- Wirsberg

Wirsberg-Gymnasium
Grundwissen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Lerninhalte
Reelle Zahlen
Fakten-Regeln-Beispiele
Defintion der Quadratwurzeln:
Für a ≥ 0 ist
a diejenige nicht negative Zahl, deren Quadrat a ergibt. a heißt Radikand.
Es gibt Zahlen, die nicht rational sind. ( 2 )
Weitere Beispiele: a) 625 = 25 , da 25 = 625
b) − 1 ist nicht definiert, da -1 negativ ist.
Näherungswerte für Quadratwurzeln:
a) Intervallschachtelung (IS): Jedes Intervall liegt im vorherigen.
Die Intervalllängen werden beliebig klein.
Beispiel: IS für 2 :
2
12 < 2 < 2 2 ⇒ 1 < 2 < 2 ; 1,4 2 < 2 < 1,5 2 ⇒ 1,4 < 2 < 1,5 ; 1,412 < 2 < 1,42 2 ⇒ 1,41 < 2 < 1,42
b) Heron-Algorithmus: Berechnung von
usw.
a
- Beginne mit einem Rechteck vom Flächeninhalt a , der Breite x 0 und der Länge y 0 .
- Verwandle das Rechteck in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck mit der neuen Breite x1 als Mittelwert von x 0 und y 0 und der
neuen Länge y1 als Quotient a : x1 .
- Wiederhole diesen Schritt mit neuer Breite x n +1 =
xn + y n
2
und neuer zugehöriger Länge
y n +1 =
a
x n +1
bis ein zufrieden stellender
Näherungswert erreicht ist.
Die reellen Zahlen:
Zahlen , die sich weder durch endliche noch durch periodische (unendliche) Dezimalbrüche darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen.
Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen.
Rechnen mit Quadratwurzeln:
Für alle
a ∈ R gilt:
Für a, b ≥ 0 gilt:
-1-
a =a
Beispiele:
52 = 5 = 5
2
a ⋅ b = a ⋅b
16 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9
a
12
b
=
a
(b ≠ 0)
b
3
=
12
= 4=2
3
(−5) 2 = − 5 = 5
Binomische Formeln:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) ⋅ ( a − b) = a 2 − b 2
n-te Wurzeln:
Beispiele:
Für a ≥ 0 ist a diejenige nicht negative Zahl, deren
n -te Potenz a ergibt
n
3
8=2
5
10000 = 10
Gleichung
Lösungsmenge
x = 11
L = {− 4 11; 4 11}
x 3 = −11
L = {−3 11}
4
Potenzen mit rationalen Exponenten:
Beispiel:
Für positive Grundzahlen a wird vereinbart:
4 2 = 2 4 3 = 2 64 = 64 = 8
3
p
q
q
a = a und a
p
−
p
q
=
1
q
ap
(p ∈ Z; q ∈ N )
Die Satzgruppe
Des Pythagoras
a
a
b
b
a
c
b
p
a
b
c
h
q
c
q
p
c
c2 = a2 + b2
h
h2 = p ⋅ q
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Quadratische
Funktionen
und
quadratische
Gleichungen
Die quadratische Funktion
Für alle Formen gilt:
p : x a ax 2 + bx + c
2
Scheitelform: p : x a a ( x + d ) + e
Nullstellenform: p : x a a ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )
a > 0 : Parabel nach oben geöffnet
Normalform:
a < 0 : Parabel nach unten geöffnet
y
y
Beispiel:
p : x a 1⋅ x 2 − 4x + 3
p : x a 1 ⋅ (x − 2) − 1
p : x a 1 ⋅ ( x − 3) ⋅ ( x − 1)
2
1
1
x
1
-1
1
3
Die Lösungsformel:
Eine quadratische Gleichung der Form
ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) hat
− b + b 2 − 4ac
− b − b 2 − 4ac
,
, x2 =
2a
2a
b
genau eine Lösung x = −
,
2a
die beiden Lösungen x1 =
keine Lösung,
Der Term b − 4ac
2
falls
b 2 − 4ac > 0 ,
falls
b 2 − 4ac = 0 ,
falls
heißt Diskriminante.
b 2 − 4ac < 0 .
x
Quadratische
Funktionen in
Anwendungen
Extremwertprobleme:
Beispiel:
Ein Landwirt kauft sich Maschendraht der Länge 81m . Er möchte damit eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen.
Wie muss er die Abmessungen wählen?
Lösung:
1. Schritt: Allgemeiner Ansatz für die Größe, die zu maximieren bzw. zu minimieren ist.
A( x, y ) = x ⋅ y
2. Schritt: Aufstellen der Nebenbedingung
2 ⋅ ( x + y ) = 81 ⇔ y = 40,5 − x
3. Schritt: Einsetzen der Nebenbedingung in den allgemeinen Ansatz
A( x) = x ⋅ (40,5 − x ) = − x 2 + 40,5 x
4. Schritt: quadratische Ergänzung
A( x) = − x 2 + 40,5 x
[
A( x) = − x 2 − 40,5 x
]
2
2

