Logische Grundlagen, WS 17-18

Logische Grundlagen, WS 17-18
Thomas Timmermann
25. Oktober 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Aussagenlogik
2.1 Die Sprache der Aussagenlogik . . . . . . . . .
2.2 Logische Äquivalenz von Aussageformeln . . . .
2.3 Einschub: eine universelle logische Verknüpfung
2.4 Logische Schlussregeln . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Abschluss-Logelei . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
6
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Prädikatenlogik (erster Stufe)
9
3.1 Elemente der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Negation von Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Reihenfolge von Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Mengenlehre
12
4.1 Der naive Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Das Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 Einleitung
Der erste Teil der Vorlesung ist als Hilfestellung für die Grundvorlesungen gedacht (und
nicht als Einführung in die mathematische Logik) und behandelt den praktischen Umgang
mit Grundbegriffen wie
•
•
•
•
•
Aussagenlogik und Beweistechniken,
Mengenlehre, Abbildungen, Kardinalität von Mengen,
Relationen, insbesondere Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen,
die Peano-Axiome der natürlichen Zahlen und Induktion,
die Konstruktion der ganzen/rationalen/reellen Zahlen
1
2 Aussagenlogik
Im zweiten Teil der Vorlesung werden für Interessierte ein paar wichtige, aber fortgeschrittenere Themen wie Ordinalzahlen, transfinite Induktion und das Lemma von Zorn
sowie das Auswahlaxiom besprochen.
Zur Vorlesung empfehle ich die folgenden Bücher.
• A. Beutelspacher. Das ist o.B.d.A. trivial! Vieweg+Teubner, 2009
• A. Beutelspacher. Mathe-Basics zum Studienbeginn. Survival-Kit Mathematik. Springer, 2016
• S. Iwanowski, R. Lang. Diskrete Mathematik mit Grundlagen. Springer, 2014
Eine unterhaltsame Reise zu den Pionieren (Cantor, Frege, Russel, Hilbert, Gödel, . . . )
und Grenzen der mathematischen Logik bieten folgende Bücher:
• A. Doxiadis. Logicomix: Eine epische Suche nach Wahrheit 2008
• D. W. Hoffmann. Grenzen der Mathematik. Eine Reise durch die Kerngebiete der
mathematischen Logik. Spektrum 2011
Sie sind als e-book von Uni-Netz aus über springerlink frei verfügbar.
2 Aussagenlogik
Wie arbeitet ein Mathematiker?
Ein Mathematiker ist eine Maschine,
die Kaffee in Theoreme verwandelt.
Genauer: Mathematiker studieren mathematische Strukturen und
• charakterisieren in Definitionen diese Strukturen durch Grundannahmen/Axiome,
• behaupten in Sätzen/Theoremen (hoffentlich interessante und richtige) Aussagen
über diese Strukturen und
• zeigen in Beweisen, wie die behaupteten Aussagen aus den Axiomen logisch folgen.
Dieses Vorgehen wird die axiomatische Methode genannt. Dazu verwenden Mathematiker (heutzutage) die Sprache der Aussagenlogik bzw. Prädikatenlogik und der Mengenlehre.
Wir befassen uns heute mit der Aussagenlogik und kommen nächste Woche zur Prädikatenlogik und Mengenlehre.
2.1 Die Sprache der Aussagenlogik
Die Aussagenlogik studiert Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind. Dabei ist eine
Aussage entweder
• eine atomare Aussage, die entweder wahr oder falsch ist, insbesondere
2
2 Aussagenlogik
– die wahre Aussage w bzw. >,
– die falsche Aussage f bzw. ⊥,
oder
• eine logische Verknüpfung: sind A und B Aussagen, so auch die
–
–
–
–
–
Negation ¬A (nicht A),
Disjunktion A ∨ B (A oder B),
Konjunktion A ∧ B (A und B),
Implikation A → B (wenn A, dann B),
Äquivalenz A ↔ B (A genau dann, wenn B).
