verwenden Sie dazu den geeigneten Ausdruck in der Gleichung 27.
Berechnen sie auch die Wärmestromdichte.
3. Berechnen Sie die Wärmeleitfähigkeit der unbekannten Proben und die beiden Wärmeübergangskoeffizienten (siehe Gleichungen 27, 28, 30 und 31).
4. Berechnen Sie die Wärmewiderstände und die Wärmeübergangswiderstände (siehe
Gleichungen 17 und 23).
5. Berechnen Sie den Wärmedurchgangskoeffizienten k der Zweiplattenprobe (siehe
Gleichung 32).
6. Leiten Sie die Formel für den Wärmedurchgangswiderstand ab (analog zu Gleichung 23) und berechnen Sie diesen.
2.3.4 Fehlerrechnung
Zur Bestimmung der Abmessungen der Platten und deren Fehler sind mit einer Schublehre an mehreren Stellen der Platten Messungen durchzuführen. Für die Wärmeleitfähigkeit
W
± 0.5%. Die Fehler zu den benötigten
der Polystrol-Eichplatte verwenden sie λ = 0,16 m·K
Temperaturdifferenzen schätzen sind angpasst ab. Zur Bestimmung der Fehlerwerte der
restlichen Größen verwenden Sie die Gaußsche Fehlerrechnung. Überlegen Sie sinnvoll welche Messfehler sind besonders deutlich im Fehler des Endergebnisses auswirken und welche
wenig beitragen.
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2 Wärmeleitfähigkeit von Wärmeisolatoren
2.4 Literaturangaben
• Wärmeübertragung (Physikalische Grundlagen), Heinz Herwig und Andreas Moschallski, Vieweg und Teubner, 2009.
• Wärmeübertragung (Grundlagen, analytische und numerische Methoden), Wolfgang
Polifke und Jan Kopitz.
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PS10
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen
(Abkühlungsmethode)
Diese Experiment ist ein freiwilliges Zusatzexperiment oder kann als Ersatz von einem
der beiden Experimente mit der Wärmebildkamera gemacht werden!
3.1 Grundlagen
3.1.1 Spezifische Wärmekapazität in Festkörpern
Wärmeenergie wird in Festkörpern hauptsächlich in Form von Schwingungsenergie der Atome um ihre Ruhelage in den Gittern gespeichert (Gitterschwingungen = Phononen). In
einem Atomgitter sind die Schwingungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade) der einzelnen Atome begrenzt. Sie beträgt gemäß dem Model für harmonische Oszillatoren, das je 3 für die
kinetische und die potentielle Energie zulässt f = 2 · 3 = 6. Wenn Atome um ihre Ruhelage
Schwingungen ausführen bilden sich auf Grund der Kopplung der benachbarten Atome
durch Wechselwirkungskräfte und der Reflexion an den Endflächen stationäre Schwingungen bzw. stehende Wellen aus. Je nach Anzahl N der miteinander gekoppelten Atome sind
verschiedene Schwingungsmoden mit unterschiedlichen Wellenlängen möglich (N 3 ). Die
Energieverteilung auf diese Schwingungsmoden des harmonischen Oszillators entspricht
einer Besetzungswahrscheinlichkeit. Im klassischen Fall entspricht diese Wahrscheinlichkeit einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Für die (spezifische) molare Wärmekapazität
eines Festkörpers würde das bedeuten, dass
(auch kurz Molwärme genannt) CV = n1 ∆Q
∆T
alle möglichen stationären Schwingungen angeregt werden können und es folgt das DulongPetit’sche Gesetz :
1
(33)
CV = 6 · · NA · kB = 3 · R
2
Formelzeichen
n
CV
NA = 6, 0221 · 1023
kB = 1, 3806 · 10−23
R = 8, 3145
Einheit
J · mol−1 · K −1
mol−1
J/K
J · mol−1 · K −1
Bezeichnung
Molzahl n = N/NA
molare (isochore) Wärmekapazität (auch: Molwärme)
Avogadro-Konstante
Boltzmann-Konstante
universelle molare Gaskonstante
Das würde bedeuten, dass die Wärmekapazität über alle Temperaturbereiche konstant
bleibt, was der Realität widerspricht (vgl. Abb. 14).
