Numerik I – Einführung in die Numerik

21. Oktober 2016
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Numerik I – Einführung in die Numerik
Wintersemester 2016/17
Übungsblatt 1
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Theorieaufgaben am Freitag, 28. Oktober 2016, in der Vorlesung
ab. Die Aufgaben werden von Ihrer Übungsleiterin korrigiert und in der Übung vom 04. November
2016 besprochen. Schicken Sie Ihren Programmcode und Ihre Ergebnisse der Programmieraufgabe
bis zum Freitag, 28. Oktober 2016, 14:15 Uhr, an [email protected].
Aufgabe 1.1 (T) (4 Punkte):
Sei M ein System von k-stelligen normalisierten Gleitpunktzahlen mit Basis E, kleinstem Exponenten
emin und größtem Exponenten emax .
(a) Zeigen Sie, dass für x 6= 0 gilt:
xmin = E emin −1 ≤ |x| ≤ E emax (1 − E −k ) = xmax .
(b) Zeigen Sie, dass der Abstand von zwei benachbarten normalisierten Gleitpunktzahlen x, y ∈ M
mindestens 2E −1 τ |x| und höchstens 2τ |x| beträgt, wobei τ die Maschinengenauigkeit ist und x
die betragsmäßig kleinere der beiden Zahlen.
Aufgabe 1.2 (T) (4 Punkte):
Betrachten Sie die beiden mathematisch äquivalenten Ausdrücke
1−x
2x
und g(x) = 1 −
.
f (x) =
1+x
1+x
(a) Werten Sie beide an der Stelle x = 1/7654321 aus, wobei Sie mit 5 wesentlichen Stellen rechnen.
Bestimmen Sie jeweils die Größenordnung des relativen Fehlers.
(b) Führen Sie Teil (a) erneut aus, aber dieses Mal mit 8 wesentlichen Stellen.
Aufgabe 1.3 (T) (4 Punkte):
Ein radioaktiver Stoff zerfällt nach dem Gesetz
Stoffmenge zur Zeit t = m(t) = m(0)e−2t .
Es ist bekannt, dass m(0) = 2.4 ist. Gesucht ist m(2). Leider haben Sie Ihren Rechner nicht zur hand
und erinnern Sich nur an die ersten beiden Stellen der Euler’schen Zahl e, d.h. ee = 2.7.
Ist es sinnvoll, den gesuchten Wert m(2) von Hand auszurechnen, wenn Sie m(2) bis auf einen garantierten relativen Fehler von höchstens 1% benötigen?
Hinweis: Behandeln Sie m(2) als unbekannt und versuchen Sie es geeignet abzuschätzen. Benutzen
Sie hier auch bei der Bearbeitung der Aufgabe keinen Rechner.
Bitte wenden!
Aufgabe 1.4 (T) (4 Punkte):
Wir berechen näherungsweise die Zahl π durch die Grenzwerte
π = lim 3 · 2n−1 sn = lim 3 · 2n−1 tn
n→∞
n→∞
mit s1 = t1 = 1 und
r
sn+1 =
2−
q
4 − s2n ,
tn
tn+1 = r
2+
q
,
n ∈ N.
4 − t2n
(a) Beweisen Sie die Rekursionsformel für sn+1 mittels Satz von Pythagoras. (Hinweis: sn ist die
Seitenlänge eines regelmäßigen 3 · 2n -Ecks, das in den Einehitskreis einbeschrieben wurde.)
(b) Zeigen Sie sn = tn für alle n ∈ N.
q
(c) Betrachten Sie die Funktion ϕ(x) = 2 −
ϕ(x) konditioniert, v.a. für kleines x =
6 0?
√
4 − x2 . Wie ist das Problem der Berechnung von
Aufgabe 1.5 (P) (4 Punkte):
(a) Implementieren Sie die folgenden beiden Algorithmen zur Berechnung der Lösungen x1 , x2 der
quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0, a 6= 0:
Algorithmus 1 x1 =
√
−b+ b2 −4ac
,
2a
x2 =
√
−b− b2 −4ac
.
2a
Algorithmus 2 Falls b > 0 ist,
x2 =
−b −
falls b < 0 ist,
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
,
2a
x1 =
c
,
ax2
√
b2 − 4ac
,
2a
x2 =
c
,
ax1
falls b = 0 ist,
r
x1 =
c
− ,
a
c
x2 = − − .
a
r
Testen Sie Ihre beiden Algorithmen mit den folgenden Testkonfigurationen für (a, b, c):
(i) (1, 2, −3),
(iii) (−1, −106 , 1),
(ii) (1, 106 , 1),
(iv) (1 + 10−9 , 2, 1 − 10−9 ).
(b) Schreiben Sie ein Programm, das die Werte 3 · 2n−1 sn und 3 · 2n−1 tn für n = 1, . . . , 35 ausgibt,
wobei sn , tn aus Aufgabe 1.4 stammen. Erklären Sie das unterschiedliche Verhalten.