1. Übungsblatt

Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok,
WWU Münster, Fachbereich Mathematik und Informatik
6.9.2011
Übungsblatt Nr. 1, Besprechung am 8.9.2011
Aufgabe 1:
Gegeben seien folgende deutsche Sätze: "Wer wählen darf, ist volljährig."
"Wenn man volljährig und deutscher Staatsbürger ist, darf man wählen."
"Wählen dürfen genau die volljährigen deutschen Staatsbürger."
Schreiben Sie die Sätze jeweils formal als Implikation auf (kürzen Sie Teile
davon ab als A, B und C), und bilden Sie die formale Kontraposition bzw.
Verneinung. Wie formuliert man die Kontraposition bzw. Verneinung wieder
als deutschen Satz?
Beispiel 1: Der Satz "Wenn es regnet oder der Gulli überläuft, wird die Straße nass." ist
formalisierbar als (A ∨ B) ⇒ C. Die Verneinung ist ¬((A ∨ B) ⇒ C) ⇔ ¬(¬(A ∨ B) ∨ C) ⇔
¬(¬(A ∨ B)) ∧ ¬C ⇔ (A ∨ B) ∧ ¬C und bedeutet "Es regnet oder der Gulli läuft über, und
die Straße bleibt trocken." Die Kontraposition ist (¬C ⇒ ¬(A ∨ B)) ⇔ (¬C ⇒ (¬A ∧ ¬B))
und bedeutet "Wenn die Straße trocken bleibt, dann regnet es nicht, und auch der Gulli läuft
nicht über."
Aufgabe 2:
Seien A, B und C Aussagen. Formulieren Sie die folgenden Aussagen um in
dazu äquivalente, die nur mit ∧, ∨ und ¬ auskommen. Verwenden Sie dabei
die Logikregeln aus der Vorlesung.
(1) ¬(A ∧ (B ∨ C)) ⇒ A
(2) ¬(A ⇒ B) ∧ C
(3) (A ⇐ B) ∧ B
(4) ¬(A ∨ (A ⇔ B))
Wie kann man diese Aussagen sprachlich ausdrücken? Wie lauten die Verneinungen dieser Aussagen?
Aufgabe 3:
(Nach der Donnerstag-Vorlesung kann man diese Übung besprechen) Welches
Beweisverfahren wird in den folgenden Beweisen benutzt?
(Bem.: Das Zeichen a|b heißt "a teilt b")
Vergleichen Sie die Beweise miteinander: Einmal rein äußerlich, andererseits
auch inhaltlich: Wo wird direkt, wo indirekt argumentiert? (Wenn Sie nicht
alles inhaltlich verstehen, ist das nicht so schlimm. Sie sollen hier nur sehen, wie man logische Argumentationen "mathematisch" richtig aufschreiben
kann.)
Satz 1: Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar.
Beweis: Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, etwa n, n + 1, n + 2,
ist n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 · (n + 1), also durch drei teilbar.
Satz 2: Vor.: a, b, c seien aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.
Beh.: 3|a + b + c.
Bew.: Laut Vor. ist b = a + 1 und c = b + 1 = (a + 1) + 1 = a + 2. Dann gilt:
a + b + c = a + (a + 1) + (a + 2) = 3a + 3 = 3 · (a + 1) ⇒ 3|a + b + c.
Satz 3: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Angenommen, es gäbe nur die endlich vielen Primzahlen p1 , . . . , pr . Dann ist die
natürliche Zahl n := p1 · p2 · · · pr + 1 durch keine der Primzahlen p1 , . . . , pr teilbar. Da
aber jede natürliche Zahl > 1 durch eine Primzahl (etwa der kleinste Teiler von n, der > 1
ist, vgl. Satz 4) teilbar sein muss, existiert noch eine weitere Primzahl, im Widerspruch zur
Annahme.
Satz 4: Eine natürliche Zahl n ist durch eine Primzahl teilbar.
Bew.: Sei p der kleinste Teiler > 1, der n teilt. Dann ist p prim, denn wäre p zusammengesetzt
aus zwei Faktoren a, b > 1, so wäre a > 1 ein Teiler von n, der kleiner ist als p, im Widerspruch
zur Wahl von p. Also ist p prim.
Satz 5: Sei P die Menge der Primzahlen. Dann ist P unendlich groß.
Bew.: Ann.: P = {p1 , . . . , pr }.
Betrachte n := p1 · · · pr + 1. Dann ist p1 - n,. . . , pr - n. Nach Satz 4 ex. p ∈ P mit p|n, und
es gilt p 6∈ {p1 , . . . , pr }, .
Bem.: Die Behauptung in Satz 4 ist auch als ∀n ∈ N∃p ∈ P : p|n schreibbar.
Satz 6: Sei P die Menge der Primzahlen. Dann ist P unendlich groß.
Bew.: Wir konstruieren eine unendlich große Menge von Primzahlen wie folgt: Sei p1 eine
Primzahl, etwa p1 := 2. Sind Primzahlen p1 , . . . , pr gegeben, betrachte man n := p1 · · · pr +1.
Dann ist p1 - n,. . . , pr - n. Nach Satz 4 ex. p ∈ P mit p|n, und es gilt p 6∈ {p1 , . . . , pr }, setze
dann pr+1 := p. Auf diese Weise können unendlich viele Primzahlen p1 , p2 , p3 , . . . konstruiert
werden.
Lösung zu Aufgabe 1:
Lösung zu Aufgabe 2: