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Robert Plato
Übungsbuch zur numerischen Mathematik
Robert Plato
Übungsbuch zur
numerischen
Mathematik
Aufgaben, Lösungen und Anwendungen
2., überarbeitete Auflage
STUDIUM
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Dr. Robert Plato
Fachbereich Mathematik
Universität Siegen
Walter-Flex-Straße 3
57068 Siegen
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 2004
2., überarbeitete Auflage 2010
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow
Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
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berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1212-4
v
Vorwort zur zweiten Auflage
Für diese Neuauflage habe ich Aktualisierungen, Korrekturen und stilistische Änderungen vorgenommen, außerdem sind einige Aufgaben und dazugehörige Lösungen
hinzugekommen.
Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau Vanselow vom Verlag Vieweg/Teubner
möchte ich für die gewohnt gute Zusammenarbeit und Verbesserungsvorschläge
danken. Hinweise zu diesem Lehrbuch erreichen mich nun unter der Email-Adresse
[email protected].
Siegen, im Dezember 2009
Robert Plato
Vorwort zur ersten Auflage
In dem vorliegenden Buch werden Übungsaufgaben zur Numerischen Mathematik
und die dazugehörigen Lösungswege vorgestellt. Dabei werden die folgenden grundlegenden Themen behandelt:
Interpolation, schnelle Fouriertransformation und Integration,
direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme,
iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme,
numerische Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen
bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen,
und Eigenwertaufgaben bei Matrizen sowie Approximationstheorie.
Die in Vorlesungen oder durch ein Selbststudium erlernten Kenntnisse zu diesen
Themen lassen sich durch die hier vorgestellten Übungsaufgaben vertiefen, und die
dazugehörigen Lösungswege sollen eine Lernkontrolle ermöglichen.
In dem ersten Teil des Buches sind die Übungsaufgaben formuliert, darunter auch
einige Programmieraufgaben. Außerdem werden in diesem ersten Teil noch Anwendungen der diskreten Fouriertransformation in der Audio- und Bildkompression vorgestellt.
Im zweiten Teil des Buches finden Sie dann vollständige Lösungen zu den im
ersten Teil vorgestellten Übungsaufgaben. Die Ergebnisse zu den Programmieraufgaben sind allerdings aus Platzgründen zumeist nur teilweise wiedergegeben. Es ist
noch zu beachten, dass diese numerischen Ergebnisse je nach verwendeter Hardund Software geringfügig variieren können. Auf die Angabe der zugehörigen Codes
( die meisten davon sind von mir in C oder Matlab beziehungsweise Octave erstellt
worden ) wird ebenfalls aus Platzgründen verzichtet. Diese finden Sie teilweise auf
der zu dem vorliegenden Übungsbuch gehörenden Webpage
http://www.math.tu-berlin.de/numerik/plato/viewegbuch.
vi
Vorwort
Dort wird auch eine Liste der eventuell anfallenden Korrekturen zu diesem Übungsbuch erstellt.
Die vorgestellten “theoretischen Übungsaufgaben“ ( damit sind alle Aufgaben bis
auf die Programmieraufgaben gemeint ) sind in erster Linie für Studierende der
Mathematik-, Physik- und Informatik-Studiengänge an Universitäten gedacht. Bei einigen der Aufgaben handelt es sich um reine Rechenaufgaben, die auch für andere
Studiengänge geeignet sind. Die verwendeten Notationen und Lösungshinweise orientieren sich an dem Buch [26]. Allerdings handelt es weitgehend um standardisierte
Bezeichnungen, so dass die Übungsaufgaben und deren Lösungen auch gut in Begleitung zu anderen einführenden Monografien über Numerik einsetzbar sein sollten.
Die meisten der hier vorgestellten Übungsaufgaben sind von mir als betreuender
Assistent in Numerikvorlesungen an der TU Berlin verwendet worden. Einige dieser
Aufgaben habe ich dabei aus früheren Lehrveranstaltungen übernommen und stammen nicht von mir. Ein paar der in diesem Buch verwendeten Übungsaufgaben sind
dann noch an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel entstanden, wo ich in den
Jahren 2000 bis 2002 Numerikvorlesungen gehalten habe.
Ich möchte abschließend Dipl. Math. Oliver Pfeiffer danken, der das Manuskript
gelesen und viele wertvolle Verbesserungsvorschläge gemacht hat. Selbstverständlich sind aber alle in diesem Übungsbuch auftretenden inhaltlichen und stilistischen
Mängel mir anzulasten. Dem DFG-Forschungszentrum “Mathematik für Schlüsseltechnologien“ ( FZT 86 ) in Berlin danke ich für Unterstützung und Frau SchmicklerHirzebruch sowie Frau Rußkamp vom Vieweg Verlag für die angenehme Zusammenarbeit.
