T1 Spezifische Wärmekapazität
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Versuch T1 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT FESTER KÖRPER Seite 1 von 5 Versuch: Spezifische Wärmekapazität fester Körper Anleitung für folgende Studiengänge: Biowissenschaften, Pharmazie Goethe-Universität Frankfurt am Main Fachbereich Physik Physikalisches Institut Anfängerpraktikum Teil 1 (AP1) Aktualisiert: 12-2015 von C. Krellner Raum: Physik _ _.206 1. Thema In diesem Versuch soll mit einem Kalorimeter die spezifische Wärmekapazität von Kupfer bei Raumtemperatur bestimmt und mit dem theoretischen Wert nach Dulong-Petit verglichen werden. Dessen Gültigkeit bei tiefen Temperaturen wird mit einer weiteren Messung zur Diskussion gestellt. 2. Physikalische Grundlagen 2.1. Definitionen Bei konstantem Volumen bewirkt die einem Körper der Masse m zugeführte Wärmeenergie ∆Q , entsprechend dem 1. Hauptsatz der Wärmelehre, eine Temperaturerhöhung um ∆T . Diese ist dem Zuwachs ∆U an innerer Energie proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmekapazität des Körpers: (1) ∆Q = C ⋅ ∆T = ∆U → C = ∆Q ∆T Die Wärmekapazität ist proportional zur Masse m bzw. zur Stoffmenge n des Körpers. Um eine allgemeine Aussage über Körper aus einem bestimmten Material machen zu können, definiert man die spezifische Wärmekapazität c (der Wärmekapazität pro Masseneinheit) bzw. die molare Wärmekapazität cmol (der Wärmekapazität pro Stoffmenge): (2) C 1 ∆Q C 1 ∆Q c= und cmol = = ⋅ = ⋅ m m ∆T n n ∆T Die SI-Einheiten der verschiedenen Wärmekapazitäten lauten also: [C ] (3) = J J J = , [c ] ,= [cmol ] K kg ⋅ K mol ⋅ K Die spezifische und die molare Wärmekapazität sind damit über die molare Masse M verknüpft: (4) cmol = m ⋅c = M ⋅c n Die Definitionen in Gleichung (2) müssen noch weiter präzisiert werden. Es muss nämlich noch angegeben werden, unter welchen Versuchsbedingungen die Wärmemenge ∆Q zugeführt wurde. Man unterscheidet insbesondere eine Wärmekapazität bei konstantem Volumen, CV , wenn bei der Energiezufuhr das Volumen der Substanz konstant gehalten wird Versuch T1 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT FESTER KÖRPER Seite 2 von 5 bzw. eine Wärmekapazität bei konstantem Druck, C p , wenn der auf der Substanz lastende äußere Druck konstant gehalten wird. 2.2. Regel von Dulong-Petit Nach dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik bleibt die einer Substanz von außen zugeführte Wärmemenge ∆Q erhalten, kann aber in verschiedene Energieformen aufgeteilt werden. Für die Herleitung an dieser Stelle sind die wichtigsten Formen die Innere Energie U sowie die vom untersuchten Material gegen den äußeren Druck p geleistete Arbeit p∆V . Es gilt also: (5) ∆Q =∆U + p∆V Für die Wärmekapazitäten C p bzw. CV ergibt sich demnach: (6) ∆U ∆V ∆U und CV = Cp = +p ∆T ∆T ∆T da ∆V bei konstantem Volumen verschwindet. Das Äquipartitionstheorem (oder Gleichverteilungssatz) der statistischen Mechanik sagt aus, dass ein System pro Freiheitsgrad eine Innere Energie von der Größe kT 2 haben kann (mit der Boltzmann Konstante= k 1.38 ⋅ 10 −23 J K und T der absoluten Temperatur des Systems in Kelvin). Für f Freiheitsgrade pro Teilchen ist die gesuchte Innere Energie U bzw. ihre Änderung ∆U demnach für N Teilchen: kT k ∆T bzw. ∆U = N ⋅ f ⋅ 2 2 1 ∆V Da die thermische Ausdehnung α = für Flüssigkeiten und Festkörper meistens sehr V V ∆T klein ist, gilt für Flüssigkeiten und Festkörper (7) U = N⋅ f ⋅ f f f N ⋅ k und cmol= N A ⋅ k= R 2 2 2 N A 6.022 ⋅ 1023 mol−1 sowie N A ⋅ k = dabei wurde n = N / N A mit der Avogadrokonstante = R (8) C p ≈ CV= mit der universellen Gaskonstante R = 8.314 J/(mol