Fermats letzter Satz und Modularität

F ERMATS LETZTER
S ATZ UND
M ODULARITÄT
Christian Geyer
F ERMATS LETZTER S ATZ UND
M ODULARITÄT
Spezialfälle
Modularität
1.Teil: Spezialfälle und Modularität
Christian Geyer
T ECHNISCHE U NIVERSITÄT K AISERSLAUTERN
FACHBEREICH M ATHEMATIK
AG A LGEBRA , G EOMETRIE UND C OMPUTERALGEBRA
27.Juni 2011
1 / 20
Inhalt
F ERMATS LETZTER
S ATZ UND
M ODULARITÄT
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
1
Spezialfälle
2
Modularität
2 / 20
F ERMATS LETZTER
S ATZ UND
M ODULARITÄT
Fall n ∈ {1, 2}
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
Lemma
Für n ∈ {1, 2} existieren x, y, z ∈ Z\{0} welche die Gleichung
xn + yn = zn
lösen.2
3 / 20
Fall n = 3
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Spezialfälle
Lemma
Modularität
Die Fläche eines ganzzahligen, rechtwinkligen Dreiecks ist nie
eine Quadratzahl 2
Satz
Es gibt kein Tripel (x, y, z) ∈ Z3 mit xyz 6= 0 welches die
Gleichung x3 + y3 = z3 erfüllt.2
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Fall n = 4
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M ODULARITÄT
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
Satz
Es gibt kein Tripel (x, y, z) ∈ Z3 mit xyz 6= 0 welches die
Gleichung x4 + y4 = z4 erfüllt.2
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Reduktion auf Primzahlen
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M ODULARITÄT
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Spezialfälle
Lemma
Modularität
Um Fermats letzten Satz zu zeigen, genügt es die Fälle
n ∈ {1, 2, 3, 4} und n ∈ P\{2} zu betrachten.
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Reduktion auf Primzahlen
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M ODULARITÄT
Christian Geyer
Spezialfälle
Lemma
Modularität
Um Fermats letzten Satz zu zeigen, genügt es die Fälle
n ∈ {1, 2, 3, 4} und n ∈ P\{2} zu betrachten.
Beweis.
Ist n ∈ N mit n ≥ 3, so wird n entweder von 4 oder von
p ∈ P\{2} geteilt. Daher gilt:
(
(xm )4 + (ym )4 = (zm )4 für 4|n
x n + yn = zn ⇔
(xm )p + (ym )p = (zm )p für p|n
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weitere Reduktion des Problems
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Spezialfälle
Modularität
Lemma
Sei p ∈ P ungerade und seien a, b, c ∈ Z\{0} mit ap + bp = cp ,
dann existieren a0 , b0 , c0 ∈ Z\{0} mit a0p + b0p = c0p sowie
ggt(a0 , b0 , c0 ) = 1 und b ≡ 0 mod 2, a ≡ 3 mod 4
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Beweis.
Ist ggt(a, b, c) = h 6= 1, so können und das teilerfremde Tripel
(a0 , b0 , c0 ) = ( ah , bh , hc ) betrachten.
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Spezialfälle
Modularität
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Beweis.
Ist ggt(a, b, c) = h 6= 1, so können und das teilerfremde Tripel
(a0 , b0 , c0 ) = ( ah , bh , hc ) betrachten. Ferner können nicht alle drei
Zahlen a0 , b0 , c0 gerade sein.
Betrachte daher die folgenden Fälle:
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M ODULARITÄT
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Spezialfälle
Modularität
i) a0 , b0 ungerade und c0 gerade
ii) b0 gerade und a0 , c0 ungerade
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Beweis.
Ist ggt(a, b, c) = h 6= 1, so können und das teilerfremde Tripel
(a0 , b0 , c0 ) = ( ah , bh , hc ) betrachten. Ferner können nicht alle drei
Zahlen a0 , b0 , c0 gerade sein.
Betrachte daher die folgenden Fälle:
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Spezialfälle
Modularität
i) a0 , b0 ungerade und c0 gerade
ii) b0 gerade und a0 , c0 ungerade
diese Fälle sind jedoch äquvalent, denn
a0p + b0p = c0p ⇔ b0p = c0p − a0p = c0p + (−a0 )p
also ist oBdA b0 ≡ 0 mod 2
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Beweis.
Ist ggt(a, b, c) = h 6= 1, so können und das teilerfremde Tripel