Für die logischen Verknüpfungen haben wir gerade nur die Syntax (=Schreibweise)
angegeben. Ihre Semantik (=Sinn, also Wahrheitsgehalt) kann man mit Hilfe einer
Wahrheitstabelle angeben, deren Zeilen beziehungsweise Spalten den möglichen Wahrheitswerten von A beziehungsweise B entsprechen. Die Wahrheitstabellen der Oder- und
der Und-Verknüpfung sind sicher klar.
Tabelle 1: Wahrheitstabelle der Implikation
A→B
A wahr
A falsch
B wahr
B falsch
wahr
wahr
falsch
wahr
Im Umgang mit zusammengesetzten Aussagen ist es oft nützlich, ihre Syntax/ihren
logischen Aufbau zu klären, indem man sie als logische Verknüpfung atomarer Aussagen
schreibt.
Beispiel 2.1. Welche Struktur hat folgende Aussage?
Wenn man nachts ohne Licht fährt, sieht man nichts, es sei denn, es ist
Vollmond.
Die Bedeutung der Verknüpfung A, es sei denn, B wird vielleicht unterschiedlich
gesehen: eine Möglichkeit ist, dies als (¬B) → A aufzufassen. Dann ergibt sich
(¬ Vollmond)→((Nacht ∧ Fahren ∧¬ Licht) → ¬ Sehen).
Man könnte A, es sei denn, B aber auch als A ↔ (¬B) auffassen, dann ergibt sich
((Nacht ∧ Fahren ∧¬ Licht) → ¬ Sehen) ↔ (¬ Vollmond).
Die Mehrdeutigkeit im obigen Beispiel wird im folgenden behoben, weil gesagt wird,
was im Fall, dass Sonntag ist, eintritt:
3
2 Aussagenlogik
Aufgabe 2.1. Erklären Sie den Aufbau (die Syntax) folgender Aussage:
Entweder es regnet oder die Glocken läuten, es sei denn, es ist Sonntag, denn
dann passiert beides.
Lösung Eine Möglichkeit ist
((¬ Sonntag) → (Regen ∨ Glocken)) ∧ (Sonntag ↔ (Regen ∧ Glocken))
2.2 Logische Äquivalenz von Aussageformeln
Verschiedene Kombinationen von Verknüpfungen können zu Aussageformeln führen,
die unterschiedlich aussehen (=unterschiedliche Syntax), aber denselben Wahrheitswert
haben (=gleiche Semantik). In dem Fall nenen wir die Aussageformeln logisch äquivalent
und schreiben “⇔”.
Beispiel 2.2.
1. Doppelte Negation:
A ⇔ ¬(¬A)
2. Bezeichnet w die wahre und f die falsche Aussage (üblich sind auch > und ⊥), so
gilt:
A∨f ⇔A⇔A∧w ⇔A
A ∧ f ⇔ f.
3. Trivialerweise gilt
A ∨ (¬A) ⇔ w.
Aussageformeln, die logisch äquivalent zur wahren Aussage sind, nennt man Tautologien. Weitere Tautologien sind A → A und A ∨ w.
4. Weniger offensichtlich ist vielleicht
A → B ⇔ (¬A) ∨ B.
Zum Beweis bestimmen wir die Wahrheitstabelle der rechten Seite:
A wahr (also ¬A falsch)
A falsch (also ¬A wahr)
B wahr
B falsch
wahr
wahr
falsch
wahr
Diese stimmt mit der Wahrheitstabelle der linken Seite überein (vgl. Tabelle 1).
5. Kontraposition:
(A → B) ⇔ (¬B → ¬A).
4
2 Aussagenlogik
6. de Morgansche Regel:
¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B).
7. Distributivgesetze:
(A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C),
(A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C).
Diese Äquivalenzen könnten wir mit dreidimensionalen Wahrheitstabellen beweisen.
Praktischer ist hier aber ein Beweis durch eine Fallunterscheidung nach dem
Wahrheitsgehalt von C. Wir führen dies für die erste behauptete Äquivalenz durch:
• Ist C wahr, so sind (A ∧ B) ∨ C, A ∨ C, B ∨ C und damit auch (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
wahr.
• Ist C falsch, so gilt (A ∧ B) ∨ C ⇔ A ∧ B und (A ∨ C) ⇔ A sowie (B ∨ C) ⇔ B.
