Analysis I

Analysis I
Vorlesung von Prof. Dr. Christian Hainzl
1
Eberhardt Karls Universität Tübingen
Wintersemester 2015/2016
Inhaltsverzeichnis
1 Reelle Zahlen
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
Anordnungen . . . . . . . . . . . .
Intervalle und beschränkte Mengen
Dedekind Vollständigkeit . . . . . .
Die Reellen Zahlen . . . . . . . . .
2 Folgen und Reihen
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
Folgen . . . . . . . . . .
Konvergenz nachweisen .
Abzählbarkeit . . . . . .
Reihen . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien . . .
Absolute Konvergenz . .
Umordnung von Reihen
Cauchy-Produkt . . . . .
Exponentialreihe . . . .
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14
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28
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33
34
35
3 Stetige Funktionen
39
4 Anhang
42
3.1 Stetigkeit nach Folgen-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Zwischenwertsatz für Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1
4.2
4.3
4.4
Grundlegende Denitionen und Sätze
Einschub 1: Relationen . . . . . . . .
Einschub 2: Vollständige Induktion .
Einschub 3: Folgen in der Ebene . . .
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1 Dieses Dokument wurde von einem Studenten als Mitschrieb erstellt und ist keineswegs
ein vollständiges und korrektes Skript. Teile der Vorlesung wurden ausgelassen und es
wurde um Denitionen und Kommentaren aus anderen Vorlesungen und Büchern ergänzt.
1
1
2
REELLE ZAHLEN
1
Reelle Zahlen
Wir führen im folgenden die reellen Zahlen axiomatisch ein. Das heiÿt wir
denieren Rechengesetze und Eigenschaften und postulieren, dass R diese
erfüllt
1.1 Körper
Die in Q oder auch R geltenden Rechengesetze, die nur Addition und Multiplikation betreen, führen zum Begri des Körpers.
1.1.1 Denition: Körper
Ein Körper (engl. Field ) ist ein Tripel (K,+,·) bestehend aus einer Menge
K und zwei Abbildungen von K × K → K, die Addition und Multiplikation
genannt werden und mit der Form
(1)
(2)
+ : (a, b) → a + b
· : (a, b) → a · b
geschrieben werden, wobei verlangt wird, dass für alle a,b,c ∈ K die folgenden
Axiome erfüllt sind:
K1 Addition
(K1.1)
(Assoziativität)
a + (b + c) = (a + b) + c
(K1.2) Es gibt ein Element 0 ∈ K, sodass
a+0=a
gilt
(Neutrales Element)
(K1.3) Zu jedem a ∈ K gibt es ein b ∈ K, so dass
a+b=0
gilt
(K1.4) a + b = b + a
(Inverses Element)
(Kommutativität)
Man nennt Tupel (K,+), die (K1.1), (K1.2), (K1.3) erfüllen Gruppe
Eine Gruppe, die auch (K1.4) erfüllt heiÿt abelsch.
1
3
REELLE ZAHLEN
K2 Multiplikation
(K2.1)
(Assoziativität)
a · (b · c) = (a · b) · c
(K2.2) Es gibt ein Element 1 ∈ K, sodass
a·1=a
gilt
(Neutrales Element)
(K2.3) Zu jedem a ∈ K \ {0} gibt es ein b∈ K \ {0} , so dass
a·b=0
gilt
(Inverses Element)
(K2.4) a · b = b · a
(Kommutativität)
Ferner gilt noch
(K3) a·(b + c) = a·b + a·c
(Distributivgesetz)
Kommentar :
Eine Alternative Denition des Körpers ist folgende:
Sei K eine Menge und +,· Abbildungen von K × K → K der Form
+ : (a, b) → a + b
· : (a, b) → a · b
Das Tripel (K,+,·) heiÿt Körper, wenn gilt:
i (K,+) ist abelsche Gruppe
ii (K \ {0},·) ist abelsche Gruppe
iii a · (b + c) = a · b + a · c
∀a, b, c ∈ K
Das die beiden Denitionen gleichwertig sind ist oensichtlich.
Beispiele
• (Q,+,·) ist ein Körper
• (Z, +, ·) ist kein Körper, da z.b. 3 ∈ Z , aber 3−1 =
1
3
∈
/Z
1
4
REELLE ZAHLEN
1.1.2 Lemma
In einem Körper sind die neutralen Elemente 0,1 eindeutig bestimmt. Ferner
sind zu gegebenem a∈ K das Inverse der Addition und, falls a 6= 0, das Inverse der Multiplikation eindeutig bestimmt.
Man schreibt (-1) für das additive Inverse und a−1 für das multiplikative
Inverse
Beweis :
Sei 0' weiteres neutrales Element von a, so folgt
00 = 00 + 0 = 0 + 00 = 0
Also ist das neutrale Element eindeutig
Ist a∈ K und seien c und b additive Inverse zu a, so folgt
c = c + 0 = c + (a + b) = (c + a) + b = 0 + b = b
Also ist das inverse Element eindeutig
Schreibweise :
Wir führen folgende Notationen für die Grundrechenarten ein
a + (−b) = a − b
a · b = ab
a
ab−1 =
b
Daraus folgt
a
·
b
a
+
b
c
ac
=
d
bd
c
ad + bc
=
d
bd
Der Beweis dafür ist eine einfach Übungsaufgabe
1.1.3 Lemma
Sei K ein Körper
a) Für a,b ∈ K hat die Gleichung a + x =b genau eine Lösung in K,
nämlich x = b - a
1
REELLE ZAHLEN
5
b) Für jedes a ∈ K gilt -(-a) = a
c) Für alle a,b ∈ K gilt -(a+b) = -(a) + -(b) = -a - b
d) Für jedes a 6= 0 ∈ K und b ∈ K hat die Gleichung ax = b genau eine
Lösung in K, nämlich x = ab
e) Für alle a,b,c ∈ K gilt (a+b)c = ac + bd
f) Für jedes a ∈ K gilt a · 0 = 0
g) Für alle a,b ∈ K gilt a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (Nullteilerfreiheit)
h) Für alle a ∈ K gilt (-1)a = -a
i) (-1)(-1) = 1
Beweis
a) a + x = b : Das Element x = b - a = b + (-a) erfüllt a + x = b ; a +
(b + (-a)) = a + ((-a) + b) = a + (-a) + b = 0 + b = b
⇒ Siehe Buch [Deitmar: Analysis ] für Eindeutigkeitsbeweis
b) a + (-a) = 0 = (-a) + a ⇒ -(-a) = a
c) (a+b)+(-a-b) = (b+a) + (-a-b) = [(b + a) − a] - b = b - b = 0
d) analog zu a
e) Denition Distributivgesetz
f) a0 + a0 = a(0+0) = a0
g) Übung
h) (-1)a = (-1)a + 0 = (-1)a +(a-a) = ((-1)a+a)-a = ((-1)a + 1a) - a ) =
0 - a = -a
i) Übung
1.1.4 Denition: Potenzen
Für x ∈ K sind xn die Körperelemente mit
x0 = 1, x1 = x, xn+1 = xn · x ∀n ∈ N
1
6
REELLE ZAHLEN
1.1.5 Lemma
In K gelten die Folgenden Rechenregeln
xn+m = xn · xm
(xn )m = xn·m
xn · y n = (x · y)n
wobei x, y ∈ K, m, n ∈ N0
Beispiel :
Sei K Körper. Damit ist
L = K × K = {(x, y) | x ∈ K ∧ y ∈ K}
Ein Körper mithilfe den Operatoren
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
(x, y) · (u, v) = (xu − yv, xv + yu),
mit (0,0) als neutrales Element der Addition,
(1,0) als Eins Element
und (-x,-y)
als additiv
Inverses von (x,y),
−y
x
,
als multiplikativ Inverses von (x,y) 6= (0,0)
x2 +y 2 x2 +y 2
1.2 Anordnungen
Anordnung führt zum Begri des angeordneten Körpers
⇒ Einschub 1: Relationen - Siehe Anhang
1.2.1 Denition Angeordneter Körper
Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit einer Relation <
auf K, die folgende Axiome 01 - 04 für alle a,b,c∈ K erfüllt. Man liest a<b
als ”a kleiner b”
(01) Je zwei Zahlen (Elemente in K sind vergleichbar, das heiÿt für alle
a,b∈ K gilt genau einer der drei Fälle
a<b ∨ a=b ∨ a<b
1
7
REELLE ZAHLEN
(02) a<b, b<c ⇒ a<c
(03) a<b ⇒ a+c < b+c
(04) a<b, 0<c ⇒ ac < bc
Beispiel :
F2 = {0, 1} sind nicht angeordnet, da 0 < 1, aber 0+1 = 1 > 1+1 =0
1.2.2 Lemma: Folgerung d. Ordnungsaxiome
Seien a,b,x,y Elemente des angeordneten Körpers K
(a) Es gilt x<y ⇒ 0<y-x
(b) Man kann Ungleichungen addieren:
a<b, x<y ⇒ x+a < y+b
(c) Man kann Ungleichungen bedingt multiplizieren
0<ayb, 0≤x<y ⇒ ax < by
(d) Bei Vorzeichenwechsel dreht sich das Vorzeichen um
(e) Man kann ungleichungen mit strikt negativen Zahlen multiplizieren,
dann drehen sich die Relationen um
a<b, x<0 ⇒ ax>bx
(f) Für x6=0 gilt x2 <0
(g) ∀x ∈ K gilt x<0 ⇔
1
x
>0
(h) Ist 0<x<y ⇒ x−1 > y −1
Beweis
(a) Siehe (03)
(b) a<b ⇒ a+x<b+x , x+b<y+b ⇒ a+x<y+b
(c) Siehe (03) und (04)
(d) x<y ⇔ 0<y-x = -x-(-y)⇔ -y<-x
(e) -x>0 ⇒ (-x)a<(-x)b ⇒ xb < xa
(f) x>0 ⇒ x2 >0. x<0 ⇒ -x >0 ⇒ (-x)(-x)=xx>0
1
8
REELLE ZAHLEN
(g) "⇒"(x−1 ) > 0 ⇒ x · (x−1 )2 > 0 ⇒ x− 1 > 0
⇐ analog
(h) 0<x<y ⇒ x·y > 0 ⇒ (x·y)−1 > 0
⇒ (x · y)−1 x < (x · y)−1 y
⇒ y −1 < x−1
1.2.3 Satz
Ein angeordneter Körper hat stets unendlich viele Elemente.