 40,5   40,5  
A( x) = − x 2 − 40,5 x = −  x 2 − 40,5 x + 
 
 −
 2   2  

[
A( x) =
A( x) =
]

2
= −  (x − 20,25)

= −(x − 20,25)
2
2
 40,5  
−
 
 2  
+ 410,0625
5. Schritt: Antwortsatz schreiben
Er muss ein Quadrat mit einer Seitenlänge von
20,25m wählen.
Mehrstufiges
Zusfallsexperiment.
Beispiele für mehrstufige Zufallsexperimente:
- Ein Glücksrad wird fünfmal gedreht und die angezeigte Farbe notiert.
- Aus einer Schachtel, die viele Nägel enthält, werden ohne Zurücklegen 100 Exemplare entnommen und auf ihre
Tauglichkeit überprüft.
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:
Erste Pfadregel:
Man erhält die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen
Pfades multipliziert.
Zweite Pfadregel:
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehören.
M
M
J
M
0,514
0,486
0,514
0,486
M
J
0,514
M
J
M
0,514
0,514
J
J
J
M
0,514
J
P(„mindestens zwei Jungen“) =
0,486 ⋅ 0,514 ⋅ 0,514 + 0,514 ⋅ 0,486 ⋅ 0,514 + 0,514 ⋅ 0,514 ⋅ 0,514 ≈ 39,3%
Trigonometrie
Festlegung von Sinus, Kosinus und Tangens mit Hilfe des
Einheitskreises:
y
y
1
sin α
α
cos α
90° 1
x
tan α
90°
Einheitskreis
Funktionswerte für besondere Winkel:
30
45
α in ° 0
1
2
sin α
0
2
2
cos α
1
tan α
0
3
2
3
3
60
α
90
2
2
3
2
1
2
1
3
1
0
nicht
definiert
1
x
Wichtige Beziehungen:
Für alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:
(cos α )2 + (sin α )2 = 1
sin α
(α ≠ 90°)
cos α
sin α = cos(90° − α ) ; cos α = sin (90° − α )
tan α =
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck:
Hy
β
GK (α ) = AK ( β )
α
AK (α ) = GK ( β )
GK (α )
Hy
AK (α )
cos α =
Hy
GK (α )
tan α =
AK (α )
sin α =
GK ( β )
Hy
AK ( ß)
cos β =
Hy
GK ( β )
tan β =
AK ( β )
sin β =
Raumgeometrie a) Das Prisma: Es entsteht durch die Parallelverschiebung eines beliebigen Vielecks.
Beispiel: gerades Dreikantprisma
h
Grundfläche G
Allgemein gilt: Volumen=Grundfläche mal Höhe
b) Der Zylinder: Er entsteht durch die Parallelverschiebung eines beliebigen Kreises.
h
Volumen:
V = G⋅h = r
Inhalt der Mantelfläche: M = 2rπ ⋅ h
Oberflächeninhalt:
Ao = 2G + M = 2r 2π + 2rπ ⋅ h
r
Grundfläche mit Inhalt G
2
π ⋅h
c) Die Pyramide: Sie entsteht, wenn man die Eckpunkte eines beliebigen Vielecks mit einem Punkt S außerhalb der Vielecksebene
verbindet.
Beispiel: gerade Vierkantpyramide
h
V =
Allgemein gilt:
1
⋅G ⋅h
3
d) Der Kegel:
s
h
r
V =
1 2
⋅r π ⋅h
3
AO = r 2π + π r s