Prüfungsnahe Aufgaben Propädeutikum Mathematik

Prüfungsnahe Aufgaben Propädeutikum Mathematik
Informatik/Wirtschaftsinformatik Blöcke 5-11
1. Aufgabe: Beweisverfahren
3
Beweisen Sie durch Kontraposition: ∀n∈N: n ist gerade ⇒ n gerade
Beweisen Sie a) durch Widerspruch
Beweisen Sie direkt: Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade
3
Beweisen Sie durch Kontraposition: Wenn n eine natürliche Zahl ist und n + 5 ist ungerade, dann
ist n gerade
e) Beweisen Sie durch Kontraposition: Wenn x selbst keine rationale Zahl ist, dann ist auch 1/x keine
rationale Zahl
f) Beweisen Sie direkt: das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade
a)
b)
c)
d)
2. Aufgabe: Vollständige Induktion
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollständiger Induktion:
2
a) 1+3+5+…+(2n-1) = n
n
b) für jedes natürlich-zahlige n≥1 ist 5 +7 durch 4 teilbar
n
c) 2 ≥n+1 für n≥2
3. Aufgabe: Diricheletsches Schubfachprinzip
a) Auf einem Kindergeburtstag befinden sich mit dem Geburtstagskind insgesamt 12 Kinder im Alter
von 9 bis 12 Jahren. Das Geburtstagskind behauptet, dass in diesem Fall garantiert mindestens
vier Kinder gleich alt sein müssen. Stimmt das?
b) Wie viele Personen braucht man, um mit Sicherheit behaupten zu können, dass
i) zwei
ii) drei
iii) n
Personen denselben Geburtstag haben?
4. Aufgabe: Relationen
Eine Relation R auf den natürlichen Zahlen bestehe aus allen Paaren (a, b), zu welchen natürliche
p
q
3
1
Zahlen p und q existieren, so dass a = b . z.B. gilt 2 R 8 weil 2 = 8 .
a) Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
b) Beschreiben Sie wenigstens drei verschieden Äquivalenzklassen, aber am besten gleich alle
Sei V eine Relation auf der Menge aller Menschen mit a V b falls a ein Vorfahre von b ist
c) bilden Sie den reflexiven Abschluss von V
d) zeigen Sie, dass dieser reflexiven Abschluss V’ eine Halbordnung ist
5. Aufgabe: Funktionen
Gegeben seien zwei Funktionen f: R\{-2} → R mit:
f(x) =
x
x
und g: R → R mit g(x) = e
x+2
a) Beweisen Sie, dass f bijektiv ist
-1
b) Geben Sie die Umkehrfunktion f an
c) Geben Sie die Formeln für die Kompositionen g ° f und f ° g an
Ernest Peter, Fernfachhochschule Schweiz
-1-
6. Aufgabe: Kombinatorik
Gegeben sind 7 Felder:
Sie haben 9 verschiedene Farben (inklusive rot, blau, grün).
Auf wie viele Arten können Sie die Felder färben, wenn:
a) keine Einschränkung besteht?
b) jedes Feld eine andere Farbe haben soll?
c) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen?
d) die beiden Felder links und rechts aussen rot sein sollen?
e) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll?
f) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot gefärbt sind?
7. Aufgabe: Graphen
a) Gegeben sei ein Graph durch die folgende Adjazenzmatrix:
F

W
F

F

W
W

W
F
W
F
F
W
F
W
F
F
W
F
W
F
F
W
F
F
W
F
W
W
F
W
W

W
W

F

W
F 
Zeichnen Sie die durch die obige Adjazenzmatrix dargestellten Kanten in die folgende Grafik mit den
gegebenen Knoten 1-6 ein:
b) Gegeben ist der folgende Graph G:
i) Existiert auf G ein Eulerweg?
ii) Existiert ein Hamiltonscher Weg?
Ernest Peter, Fernfachhochschule Schweiz
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