Genauer gesagt gilt: die Abbildung
n → e + e + ... + e
(3)
,wobei e das neutrale Element der Multiplikation ist, ist injektiv.
Beweis Siehe Repetitorium 30.10.2015
Supremum und Inmum : Für die Analysis ist es wichtig ein Maximum
und Minimum zu denieren und bestimmen zu können. Aus den Denitionen
wollen wir das sogenannte Supremumsaxiom herleiten.
1.2.4 Denition: Maximum
Das Maximum zweier Elemente a, b ∈ K ist das gröÿte der beiden Elemente
(
a , fallsa > b
max(a, b) =
b , fallsb < a
(4)
1.3 Intervalle und beschränkte Mengen
1.3.1 Denition: abgeschlossenes Intervall
Sei K ein angeordneter Körper und a ≤ b Elemente in K. Das abgeschlossene
Intervall [a,b] ist die Menge
[a, b] = {x ∈ K : a ≤ x ≤ b}
(5)
Und das Oene Intervall (a,b) ist die Menge
(a, b) = {x ∈ K : a < x < b}
(6)
1
9
REELLE ZAHLEN
Weiterhin gilt
[a, b) = {x ∈ K : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ K : a < x ≤ b}
[a, ∞) = {x ∈ K : a ≤ x}
(∞, b] = {x ∈ K : x ≤ b}
(7)
(8)
(9)
(10)
1.3.2 Denition: Längen von Intervallen
Für jedes Intervall ist die Länge L deniert durch
L ([a, b]) = L ((a, b)) = b − a > 0
(11)
1.3.3 Denition: Beschränkte Mengen
Eine Teilmenge M⊂ K heiÿt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S ∈ K
gibt, sodass X ≤S ∀x ∈ M gilt. Jedes solche S wird obere Schranke genannt.
Analog deniert man die untere Schranke
Eine Menge heiÿt beschränkt, falls sie nach oben und unten beschränkt ist.
Beispiele :
• [0, 1] ist beschränkt
• N ist nach unten beschränkt, aber nicht nach oben
1.3.4 Lemma
Eine Teilmenge M des angeordneten Körpers K ist genau dann beschänkt,
wenn es ein T > 0 gibt, sodass
x ∈ M ⇒ |x| ≤ T
(12)
Beweis Folgt sehr einfach aus den Denitionen
1.3.5 Denition: Maximum einer Menge
die Menge M besitzt ein Maximum, wenn es ein m0 ∈M gibt, dass eine obere
Schranke zu M ist.
1
10
REELLE ZAHLEN
Kommentar
• Das Maximum ist eindeutig festgelegt, denn angenommen m0 ' sein auch
ein Maximum. Dann folgt
m00 ≤ m0 m0
≤ m00 ⇒ m0 = m00
• Eine endliche Menge M = {a1 , a2 , ..., an } hat immer ein Maximum
• Die Denition des Mimimums ist analog min(M) = kleinstes Element
1.4 Dedekind Vollständigkeit
1.4.1 Denition: Supremum
Sei M eine Teilmenge eines angeordneten Körpers K. Ein Element S ∈ K
heiÿt Supremum von M, falls
• S ist obere Schranke zu M
• ist t eine obere Schranke zu M, dann folgt S≤t.
Also
S = sup(M )kleinste obere Schranke zu M
(13)
1.4.2 Präposition
i Hat eine Teilmenge M⊂ K ein Supremum, dann ist dies eindeutig bestimmt. Es wird sup(M) genannt
ii Es gibt nichtleere beschränkte Teilmengen von Q, die kein Supremum
in Q besitzen.
Beweis der Präposition :
i Folgt aus Denition
ii Beispiel:
M = r ∈ Q|r2 < 2
Das Supermum S = sup(M) ist dann S 2 = 2
1
11
REELLE ZAHLEN
1.4.3 Denition: Dedekind Vollständigkeit
Ein angeordneter Körper K heiÿt Dedekind-Vollständig, falls jede nach oben
beschränkte Teilmenge{} =
6 M ⊂K
Kommentar
• Q ist nicht Dedekind Vollständig
1.5 Die Reellen Zahlen
1.5.1 Denition: Supremumsaxiom
Für alle nach oben beschränkten Teilmengen der reellen Zahlen {} =
6 M ⊂R
existiert ein Supremum
1.5.2 Denition: Reelle Zahlen R
Wir legen die Reellen Zahlen R nur axiomatisch fest. Für R sind folgende
Axiome erfüllt
i. Körperaxiome
ii. Anordnungsaxiome
iii. Supremumsaxiom
1.5.3 Satz
R ist bis auf Isomorphe der einzige Dedekind-Vollständig angeordnete Kör-
per.
Der Beweist der Existenz ndet sich im Appendix des Buches von
Anton
Deitmar
Kommentar :
√
Daraus folgt auch, dass 2 in den Reellen Zahlen enthalten ist. Man sieht
dies indem man sich eine Teilmenge M der Reellen Zahlen deniert mit
(14)
M = r ∈ R|r2 < 2
√
Das Supermum S = sup(M) ist dann S 2 = 2 beziehungsweise S = 2.
Nach
Supremumsaxiom muss dieses Supremum nun in R liegen. Also gilt
√
2∈R
1
12
REELLE ZAHLEN
1.5.4 Präposition: Inmum
i Jede nach unten Beschränkte Teilmenge M 6= {} von R besitzt eine
gröÿte untere Schranke, genannt das Inmum von M
inf(M )
ii Hat eine Teilmenge M ∈ R ein Maximum, dann hat sie auch ein Supremum und es gilt
max(M ) = sup(M )
iii ist M nach oben beschränkt und es existiert ein Supremum, so gilt:
inf(M ) = −sup(−M )
Beispiel : unvollständig
1.5.5 Satz: Archimedisches Prinzip
Die Menge der natürlichen Zahlen in R ist nicht beschränkt. d.h.
∀x ∈ R ∃n ∈ N : n > x
(15)
Bemerkung : Angenommen N beschränkt
S = sup(N).
Dann gilt n≤S ∀n ∈ N
Dann gilt auch n+1≤S ∀n ∈ N
⇒ n≤S-1 ∀n ∈ N
Widerspruch.
Annahme, dass S die kleinste obere Schranke ist
1.5.6 Präposition
Zu jedem x ∈ R existiert eine eindeutig bestimmte ganze Zahl k ∈ Z, sodass
k ≤x<k+1
(16)
Man bezeichnet k = [x] und nennt dies die Gauÿ-Klammer.
Lemma :
Zu jedem ε>0 in R existiert ein n ∈ N mit
0<
1
<ε
n
(17)
1
13
REELLE ZAHLEN
Beweis :
Nach Archimedischem Prinzip gilt:
Für ε>0 ∃n, sodass
n>
1
1
⇒0< <ε
ε
n
1.5.7 Satz: Dichtheit von Q
Die Menge Q liegt dicht in R
Das heiÿt: In jedem Intervall (a,b) mit a<b gibt es eine rationale Zahl.
Beweis :
Sei a < b. Dann gilt b − a > 0
Dann gibt es n ∈ N, mit
1
<b−a
n
⇒ 1 < nb − na
0<
Daraus folgt: ∃k ∈ Z mit
na < k < nb
k
⇒a< <b
n
Kommentar :
Da Q ⊂ R liegen zwischen zwei Reellen Zahlen stets unendlich viele Rationale
Zahlen.
2
2
14
FOLGEN UND REIHEN
Folgen und Reihen
Ein einleitendes Beispiel :
√
Wir hatten ja bereits gezeigt, dass√ 2 keine reelle Zahl ist. Dennoch würden
wir gerne eine Zahl nennen, die 2 möglichst genau approximiert. Dafür
wählen wir eine Folge rationaler Zahlen, die bereits im antiken Griechenland
aufgestellt wurde.
xn+1
1
=
2
2
xn +
xn
(18)
Wir wählen nun ein beliebiges x1 und setzen es ein. Wir nähern uns dabei,
wie leicht daheim nachgerechnet werden kann, immer weiter der Zahl 1,41...
an.