Aufgabe 2.2. Bilden Sie die korrekte Negation der Aussage
Wenn Winter ist, liegt Schnee
Was halten Sie von folgenden Vorschlägen?
(1) Wenn kein Winter ist, liegt Schnee
(2) Wenn Winter ist, liegt kein Schnee
(3) Wenn Winter ist, muss nicht unbedingt Schnee liegen
Lösung Wir schreiben die Implikation
(Winter → Schnee)
als Disjunktion
(¬ Winter) ∨ Schnee,
erhalten den de-Morganschen Regeln zufolge als Negation
Winter ∧¬Schnee,
also
Es ist Winter und es liegt kein Schnee.
Die Aussagen 1.-3. sind hingegen keine korrekte Negation.
Aufgabe 2.3. Bilden Sie die Negation der folgenden Aussage:
5
2 Aussagenlogik
Entweder es regnet oder die Glocken läuten, es sei denn, es ist Sonntag, denn
dann passiert beides.
Lösung Wir hatten die logische Struktur der Aussage wie folgt erfasst:
((¬ Sonntag) → (Regen ∨ Glocken)) ∧ (Sonntag ↔ (Regen ∧ Glocken))
Nun wenden wir die de-Morganschen Regeln an. Die Negation von
(¬ Sonntag) → (Regen ∨ Glocken)
ist
(¬ Sonntag) ∧ (¬ Regen) ∧ (¬ Glocken)
und die Negation von
Sonntag ↔ (Regen ∧ Glocken),
ist
((¬ Sonntag) ∧ Regen ∧ Glocken) ∨ (Sonntag ∧ ¬(Regen ∧ Glocken)).
Insgesamt erhalten wir nach Anwendung eines Distributivgesetzes
(Es ist nicht Sonntag und es regnet nicht und die Glocken läuten) oder (es ist
nicht Sonntag und es regnet und es läuten die Glocken) oder (es ist Sonntag
und (die Glocken läuten nicht oder es regnet nicht).
2.3 Einschub: eine universelle logische Verknüpfung
Die vorherigen Beispiele zeigen, dass man in Aussageformeln
• die Implikation durch eine Disjunktion und Negation und
• jede Disjunktion durch eine Konjunktion und Negationen
ersetzen kann, ohne den Sinn (die Semantik) zu ändern. Tatsächlich kann man jede
¯ B. Diese
mögliche logische Verknüpfung mit der sogenannten NAND-Verknüpfung A∧
bedeutet ¬(A ∧ B), hat also die Wahrheitstabelle
Tabelle 3: Wahrheitstabelle der NAND-Verknüpfung
A∧B
A wahr
A falsch
B wahr
B falsch
falsch
wahr
wahr
wahr
6
2 Aussagenlogik
Aufgabe 2.4. Welchen Wahrheitswert hat
¯ (A∧
¯ A)?
A∧
Aufgabe 2.5. Finden Sie jeweils eine Aussageformel, die nur die NAND-Verknüpfung
benutzt und logisch äquivalent ist zu
(1) ¬A,
(2) A → B,
(3) A ∨ B.
2.4 Logische Schlussregeln
Seien φ und ψ Aussageformeln, also logische Verknüpfungen von Variablen A, B, . . ., die
für Aussagen stehen. Wir schreiben φ ⇒ ψ und sagen, dass φ logisch ψ impliziert, wenn
folgende Bedingung erfüllt ist: jede Kombination von Wahrheitswerten für A, B, . . ., die
φ zu einer wahren Aussage macht, macht auch ψ zu einer wahren Aussage. Insbesondere
gilt also φ ⇔ ψ genau dann, wenn φ ⇒ ψ und ψ ⇒ φ.
Einige wichtige Schlussweisen sind:
• Modus ponens:
A ∧ (A → B) ⇒ B:
Warum? Ist die linke Seite wahr, so ist
– A wahr
– A → B wahr und A wahr, also auch B wahr.
• Modus tollens:
(A → B) ∧ (¬B) und ¬A:
Dies kann man wieder mit einer Wahrheitstabelle beweisen: Ist die linke Seite wahr,
so ist
– ¬B wahr, also B falsch
– (A → B) wahr und B falsch, also A falsch.