Berlin, im August 2004
Robert Plato
vii
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
I Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 Polynominterpolation – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Splinefunktionen – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Diskrete Fouriertransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2 Diskrete Cosinustransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Audiokompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1 Audiosignale, Abtastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Speicherplatzbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3 Audioaufzeichnung in komprimierter Form . . . . . . . . . . . . 15
3.3.4 Die Dekodierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.5 MP3-Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Zweidimensionale diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Zweidimensionale diskrete Cosinustransformation . . . . . . . . . . . 21
3.6 Kompression digitaler Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.1 Speicherplatzbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6.2 Das Komprimierungsformat JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Kompression digitaler Videodateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Lineare Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Nichtlineare Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . 34
6 Numerische Integration – Aufgaben
. . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme – Aufgaben . . . . . . . . 39
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme – Aufgaben . . . . . . . 43
9 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Aufgaben. . 51
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer
Gleichungssysteme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11 Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Aufgaben . 61
12 Eigenwertprobleme – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Aufgaben
. . . . . . . 66
14 Peano-Restglieddarstellung – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 69
15 Approximationstheorie – Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
viii
Inhaltsverzeichnis
II Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1 Polynominterpolation – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2 Splinefunktionen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Diskrete Fouriertransformation – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Lineare Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Nichtlineare Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . 120
6 Numerische Integration – Lösungen
. . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen – Lösungen
. 159
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer
Gleichungssysteme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11 Verfahren der konjugierten Gradienten, und GMRES-Verfahren – Lösungen . 185
12 Eigenwertprobleme – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme – Lösungen
. . . . . . . 196
14 Peano-Restglieddarstellung – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . 203
15 Approximationstheorie – Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
1
Teil I
1
Aufgaben
Polynominterpolation – Aufgaben
Aufgabe 1.1. Für drei gegebene Funktionen f; g; h W R N D ! R und einen Häufungspunkt x 2 R N von D zeige man Folgendes:
(a) f . x / D O. g. x / / für D 3 x ! x H)
f . x / D O. g. x / / für D 3 x ! x .
(b) f . x / D O. g. x / / und g. x / D O. h. x / / für D 3 x ! x H) f . x / D O. h. x / / für D 3 x ! x .
(c) O. f . x / / O. g. x / / D O. . f g /. x / / für D 3 x ! x .
(d) O. O . f . x / / / D O . O. f . x / / / D O. f . x / / für D 3 x ! x .
Aufgabe 1.2. Man zeige Folgendes: Für gegebene paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 R ist die Abbildung R nC1 ! …n ; . f0 ; f1 ; : : : ; fn /> P linear,
wobei P das jeweilige Interpolationspolynom bezeichnet.
Aufgabe 1.3 (Hermite-Interpolation). Man zeige: Zu paarweise verschiedenen reellen
Zahlen x0 ; x1 ; : : : ; xr sowie nichtnegativen ganzen Zahlen m0 ; m1 ; : : : ; mr 2 N0 mit
P
r
./
2 R für D 0; 1; : : : ; mj 1 und
j D0 mj D n C 1 und vorgegebenen Zahlen fj
j D 0; 1; : : : ; r existiert genau ein Polynom P 2 …n mit der Eigenschaft
P ./ . xj / D fj./
D 0; 1; : : : ; mj 1;
j D 0; 1; : : : ; r:
für
Aufgabe 1.4. Zu paarweise verschiedenen reellen Zahlen x0 ; x1 ; : : : ; xn weise man
für die induzierten lagrangeschen Basispolynome Folgendes nach:
(a)
n
X
kD0
(b)
Lk . x / 1;
n
X
Lk . 0 / xks
kD0
8
<
D
1
0
:
.1/n x0 x1 xn
für s D 0;
für 1 s n;
für s D n C 1:
Aufgabe 1.5. Gegeben seien n C 1 paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ;
xn . Die Stützkoeffizienten bezüglich der ersten m C 1 Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xm ( mit
0 m n ) seien durch
k.m/ D
m
Y
sD0
s¤k
1
xk xs
definiert.
(a) Man weise für m 1 die Identität
für k D 0; 1; : : : ; m
Pm
kD0
k.m/ D 0 nach.
2
Kapitel 1 Polynominterpolation
(b) Man weise für m D 0; 1; : : : ; n 1 die folgende Rekursionsbeziehung nach:
k.mC1/ D
.m/
k
xk xmC1
für k D 0; 1; : : : ; m:
(c) Unter Ausnutzung der in (a) und (b) angegebenen Identitäten formuliere man
.n/
einen Algorithmus zur Berechnung der Stützkoeffizienten k für k D 0; 1; : : : ;
n. Außerdem bestimme man den dabei anfallenden Rechenaufwand in der Form
“anq C O. nq1 / arithmetische Operationen“.