Erklärung :
Wie kamen die Griechen auf diese Folge?
√
Wählen wir eine Zahl xn , die gröÿer als 2 ist, so wissen wir, dass x2n immer
√
kleiner als 2 ist. Der Mittelwert einer Zahl die immer kleiner und einer Zahl
die immer gröÿer als die gescuhte Zahl ist sollte sich langfristig
der gesuchten
√
Zahl annähren. Wir verwenden dabei das Wissen 1 < 2 < 2
2.1 Folgen
2.1.1 Denition: Folgen
Eie Folge mit Werten in R ist eine Abbildung
a:N→R
Man schreibt an statt a(n) und nennt a1 , a2 , a3 , ... die Folgengleider. Die Folge
kann auch als (an )n∈N oder aufgezählt als (a1 , a2 , a3 , ...) geschrieben werden.
Beispiele
• Die Konstante Folge (a,a,a,...) mit an =a
• n1 n∈N
• Die alternierende Folge an = (−1)n
2
15
FOLGEN UND REIHEN
2.1.2 Denition: Konvergenz
Eine Folge reeller Zahlen (an )n∈N heiÿt Konvergent gegen den Grenzwert
a ∈ R, wenn es zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, mit dem
(19)
| an − a | < ε ∀n ≥ n0
Man schreibt für den Grenzwert a der Folge an auch
(20)
an → a
Beispiel
• an = (−1)n n1 konvergiert gegen 0
2.1.3 Satz
Die Folge an sei Konvergent gegen a ∈ R und gleichzeitig gegen b ∈ R Dann
folgt a = b. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist also Eindeutig
Beweis :
Sei ε > 0 beliebig.
⇒ ∃n0 , sodass
ε
2
ε
| an − b |<
2
| an − a |<
Es gilt (siehe Anhang)
| x + y |≤| x | + | y |
Damit erhalten wir
| a − b | =| a − an + an − b |
≤| a − an | + | an − b |
ε ε
< + =ε
2 2
da | a − b | der Betrag ist folgt
0 ≥| a − b |< ε
⇒| a − b | = 0
⇒a=b
∀ε > 0
(21)
(22)
2
16
FOLGEN UND REIHEN
Denition :
an → a ⇔ lim an = a
n→∞
(23)
2.1.4 Satz
Seien an → α und bn → α konvergente Folgen mit dem selben Grenzwert
α ∈ R Ist n0 ∈ N und (cn ) eine Folge mit der Eigenschaft an ≤ cn ≤ bn für
jedes n ≤ n0 , dann konvergiert cn → α
Beweis :
Zu gegebenen ε > 0 existiert ein n ∈ N, sodass
| an − α |< ε und | bn − α |< ε
−ε < an − α ≤ cn − α ≤ bn − α < ε
Daraus folgt
−ε < cn − α < ε
| cn − α |< ε
2.2 Konvergenz nachweisen
Wir müssen sicher sehen, dass xn konvergiert. Wir bleiben dabei bei unserem
Einleitenden Beispiel
xn+1
1
=
2
2
xn +
xn
(24)
Bemerkung Ist {x2 , x3 , x4 , ..., xn , ...} nach unten beschränkt, so existiert nach Supremumsaxiom eine kleinste Schranke mit
• S = inf {x2 , x3 , x4 , ..., xn , ...}
• ∀xm ∈ {x2 , x3 , x4 , ..., xn , ...} gilt S ≤ xm
• Falls ein t ∈ R mit t ≤ xn ∀n ≥ 2 existiert, dann gilt S ≥ t.
das Inmum S ist die gröÿte untere Schranke
2
17
FOLGEN UND REIHEN
Behauptung :
√
Wir wollen nun zeigen, dass unsere Folge wirklich gegen 2 konvergiert.
xn → S = inf {x2 , x3 , x4 , ..., xn , ...}
Wir denieren M:= {x2 , x3 , x4 , ..., xn , ...}
S = inf M
(25)
∀ε > 0 ∃x ∈ M : x ∈ (S, S + ε)
Wissen wir nun, dass unsere Folge monoton ist, als xn ≤ xn+1 (im Beispiel
ist das leicht nachzurechnen), so folgt
∀ε > 0 ∃m ∈ N xm ∈ (S, S + ε) ⇔ xm − S < ε
|xm − S| < ε ⇒ ∀n ≥ m |xn − S| < ε
Damit xm → S konvergiert zeigen wir für unser Beispiel
xn+1
1
=
2
2
xn +
xn
1
S = lim xn+1 = lim
xn +
n→∞
n→∞ 2
1
2
S=
S+
2
S
1 2
S2 =
S +2 =
2
1 2
S =1
2
√
S2 = 2 ⇔ S = 2
2
xn
1
=
2
2
S+
S
S2
+1
2
2.2.1 Denition:Teilfolge
Sei (an ) eine Folge. Eine Teilfolge ist eine Folge, die durch "weglassen"von
Folgengliedern entsteht.
Z.b. lässt man aus der Folge
(an ) = (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ...)
alle ungeraden Folgenglieder wegfallen und erhält die Teilfolge
(bn ) = ( a2 , a4 , a6 , ...)
|{z} |{z} |{z}
b1
b2
b3
Präziser Formuliert entsetht eine Teilfolge (bk )k∈N aus der gegebenen Folge
(ak )k∈N durch Angabe der Abbildung k → nk , sodass ∀k ∈ N die Ungleichung
nk < nk+1 und bk = ank gilt.
2
18
FOLGEN UND REIHEN
2.2.2 Denition: Divergenz
Eine Folge, die nicht konvergiert heiÿt Divergent.
2.2.3 Denition: Bestimmte Divergenz
Eine Folge (an )n∈N divergiert gegen ∞, falls es zu jedem T > 0 ein n0 gibt,
sodass
an > T ∀n ≥ n0
(26)
[−∞, ∞] = R ∪ {∞} ∪ {−∞}
(27)
Man schreibt auch an → ∞
Kommentar :
Es gilt
Auÿerdem gilt
i. a + ∞ = ∞
ii. ∞ · ∞ = ∞
iii. ∞ − ∞ ist NICHT DEFINIERT
iv. −∞ − ∞ = −∞
v. a > 0
∞·a=∞
vi. −∞ · (+∞) = −∞
vii. ∞ · 0 ist NICHT DEFINIERT
2.2.4 Denition: Nullfolge
Eine Folge, die gegen 0 konvergiert heiÿt Nullfolge
2.2.5 Satz
Sei (an ) Folge strikt positiver Zahlen. Die Folge (an ) ist genau dann Nullfolge,
wenn a1n bestimmt gegen ∞ divergiert.
2
19
FOLGEN UND REIHEN
Beweis :
"⇒"
(an ) Nullfolge. Sei K > 0. Da ∃n0 ∈ N, mit
0 < an <
1
K
∀n ≥ n0
1
⇒
>K
an
1
⇒
gegen ∞ divergent
an
∀n ≥ n0
"⇐"
Sei ε > 0 Da ∃n0 ∈ N
1
1
>
an
ε
⇒ 0 < an < ε
⇒ |an | < ε
⇒ |an − 0| < ε
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
2.2.6 Denition: Beschränkte Folgen
Eine Folge (an ) heiÿt nach oben beschränkt, falls die Menge der Folgenglieder
{a1 , a2 , a3 , ..., an , ...} nach oben beschränkt ist. Also
∃S ∈ R :
an ≤ S
∀n ∈ N
(28)
Analog deniert man nach unten beschränkt
Eine Folge heiÿt beschränkt, falls die Folge der Beträge |an | nach oben beschränkt ist
∃K ∈ R :
|an | ≤ K
2.2.7 Satz
Jede konvergente Folge in R ist beschränkt.
Also gilt für an → a die Aussage |an | → |a|
∀n ∈ N
(29)
2
20
FOLGEN UND REIHEN
Beweis :
∃n0 : |an − a| < 1
|an | = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| ≤ |1 + |a| + M
mitM := max {|a1 − a|, |a2 − a|, ..., |an0 − a|}
∀n ≥ n0
Gilt nun an → a, dann folgt
0 ≤ | |an | − |a| | ≤ |an − a|
⇒ Mit Einschlieÿkriterium folgt
| |an | − |a| | → 0, fürn → ∞
Bemerkung :
Die Umkehrung der Aussage gilt nicht.
