3. Aufgabenblatt Lösungen

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Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017)
3. Aufgabenblatt
Lösungen
9. Aufgabe: Bestimme für die folgenden Mengen ein größtes Element und ein kleinstes
Element oder begründe mit einem indirekten Beweis, dass es ein solches nicht geben kann.
Im Falle der Existenz müssen die Bedingungen aus der Definition (3.4) nachgewiesen werden.
a) Es ist
S = {−9, −8, −7, −5, 0, 1, 3, 6, 8, 11, 12, 13, 15, 23, 24, 25} .
−9 ∈ S und −9 ≤ s für alle s ∈ S =⇒ min(S) = −9 (3.4a)
25 ∈ S und s ≤ 25 für alle s ∈ S =⇒ max(S) = 25 (3.4b) .
N
b) T = { 2n | n ∈ , n ≥ 3 } = {6, 8, 10, 12, 14, . . .}
T besteht aus allen geraden natürlichen Zahlen ≥ 6 .
min(T ) = 6 Hierzu müssen die beiden Bedingungen aus Def. (3.4b) nachgeprüft werden.
1) 6 = 2 · 3 ∈ T
2) 3 ≤ n | · 2 =⇒ 6 = 2 · 3 ≤ 2 · n , d.h. 6 ≤ t für alle t ∈ T .
max(T ) existiert nicht: Annahme: es existiert g = max(T ) . Wegen g ∈ T gibt es
ein n ∈ , n ≥ 3 mit g = 2n .
n < n + 1 | · 2 =⇒ g = 2n < 2(n + 1) mit
2(n + 1) ∈ T . Also gibt es in T ein Element, das echt größer als g ist. Widerspruch, da g
nach Annahme größtes Element von T ist.
N
N
c) U = { −3n | n ∈ , n ≥ 5 } = {. . . , −21, −18, −15}
U besteht aus allen negativen Vielfachen von 3 , die ≤ −15 sind.
min(U ) existiert nicht: Annahme: es existiert k = min(U ) . Wegen k ∈ U gibt es ein
n ∈ , n ≥ 5 mit k = −3n . n + 1 > n | · (−3) =⇒ − 3(n + 1) < −3n = k mit
−3(n + 1) ∈ U . Also gibt es in U ein Element, das echt kleiner als k ist, im Widerspruch
dazu, dass k nach Annahme das kleinste Element in U ist.
max(U ) = −15 Hierzu müssen die beiden Bedingungen aus Def. (3.4a) nachgeprüft werden.
1) −15 = −3 · 5 ∈ U
2) n ≥ 5 | · (−3) =⇒ − 3n ≤ −15 , d.h. u ≤ −15 für alle u ∈ U .
N
10. Aufgabe: a) Begründe auf Grundlage allgemeiner Sätze aus der Vorlesung, ob die
folgenden Mengen ein größtes bzw. kleinstes Element besitzen oder nicht (diese Elemente
dürfen hier noch nicht explizit bestimmt werden).
1) Für a 6= 0 ist T + (a) nach (1.7) eine endliche nichtleere Teilmenge von
ein größtes und ein kleinstes Element besitzt.
N , die nach (3.7)
N
2) T + (0) = 0 besitzt nach (3.11) ein kleinstes Element, aber nach (3.13) kein größtes
Element, da 0 unendlich ist.
N
N
3) Für a 6= 0 ist V + (a) nach (1.20a) eine unendliche Teilmenge von
, die nach (3.13)
kein größtes Element besitzt. Nach (3.11) besitzt V + (a) ein kleinstes Element.
4) V + (0) = {0} besitzt nach (3.7) ein kleinstes und ein größtes Element.
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b) Bestimme im Falle der Existenz für die Mengen aus a) das kleinste bzw. größte Element
(natürlich mit Begründung!)
1) 1|a =⇒ 1 ∈ T + (a)
a 6= 0 =⇒ 0 6 | a =⇒ 1 ≤ t für alle t ∈ T + (a)
)
=⇒ min(T + (a)) = 1
|a| | a (1.2d) und |a| ≥ 0 =⇒ |a| ∈ T + (a)
t ∈ T + (a) =⇒ t | a =⇒ t = |t| ≤ |a| (1.5a)
)
=⇒ max(T + (a)) = |a|
Beachte, dass a auch negativ sein kann und dass T + (a) ⊆
2) 0|0 =⇒ 0 ∈ T + (0)
0 ≤ t für alle t ∈ T + (0)
3) 0 ∈ V + (a) und
)
N gilt.
=⇒ min(T + (0)) = 0
0 ≤ v für alle v ∈ V + (a) =⇒ min(V + (a)) = 0
4) V + (0) = {0} =⇒ min(V + (0)) = 0 = max(V + (0))
11. Aufgabe:
S und T seien endliche Mengen ganzer Zahlen, und es gelte ∅ =
6 S⊆T.
a) Begründe min(S) ≥ min(T ) und max(S) ≤ max(T ) .
Sei k = min(S) . Es gilt k ∈ S und S ⊆ T
=⇒ k ∈ T
=⇒
min(T ) ≤ k = min(S) .
Sei g = max(S) . Es gilt g ∈ S und S ⊆ T =⇒ g ∈ T =⇒ max(S) = g ≤ max(S) .
b) Gib ein konkretes Beispiel für T und S an, für das min(S) > min(T ) und
max(S) < max(T ) gilt, und zeige, dass es “passt”.
Hinweis: Beispiele sollten möglichst “klein” gewählt werden!
Wähle T = {1, 2, 3, 4} und S = {2, 3} . Dann gilt ∅ =
6 S ⊆ T und
min(T ) = 1 < 2 = min(S) und max(S) = 3 < 4 = max(T ) .
12. Aufgabe:
Beweise durch vollständige Induktion nach n:
Für alle n ∈
N gilt
3 | (n3 + 11n) .
Hinweis: Schreibe die einzelnen Teile des Induktionsbeweises ausführlich auf. Gib insbesondere
die Stelle beim Induktionsschluss an, an der die Induktionsvoraussetzung eingeht.
(IA) n = 1 : Es gilt 13 + 11 · 1 = 12 und 3 | 12 , also 3 | (13 + 11 · 1) .
(IV) Für eine beliebige aber feste natürliche Zahl n gilt 3 | (n3 + 11n) .
(IB) 3 | ((n + 1)3 + 11(n + 1))
(IS)
(n + 1)3 + 11(n + 1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + 11n + 11
=
(n3 + 11n) + 3n2 + 3n + 12
=
(n3 + 11n) + 3(n2 + n + 4)
Es gilt 3 | (n3 + 11n) nach (IV) und 3 | 3(n2 + n + 4) , so dass nach Aufgabe 2b)
3 | ((n3 + 11n) + 3(n2 + n + 4)) folgt, also
3 | ((n + 1)3 + 11(n + 1))