Alternativ kann man mit Hilfe der Kontraposition den Modus tollens auf den Modus
ponens zurückführen: (A → B) ∧ (¬B) ⇔ (¬B → ¬A) ∧ (¬B) ⇒ ¬A.
• Kettenschluss:
(A → B) ∧ (B → C) ⇒ (A → C):
Zum Beweis nehmen wir an, dass die linke Seite wahr ist, und führen eine Fallunterscheidung durch:
7
2 Aussagenlogik
– Sei A wahr.
∗ Da A → B und A wahr sind, muss auch B wahr sein.
∗ Da B → C und B wahr sein, muss auch C wahr sein.
Insbesondere ist in dem Fall A → C wahr.
– Sei A falsch. Dann ist A → C automatisch wahr.
• logischer Ausschluss:
(A ∨ B) ∧ (¬B) ⇒ A:
Warum? Wenn die linke Seite wahr ist, muss
– ¬B wahr sein, also B falsch,
– A ∨ B wahr sein und, da B falsch ist, also A wahr sein.
• Beweis durch Widerspruch:
(¬A → B) ∧ (¬A → ¬B) ⇒ A
Mit Hilfe der Kontraposition und des Kettenschlusses sehen wir: (¬A → B)∧(¬A →
¬B) ⇔ (¬A → B) ∧ (B → A) ⇒ (¬A → A) ⇔ A ∨ A ⇔ A.
2.4.1 Was ist ein Beweis?
Ein Beweis zeigt, wie aus einer Aussage (der Voraussetzung/Annahme) eine weitere
Aussage (die Behauptung) durch Anwendung der oben genannten logischen Schlussregeln folgt. Im Prinzip kann man dann die Korrektheit eines solchen Beweises einfach
formal/maschinell überprüfen (lassen).
Das Finden eines Beweises ist eine viel schwierigere Aufgabe, bei der Algorithmen nur
in einem jeweils eng umrissenem Kontext helfen können. Ein bekanntes Beispiel ist der
Beweis des Vier-Farben-Satzes mit Hilfe einer sehr umfangreichen Fallunterscheidung,
die maschinell durchgegangen wurde.
Das Aufstellen von nützlichen Definitionen und Sätzen schließlich ist meines Erachtens
eine kreative Aufgabe, die (im Moment) weit jenseits des maschinell Machbaren liegt.
2.5 Abschluss-Logelei
Aufgabe 2.6. Rubin, Sarah, Omar und Viola malen im Kunstunterricht eine Wand mit
gelber Farbe an. Plötzlich wird der Farbeimer (von einem der vier) umgestoßen und die
Farbe breitet sich im ganzen Kunstraum aus. Wer war es nun?
1. Rubin sagt:
“Sarah hat die Farbe verschüttet. Ich war es nicht!”
2. Daraufhin sagt Sarah:
8
3 Prädikatenlogik (erster Stufe)
“Omar hat es getan; Rubin war es wirklich nicht.”
3. Omar meint:
“Sarah war es nicht; ich habe die Farbe umgestoßen.”
4. Viola sagt:
“Omar war es nicht; Rubin hat die Farbe umgekippt.”
Bei jedem Schüler ist eine der Aussagen wahr und eine falsch. Wer war es denn nun?
Lösung
Wäre Rubins erste Aussage wahr, so auch die zweite. Also ist die erste falsch, die
zweite wahr, und weder Sarah noch Rubin waren es. Dann ist Sarahs zweite Aussage
war und die erste falsch, also war es auch Omar nicht. Dann bring Omars Aussage keine
Neuigkeit; die erste ist wahr, die zweite falsch. Dann ist Violas erste Aussage wahr und
die zweite falsch, also war es auch nicht Rubin. Somit muss es Viola gewesen sein.