2.2.8 Satz
a) Sei q ∈ R mit q > 1, dann divergiert an = q n bestimmt gegen ∞
b) Sei |q| < 1. Dann konvergiert an = q n gegen 0
Beweis :
a) Sei q > 1. Dann ∃δ > 0 mit q = 1 + δ ⇔ δ = q − 1
q n = (1 + δ)n ≥ 1 + nδ
Damit wird q n beliebig groÿ
b) |q| < 1 ⇒
gegen 0
1
|q|
> 1. Nach (a) geht
1
|q|
gegen ∞. Also geht|q|n = |q n |
2.2.9 Satz
Seien an → a, bn → b konvergent
a) Die Folge (an + bn ) konvergiert gegen a + b
b) Die Folge (an · bn ) konvergiert gegen a · b
2
21
FOLGEN UND REIHEN
Beweis :
a) lim(an + bn ) = lim(an ) + lim (bn )
⇒ |a(an + bn ) − (a + b)| = |an − a + bn − b| ≤ |an − a| + |bn − b|
| {z } | {z }
→0
Nach Einschlieÿkriterium folgt die Aussage
→0
b) |an · bn − ab| = UNVOLLSTÄNDIG
Der Konvergenzbegri lässt sich auch im Mehrdimensionalen Anwenden
⇒ Einschub 3: Folgen in der Ebene - Siehe Anhang
2.2.10 Korollar
Ist f (x) = a0 + a1 x + ... + ad xd eine Polynomfunktion, und xn → a ∈ R
Dann gilt f (xn ) → f (a) für n → ∞
lim f (xn ) = f (a) = f
n→∞
lim xn
n→∞
(30)
Beweis :
(xn )2 = xn · xn → a · a
(xn )m = am
2.2.11 Satz
Seien an → a und bn → b konvergente Folgen und b 6= 0. Dann gibt es ein
n0 ∈ N, sodass bn 6= 0 ∀n ≥ n0 und die Folge
an
bn
gegen
n≤n0
a
b
konvergiert.
Beweis :
Wir wollen zeigen, dass
1
bn
→
1
b
Dann folgt, dass
an
1
1
a
= an ·
→a· =
bn
bn
b
b
2
22
FOLGEN UND REIHEN
Wir fangen mit b1n − 1b an.
b − bn 1
1
= |bn − b| 1
− =
bn
b
bn · b |bn | |b|
Da bn → b, ∀ε > 0∃n0 |bn − b| < ε
Sei ε |b|2 , so existiert ein n0 , sodass |bn − b| <
|b|
2
∀n ≥ n0
|bn | = |bn − b + b| = |b + (bn − b)| ≥ |b| − |bn − b|
|b|
|b|
≥ |b − | =
2
2
Damit erhalten wir, durch einsetzen in unsere erste Gleichung
1
− 1 = |bn − b| 1
bn
b
|bn | |b|
2
≥ 2 |bn − b|
|b|
Wobei wir wissen, dass letzterer Term konvergiert.
Beispiel :
(n2 (3 + n7 )
3 + n7
an
3n2 + 7n
=
=
=
5
5
n2 + 5
bn
n2 (1 + n2 )
1 + n2
Also
an
bn
→3
2.2.12 Satz
Seinen (an ) und (bn ) zwei konvergente Folgen. Es gelte an ≤ bn ∀n ≥ n0 mit
gegebenem n0 . Dann gilt a ≤ b
D.h. an ≤ bn ⇒ lim an ≤ lim bn
Also ∀an < bn ⇒ a ≤ b
Beweis :
UNVOLLSTÄNDIG
2.2.13 Denition
Sei (an ) eine Folge
• (an ) heiÿt monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 ∀n ∈ N
• (an ) heiÿt monoton fallend,
wenn an ≥ an+1 ∀n ∈ N
2
FOLGEN UND REIHEN
23
2.2.14 Satz
Sei (an ) eine monotone Folge. Ist (an ) nicht beschränkt, dann divergiert sie
bestimmt. Ist (an ) beschränkt, so konvergiert sie in R
Beweis :
Es genügt anzunehmen, dass (an ) monoton wachsend ist (ansonsten betrachte
-a n )
Wenn (an ) unbeschränkt ist, dann an → ∞. Sei an beschränkt, dann ist auch
die Menge
M = {a1 , a2 , ..., an , ...}
beschränkt.
Nach Supremumsaxiom existiert ein a ∈ R mit a = sup {M }
∀ε > 0 existiert also ein n0 mit a ≥ an0 > a − ε
Mit Monotonie gilt a ≥ an ≥ an0 > a − ε ∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
a ≥ an ≥ an0 > a − ε
0 ≥ an − a > −ε ⇒ |an − a| < ε ∀n ≥ n0
2.2.15 Denition: Cauchy-Folge
Eine Folge heiÿt Cauchy Folge, falles es zu jedem ε > 0 ein n0 gibt, sodass
|an − am | < ε ∀n, m ≥ n0
2.2.16 Satz
a) Jede Cauchy- Folge ist beschränkt
b) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge
c) In R konvergiert jede Cauchy-Folge
d) In Q gibt es Cauchy-Folgen, die in Q nicht konvergieren
Beweis :
a) ε > 0, ∃n0 |an − am | < ε
∀n ≥ n0 |an | = |an − an0 + an0 | ≤ |an − an0 | + |an0
≤ ε + |an0 |
⇒ |an >≤ sup {|a1 |, |a2 |, ..., |an0 |, |an0 + ε}
(31)
2
24
FOLGEN UND REIHEN
b) an → a:
∀ε > 0∃n0 : |an − a| <
ε
2
∀n ≥ n0
∀n, m ≥ n0 : |an − am | = |(an − a) + (a − am )| ≤ |an − a| + |am − a|
ε ε
< + =ε
2 2
c) ãN = inf {aN , aN +1 , aN +2 , ...}
ãN ist monoton wachsend
⇒ ∃a ∈ R mit ãN → a, d.h. ∃N0 ∈ N, sodass |ãN − a | <
Sei ε > 0 beliebig: |an − am | < 3ε ∀b, m ≥ N0
Deniere ãN0 als
ε
3
ãN0 = inf {aN0 , aN0 +1 , aN0 +2 }
ε
⇒ ∃n0 ≥ N mit, ãN0 ≤ an0 < ãN0 +
3
Dann folgt
|an − a| = |an − an0 + an0 − ãN0 + ãN0 − a|
≤ |an − an0 | + |an0 − ãN0 | + |ãN0 − a| < ε
| {z } | {z } | {z }
< 3ε
< 3ε
< 3ε
2.3 Abzählbarkeit
2.3.1 Satz: Intervallschachtelung
Sei Im = [am , bm ] eine Folge von nichtleeren abgeschlossenen Intervallen endlicher Menge, so dass Im+1 ⊂ Im ∀m ∈ M Gehen die Längen der Intervalle
Im gegen 0, so besteht der Schnitt aus genau einem Punkt. Das heiÿt:
∃x∈R
(32)
∩Im = {x}
Also gibt es einen Punkt, der in allen Intervallen Im liegt. Dies funktioniert
nicht über Q
Beweis :
Sei Im = [am , bm ] ein Intervall mit Im+k ⊂ Im ∀k, m ∈ N
am ≤ am+k ≤ bm+k ≤ bm
Also ist am monoton wachsend und bm monoton fallend.
⇒ ∃a, b ∈ R :
am → a,
bm → b
2
25
FOLGEN UND REIHEN
Wobei gilt, dass, da am ≤ bm auch a < b ist.
b − a = lim (bm − am ) = lim L(Im ) = 0
n→∞
m→∞
⇒b=a
Also ist x= a und x∈ Im ∀m ∈ N
2.3.2 Denition
Eine Menge M 6= {} heiÿt abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung
Φ: N→M
gibt.
Die Menge M lässt sich aufgezählt in der Form
M = {φ(1), φ(2), φ(3), ..., φ(n), ...}
schreiben, wobei Mehrfachnennungen möglich sind.
2.3.3 Satz
Die Menge der rationalen Zahlen Q ist abzählbar
Beweis :
Behauptung Z × Z ist abzählbar.
Dies ist klar, sobald man sich Z × Z veranschaulicht.
3 · · · ·
2 · · · ·
1 · · · ·
0 · · · ·
1 2 3 4
Wir betrachten die Abbildung
ΦZ × {Z \ 0} → Q (p, q) 7→
p
∈Q
q
Die Abbildung ist oensichtlich surjektiv, da sie eine Verknüpfung zweier
einfacher surjektiver Abbildungen ist (φ1 : p 7→ p ; φ2 : q 7→ q −1 )
2.3.4 Lemma
Eine Vereinigungn von abzähbaren Mengen ist abzählbar
Der Beweis erfolgt analog zum Beweis oben.
2
26
FOLGEN UND REIHEN
2.3.5 Satz
Die Menge der reellen Zahlen ist nicht abzählbar
Beweis :
Sei Φ: N → [0, 1] , z.z.: φ nicht surjektiv
Wir erhalten Intervalle In mit φ(n) ∈/ In
∃x ∈ [0, 1] mit ∩n In , womit gilt
∀n ∈ N φ(n) 6= x
Damit ist [0,1] nicht abzählbar
2.3.6 Satz
Jede beschränkte Folge in R oder R2 (oder auch Rn , n ∈ N) hat mindestens
einen Häufungspunkt.
Das heiÿt: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
Beweis :
Intervallschachtelung:
Sei (an ) beschränkt. D.h. ∃ T> 0 mit |an | ≤T ∀n ∈ N
Wir nehmen das Intervall I1 = [-T,T] und halbieren es. Dann können wir davon ausgehen, dass in mindestens einem der beiden Teilintervalle I2 = [-T,0] ,
I3 = [0,T] unendlich viele Folgenglieder sind, da man eine unendliche Menge
nicht in endlich viele endliche Teilmengen teilen kann.
