Mathematik Anders Machen

Mathematik Anders Machen
Eine Initiative zur Lehrerfortbildung
Materialien zum Kurs
Problemorientierung im Mathematikunterricht
Referenten
Prof. Dr. Torsten Fritzlar
und
Stephanie Schiemann
Projektleiter: Prof. Dr. Günter Törner
Fachbereich Mathematik
Universität Duisburg-Essen
Projektleiter: Prof. Dr. Jürg Kramer
Institut für Mathematik
Humboldt Universität zu Berlin
Problemorientierung im
Mathematikunterricht
Theoretische Impulse und praktische Erfahrungen
Torsten Fritzlar & Stephanie Schiemann
Gymnasium i. E. Sottrum
Mathematik Anders Machen
„Der Mensch soll lernen. Nur die Ochsen büffeln.“
Erich Kästner
„Büffeln kann jeder; verstehen brauch Zeit.“
Friedrich Dürrenmatt
Mathematik Anders Machen
Mathematik Anders Machen
Mathematik Anders Machen
Was ist ein Problem?
Mathematik
Anders Machen
Ein Projekt der
Deutsche Telekom Stiftung
Gymnasium i. E. Sottrum
Mathematik Anders Machen
Was ist ein Problem?
Wie lässt sich der Begriff „Problem“ in einer Weise
definieren, die auch für mathematische Probleme bzw.
Probleme für den Mathematikunterricht zutrifft?
 Lassen Sie uns Gedanken(splitter) in einer Mindmap
zusammentragen.
Definitionsvorschläge
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Klassische Problemtypen (Psychologie)
Schachspiel
9-Punkte-Problem
Ich möchte einen
schönen Urlaub haben.
Mir soll es
besser gehen.
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Eine Aufgabentypisierung
„didaktische Inversionen“;
untypisch für authentisches
Mathematiktreiben
Mathematik Anders Machen
Büchter & Leuders 2005
Mathematik Anders Machen
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Mathematik Anders Machen
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Mathematik Anders Machen
Mathematik Anders Machen
Mathematik Anders Machen
Mathematische Problemwerkstatt
Gymnasium i. E. Sottrum
Mathematik Anders Machen
Problemwerkstatt


Vorstellung der vier Problem-Stationen auf Folien
Einteilung in vier Arbeitsgruppen
(möglichst 4 Teilnehmer pro Station)

Aufgabenstellung:
A) Bestimmen Sie einen Protokollanten in der Gruppe. Im
Protokoll soll stichwortartig der Problemlöseprozess
festgehalten werden.
B) Beschäftigen Sie sich in der Gruppe mit den
mathematischen Problemen eurer Problemstation.
C) Sind die Probleme nach Ihrer Meinung so im MU
einsetzbar oder welche Änderungen würden Sie
vorschlagen?
Mathematik Anders Machen
Wie löst man ein mathematisches
Problem?
Sie haben gerade einige Probleme bearbeitet. Wie sind Sie
dabei vorgegangen?
Problemlösemodelle
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Problemorientierter
Mathematikunterricht
Gymnasium i. E. Sottrum
Mathematik Anders Machen
Problemorientierter Mathematikunterricht
… ist ein Unterricht, in dessen Zentrum das eigenständige
Bearbeiten mathematischer Probleme durch die
Schülerinnen und Schüler steht.
 „Mathematik im Entstehen“, „Erfinden von Mathematik“,
die Erkenntnisprozesse beim Betreiben von Mathematik
stehen also im Vordergrund.
 langfristig: Erarbeiten von heuristischen Strategien für
Erkenntnis- und Problemlöseprozesse
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Leitideen eines problemorientierten
Mathematikunterrichts