(a0 , b0 , c0 ) = ( ah , bh , hc ) betrachten. Ferner können nicht alle drei
Zahlen a0 , b0 , c0 gerade sein.
Betrachte daher die folgenden Fälle:
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Spezialfälle
Modularität
i) a0 , b0 ungerade und c0 gerade
ii) b0 gerade und a0 , c0 ungerade
diese Fälle sind jedoch äquvalent, denn
a0p + b0p = c0p ⇔ b0p = c0p − a0p = c0p + (−a0 )p
also ist oBdA b0 ≡ 0 mod 2
Gilt nun a0 ≡ 3 (mod 4), so sind wir fertig.
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Beweis.
Ist ggt(a, b, c) = h 6= 1, so können und das teilerfremde Tripel
(a0 , b0 , c0 ) = ( ah , bh , hc ) betrachten. Ferner können nicht alle drei
Zahlen a0 , b0 , c0 gerade sein.
Betrachte daher die folgenden Fälle:
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Spezialfälle
Modularität
i) a0 , b0 ungerade und c0 gerade
ii) b0 gerade und a0 , c0 ungerade
diese Fälle sind jedoch äquvalent, denn
a0p + b0p = c0p ⇔ b0p = c0p − a0p = c0p + (−a0 )p
also ist oBdA b0 ≡ 0 mod 2
Gilt nun a0 ≡ 3 (mod 4), so sind wir fertig. Anderenfalls gilt
a0 ≡ 1 (mod 4). Dann betrachte das Tripel (−a0 , −b0 , −c0 ),
welches natürlich auch eine Lösung ist. Nun gilt aber:
−b0 ≡ 0 (mod 2) und −a0 ≡ −1 = 3 (mod 4)
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Frey-Kurve
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Spezialfälle
Modularität
Definition
Sei p ∈ P ungerade, dann heißt die elliptische Kurve
EFrey : y2 = x(x − ap )(x + bp )
mit a, b ∈ Z teilerfremd und b ≡ 0 (mod 2), a ≡ 3 (mod 4),
Frey-Kurve. Ihre Diskriminante ist gegeben duch
∆ = (ap (−bp )(ap + bp ))2
(1)
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Diskriminante von EFrey
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Spezialfälle
Modularität
Bemerkung
Exististiert eine Lösung von xp + yp = zp über Z, so existiert die
Kurve EFrey . In diesem Fall wird (1) zu ∆ = (abc)2p . Jedoch
muss dieser Ausdruck aus „technischen Gründen“ modifiziert
werden, so dass die minimale Diskriminante folgende Form
erhält
∆ = 2−8 (abc)2l
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Eigenform
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Spezialfälle
Bemerkung
Modularität
Sei E eine Elliptische Kurve über einem Körper K so kann man
jede elliptische Kurve durch Variablentransformation auf die
Form
E : y2 = x3 + Ax + B
(2)
bringen. Insbesondere kann jede elliptische Kurve über Q auf
diese Form mit A, B ∈ Z gebracht werden.
Ferner muss E glatt sein, d.h. falls E gegeben durch y2 = f (x)
gilt:
E glatt ⇔ disc(f ) 6= 0 ⇔ f hat keine mehrfache Nullstelle
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gute und schlechte Reduktion
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Christian Geyer
Definition
Sei p ∈ P. Wir reduzieren die Gleichung (2) modulo p.
Spezialfälle
Modularität
a) Falls E mod p eine elliptische Kurve ist, sagt man E hat
eine gute Reduktion mod p.
b) Falls E mod p eine mehrfache Nullstelle hat, sagt man E
hat eine schlechte Reduktion mod p.
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gute und schlechte Reduktion
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Definition
Sei p ∈ P. Wir reduzieren die Gleichung (2) modulo p.
Spezialfälle
Modularität
a) Falls E mod p eine elliptische Kurve ist, sagt man E hat
eine gute Reduktion mod p.
b) Falls E mod p eine mehrfache Nullstelle hat, sagt man E
hat eine schlechte Reduktion mod p.
i) Wenn E eine dreifache Nullstelle besitzt, so sagt man E hat
eine additive Reduktion mod p.
ii) Wenn E eine zweifache Nullstelle besitzt, so sagt man E
hat eine multiplikative Reduktion mod p.
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gute und schlechte Reduktion
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Definition
Sei p ∈ P. Wir reduzieren die Gleichung (2) modulo p.
Spezialfälle
Modularität