Wir führen das Prinzip fort und bauen damit eine Folge, die immer das unendliche Teilintervall halbiert und darin das unendliche Teilintervall auswählt
(oder ein belibiges nimmt, wenn beide unendlich sind). Diese Folge konvergiert oensichtlich gegen einen Grenzwert, welcher dann ein Häufungspunkt
ist.
2.4 Reihen
Sei (an ) Folge in R
n
P
Die Folge sn =
ak ist die Folge der Partialsummen. Falls (sn ) konvergiert,
sei
∞
P
k=1
k=1
ihr Grenzwert.
2
27
FOLGEN UND REIHEN
Beispiel :
•
∞
P
k=1
1
k(k+1)
Beh: lim
N
P
1
n→∞ k=1 k(k+1)
Bew:
1
k(k+1)
N
P
=1
1
− k+1
N
P
1
1
1
=
− k+1
k(k+1)
k
k=1
k=1
= 1 − 21 ) + 12 − 13 ) +
N
P
1
=1
⇒ lim
k(k+1)
=
1
k
1
3
− 14 ) + .. +
1
N
−
1
)
N +1
=1−
1
N +1
n→∞ k=1
• Die harmonische Reihe
Bew:
∞
P
n=1
1
n
= 1 + 12 +
∞
P
n=1
1
n
konvergiert NICHT!
1 1
1 1 1 1
+
+ + + + +...
|3 {z 4}
|5 6 {z 7 8}
≥2· 14 =2·
1
22
≥4· 18 =22 ·
1
23
Durch Verlängern dieser Schreibweise sieht man, das immer die
nachfolgenden Terme gröÿer gleich 2m−1 21m sind.
Damit folgt
NX
=2m
n=1
1
1
1
≥ 1 + 2m−1 m ≥ 1 + m
n
2
2
Wobei 1 + m 12 für m → ∞ divergiert.
Da nun also unsere harmonische Reihe gröÿer als eine divergente
Reihe ist, ist sie divergent.
2.4.1 Satz: Geometrische Reihe
∞
P
xn konvergiert für |x| < 1 und hat
Die geometrische Reihe
n=0
wert
∞
X
n=0
xn =
1
∀x ∈ R : |x| < 1
1−x
1
1−x
als Grenz-
(33)
2
28
FOLGEN UND REIHEN
Beweis :
sn =
∞
X
xn =
n=0
(1 − x)
∞
X
1
1 − xN +1
→
fürN → ∞
1−x
1−x
xn = 1 − xN +1
n=0
Wenn |x| < 1, dann |x|N +1 → 0 für N → ∞
2.4.2 Satz
Sind
∞
P
n=1
an und
Es gilt
∞
P
n=1
bn konvergent so konvergiert auch
∞
X
(λ an + µ bn ) = λ
n=1
∞
X
an + µ
n=1
∞
P
(λ an + µ bn )
n=1
∞
X
(34)
bn
n=1
Beweis :
Folgt aus den Konvergenzkriterien für Folgen.
sN :=
N
X
an
tn :=
n=1
N
X
bn
n=1
lim (sN + tN ) = lim sn + lim tN
n→∞
n→∞
n→∞
2.5 Konvergenzkriterien
2.5.1 Widerholung
Konvergenzrprinzipien Es gibt folgende Konvergenzprinzipien für Folgen:
1. Monoton und beschränkt ⇒ konvergent
2. Beschränkt → Es existiert eine konvergente Teilfolge
3. Cauchy Folge ⇔ konvergent
|an − am | < ∀n, m ≥ n0
4. Intervallschachtelung In = [an , bn ] In+1 ⊂ In
∃! x ∈ R x = ∩n In
2
29
FOLGEN UND REIHEN
2.5.2 Satz: Cauchy-Kriterium für Reihen
Eine Reihe
∞
P
n=1
an konvergiert genau dann in R, wenn es zu jedem ε > 0 ein
n0 gibt, so dass ∀m ≥ n ≥ n0 gilt
|
m
X
ak | < ε
(35)
k=n
2.5.3 Satz
Konvergiert die Reihe
Umkehrung gilt nicht.
Sei
∞
P
n=1
an in R, dann geht die Folge (an ) gegen 0. Die
Beweis
:
∞
P
n=1
an konvergent
N
X ⇒ ∀ε ∃n0 ak = |an | < ε ∀n ≥ n0
k=n
⇒ an → 0
2.6 Absolute Konvergenz
2.6.1 Denition: Absolute Konvergenz
Eine Reihe
∞
P
n=1
an heiÿt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbe-
träge konvergiert, also
∞
X
|an | < ∞
n=1
2.6.2 Satz
Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent.
(36)
2
30
FOLGEN UND REIHEN
Beweis
sn =
n
X
ak
k=1
m
X
|sm − sn | = |
ak | ≤ |ak | < ε
k=n
, da
|ak | konvergiert
X
2.6.3 Lemma
Ist die Reihe
P
an absolut konvergent, so gilt
∞
∞
X
X
|an |
an ≤
n=1
n=1
Beweis :
n
n
∞
X
X
X
|Sn | = ak ≤
|ak | ≤
|an |
n=1
k=1
k=1
2.6.4 Satz: Majorantenkriterium
Sei cn eine konvergente Reihe mit cn > 0 ∀n ∈ N.
∞
P
P
Sei
an eine Reihe mit |an | ≤ cn . Dann konvergiert
an absolut.
P
n=1
Beweis :
sN =
⇒
N
X
n=1
∞
X
n=1
|an | ≤
|an | ≤
N
X
n=1
∞
X
n=1
cn ≤
∞
X
n=1
cn
cn
2
31
FOLGEN UND REIHEN
2.6.5 Satz: Quotientenkriterium
∞
P
Sei
n=1
an eine Reihe mit an 6= 0 ∀n ∈ N
Es gebe n0 und 0 < q < 1, mit
an+1 an ≤ q ∀n ≥ n0
(37)
Dann konvergiert die Reihe absolut
Beweis :
Angenommen n0 = 1
an+1 an ≤ q < 1 ∀n ≥ 1
|an+1 | ≤ q|an | ≤ q · q|an−1 | ≤ q 3 |an−2 | ≤ ... ≤ q n+1 |a1 |
∞
∞
X
X
|an | ≤
|a1 |q n
n=1
n=1
Beispiel
•
∞
P
n=1
nk xn für 0 < x < 1 und k ∈ N fest
Beh: Die Reihe Konvergiert
Bew:
k
k
an+1 (n + 1)k xn+1 n
+
1
1
= |x|
= |x| 1 +
an = nk xn
n
n
∃q ∈ R : |x| < q < 1
k
1
⇒ ∃n0 : |x| 1 +
≤ q ∀n ≥ n0
n
2.6.6 Satz: Leibnitz'sches Konvergenzkriterium
Ist (an ) eine monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die Reihe
∞
P
(−1)n+1 an
n=1
2
32
FOLGEN UND REIHEN
Beweis :
S2N = a1 − a2 + a3 − a4 +... + a2N −1 −
| {z } | {z }
|
{z
≥0
≥0
≥0
S2N = a1 (−a2 + a3 ) + (−a4 + a5 ) −a2
| {z } | {z }
≤0
≤0
⇒ S2N ist monoton fallend und d
|Sn+k − Sn−1 | = |an − an+1 + an+2 − an+3 ... ± an+k | ≤ |an | → 0
2.6.7 Satz: Cauchy'scher Verdichtungssatz
Sei (an ) Folge mit an ≥ 0∀n, und (an ) monoton fallend. Dann gilt
∞
X
an konvergiert ⇔
∞
X
2n a2n konvergiert
(38)
n=0
n=1
Beweis :
”⇒”
∞
X
an ≥
n=1
N
X
n=1
= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...a8 + a9 + ... + a16 +...
{z
}
| {z } | {z } |
≥2a22
22 a23
≥23 a24
≥ a1 + a2 + 2a22 + 22 a23 + 23 a24 + ... + an−1 a2n
∞
m
X
1X l
=
2n a2n konvergiert
2 a2l ⇒
2 l=0
n=0
”⇐”
N
X
n=1
an = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + a7 + a8 + ... + a15 +...
| {z } |
{z
} |
{z
}
≤2a2
≤22 a22
23 a23
≤ a1 + 2a2 + 22 a22 + 23 a23 + ... + 2N a2N
=
N
X
2n a2n
n=1
2
33
FOLGEN UND REIHEN
2.7 Umordnung von Reihen
Sei
P
an eine Reihe und σ : N → N eine bijektive Abbildung.
∞
X
aσ(n) heiÿt Umordnung
(39)
n=1
Beispiel P
:
Man kann
(−1)n+1 n1 so umordnen, dass 42 rauskommt.
Beweis :
Der Beweis ist mehr als Anleitung zu Betrachten. Für einen vollständigen
Beweis siehe Änton Deitmar - Analysis".
Wir wollen
P
(−1)n+1 n1 umordnen, so dass die Reihe gegen 42 konvergiert
1.) Sortiere die ungeraden Zahlen so, dass für unser gewähltes n gilt:
2n+1
X
=1+
k=1
1
1 1
+ + ... +
> 42
3 5
2n + 1
und
2n−1
X
k=1
=1+
1 1
1
+ + ... +
< 42
3 5
2n − 1
UNVOLLSTÄNDIG
2.7.1 Satz
Die Reihe an sei absolut konvergent. Dann konvergiert auch JEDE Umordnung gegen denselben Grenzwert.