entdeckend lernen
heuristisch arbeiten
vernetzen
kommunizieren und kooperieren
Mathematik
Mathematikgeschichte
Gesellschaft
differenzierend fördern
positive Einstellung zur und angemessenes Bild von
Mathematik
Pädagogik
Gehirnforschung
Psychologie
Philosophie
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Forderungen
„Problem solving should be the central focus of the
mathematics curriculum. As such, it is a primary goal of all
mathematics instruction and an integral part of all
mathematical activity. Problem solving is not a distinct
topic but a process that should permeate the entire program
and provide the context in which concepts and skills can be
learned.”
(NCTM, 1989)
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Zitat aus den Empfehlungen für den
Mathematikunterricht an Gymnasien 12/97, S.12
„Es ist auf Dauer nicht wirkungsvoll, Schülerinnen und
Schülern alles vorab kleinschrittig erklären zu wollen. Der
Lernprozess ist effektiver, wenn die Lernenden
Problemlösungen als Überwindung erlebter
Schwierigkeiten erfahren.
Immer wieder wird betont, dass in der Schule das Lernen
gelernt werden müsse. Dieses Unterrichtsziel wird durch
rein demonstrierenden Mathematikunterricht nicht erreicht.
Obwohl sich selbstverständlich nicht der gesamte Stoff in
entdeckendem Unterricht behandeln lässt, so müssen
gleichwohl die Phasen entdeckenden Lernens ausgebaut
werden.“
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Link: 2.5.5 Problemorientierung, S.15/16 und 5 (Fazit): Unterrichtskultur S.28
Forderungen
„Die Schülerinnen und Schüler lernen, sich auf Ungewohntes
einzulassen und in nicht bereits bekannten und ausreichend
gewohnten Situationen mathematische Lösungen zu
suchen. Sie werden angeleitet, sich zu Aufgaben und
Problemen mit mathematischem Inhalt zu äußern und
Aufgaben und Sachsituationen als mathematisches
Problem zu formulieren, verschiedene Lösungswege zu
finden und zu präsentieren. … In diesem Unterricht haben
die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit offene
mathematische Problemstellungen kooperativ zu
bearbeiten, miteinander zu kommunizieren und gemeinsam
nach Lösungen zu suchen.“
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(Bildungsplan BaWü 2004, Hauptschule)
Am 01.08.2008 tritt in Brandenburg der neue
Rahmenlehrplan Mathematik für die Sek. I
in Kraft
In der Sek. I sollen Schülerinnen und Schüler in der Auseinandersetzung mit
mathematischen Inhalten folgende Kompetenzen entwickeln, S. 12
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Da die herkömmliche Unterrichtspraxis
vielfach an der Vermittlung von
Fertigkeiten orientiert ist,
muss sich auch an der Unterrichtskultur
Grundlegendes ändern.
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Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für
die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.13
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Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für
die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.17
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Bildungsstandards,
Kopie aus dem Kerncurriculum 2006, S. 8
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Die Schülerinnen und Schüler werden zunehmend befähigt,
mathematische Probleme selbstständig zu bearbeiten und
können so Vertrauen in ihre Denkfähigkeit erlangen.
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Unterrichtsrealität
Mathematics lessons are generally of the exposition –
examples – exercises – mode.
(Schoenfeld, 1992)
„Mathematikunterricht in Deutschland [...] ist eher ein
Wissenserwerbsunterricht, der auf die Beherrschung von
Verfahren zielt“ und in dessen Schülerarbeitsphasen
„nahezu ausschließlich Routineprozeduren“ geübt werden.
(Baumert et al. 1997:215)
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Das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch, das oft auf
eine einzige Lösung hinzielt, ist zentrales Element des
Mathematikunterrichts in Deutschland.
(TIMSS; Krainer 2002; Blömeke, Eichler & Müller, 2003)
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Contra Problemorientierung (?)

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Stofffülle und der daraus resultierende Zeitdruck
Schülervorstellungen vom und –erfahrungen aus dem
Mathematikunterricht
Elternerwartungen
Prüf- und Bewertungszwänge
sprachliche Schwierigkeiten von Schülerinnen und
Schülern
Eignung nur für leistungsstarke Schüler
„Das mach ich doch sowieso schon!“
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Weitere (?) Argumente