a) Falls E mod p eine elliptische Kurve ist, sagt man E hat
eine gute Reduktion mod p.
b) Falls E mod p eine mehrfache Nullstelle hat, sagt man E
hat eine schlechte Reduktion mod p.
i) Wenn E eine dreifache Nullstelle besitzt, so sagt man E hat
eine additive Reduktion mod p.
ii) Wenn E eine zweifache Nullstelle besitzt, so sagt man E
hat eine multiplikative Reduktion mod p.
Im Falle der multiplikativen Reduktion hat E
zerfallende multiplikative Reduktion, wenn die Steigungen
der Tangenten an E im singulären Punkt aus Fp sind
sonst nicht-zerfallende multiplikative Reduktion
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Lemma
Christian Geyer
Primzahlen mit schlechter Reduktion
Sei E eine elliptische Kurve und ∆ die zugehörige
Diskriminante, dann gilt:
Spezialfälle
Modularität
E hat schlechte Reduktion modulo p ⇒ p|∆
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Lemma
Christian Geyer
Primzahlen mit schlechter Reduktion
Sei E eine elliptische Kurve und ∆ die zugehörige
Diskriminante, dann gilt:
Spezialfälle
Modularität
E hat schlechte Reduktion modulo p ⇒ p|∆
Beweis.
Sei I eine Indexmenge, {ai | i ∈ I} die Menge aller Nullstellen
von E und p eine Primzahl mit schlechter Reduktion, d.h. E hat
eine mehrfache Nullstelle modulo p, dann gilt:
∆ = ∏(ai − aj ) ≡ 0 mod p
i<j
also gilt p|∆
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notwendiges und hinreichendes Kriterium für
schlechte Reduktion
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Spezialfälle
Bemerkung
Modularität
a) Für elliptische Kurven der Form y2 = x3 + Ax + B mit
A, B ∈ Z gibt es meist mehrere mögliche Werte für A, B
welche die selbe Kurve definieren. Man kann zeigen, dass
es immer eine Wahl von A, B ∈ Z gibt, so dass für alle
p ∈ P die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von
E mod p größtmöglich ist. Die Gleichung dieser Wahl
nennt man minimale Weierstrassgleichung von E und die
zugehörige Diskriminante ∆ heißt Minimaldiskriminante
von E.
b) Ersetzt man im Lemma die Diskriminante durch die
Minimaldiskriminante, so gilt die Äquivalenz.
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Beispiel
Betrachte E gegeben durch
y2 = x3 − 270000x + 128250000
Substitution
E gegeben durch
∆ / Bemerkung
Beispiel
Betrachte E gegeben durch
y2 = x3 − 270000x + 128250000
Substitution
—
E gegeben durch
∆ / Bemerkung
y2 = x3 − 270000x + 128250000
−28 312 512 11
Beispiel
Betrachte E gegeben durch
y2 = x3 − 270000x + 128250000
Substitution
—
x = 25x1
y = 125y1
E gegeben durch
∆ / Bemerkung
y2 = x3 − 270000x + 128250000
−28 312 512 11
y21 = x13 − 432x1 + 8208
−28 312 11
Beispiel
Betrachte E gegeben durch
y2 = x3 − 270000x + 128250000
Substitution
—
x = 25x1
y = 125y1
x1 = 9x2 − 12
y1 = 27y2
E gegeben durch
∆ / Bemerkung
y2 = x3 − 270000x + 128250000
−28 312 512 11
y21 = x13 − 432x1 + 8208
−28 312 11
y22 = x23 − 4x22 + 16
−28 11
Beispiel
Betrachte E gegeben durch
y2 = x3 − 270000x + 128250000
Substitution
—
x = 25x1
y = 125y1
x1 = 9x2 − 12
y1 = 27y2
x2 = 4x3
y2 = 8y3 + 4
E gegeben durch
∆ / Bemerkung
y2 = x3 − 270000x + 128250000
−28 312 512 11
y21 = x13 − 432x1 + 8208
−28 312 11
y22 = x23 − 4x22 + 16
−28 11
y23 + y3 = x33 − x32
nicht-singulär
modulo 2
semistabile Kurven
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Spezialfälle
Modularität
Definition
Eine elliptische Kurve heißt semistabil, wenn sie für alle p ∈ P
eine gute oder multiplikative Reduktion besitzt.
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semistabile Kurven
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Spezialfälle
Modularität
Definition
Eine elliptische Kurve heißt semistabil, wenn sie für alle p ∈ P
eine gute oder multiplikative Reduktion besitzt.
Lemma
Sei p ∈ P, dann ist EFrey semistabil.
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Definition
Sei p ∈ P, dann definiere