P
Beweis :
τ :N→N
∞
X
an = A
n=1
n≥n0
n
∞
X
X
aτ (k) −
ak k=1
∀ε > 0 ∃n0 : ∀n ≥ n0
X
|an | < ε
k=1
S(n) = {τ (1), τ (2), τ (3), ..., τ (n)}
2
34
FOLGEN UND REIHEN
Betrachte
{1, ..., n0 } und wähle n so, dass {1, ..., n0 } ⊂ S(n) Damit ist
n
∞
P
P
≤ε
aτ (k) −
a
k
k=1
k=1
2.7.2 Satz
Sei
∞
P
an eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihe.
+∞
Dann gibt es zu jedem a ∈ R ∪
eine Umordnung der Reihe, die
−∞
n=1
gegen 0 konvergiert.
Beweis :
an nicht absolut konvergent
X
⇒
|an | = ∞
X
⇒
X
X
a+
n = ∞
a−
n = −∞
n
n
Von hier an können wir a+n und a−n angeben und Umordnen, damit sie gegen
beliebiges a konvergieren.
2.8 Cauchy-Produkt
Wir betrachten die Reihen
P
an und
cn :=
P
n
X
bn sowie
(40)
ak bn−k
k=0
Unter welchen Voraussetzungen können wir eine Aussage über
treen?
a0 b0 a0 b1 a0 b2 ... → a0
a1 b0 a1 b1 a1 b2 ... → a1
a2 b0 a2 b1 a2 b2 ... → a2
∞
P
n0
∞
P
n0
∞
P
n0
P
n
bn
bn
b0
wobei gilt. c0 = a0 b0 ; c1 = a0 b1 + a1 b0 ; c2 = a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 ; ...
cn = ?
2
35
FOLGEN UND REIHEN
2.8.1 Satz
Seien an und bn absolut konvergente reihen. Dann ist auch das Cauchy
Produkt absolut konvergent und es gilt
P
P
X
cn =
X
an
X
bn
Beweis:
N
X
≤
X
X
|al | |bk | ≤
|al bk |
n=0
= (|a0 | + |a1 | + ... + |aN |) × (|b0 | + |b1 | + ... + |bN |)
X
X
≤
|an |
|bn |
⇒
∞
X
n=0
= lim
n→∞
N
X
(· · · )
n=0
= (a0 + a1 + ... + aN ) (b0 + b1 + ... + bN )
X X =
an
bn
2.9 Exponentialreihe
2.9.1 Satz
Für jedes x ∈ R konvergiert die Exponentialreihe
exp(x) =
∞
X
xn
n=0
n!
(41)
konvergiert absolut. Für je zwei x, y ∈ R gilt
exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
wobei gilt 0! = 1 und 00 = 1
Beweis :
Quotientenkriterium
an+1 an ≤ q ≤ 1 ∀n ≥ n0
(42)
2
36
FOLGEN UND REIHEN
xn+1 (n+1)! xn =
n! |x|
n+1
→0
für n → ∞ ist das Quotientenkriterium erfüllt.
Damit gilt
exp(x) · exp(y) =
∞
∞
X
xn X y n
n=0
n!
n=0
n!
=
∞
X
cn
n=0
∞ X
n
X
xk yn − k
=
k! (n − k)!
n=0 k=0
∞ X
n X
n 1 k n−k
x y
=
k n!
n=0 k=0
∞
n X
1 X n 1 k n−k
=
x y
k n!
n!
n=0
|k=0
{z
}
(x+y)n
=
∞
X
n=0
1
(x + y)n = exp(x + y)
n!
2.9.2 Denition: die Euler'sche Zahl e
Die Zahl
∞
X
1
e = exp(1) =
n!
nn=0
wird Euler'sche Zahl genannt
Korollar :
a) Für jedes x ∈ R gilt: exp(x) > 0
b) ∀x ∈ R : exp(−x) =
1
exp(x)
c) ∀k ∈ N : exp(k) = ek
d) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend
Es gilt lim exp(x) = ∞, lim exp(x) = 0
n→∞
Beweis :
UNVOLLSTÄNDIG
n→0
(43)
2
37
FOLGEN UND REIHEN
2.9.3 Satz
Seien (an )und(bn ) Folgen, sodass
∞
X
|an | < ∞ und
2
n=0
∞
X
|bn |2 < ∞
n=0
Dann gilt:
∞ 1 ∞ 1
∞
P
P 2 2 P 2 2
an
i. an bn ≤
bn
n=0
ii.
n=0
∞
P
2
(an + bn )
n=0
12
≤
∞
P
a2n
12
n=0
n=0
+
∞
P
b2n
12
n=0
i. nennt man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Reihen
Kommentar :
• Formell gilt
i. |ha, bi| ≤ kak kbk
ii. ka + bk ≤ kak + kbk
• Später werden wir sehen, dass auch gilt
Z∞

Z∞
f (x)g(x) dx ≤ 
 21 
|f (x)|2 dx 
−∞
−∞
Z∞
 21
|g(x)|2 dx
(44)
−∞
Beweis :
i. Wir werden die, im Kommentar verwendete, formelle Notation nutzen
∞
X
(an + bn )2 =
n=0
∞
X
n=0
≤
∞
X
n=0
(an + bn ) an +
∞
X
(an + bn ) bn
n=0
∞
X
|an + bn | |an | +
n=0
|an + bn | |bn |
2
38
FOLGEN UND REIHEN
a = (a1 , a2 , ..., aN )
ha, bi =
X
an bn → ha, 1ai =
n
ha + b, a + bi ≥ 0
ha − b, a − bi ≥ 0
N
X
b = (b1 , b2 , ..., bN )
a2n
n=0
1
kak2 + kbk2
|ha, bi| ≤
2
ha, ai + hb, bi − 2 ha, bi ≥ 0
A :=
UNVOLLSTÄNDIG
a
1
b
1
=
(a1 , a2 , ..., aN ) B :=
=
(b1 , b2 , ..., bN )
kak
kak
kbk
kbk
|hA, Bi| =
3
3
39
STETIGE FUNKTIONEN
Stetige Funktionen
Im Folgenden Kapitel interessiert uns die Eigenschaft der ” Stetigkeit ” von
Funktionen f. f sind dabei Funktionen mit f : R → R oder f : R2 → R oder
f : R2 → R2
In der Schule waren stetige Funktionen Funktionen, deren Graph ” ohne
Absetzen ” gezeichnet werden konnten.
Beispiel
f : R → R x 7→ 2x
ist stetig
(
1 x>0
f : R → R x 7→
0 x≤0
ist nicht stetig
Wir suchen nun einen genaueren Begri, der sich auch auf R2 anwenden lässt.
Im späteren Verlauf werden wir das ” , δ Kriterium ” für die Denition
der Stetigkeit verwenden. Dieses Kriterium untersucht die Nahe Umgebung
jedes Punktes und sagt, dass bei kleiner Änderung der x - Koordinate keine
zu groÿe Änderung der y - Koordinate stattnden darf. Wir beginnen jedoch
mit einem einfacheren Kriterium.
3.1 Stetigkeit nach Folgen-Kriterium
3.1.1 Denition: Stetigkeit
Eine Funktion f : D → R, D ⊂ R, heiÿt stetig in p ∈ D, wenn für jede
konvergente Folge pn → p in D gilt, dass
(45)
lim f (pn ) = f (p)
n→∞
Die Funktion f heiÿt stetig, wenn sie für jeden Punkt p des Denitionsbereichs D stetig ist.
f stetig in D ⇔∀p ∈ D und für alle Folgen pn → p gilt
lim f (pn ) = f
n→∞
⇔ lim f (x) = f (p)
x→p
lim pn = f (p)
n→∞
(46)
(47)
(48)
3
40
STETIGE FUNKTIONEN
3.1.2 Denition: Einseitiger Limes
(49)
lim f (x) = α
x%P
bedeuted, dass für jede monoton wachsende Folge xn , mit xn → p gilt, dass
(50)
f (xn ) → α
Analog denieren wir lim f (x) = α
x%P
Aus diesen Denitionen folgt
f stetig ⇔ lim f (x) = f (p) = lim f (x) = α
x%P
x&P
3.1.3 Lemma
Eine Polynomfunktion
P (x) = c0 + c1 x + ... + cd xd
ist stetig auf R
Beweis Folgt aus Korollar 2.2.10
3.1.4 Lemma
Die Exponentialfunktion exp(x) ist in jedem Punkt p ∈ R stetig.
Beweis
zu zeigen: |exp(x) − exp(p)| → 0 für x → p
⇔ |x − p| → 0
zuerst p=0: exp(0) = 1
∞
∞
X
xn X |x|n−1 |x|
|x| ≤ 1 : |exp(x) − 1| = ≤
n! n=1
n!
n=1
≤ |x|
∞
X
1
n!