Einstein stellte 1906 folgenden Erklärungsversuch auf: Die Gitterschwingungen des Kristalls werden gequantelt (diese Quanten nennt man auch Phononen). Man beschreibt den
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PS10
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
Abbildung 14: Qualitativer Verlauf der molaren Wärmekapazität in Festkörpern in Abhängigkeit der Temperatur
Festkörper dann als aus N quantenharmonischen Oszillatoren bestehend. Die Besetzungwahrscheinlichkeit einer Schwingungsmode (eines Phonons) steigt mit der Temperatur T
und folgt (da Phononen Bosonen sind) der Bose-Einstein-Verteilung. Einstein konnte mit
diesem Modell erklären, dass die spezifische Wärmekapazität bei tiefen Temperaturen gegen Null geht.
Doch die entscheidende Verbesserung des Modells stammt von Peter Debey (1912), welches
longitudinale und transversale Schwingungsmoden unabhängig berücksichtigt.
Die Messung der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität eines Festkörpers gibt Informationen über die Frequenzverteilung seiner Gitterschwingungen und damit
über die Kopplungskräfte zwischen seinen Atomen bzw. Molekülen und hat sich als wesentliche experimentelle Bestätigung der Quantentheorie der Festkörper erwiesen.
3.1.2 Bestimmungsmethoden der spezifische Wärmekapazität
Es existieren verschiedene Methoden zur Bestimmung der spezifische Wärmekapazität von
Festkörpern. An dieser Stelle werden jedoch nur zwei Methoden zur Bestimmung der isochoren (massen)spezifischen Wärmekapazität exemplarisch vorgestellt:
1. kalorimetrische Bestimmung der spez. Wärmekapazität
Die kalorimetrische Methode wurde bereits im Praktikum 1 vorgestellt. Sie basiert
auf dem Prinzip, dass einem thermisch isolierten System mit einer Substanz bekannter spezifischer Wärmekapazität und Massse eine unbekannte Wärmemenge zuoder abgeführt wird, welche über die Temperaturänderung der bekannten Substanz
bestimmt wird. So kann etwa ein System Metall in Wasser über die kontrollierte
Energiezufuhr von außen (elektrische Heizung) erwärmt werden. Sind beide Massen
(und cw ) bekannt, kann cM etall berechnet werden. Nachteil dieser Methode ist die
Einschränkung auf einen kleinen Temperaturbereich, was dazu führt, dass die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazität des Festkörpers außer Acht
gelassen wird, bzw. nur ein mittlerer Wert von ihr bestimmt wird.
2. Bestimmung der spez. Wärmekapazität über die Abkühlgeschwindigkeit
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PS10
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
Für zwei Metallkörper unterschiedlicher spezifischer Wärmekapazität gilt:
∆Q1 = m1 · c1 · ∆T1
bzw. ∆Q2 = m2 · c2 · ∆T2
(34)
Im Fall, dass beide Metallkörper die gleiche Wärmemenge abgeben ∆Q1 = ∆Q2 , wird
derjenige mit der größeren spezifischen Wärmekapazität mehr Zeit ∆t dafür brauchen
als derjenige mit der niedrigeren Wärmekapazität. Die Abkühlungsgeschwindigkeit
eines Körpers hängt also von der spezifischen Wärme des betreffenden Stoffes ab.
Vergleicht man die Abkühlungskurven zweier Metallstücke gleicher Größe, Gestalt
und Farbe, so kann man die spezifische Wärme c1 des einen Metallstückes ermitteln,
wenn die spezifische Wärme c2 des zweiten Metallstückes bekannt ist, und die Masse
der beiden Metallstücke bestimmt wurde.
dT
m2
dt 2
(35)
c1 = c2 ·
· dT m1
dt 1
3.2 Aufgabenstellung
1. Messen Sie Massen und die Abkühlkurven von zweier Metallstücke gleicher Größe,
Gestalt und Farbe.
2. Aus den Abkühlraten dT
(T ) bestimmen Sie für 4 vorgegebene Temperaturen die spedt
zifische Wärmekapazität c1 von Aluminium und zeigen ihre Temperaturabhängigkeit.
3.3 Versuchsaufbau und Durchführung
Das Ni-Cr-Ni - Thermoelement ist an einer Stativklemme vormontiert. Es ist sehr dünn und
biegbar und muss daher besonders behutsam benutzt werden: Bewegen Sie es so wenig wie
möglich - bewegen Sie lieber die anderen Teile. Stecken Sie den Probekörper auf das Thermoelement auf (er sollte gerade nach oben stehen). Schließen Sie nun das Thermoelement
an Pocket-CASSY an, kontrollieren Sie den Ladestand der Akkus (ggf. Netzversorgung
anschließen) und stellen Sie im Menü (selbsterklärende Bedienung) Messintervalle von 1
Sekunden ein. Beginnen Sie mit der Messung und führen Sie dann das Thermoelement
mitsamt dem aufgesteckten Probenzylinder nach Lösen der Stativklemme von unten in
den Ofen ein.