p + 1 − #E(Fp ) gute Reduktion mod p


0
additive Reduktion mod p
ap =

1
zerfallende mult. Reduktion mod p



−1
nicht-zerfallende mult. Reduktion mod p
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Spezialfälle
Modularität
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Definition
Sei p ∈ P, dann definiere


p + 1 − #E(Fp ) gute Reduktion mod p


0
additive Reduktion mod p
ap =

1
zerfallende mult. Reduktion mod p



−1
nicht-zerfallende mult. Reduktion mod p
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Spezialfälle
Modularität
n
und setze für n = ∏j pj j PFZ
n
an := ∏ apjj
j
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Definition
Sei p ∈ P, dann definiere


p + 1 − #E(Fp ) gute Reduktion mod p


0
additive Reduktion mod p
ap =

1
zerfallende mult. Reduktion mod p



−1
nicht-zerfallende mult. Reduktion mod p
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
n
und setze für n = ∏j pj j PFZ
n
an := ∏ apjj
j
sowie für τ ∈ H und q = e2πiτ
∞
fE (τ) =
∑ an qn
n=1
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Bemerkung
Man beachte:
Spezialfälle
Modularität
a) Die Reihe fE (τ) konvergiert und stellt nichts anderes als
eine kodierung der Anzahl der Punkte auf E modulo der
verschiedenen Primzahlen dar.
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Bemerkung
Spezialfälle
Modularität
Man beachte:
a) Die Reihe fE (τ) konvergiert und stellt nichts anderes als
eine kodierung der Anzahl der Punkte auf E modulo der
verschiedenen Primzahlen dar.
b) Die Abbildung
N+ → R
n 7→ an
ist offensichtlich eine zahlentheoretisch multiplikative
Funktion
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Galois-Darstellungen
Sei E eine elliptische Kurve über Q, dann gilt
E[m] ∼
= Zm ⊕ Zm
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Spezialfälle
Modularität
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Galois-Darstellungen
Sei E eine elliptische Kurve über Q, dann gilt
E[m] ∼
= Zm ⊕ Zm
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Spezialfälle
Modularität
Sei nun {β1 , β2 } eine Basis von E[m] und sei σ ∈ Gal(Q/Q),
dann ist auch σ βi ∈ E[m] und es gilt
σ β1 = aβ1 + cβ2
σ β2 = bβ1 + dβ2
wobei a, b, c, d ∈ Zm .
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Galois-Darstellungen
Sei E eine elliptische Kurve über Q, dann gilt
E[m] ∼
= Zm ⊕ Zm
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Spezialfälle
Modularität
Sei nun {β1 , β2 } eine Basis von E[m] und sei σ ∈ Gal(Q/Q),
dann ist auch σ βi ∈ E[m] und es gilt
σ β1 = aβ1 + cβ2
σ β2 = bβ1 + dβ2
wobei a, b, c, d ∈ Zm . Somit erhält man den Isomorphismus
a b
ρm : Gal(Q/Q) → GL2 (Zm ) : σ 7→
c d
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Galois-Darstellungen
Sei E eine elliptische Kurve über Q, dann gilt
E[m] ∼
= Zm ⊕ Zm
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Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
Sei nun {β1 , β2 } eine Basis von E[m] und sei σ ∈ Gal(Q/Q),
dann ist auch σ βi ∈ E[m] und es gilt
σ β1 = aβ1 + cβ2
σ β2 = bβ1 + dβ2
wobei a, b, c, d ∈ Zm . Somit erhält man den Isomorphismus
a b
ρm : Gal(Q/Q) → GL2 (Zm ) : σ 7→
c d
Definition
Ist m = p ∈ P, so nennen wir ρp die mod p Galoisdarstellung
von E
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Bemerkung
Die Galoisdarstellungen lässt sich auf m = pn mit n ∈ N+
verallgemeinern, wobei dann ρpn ≡ ρpn+1 (mod pn ) gilt.
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Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
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Bemerkung
Die Galoisdarstellungen lässt sich auf m = pn mit n ∈ N+
verallgemeinern, wobei dann ρpn ≡ ρpn+1 (mod pn ) gilt. Ferner
erhält man auf diese Weise auch
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
ρp∞ : Gal(Q/Q) → GL2 (Op )
wobei Op ein Ring ist, der die p-adischen Zahlen enthält und
Charakteristik 0 besitzt.
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Bemerkung
Die Galoisdarstellungen lässt sich auf m = pn mit n ∈ N+
verallgemeinern, wobei dann ρpn ≡ ρpn+1 (mod pn ) gilt. Ferner
erhält man auf diese Weise auch
Christian Geyer
Spezialfälle
Modularität
ρp∞ : Gal(Q/Q) → GL2 (Op )
wobei Op ein Ring ist, der die p-adischen Zahlen enthält und
Charakteristik 0 besitzt.
Durch die Betrachtung geeigneter Elemente Frobr ∈ Gal(Q/Q)
für eine Primzahl r, deren Anwendung auf E(Q) der
Anwendung von φr auf E(Fr ) entspricht, erhält man unter
gewissen Voraussetzungen für die Darstellung
ρ : Gal(Q/Q) → GL2 (Op )
dass ar = Spur(ρ(Frobr )). Hierbei erhält man, dass ar das ap
aus Definition von fE ist.
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