{z }
|n=0
e
⇒ | exp(x) − 1| ≤ e|x|
⇒ | exp(x) − 1| → 0 für |x| → 0
(51)
3
41
STETIGE FUNKTIONEN
Sei p ∈ R. Zu Zeigen: | exp(pn ) − exp(p)| → 0
Sei pn → p konvergent
|exp(pn − p + p) − exp(p)|


= |exp(p)| exp (pn − p) −1
| {z }
→0
≤ exp(p)e |pn − p|
3.1.5 Satz
Seien f, g : D → R, D ⊂ R, stetig im Punkt p ∈ D. Ist λ ∈ R. Dann sind
auch f + g, f · g, λf stetig in p.
Ist g(p) 6= 0, so ist auch
f
g
stetig in p.
Sind f und g stetig auf D so sind auch f + g, f · g, λf stetig auf D und
f
ist stetig auf D0 = {p ∈ D | g(p) 6= 0}
g
Beweis :
Siehe Anton Deitmar - Analysis
3.1.6 Korollar
Sind P (x)Q(x) Polynome und Q(x) ist nicht das Nullpolynom.
P (x)
Q(x)
sind auf ihrem Denitionsbereich stetig.
3.1.7 Satz
Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig. f : D → R g : ER mit
f (D ⊂ E.
Wenn f, g stetig ist, dann ist auch f ◦ g stetig
3.2 Zwischenwertsatz für Funktionen
3.2.1 Satz: Zwischenwertsatz
4
4
42
ANHANG
Anhang
4.1 Grundlegende Denitionen und Sätze
Denition: Karthesisches Produkt
Seien A und B beliebige Mengen. Das Karthesische Produkt A×B ist die
Menge
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Wichtig ist, dass (a,b) ein Element von A×B ist und keine Menge. Es gilt
(auÿer für a=b)(a,b) 6= (b,a)
Man bezeichnet (a,b) auch als geordnetes Paar oder Tupel
Denition: Summe
Wir denieren die Summe von Zahlen wie folgt
Seien n,i ∈ N
n
X
ai = a1 + a2 + ... + an
(52)
i=1
Denition: Produkt
Wir denieren die Summe von Zahlen wie folgt
Seien n,i ∈ N
n
Y
ai = a1 · a2 · ... · an
(53)
i=1
Denition: Fakultät
Wir denieren die Fakultät k! einer natürlichen Zahl k ∈ N wie folgt
k! = 1 · 2 · ... · k
Dabei setzen wir 0! := 1
Denition: Binomialkoezient
Seien n,k∈ N und n ≥ k Der Binomialkoezient nk ist deniert als
n
n!
=
(n − k)! · k!
k
(54)
4
43
ANHANG
Satz: Bernoulli'sche Ungleichung
Sei x ∈ R, x ≥ −1 und n ∈ N
Dann gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx
(55)
Für n ≥ 2 und x 6= 0 gilt sogar
(1 + x)n > 1 + nx
(56)
Beweis durch vollständige Induktion
Sei x ∈ R, x ≥ −1 und n ∈ N
IA n = 2
(1 + x)2 = 1 + 2x + x2
≥ 1 + 2x + 0
IV
(1 + x)n ≥ 1 + nx
IS
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x)
= 1 + x + nx + nx2
≥ 1 + x + nx
= 1 + (n + 1)x
Den Spezialfall x6=0 beweist man analog. Es gilt dabei x2 > 0
4.1.1 Denition: Komposition
Seien f: A → B' und g: B → C Abbildungen wobei B' eine Teilmenge von B
ist. Die Komposition g◦f, lies ”g nach f”, ist die Abbildung
g ◦ f : A → C : x 7→ (g ◦ f )(x) = g (f (x))
Das heiÿt, dass für jedes Element von A erst die Abbildung f ausgeführt wird
und danach die Abbildung g.
4
44
ANHANG
Kommentar :
• A,B',B,C müssen keineswegs verschieden von einander sein. Die einzige
Bedingung ist, dass B' eine Teilmenge von B ist
• Im allgemeinen gilt NICHT, dass f ◦ g = g ◦ f. Dies gilt selbst dann
nicht allgemein, wenn A=B'=B=C
Denition: Betrag
Die Betragsfunktion |.| ist deniert durch
|.| : R → R+ , x 7→ |x|
(57)
Wobei R+ die positiven reellen Zahlen sind und |x| dem Element x mit positivem Vorzeichen entspricht.
Man schreibt auch mithilfe der Denition des Maximums.
|x| = max(x, −x)
(58)
Später, wenn Wurzeln und Potenzen deniert sind kann man auf die allgemeine Denition, welche auch für Matrizen gilt zurückgreifen
|x| =
√
x2
(59)
Kommentar :
Es gilt für x, y ∈ R
|xy| = |x| |y|
|x − y| = |y − x|
|x| = 0 ⇔ x = 0
x < y < |x| < |y|
x = ±y ⇔ |x| = |y|
All diese Aussagen sind oensichtlich.
Satz: Dreiecksungleichung
Seien x,y aus dem angeordneten Körper K
|x + y| ≤ |x| + |y|
(60)
4
45
ANHANG
Beweis : Seien x,y aus dem angeordneten Körper K
x ≤ |x| ∧ y ≤ |y|
−x ≤ |x| ∧ −y ≤ |y|
(x + y) ≤ |x| + |y|
⇒
|x + y| = max {−(x + y =, x + y} ≤ |x| + |y|
−(x + y) ≤ |x| + |y|
Lemma
umgekehrte Dreiecksungleichung
Für Elemente a,b aus dem angeordneten Körper K gilt
| |a| − |b| | ≤ |a − b|
(61)
Beweis
|a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|
⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|
|b| = |b − a + a| ≤ |b − a| + |a|
⇒ |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b| ⇒ Behauptung
Denition: Injektiv
Eine Abbildung f: X → Y : x 7→ f (x) heiÿt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ X
gilt:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Kommentar :
(62)
Dies heiÿt, dass jedes Element der Denitionsmenge X eindeutig auf ein Element der Zielmenge abgebildet wird. Also, dass jedem Element der Zielmenge
Y durch die Abbildung höchstens ein Element der Denitionsmenge zugeordnet wird. Demnach müssen nicht alle Elemente der Zielmenge Y ”getroen”
werden aber keine zwei Elemente der Denitionsmenge werden auf das Gleiche Element der Zielmenge abgebildet
Es gilt für das Bild f (X) = {y ∈ Y | y = f (x) : x ∈ X} von f
f (X) ⊆ Y
Also muss X weniger, oder gleich viele Elemente wie Y besitzen
4
46
ANHANG
Denition: Surjektiv
Eine Abbildung f: X → Y : x 7→ f (x) heiÿt Surjektiv, wenn für alle y ∈ Y
gilt:
∃x ∈ X :
(63)
f (x) = y
Kommentar :
Dies heiÿt, dass alle Elemente der Zielmenge getroen werden. Es können
also auch mehrere Elemente von X auf das gleiche y ∈ Y abbilden.
Für das Bild f (X) = {y ∈ Y | y = f (x) : x ∈ X} von f gilt dann
f (X) = Y
4.1.2 Denition: Bijektiv
Eine Abbildung heiÿt Bijektiv, wenn sie Injektiv und Surjektiv ist.
4.2 Einschub 1: Relationen
Denition Relation
Sei X eine Menge. Eine Relation auf X ist eine Teilmenge R ⊂ X×X.
x ∼ y, falls (x,y) ∈ R
Beispiele :
• X=Q
die ”kleiner-gleich” Relation x∼y ⇔ x≤y
• X=Z
x∼y, wenn x-y eine gerade Zahl ist
• X Menge d. Menschen
x∼y, wenn x Vetter von y ist
Denition Äquivalenzrelation
Eine Relation heiÿt Äquivalenzrelation, falls für x,y,z ∈ X gilt
x ∼x
x ∼y ⇒ y ∼ x
x ∼y, y ∼ z ⇒ x ∼ z
(Reexivität)
(Symmetrie)
(Transitivität)
4
ANHANG
47
Denition Äquivalenzklasse
Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge X.
Für x ∈ X sei [x] = {y ∈ X, y ∼ x} die Äquivalenzklasse von x
Beispiel :
Wir betrachten ∼ auf Z mit x∼y ⇔ x-y gerade
· [0] = {x | x - 0 gerade} = {x | x - 0 gerade} = {gerade Zahl}
· [1] = {ungerade Zahl}
· [2] = [1]
4.3 Einschub 2: Vollständige Induktion
Die Vollständige Induktion ist ein gebräuchliches Beweisprinzip, für Sätze
und Aussagen, über natürliche Zahlen.
Das Prinzip :
Um das Prinzip der Vollständigen Induktion zu verstehen müssen wir uns
zuerst anschauen, was für Aussagen wir damit Beweisen. Wir Beweisen Aussagen, die für alle natürlichen Zahlen gelten. Dabei schauen wir für eine
möglichst kleine Natürliche Zahl, ob die Aussage gilt und testen es dann für
alle folgenden.