K) benutzt. Die molare Wärmekapazität fester Stoffe ist demnach im Allgemeinen temperaturabhängig. Bei höheren Temperaturen ist jedoch die maximale Anzahl von sechs Freiheitsgraden angeregt, jeweils zwei Freiheitsgrade pro Schwingungsmodus und dies für jede der drei Raumrichtungen. Somit wird ab einer bestimmten Temperatur die molare Wärmekapazität temperaturunabhängig. Dies ist als Regel von Dulong-Petit bekannt, da im Rahmen dieses Modells die molare Wärmekapazität für alle Festkörper gleich ist, mit einem Wert von J . mol ⋅ K Dies ist bei Raumtemperatur für die meisten der elementaren Festkörper erfüllt (siehe Abbildung 1). Ausnahme ist aber z.B. Kohlenstoff, der bei 300 K eine spezifische Wärme von nur 9 J/(mol K) aufweist, das heißt hier sind noch nicht alle Freiheitsgrade der möglichen Schwingungen angeregt. (9) cmol = 3 N A ⋅ k = 3R ≈ 25 Versuch T1 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT FESTER KÖRPER Seite 3 von 5 Abbildung 1: Molare Wärmekapazität von ausgewählten Elementen. Für Blei, Kupfer und Aluminium ist das Dulong-Petit-Limit bei Raumtemperatur erreicht, jedoch nicht für Kohlenstoff. 3. Aufgabenstellung 1. Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität von Wasser (H2O) nach Formel (8) ausgehend von 6 Freiheitsgraden pro Atom bzw. 18 pro Wasser-Molekül. Vergleichen Sie den Wert mit dem Literaturwert. 2. Bestimmen Sie die Wärmekapazität des Kalorimeters, mit Hilfe einer Wärmekapazitätsmessung von 400 g Wasser, deren Wärmekapazität aus der Literatur bekannt ist. 3. Bestimmen Sie die spezifische Wärmekapazität von Kupfer bei Zimmertemperatur. 4. Bestimmen Sie die spezifische Wärmekapazität von Kupfer bei einer tieferen Temperatur und vergleichen Sie diese mit dem Wert aus Teilaufgabe 3. 5. Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse im Zusammenhang mit dem Gesetz von Dulong Petit und vergleichen Sie die erhaltenen spezifischen Wärmekapazitäten mit Literaturwerten. 4. Experimenteller Aufbau Die Substanz, von der die spezifische Wärme bestimmt werden soll, wird in ein Kalorimeter gebracht. Das hier verwendete Kalorimeter besteht aus einem Edelstahl-Dewar mit wärmeisolierenden Wänden, in dem ein kombinierter Heiz- und Thermometereinsatz steckt. Mittels elektrischen Heizens wird Wärme zugeführt, die Heizleistung kann aus dem Produkt von Strom I und Spannung V berechnet werden. Damit Thermometer, Kalorimeter und untersuchte Substanz die gleiche Temperatur annehmen, wird das Kalorimeter teilweise mit Wasser gefüllt. Für einen guten thermischen Ausgleich kommt ein Magnetrührer zum Einsatz. Der zu messende Festkörper (Kupfer) wird an den Thermometereinsatz gehängt und so in das Kalorimeter eingeführt. Versuch T1 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT FESTER KÖRPER Seite 4 von 5 Die Wärmebilanz der verschiedenen Heizversuche lautet damit: (10) (C Kal ) + mH2O ⋅ cH2O + mK ⋅ cK ∆T = ( I ⋅ V ) ∆t daraus ergibt sich (11) (C Kal ∆t I ⋅V + mH2O ⋅ cH2O + mK ⋅ cK = =⋅ I V ∆T ∆T ∆t ) Dabei sind CKal die Wärmekapazität des Kalorimeters, mH2O die jeweils eingefüllte Wassermenge, cH2O = 4190 J/(kg K) die spezifische Wärmekapazität von Wasser, mK die Masse des eingehängten Körpers aus Cu, Al bzw. C., cK die gesuchte spezifische Wärmekapazität von diesem Material (Cu, Al bzw. C)), I und V der Strom und Spannung der Heizung sowie ∆T die Temperaturänderung des Kalorimeters und dessen Inhalt, ∆t die Zeit in der elektrische Leistung dem Kalorimeter zugeführt wurde und damit ∆t / ∆T der inverse Anstieg der gemessenen Temperaturen als Funktion der Zeit, T (t ) , während des Heizens. Alternativ zum elektrischen Heizen kann der auf Stickstofftemperatur