1. Klausur — Aufgaben - math.uni

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Mathematik für Informatiker I
27. Februar 2004
Wintersemester 2003/4
Priv.-Doz. Dr. Dirk Hachenberger
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1. Klausur — Aufgaben
Physik-Hörsaalgebäude 1001, 1002, 1004
9.30-12.30 Uhr
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Aufgabe 1 (4 21 Punkte) Es seien A und B logische Aussagen. Bestimmen Sie
die Wahrheitstafel der folgenden aus A und B zusammengesetzten Aussage:
([(¬A) ⇒ B] ∨ [(¬B) ∧ A]) xor [A ⇔ (¬B)] .
Beschreiben Sie in Ihrer Tafel dazu auch die Wahrheitswerte der Teilaussagen der einzelnen [...]-Terme.
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Aufgabe 2 (5 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Zahl
7
1 5 1 3
n + n + n
5
3
15
für jedes n ∈ N eine natürliche Zahl ist.
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Aufgabe 3 (6 Punkte) Bestimmen Sie mit dem erweiterten Euklidischen
Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a = 4869 und
b = 1323, sowie ganze Zahlen x und y mit xa + yb = ggT(a, b).
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Aufgabe 4 (3 21 Punkte) Auf der Menge N × N∗ ist eine Relation ⊑ definiert
durch
(a, b) ⊑ (c, d) : ⇔
es gibt eine gerade Zahl n ∈ N
und eine ungerade Zahl m ∈ N∗
mit a + n = c und b · m = d.
Zeigen Sie, dass es sich bei ⊑ um eine partielle Ordnung handelt.
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Aufgabe 5 (7 Punkte) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden über
dem Körper Q der rationalen Zahlen gegebenen Gleichungssystems:
2x1 − 4x2 + x3 + 3x4 + x5 + 2x6 =
3
x1 − 2x2 − x3
+ 5x5 + x6 =
0
−3x1 + 6x2 + x3 − 2x4 − 9x5 + 3x6 = −2
Transformieren Sie dazu die erweiterte Koeffizientenmatrix mit dem GaußAlgorithmus auf normierte Treppengestalt; machen Sie Ihre Pivoteinträge
kenntlich und protokollieren Sie Ihre Elementarumformungen. Bestimmen
Sie die Standardlösung y und die Basis {hl : l ∈ χc } des zugehörigen homogenen Systems.
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Aufgabe 6 (6 Punkte) Es sei Kn der n-dimensionale Spaltenraum über
einem Körper K. Zu F ∈ Kn,n und f ∈ Kn ist eine Abbildung ϕ definiert
durch
ϕ : Kn → Kn , x 7→ F x + f.
(a) Zeigen Sie: Ist F invertierbar, so ist ϕ bijektiv. Zeigen Sie ferner, dass
es dann eine Matrix G ∈ Kn,n und einen Vektor g ∈ Kn gibt mit
ϕ−1 (x) = Gx + g,
wobei ϕ−1 die Umkehrfunktion von ϕ ist.
(b) Es seien nun konkret n = 3, K = F2 der binäre Körper und ϕ sei
bestimmt durch
 


0
1 1 1

1  ∈ F32 .
sowie
f
:=
F :=  1 1 0  ∈ F3,3
2
1
0 1 1
3
Berechnen Sie die zu ϕ−1 gehörenden Daten G ∈ F3,3
2 und g ∈ F2 .
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Aufgabe 7 (5 Punkte) Auf Z × Z ist durch
(a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d + ac)
eine Verknüpfung ⊕ definiert. Zeigen Sie, dass Z × Z bzgl. ⊕ eine kommutative Gruppe ist.
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Viel Erfolg!