Beispiel :
Wir betrachten die Aussage:
n
P
∀ ∈ N gilt
(2k − 1) = n2
k=1
n=1
1
P
(2k − 1) = 2 · 1 − 1 = 1 = 12
k=1
n=2
2
P
(2k − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) = 1 + 3 = 4 = 22
k=1
n=3
3
P
(2k − 1) = 1 + 3 + (2 · 3 − 1) = 9 = 32
k=1
n=4
4
P
(2k − 1) = 9 + (2 · 4 − 1) = 9 + 7 = 16 = 42
k=1
Wir sehen also, dass die Aussage für n = 1 bis 4 gilt und wir sind der Ansicht,
dass sie sogar für alle n ∈ N gilt. Dies können wir durch vollständige Induktion
zeigen
4
48
ANHANG
Vollständige Induktion :
Da endlich viele Beispielrechnungen nicht reichen um eine Aussage allgemein
zu beweisen müssen wir diese Herangehensweise verallgemeinern.
Das Beweisprinzip der Vollständigen Induktion ist denkbar simpel:
Man beginnt indem man zeigt, dass es eine (möglichst kleine) natürliche Zahl
gibt, für die die zu zeigende Aussage gilt. Danach zeigt man: "gilt die Aussage
für eine beliebige natürliche Zahl n, so gilt sie auch für die nächste natürliche
Zahl n+1.
Durch die Struktur der Natürlichen Zahlen folgt dann, dass die Aussage für
alle natürlichen Zahlen (ab dem gewählten Anfang) gilt.
Beispiel :
Wir betrachten wiedereinmal die Aussage:
n
P
(2k − 1) = n2
∀ ∈ N gilt
k=1
Die vollständige Induktion teilt sich in drei Schritte. den Induktionsanfang
(IA), die Induktionsvoraussetzung (IV) und den Induktionsschritt (IS)
IA Als Anfang der Induktion wählen wir n=1
1
X
(2k − 1) = 2 · 1 − 1 = 1 = 12
k=1
Also wissen wir, dass es ein n ∈ N gibt, für das unsere Aussage gilt.
IV Wir wissen nun
n
X
∃n ∈ N :
(2k − 1) = n2
k=1
Nun zeigen wir, dass die Aussage für alle n gilt.
IS Unter Annahme unserer Induktionsvoraussetzung zeigen wir, dass die
Aussage für n → n + 1 gilt.
n+1
n
X
X
(2k − 1) =
(2k − 1) + (2(n + 1) − 1)
k=1
=
k=1
n
X
k=1
2
(2k − 1) + 2n + 1
= n + 2n + 1
= (n + 1)2
(IV)
Damit ist die Induktion abgeschlossen und die Aussage bewiesen.
4
49
ANHANG
4.4 Einschub 3: Folgen in der Ebene
Wir betrachten im folgenden den Raum R2 . Das heiÿt für jedes Element
x ∈ R2 gilt
x = (x1 , x2 ) ∈ R × R
(64)
Zuerst müssen wir betrachten, wie man in R2 rechnet
Denition Euklidisches Skalarprodukt
Für x, y ∈ R2 ist das euklidische Skalaprodukt gegeben als
hx, yi = x1 y1 + x2 y2
(65)
Eigenschaften des Skalarprodukts :
Für das (euklidische) Skalarprodukt gelten folgende Eigenschaften wobei
x, y, z ∈ R2 ; λ, µ ∈ R
i. hx, λy + µzi = λ hx, yi + µ hx, yi
(Linearität)
ii. hx, yi = hy, xi
(Symmetrie)
iii. hx, xi ≥ 0,
(Denitheit)
hx, xi = 0 ⇔ x = 0
iv. | hx, yi | ≤ kxk kyk
(Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)
p
, wobei kxk = hx, xi
Im Allgemeinen Denieren wir eine Abbildung als Skalarprodukt, wenn sie die
Eigenschaften i. ii. und iii. erfüllt, während Eigenschaft iv. aus der Denition
folgt. || · || wird dabei Norm genannt und muss noch im allgeminen Deniert
werden. Wir können breits sagen, dass || x - y|| der Abstand
p zwischen x und
y ist. Aktuell reicht uns die euklidische Norm mit kxk = hx, xi
Beweis von iv.
0 ≤ hx − λy, x − λyi = hx, xi − 2λhx, yi + λ2 hy, yi
Sei O.B.d.A. y 6= 0 und wähle λ =
hx,yi
hy,yi
2|hx, yi|2 |hx, yi|2
+
· hy, yi
hy, yi
hy, yi2
⇒ 0 ≤ hx, xihy, yi − 2|hx, yi|2 + |hx, yi|2
⇒ hx, yi|2 ≤ kxk2 kyk2
⇒ hx, yi| ≤ kxk kyk
⇒0≤
4
50
ANHANG
Denition Folgenkonvergenz in R2
Sei (xn ) = ((x1n , x2n )) eine Folge im R2 Wir sagen xn konvergiert gegen x ∈ R2 ,
also xn → x, falls
(66)
∀ε > 0 ∃no ∈ N ∀n ≥ n0 : kxn − xk < ε
Satz :
Sei (xn ) = ((x1n , x2n )) eine Folge in R2 . Dann gilt
xn → x ⇔ xin → xi für i = 1,2
(67)
Beweis :
” ⇐ ” Sei ε>0 beliebig. Wir müssen zeigen, dass es ein n0 ∈ N gibt, so dass
für n ≥ n0 gilt kxn − xk < ε
Nach Vorraussetzung gibt es für i =1,2 ein ni0 , so dass für alle n ≥
ni0 |xin − xi | ≤ √ε2 gilt.
Wähle n0 = max{n10 , n20 }. Dann gilt für alle n ≥ n0
2
2
ε2 ε2
+
= ε2
kxn − xk2 = |x1n − x1 | + |x2n − x2 | ≤
| {z } | {z }
2
2
√ε
2
√ε
2
⇒ kxn − xk ≤ ε
” ⇒ ” Sei ε > 0 beliebig. Wähle n0 ,so dass kxn − xk ≤ ε für ngeqn0
|xin − xi |2 ≤ |x1n − x1 |2 + |x2n − x2 |2 = kxn − xk2
⇒ |xin − xi | ≤ ε
∀n ≥ n0
Denition :
Eine reelle Polynomfunktion ist eine Funktion f(x) der Form
n
P
f(x) = ai xi = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
i=0
Lemma :
Seinen f(x) =
Dann gilt:
n
P
i=0
ai xi und g(x) =
n
P
j=0
ai xi zwei Polynomfunktionen
f (x) = g(x) ∀x ∈ R ⇔ n = mâi = bi
für i=0,...,n
(68)
4
51
ANHANG
Beweis :
”⇒”
a0 = f (0) = g(0) = b0
⇒ a0 = b 0
f (x) = g(x) ⇔ a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn xn
⇒ a1 + a2 x + ... + an xn−1 = b1 + b2 x + ... + bn xn−1 ∀x ∈ R \ {0}
Setze
1
α
für x ein, mit α ∈ N
1
a1 + a2 + ... + an
α
{z
|
cα
n−1
n−1
1
1
1
= b1 + b2 + ... + bn
α
α
α
} |
{z
}
Wir wissen cα = dα ∀α ∈ N
UNVOLLSTÄNDIG
dα
(69)
Index
Äquivalenzklasse, 47
Abgeschlossenes Intervall, 8
Länge, 9
Intervallschachtelung, 24
abzählbar, 25
Angeordneter Körper, 6
Archimedisches Prinzip, 12
Körper, 2
Karthesisches Produkt, 42
Komposition, 43
Bernoulli'sche Ungleichung, 43
Betrag, 44
Bijektivität, 46
Binomialkoezient, 42
Maximum, 8
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 49
Dedekind Vollständigkeit, 11
die Euler'sche Zahl e, 36
Dreiecksungleichung, 44
Einseitiger Limes, 40
Exponentialreihe, 35
Fakultät, 42
Folgen, 14
Nullfolge, 18
alternierende Folge, 14
Beschränkte Folge, 19
Cauchy-Folge, 23
Konstante Folge, 14
Monoton fallend, 22
Monoton wachsend, 22
Teilfolgen, 17
Folgenkonvergenz, 15
in R2 , 50
Konvergenzkriterien, 28
Divergenz, 18
Eindeutigkeit, 15
Gruppe, 2
Inmum, 12
Injektivität, 45
Intervall, 8
Potenzen, 5
reelle Polynomfunktion, 50
Reelle Zahlen, 11
Dichtheit von Q, 13
Reihen, 26
Cauchy-Schwarz Ungleichung, 37
Cauchy'scher Verdichtungssatz, 32
Cauchy-Kriterium, 29
Cauchy-Produkt, 34
Geometrische Reihe, 27
Harmonische Reihe, 27
Reihenkonvergenz
Absolute Konvergenz, 29
Leibnitz'sches Konvergenzkriterium, 31
Majorantenkriterium, 30
Quotientenkriterium, 31
Relation, 46
Äquivalenzrelation, 46
Skalarprodukt, 49
Euklidisches Skalarprodukt, 49
Stetigkeit, 39
Einseitiger Limes-Kriterium, 40
Folgen-Kriterium, 39
Summe, 42
Supremum, 10
Supremumsaxiom, 11
52
INDEX
Surjektivität, 46
Vollständige Induktion, 48
Zwischenwertsatz, 41
53