3 Prädikatenlogik (erster Stufe)
3.1 Elemente der Prädikatenlogik
Mathematiker studieren nicht einzelne atomare Aussagen und deren logische Verknüpfungen, sondern mathematische Strukturen wie die natürlichen Zahlen, die reellen Zahlen,
Vektorräume etc. Wenn wir Aussagen über Elemente solcher Strukturen treffen wollen,
wie zum Beispiel
für alle natürlichen Zahlen a, b, p gilt: ist p eine Primzahl und Teiler von a · b,
so ist p ein Teiler von a oder von b,
so benötigen wir dafür * Variablen wie a, b, p, die für Elemente einer (fest vereinbarten)
Grundmenge stehen, * Prädikate wie Primzahl oder teilt, die jeweils einen gewissen
Rang/eine Stelligkeit n haben (Primzahl 1, teilt 2) und dann jedem n-Tupel (a1 , . . . , an )
von Elementen der Grundmenge einen Wahrheitswert zuordnen, * Quantoren, um Aussagen zu quantifizieren.
Eine Formel bzw. Aussageform ist dann entweder
• von der Form R(x1 , . . . , xn ), wobei R ein n-stelliges Prädikat und x1 , . . . , xn freie
Variablen sind, oder
• eine logische Verknüpfung von Formeln φ und ψ (Negation / Disjunktion / Konjunktion / Implikation / . . . ); die freien Variablen der Verknüpfung sind dann alle
Variablen, die frei in φ oder ψ auftreten; oder
• eine Quantifizierung von der Form ∀x : φ oder ∃x : φ, wobei φ eine Formel und
x eine Variable ist, die durch den Quantor ∀ bzw. φ gebunden wird; die freien
Variablen der Quantifizierung sind dann alle freien Variablen von φ bis auf x.
9
3 Prädikatenlogik (erster Stufe)
Dadurch ist nur die Syntax/Schreibweise von Formeln erklärt. Die Semantik/Bedeutung
einer Formel mit freien Variablen x1 , . . . , xn ist, dass sie jeder Belegung der Variablen
einen Wahrheitsgehalt zuordnet. Eine Formel ohne freie Variablen heißt geschlossen. Sie
hat einen festen Wahrheitsgehalt und ist somit eine Aussage.
Beispiel 3.1. Wir betrachten über der Grundmenge der natürlichen Zahlen die Formel
∀a : (a teilt p) → (a = 1 ∨ a = p).
Sie enthält p als freie Variable, während a durch den All-Quantor gebunden ist, und
ist genau dann wahr, falls p eine Primzahl ist.
Die Sprache der Prädikatenlogik enthält noch mehr Elemente, die vom Kontext abghängen (Konstanten, Funktionen). Manchmal betrachtet man nicht nur eine Grundmenge,
sondern mehrere, und gibt bei der Quantifizierung die jeweilige Grundmenge an, etwa
∀x ∈ N oder ∃x ∈ Z. Wir verzichten auf eine exakte Behandlung der Prädikatenlogik
erster Stufe, weil diese sehr aufwändig ist und für die praktische Arbeit keinen wirklichen
Gewinn bringt.
3.2 Negation von Quantoren
Die Negation von Quantoren erfolgt nach den de-Morganschen Regeln:
¬(∀x : φ) ist äquivalent zu ∃x : ¬φ
und analog
¬(∃x : φ) ist äquivalent zu ∀x : ¬φ.
Beispiel 3.2. Wir suchen die korrekte Negation der Aussage
Hunde, die bellen, beißen nicht.
Dazu formalisieren wir sie wie folgt:
∀h : bellen(h) → ¬ beißen(h)
Wir bilden schrittweise die Negation nach obiger Regel:
∃h : ¬( bellen(h) → ¬beißen(h))
∃h : ¬((¬ bellen(h)) ∨ ¬beißen(h))
∃h : bellen(h)∧beißen(h),
also
10
3 Prädikatenlogik (erster Stufe)
Es gibt einen Hund, der bellt und beißt.
Beispiel 3.3. Formalisieren Sie die folgende Aussage in der Sprache der Prädikatenlogik,
bilden Sie ihre Negation, und prüfen Sie den jeweiligen Wahrheitsgehalt:
In jeder Menge gibt es einen, wenn der einen Hut trägt, dann alle.
Lösung Wir schreiben die Aussage um als
∃x : H(x) → (∀y : H(y)).