zentrale Vergleichs- und Abschlussarbeiten
Klagen der Arbeitgeber über einen zunehmenden Mangel
an Kenntnissen und Fertigkeiten der Schulabgänger
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Ein Beispiel: Belinda
 Studentin mit Hauptfach Mathematik im letzten Semester
der universitären Ausbildung, 23 Jahre, Vorerfahrungen
durch ein Praxisseminar zur Arbeit mit mathematisch
interessierten und begabten Schüler(inne)n
 Auftrag: In einer 5. Klasse soll eine Mathematikstunde zu
den Fibonaccizahlen problemorientiert gestaltet werden.
Verschiedene Problemstellungen werden bereitgestellt, sie
müssen aber nicht gewählt und können variiert werden.
 Belinda entscheidet sich für „Über den Fluss“
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Belinda
Belindas Schüler(innen) sollen
 als Hauptziel der Stunde die Fibonacci-Zahlen kennen lernen,
 sich aktiv mit einer problemhaltigen Aufgabe auseinandersetzen,
 sensibilisiert werden für den Umgang mit relativ offenen
Aufgabenstellungen und lernen, wie man mit ihnen umgeht,
 vielfältige Ideen entwickeln, ausprobieren und die Lösungen
überprüfen.
 Durch die Arbeit in Gruppen sollen auch die sozialen Kompetenzen
der Schüler gesteigert werden. Sie sollen lernen, gemeinsam zu
arbeiten, sich gegenseitig zu berücksichtigen und zu helfen und
schließlich gemeinsam in der Gruppe zu einer Lösung kommen.
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„… das hat sie ganz gut
gemacht, sehr klar, sehr
überschauend und auch so
altersgemäß ganz gut …
Ich fand die Stunde gut, weil
ich eigentlich `n Freund
davon bin, dass man
spielerische Anteile in den
Stunden drin hat …“
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transmissive …
constructivist …
… way of teaching
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Aber
 On the one hand, they are “in charge and responsible for
the students’ activities. They decided what topics would be
worked on and they had their own ideas of what
knowledge students should acquire during the lessons.“
 On the other hand, they want „the students to find out for
themselves: to invent solutions to problems and to prove
their validity”.
(Elbers zitiert nach Stehlikova, 2006)
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Wichtige unterrichtsbezogene
Aspekte von Problemen
Gymnasium i. E. Sottrum
Mathematik Anders Machen
Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte
von Problemen
 Aktivierung
 kognitiv
 motivational
 emotional
 Authentizität
 außermathematisch
 innermathematisch (prozessbezogen)
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Authentizität
Bei Authentizität geht es nicht nur um oberflächlichen
Realismus, sondern vor allem um die folgenden Aspekte:
 Welches Bild von Mathematik wird vermittelt bzw.
entsteht bei der Bearbeitung der Aufgaben?
 In welchem Verhältnis stehen die Aufgaben zu den
Bildungszielen des Mathematikunterrichts?
 Welche Qualität haben die mathematischen Tätigkeiten,
zu denen die Aufgaben anregen?
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Authentisches Modellieren
Schülerinnen und Schüler sollen Modellierungskompetenzen
erwerben, die Wirkungsweise des Erkenntnis- und
Gestaltungswerkzeuges Mathematik erleben und die
Mathematikhaltigkeit unserer Welt erkennen. Authentische
Modellierungsaufgaben müssen daher echte, sowohl
einfache als auch komplexe Anwendungsbezüge von
Mathematik aufzeigen.
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Authentisches Modellieren
Modellierungsaufgaben sollen nicht
 nur gefällige, aber künstliche Einkleidungen
mathematischer Verfahren sein,
 nur oberflächlich-assoziative Mathematisierungen ohne
echten Blick auf Realsituationen sein,
 mit Ergebnissen aus dem Modell ohne Rückbezug auf
die Realsituation enden.
Wie lang ist eine Schallplattenrille?
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Authentisches Problemlösen
Schülerinnen und Schüler sollen Problemlösekompetenzen –
insbesondere flexible Problemlösestrategien und eine
angemessene Problemlösehaltung – aufbauen.
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Authentisches Problemlösen
Problemstellungen sollten nicht
 Pseudoeinkleidungen in reale Kontexte als echte Anwendungen ausgeben
(sie dürfen aber durchaus für eine bessere Zugänglichkeit und
Kommunizierbarkeit in einfache Situationen eingebettet werden),
 scheinoffen sein, also nur einen Weg zu einem vorbestimmten Ziel
ermöglichen,
 Knobeleien sehr begrenzter Reichweite (hochspezifische Vorgehensweise,
0-1-Aufgaben) sein.
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Authentisches Argumentieren
Schülerinnen und Schüler sollen bei der Beschäftigung mit
Mathematik Argumentationskompetenzen entwickeln.
Dazu gehört der Aufbau einer rationalen
Begründungskultur ebenso wie ein angemessener Umgang
mit Fehlern.
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Authentisches Argumentieren
Argumentationsaufgaben sollten nicht
 den Wert einer Begründung an ihrer formalen Ausdrucksweise
messen,
 routinemäßigen Begründungsphrasen Vorschub leisten,
 die Anwendung der bewiesenen Behauptung auf die
Ausgangssituation übergehen.
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Authentisches Begriffsbilden
Schülerinnen und Schüler sollen aktiv am Prozess der
mathematischen Begriffsbildung beteiligt sein. Sie sollen
mit mathematischen Begriffen Zusammenhänge erfassen
und ein vernetztes mathematisches Wissen aufbauen.
Dabei sollen sie auch das Entstehen mathematischer
Begriffe aus der Anschauung und aus dem Problemlösen
erleben.
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Authentisches Begriffsbilden
Begriffsbildungsaufgaben sollten nicht
 fertige mathematische Begriffe lediglich einkleiden,
 Begriffe durch Mitteilen von Definitionen „vermitteln“,
 Unterschiede zwischen mathematischen und Alltagsbegriffen
vernachlässigen,
 eine Exploration und Anwendung neuer Begriffe vernachlässigen.
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Authentizität
 Mathematikaufgaben sind authentisch, wenn sie Schülerinnen und
Schüler zu mathematischen Tätigkeiten anregen, die typisch für die
Entstehung und Anwendung von Mathematik sind.
 „Authentisch von der Sache her ist eine Problemstellung, wenn sie
inner- oder außermathematisch relevant ist; dies setzt auch voraus,
dass es sich tatsächlich um originäres mathematisches Denken – auf
welchem Niveau auch immer – handelt und nicht um dessen
curriculare Simulation oder formale Imitation, nicht um dessen
Verschleifung in Plantagenaufgaben, die ihren Sinn längst ausgehaucht
haben. Authentisch von den Lernenden her, also für den Lernenden,
ist eine Problemstellung, wenn diese sich ihrer tatsächlich annehmen,
sich auf sie einlassen, wobei dieser zweite Punkt unterrichtlich der
entscheidende ist.“ (T. Jahnke)
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Grenzen der Authentizität
 SuS können nicht die gesamte Mathematik nacherfinden,
auch aus Normierungsgründen muss ein gewisser Teil
vorstrukturiert und fertig in den Unterricht mitgebracht
werden.
 Lernen im „Schonraum Schule“ kann niemals volle
Authentizität erlangen. Beispielsweise bleiben Fehler ohne
schwerwiegende Konsequenzen, für Lernprozesse sind sie
sogar erwünscht.
 Das Lernpensum übersteigt quantitativ und qualitativ die
Dinge, die in „echten“ Situationen gelernt werden können.
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(Büchter & Leuders, 2005)
Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte
von Problemen
 Aktivierung
 kognitiv
 motivational
 emotional
 Authentizität
 außermathematisch
 innermathematisch (prozessbezogen)