Starten Sie nun den Aufheizvorgang. Dazu wird der Ofen mit Hilfe des Regeltrafos erst 10
min mit 100 V, danach mit 150 V beheizt. Maximal bis 270 ◦ C aufheizen.
Das Thermoelement wird nun mit der aufgesteckten Probe abgesenkt, vorsichtig zur Seite
geschwenkt und dann zur Vermeidung unkontrollierter Luftzirkulation in das Schutzrohr
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PS10
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
geschoben. Der Ofen bleibt während dieser ersten Messung der Abkühlungskurve einge◦
schaltet. Sobald sich der Probenkörper auf etwa 70 C abgekühlt hat, wird der zweite Metallzylinder (Vergleichsprobe) auf das Thermoelement aufgesteckt und der ganze Vorgang
wiederholt.
Zur Vermeidung von Verbrennungen benutzen Sie bitte die Schutzhandschuhe bzw. die
Topflappen.
Abbildung 15: Schematischer Versuchsaufbau zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität.
Nach erfolgter Abkühlung des zweiten Probekörpers beenden Sie die Messung und schalten
alle Geräte ab. (Beenden Sie auch am Pocket Cassy die Messung). An einem Computer
mit installiertem Cassy-Lab können Sie nun die Daten vom Pocket-Cassy ins Programm
einlesen: Dazu klicken Sie den Button „Daten“ auf der Menüoberfläche „Cassy“. Sobald die
Daten angezeigt werden wählen Sie als Messparameter für die Zeit „s“ (Sekunden) anstelle
von Stunden. dann können Sie die Daten zur weiteren Bearbeitung in QTI-Plot oder ein
anderes Programm Ihrer Wahl kopieren.
• Plotten Sie den Temperaturverlauf beider Heiz- und Abkühlvorgänge gegen die Zeit.
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PS10
3 Spezifische Wärmekapazität von Metallen (Abkühlungsmethode)
• Aus der Kurve wählen Sie die Bereiche, in welchen die Abkühlung regelmäßig verläuft.
• Plotten Sie zuerst die Abkühlkurve von Probekörper 1 (Aluminium). Auf den ersten
Blick mag die Abkühlkurve einem exponentiellen Verlauf gehorchen. Dies gilt jedoch
nur für den Fall einer temperaturunabhängigen spezifischen Wärmekapazität. Daher passen Sie nun eine beliebige Regressionsfunktion in den empirisch ermittelten
Datensatz ein (es eignet sich z.B. ein Polynom 5. Grades). Diese Anpassung erfüllt
nur den Zweck einer „Glättung“ oder „Interpolation“ der Daten, um die weitere Auswertung zu vereinfachen. Wählen Sie beim Fit jene Option aus, welche die gleiche
Anzahl an Punkten im Fit wie in der Messung sicherstellt, da Sie den Datensatz
sonst später nicht entsprechend weiterbearbeiten können.
• Die gefittete Funktion können Sie nun in QTI-Plot differenzieren. Ein neues Diagramm wird dadurch erstellt.
• Im Menüpunkt „Diagrammdetails“ (Doppelcklick über dem Diagramm) erhalten Sie
den Datensatz der differenzierten Fitfunktion durch anwählen des Buttons „Arbeitsblatt“, welchen Sie in Ihr ursprüngliches Arbeitsplatt neben dem geplotteten Zeitbzw. Temperaturausschnitt einfügen können.
• Durch Umstellung der Achsenzuordnung der Spalte „Temperatur“ als Abszisse („x(T ) plotten.
Achse“) im Menüpunkt „Spaltenwerte setzen“, können Sie nun dT
dt
(T ) können Sie mit dem Werkzeug „Datenleser“ (rotes
• Aus diesem Diagramm dT
dt
Fadenkreuz in schwarzem Quadrat) dT
bei jeder gewünschten Temperatur T auslesen.
dt
• Wiederholen Sie diese Auswertung auch für die Abkühlung von Probekörper 2 (Kupfer).
• Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität c1 des Aluminium - Probekörpers für
die in Tabelle 4 angeführten Temperaturen T und stellen Sie diese graphisch dar.
Die dazugehörigen spezifischen Wärmekapazitäten c2 des Vergleichmetalls (Kupfer)
finden Sie ebenfalls in Tabelle 4.
T [◦ C]
100
150
200
250
c2 [J kg −1 K −1 ]
394
401
408
415
Tabelle 4: Spezifische Wärmekapazität von Cu bei verschiedenen Temperaturen
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