Wir wenden die de-Morganschen Regeln an und erhalten als Negation
∀x : H(x) ∧ ¬∀y : H(y))
Wegen Distributivität ist das äquivalent zu
(∀x : H(x)) ∧ (∃y : ¬H(y))
Diese Konjunktion ist offenbar falsch. Somit ist die ursprüngliche Aussage richtig.
3.3 Reihenfolge von Quantoren
Direkt aufeinander folgende gleiche Quantoren dürfen vertauscht werden, wie etwa in
∀a : ∀b : φ und ∀b : ∀a : φ.
Vertauscht man die Reihenfolge von Existenz- und All-Quantoren, so ändert sich im Allgemeinen die Bedeutung!
Deswegen sollten Quantoren auch stets vor die Aussagen geschrieben und nicht hintenan
gestellt werden — sonst ist die Reihenfolge eben nicht eindeutig.
Beispiel 3.4. Wir bezeichnen die Aussageform
Person x trinkt gern Getränk y
mit P (x, y). Formulieren Sie dann folgende Aussagen mit Hilfe von Quantoren:
(1) Es gibt ein Getränk, das jeder mag.
(2) Jeder hat ein Getränk, das er mag.
(3) Jedes Getränk wird von jemandem gern getrunken.
(4) Es gibt jemanden, der alle Getränke mag.
(5) Es gibt jemanden, der ein Getränk mag.
11
4 Mengenlehre
Bilden Sie außerdem die Negation von (1) und (2).
Lösung
(1) ∃y∀x : P (x, y)
(2) ∀x∃y : P (x, y)
(3) ∀y∃x : P (x, y)
(4) ∃x∀y : P (x, y)
(5) ∃x∃y : P (x, y)
Die Negation von (1) beziehungsweise (2) sind
∀y∃x : ¬P (x, y)
und
∃x∀y : ¬P (x, y).
4 Mengenlehre
Die Prädikatenlogik formalisiert, wie Mathematiker mit Aussagen arbeiten. Die Mengenlehre formalisiert, worüber Mathematiker Aussagen treffen.
Während in der Informatik letztlich alle Daten nur Folgen aus Nullen und Einsen sind,
deren “Sinn” durch die richtige Interpretation entsteht, sind in der modernen Mathematik
(fast) alle mathematischen Strukturen wie Zahlen, Matrizen, Vektorräume und so weiter
Mengen.
4.1 Der naive Mengenbegriff
Georg Cantor (1845-1918) hat die Mengenlehre popularisiert und folgende Definition
vorgeschlagen:
Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens
(welche die Elemente der Menge M genannt werden) zu einem Ganzen.
Dieser naive Mengenbegriff führt schnell zu Widersprüchen wie z.B. das von Bertrand
Russell (1872-1970) formulierte Paradoxon:
Der Barbier in einer Stadt rasiere all die, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert
der Barbier sich selbst?
Die mengentheoretische Einkleidung wäre:
Sei M die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Enthält M
sich selbst?
Beide Antworten führen sofort zu einem Widerspruch.
12
4 Mengenlehre
4.2 Das Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem
Zur Vermeidung von Paradoxa haben Ernst Zermelo (1871-1953) und Adolf Fraenkel
(1891-1965) von 1907 bis 1930 ein Axiomensystem der Mengenlehre (kurz ZFC) entwickelt,
das eingrenzt, wie Mengen gebildet werden dürfen. Als Grundlage benutzten sie die
Prädikatenlogik, wobei
• die Variablen für Mengen stehen (die “Grundmenge” wird also von allen Mengen
gebildet),
• nur die zweistelligen Prädikate x ∈ y, x 6∈ y, x = y und x 6= y verwendet werden.
Wir besprechen im Folgenden die wichtigsten Axiome.
Das Extensionalitätsaxiom
∀a∀b : (a = b ↔ ∀x : (x ∈ a) ↔ (x ∈ b)),
d.h. zwei Mengen a und b sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente
haben.
Definition 4.1. Wir nennen eine Menge a Teilmenge einer Menge b und schreiben
a ⊆ b,
falls jedes Element von a auch Element von b ist.
Aufgabe 4.1. Formulieren Sie die obige Bedingung in der Sprache Prädikatenlogik.
Lösung
∀x : (x ∈ a) → (x ∈ b).