heruntergekühlter Messkörper aus Kupfer in das Kalorimeter eingebracht werden und die entsprechende Temperaturänderung gemessen werden (Teilaufgabe 4), die Wärmebilanz lautet dann (12) (C Kal ) ( + mH2 O ⋅ cH2 O ⋅ (TAnfang − TEnde ) = mCu ⋅ cCu ⋅ TEnde − TN2 ) Dabei sind TAnfang und TEnde die Temperaturen zu Beginn und am Ende des Versuches, während TN2 = 77 K = −196.15°C die Siedetemperatur von flüssigem Stickstoff ist. 5. Hinweise zum Versuch und zur Auswertung Es ist unbedingt darauf zu achten, dass der Rührkern bei allen Messungen frei läuft, um eine Durchmischung des Wassers während des Versuchs sicherzustellen. Deshalb sollte der Dewar in der Mitte der Rührplatte stehen, um den Drehpunkt des Rührkerns ins DewarZentrum zu rücken. Die Drehzahl wird nun langsam heraufgedreht und so eingestellt, dass der Rührkern weder klappert, noch sich an die Seitenwand des Kalorimeters anlegt. Ca. 300 Umdrehungen/ Minute ist meistens ein brauchbarer Wert. Durch Zuhören soll während einer Messung immer wieder kontrolliert werden, ob sich der Rührkern noch dreht. Um das Kalorimeter zu kalibrieren (Teilaufgabe 2) werden ca. 400 g destilliertes Wasser verwendet, für die Messungen mit Kupfer (Teilaufgabe 3 und 4) nur 350 g. Dies gewährleistet eine optimale Füllhöhe für das Thermometer und den Heizer. Die Masse des Wassers muss jeweils sehr genau bestimmt werden, da es maßgeblich die Genauigkeit für die spezifische Wärme von Kupfer bestimmt. Für die Bestimmung der Wärmekapazität wird zuerst nach Befüllen des Kalorimeters der Thermometereinsatz eingesetzt. Nun sollte ein Messprotokoll gestartet werden (elektronisch oder handschriftlich) in das die abgelesenen Temperaturen alle 30 s notiert werden. Sobald sich die Temperatur stabilisiert hat, wird die elektrische Heizung eingeschaltet. Die Temperatur wird weiterhin alle 30 s abgelesen, zusammen mit Heizstrom und Heizspannung. Wenn die Temperatur um ungefähr 20 K angestiegen ist, wird die Heizung abgeschaltet. Die Messung der Temperatur wird trotzdem weiter fortgesetzt bis sich die Temperatur wieder stabilisiert hat. Während der gesamten Messung darf das Kalorimeter nicht geöffnet werden. Versuch T1 SPEZIFISCHE WÄRMEKAPAZITÄT FESTER KÖRPER Seite 5 von 5 Für die Auswertung der einzelnen Heizkurven wird jeweils die Temperatur T als y-Achse gegen die Zeit t als x-Achse aufgetragen. Der lineare Fit sollte nur in dem linearen Bereich dieser Messkurve durchgeführt werden, also jeweils etwas nach Beginn und vor Ende des Heizvorganges. Da für die Auswertung nach Formel (11) Differenzen von nahezu gleich großen Werten gebildet werden, ist auf eine sehr hohe Genauigkeit bei dem Fit zu achten. 6. Literatur [1] W. Walcher, Praktikum der Physik, Teubner-Verlag, Stuttgart 1989 [2] C. Gerthsen, Physik, Springer-Verlag (2010). [3] L. Bergmann, C. Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Akustik, Wärmelehre, Verlag de Gruyter, Berlin 1987 7. Fragen 1) Wie ist die Wärmekapazität definiert? 2) Welche Maßeinheiten haben die Wärmekapazität, die spezifische Wärmekapazität und die molare Wärmekapazität? 3) Wie groß ist im Allgemeinen die molare Wärmekapazität eines Festkörpers aus einem Element (z.B. Kupfer) bei hinreichend großen Temperaturen (Regel von Dulong-Petit)? 4) Wie groß ist die Wärmeenergie in einem elektrischen Aufheizkalorimeter (Strom I, Spannung U), die im Zeitraum ∆t durch elektrisches Heizen an ein Wasserbad übertragen wird. 5) Wie lautet die Wärmebilanz, wenn Sie ein kaltes Stück Kupfer ( TN 2 ) in ein Wasserbad ( T1 ) geben. 6) Berechnen Sie die Wärmeenergie, die Sie benötigen um 1 kg Wasser um 10 K zu erwärmen (cH 2O ~ 4200 J/kg K).