Offenheit
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Eine Schulbuchaufgabe
Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine
Grundgebühr von 2,50 Euro. Zeichne den Graphen der
Funktion Weg Preis.
Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge? Wie weit kann
man für 11,50€ fahren?
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„Öffnungen“
Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine
Grundgebühr von 2,50 Euro.
Stelle dies geeignet dar.
Erfinde ein Tarifmodell für einen Taxifahrer und stelle dies
graphisch dar. Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge?
Wie kann ein Tarifmodell aussehen, bei dem man für 11,50€
eine Strecke von 10km fahren kann?
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Techniken zum Öffnen von Aufgaben
 Variation der Ausgangssituation, Weglassen von Vorgaben
oder Informationen
 Öffnen des Bearbeitungsweges oder der Darstellungsart
 Öffnen des Zielzustandes
 Umkehr von Aufgaben
 Aufforderung zur Begründung / Strategiefindung
 Anwendungssuche für Modelle / Verfahren
 (vorwegnehmende Platzierung im Unterricht)
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Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte
von Problemen
 Aktivierung
 kognitiv
 motivational
 emotional
 Authentizität
 außermathematisch
 innermathematisch (prozessbezogen)


Offenheit
Differenzierungsvermögen
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Aufgaben mit gestuften
Anforderungsniveaus
 nicht geeignet:
 Ausweitung des technischen Aufwands
 Zerlegung eines längeren Bearbeitungsweges

sondern:
 Variation der Anforderungsart
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Parallele Aufgaben
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Parallele Aufgaben
 Variationen bezüglich
 Fülle: Reichhaltigkeit oder Vielgestaltigkeit der zu bearbeitenden
Beispiele
 Abstraktion: konkrete Objekte vs. ikonische vs. symbolische
Repräsentationen
 Komplexität: Transfer auf komplexere Fälle
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„Selbstdifferenzierenden Aufgaben“
 Schüler können mit unterschiedlichen Fähigkeiten,
Zugängen und Arbeitsweisen Ergebnisse erzielen und
sinnvoll in den Unterrichtsprozess einbringen.
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Summenzahlen
Eine Zahl heißt Summenzahl, wenn sie als Summe
aufeinander folgender Zahlen aufgeschrieben werden kann.
5 ist eine Summenzahl, denn 5 = 2+3.
6 ist eine Summenzahl, denn 6 = 1+2+3.
13 ist eine Summenzahl, denn ...
weiter
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Doch für welche Zahlen gibt es mehrere Zerlegungen?
R. skizziert nebenstehende Tabelle, in der
Summenzahlen entsprechend der jeweils möglichen
Anzahl der Zerlegungen eingetragen werden sollen.
G. trägt in die rechte Spalte sofort 15 = 1+2+3+4+5
ein …
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*Alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, sind Summenzahlen.*
… *Das kann ich beweisen, beispielsweise mit 333, denn
333 = 110+111+112.*
S. kann auch schwierige Beispiele sehr schnell bearbeiten:
110 = 20+21+22+23+24 = 5+6+7+8+9+10+
11+12+13+14+15, denn *aus dem zweiten Teiler ergibt
sich die Mittelzahl.*
*Jede ungerade Zahl kann als Summe zweier Zahlen
dargestellt werden. Außerdem liefert jeder [weitere]
ungerade Teiler der Zahl [größer 1] eine weitere
Zerlegung.*
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