Insbesondere gilt damit:
a = b ⇔ a ⊆ b ∧ b ⊆ a.
Will man zeigen, dass zwei Mengen gleich sind, so prüft man meist die rechte Bedingung.
Das Nullmengenaxion
∃a∀x : x 6∈ a,
d.h. es gibt eine leere Menge, die keine Elemente hat.
Diese leere Menge ist dem Extensionalitätsaxiom nach eindeutig und wird mit ∅ oder
{} bezeichnet.
Aus ihr werden letztlich alle anderen Mengen aufgebaut.
Aufgabe 4.2. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
13
4 Mengenlehre
(1) ∀b : ∅ ∈ b
(2) ∀b : ∅ ⊆ b
Lösung
1. ist falsch, weil z.B. ∅ 6∈ ∅. 2. ist hingegen wahr.
Das Paarmengenaxiom
∀a∀b∃c∀x : (x ∈ c) ↔ ((x = a) ∨ (x = b)),
d.h., sind a und b Mengen, so gibt es eine Paarmenge {a, b}, deren Elemente
genau a und b sind.
Dazu einige Bemerkungen:
• Im Fall a = b setzt man {a} := {a, a}.
• Die Menge {∅} hat genau ein Element, die leere Menge; insbesondere gilt ∅ =
6 {∅}.
• Für alle Mengen a, b, c, d gilt {a, b} = {b, a} und {a, b} = {c, d} genau dann, wenn
(a = c und b = d) oder (a = d und b = c).
Folgende Konstruktion bildet aus zwei Elementen eine neue Menge, die sich sozusagen
neben den Elementen auch deren Reihenfolge merkt:
Definition 4.2. Das geordnete Paar oder (Kuratowski-Paar) zweier Mengen a und b
definiert man mit Hilfe des Paarmengenaxiomes als
(a, b) := {{a}, {a, b}}.
Lemma 4.1. Für alle Mengen a, b, c, d gilt: (a, b) = (c, d) ↔ (a = c ∧ b = d).
Beweis. Die Implikation ⇐ ist offensichtlich. Ich skizziere nur, wie man aus (a, b) = (c, d)
die Gleichung a = c folgern kann:
Sei (a, b) = (c, d). Aus {a} ∈ (a, b) = (c, d) folgt {a} = {c} oder {a} = {c, d}.
• Im Fall c = d folgt {a} = {c}.
• Im Fall c =
6 d hat {c, d} zwei Elemente und {a} nur eins, also muss {a} = {c}
gelten.
Es gilt also {a} = {c} und somit a = c.
Ähnliche Fallunterscheidungen und Argumente liefern dann auch b = d.
Induktiv definiert man dann zu Mengen a1 , a2 , ... das geordnete Tripel
(a1 , a2 , a3 ) := ((a1 , a2 ), a3 )
und das geordnete n-Tupel
(a1 , ..., an ) := ((a1 , ..., an−1 ), an ) = (((a1 , a2 ), a3 ), ...), an ).
14
4 Mengenlehre
Das Vereinigungsaxiom
∀a∃c∀x : (x ∈ c ↔ ∃b : x ∈ b ∧ b ∈ a),
S
d.h. für jede Menge a gibt es eine Vereinigungsmenge a, die die Vereinigung
der Elemente von a ist.
Beispiel 4.1. *
•
S
S
{{a}, {{c}, d}} = {a, {c}, d}
{∅, {∅}, {∅, {∅}}} = {∅, {∅}}
Die Vereinigung zweier Mengen a, b definiert man nun mit Hilfe des Paarmengen- und
Vereinigungsaxioms als
a ∪ b :=
S
{a, b}.
Damit können wir nun induktiv zu gegebenen Mengen a1 , a2 , . . . , an die Mengen
{a1 , a2 , a3 } = {a1 , a2 } ∪ {a3 }, . . . , {a1 , . . . , an } = {a1 , . . . , an−1 } ∪ {an }
bilden.
Das Potenzmengenaxiom
∀a∃c∀x : (x ∈ c ↔ x ⊆ a),
d.h. für jede Menge a gibt es eine Potenzmenge P(a), deren Elemente genau
die Teilmengen von a sind.
15