Aufgabe 1.6. Zu n C 1 Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn seien die zugehörigen Stützkoeffizienten mit
k D
n
Y
sD0
s¤k
1
xk xs
für k D 0; 1; : : : ; n
bezeichnet. Die Stützstellen seien zudem äquidistant gelegen, xj D xj 1 C h für
j D 1; 2; : : : ; n. Man zeige Folgendes:
(a) Es gilt
k D . 1 /k
hn n nŠ k
für k D 0; 1; : : : ; n:
(b) Es gilt
0 D
hn
;
nŠ
k D k1
nkC1
k
für k D 1; 2; : : : ; n:
Aufgabe 1.7. Die Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn seien äquidistant gelegen, xj D xj 1 C h
für j D 1; 2; : : : ; n. Für zugehörige Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fn sind die aufsteigenden
Differenzen k fj 2 R der Ordnung k definiert durch
0 fj
k
fj
WD fj ;
WD j D 0; 1; : : : ; n;
k1
fj C1 k1
fj ;
j D 0; 1; : : : ; n k;
k D 1; 2; : : : ; n:
Man weise nach, dass das Interpolationspolynom P 2 …n zu den Stützpunkten
. x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / die Darstellung
P.x / D
n
k1
X
k f 0 Y
kD0
kŠhk
. x xs /;
x 2 R;
sD0
besitzt.
Aufgabe 1.8. Zu den drei Stützpunkten . xj ; tan2 . xj / / für j D 0; 1; 2 mit den Stützstellen x0 D =6; x1 D =4 und x2 D =3 berechne man unter Verwendung des
Schemas von Neville das zugehörige Interpolationspolynom.
3
Aufgaben
Aufgabe 1.9. Zu gegebenen paarweise verschiedenen Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2
R und Stützwerten f0 ; f1 ; : : : ; fn 2 R weise man für die zugehörigen dividierten
Differenzen Folgendes nach,
n
X
f Πx0 ; : : : ; xn D
fk
n
ı Y
. xk xs /:
sD0
s¤k
kD0
Aufgabe 1.10. ( Unabhängigkeit der dividierten Differenzen gegenüber der Anordnung der Stützpunkte ) Seien . x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xn ; fn / 2 R 2 und . y0 ; g0 /;
. y1 ; g1 /; : : : ; . yn ; gn / 2 R 2 Stützpunkte mit zugehörigen dividierten Differenzen
f Πx0 ; : : : ; xn und g Πy0 ; : : : ; yn . Man zeige: Wenn
¹ . xj ; fj / W j D 0; 1; : : : ; n º D ¹ . yj ; gj / W j D 0; 1; : : : ; n º
(1.1)
erfüllt ist, so gilt f Œ x0 ; : : : ; xn D gŒ y0 ; : : : ; yn :
Aufgabe 1.11. Man bestimme in der newtonschen Darstellung das Interpolationspolynom zu den folgenden Stützpunkten:
j
0
1
2
xj
5
2
1
0
1
fj
17
8
21
42
35
3
4
Im Folgenden bezeichnet C Πa; b die Menge der stetigen Funktionen f W Πa; b ! R,
und für r D 1; 2; : : : bezeichnet C r Œ a; b die Menge der r -fach stetig differenzierbaren
Funktionen f W Πa; b ! R.
Aufgabe 1.12. Man zeige, dass es zu jeder Funktion f 2 C Πa; b und paarweise
verschiedenen Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 Œ a; b sowie für " > 0 ein Polynom P gibt
mit
max jP. x / f . x /j
x 2 Πa;b P. xj / D f . xj /
";
für j D 0; 1; : : : ; n:
Aufgabe 1.13. Seien '0 ; '1 ; : : : ; 'n W C Πa; b ! R lineare Funktionale und V C Πa; b ein . n C 1 /-dimensionaler linearer Teilraum.
(a) Man zeige, dass die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe
bestimme v 2 V
mit
'j . v / D 'j . f /
für j D 0; 1; : : : ; n
(1.2)
genau dann für jedes f 2 C Œ a; b eindeutig lösbar ist, wenn die Funktion f D 0 nur
v D 0 als verallgemeinerte Interpolierende besitzt.
(b) Sei die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe (1.2) für jedes f 2 C Œ a; b eindeutig lösbar und Ln W C Œ a; b ! V der zugehörige Interpolationsoperator, das heißt,
Ln f D v . Man weise nach, dass Ln eine lineare Abbildung ist und für f 2 C Œ a; b gilt
Ln f D f
”
f 2 V:
4
Kapitel 1 Polynominterpolation
Aufgabe 1.14. Für paarweise verschiedene Stützstellen x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 Œ a; b bezeichne Ln W C Œ a; b ! …n den “Polynominterpolations-Operator“, das heißt,
. Ln f /. xj / D f . xj /
für j D 0; 1; : : : ; n
. f 2 C Πa; b /:
Man weise Folgendes nach:
°
sup jj Ln f jj1 W f 2 C Πa; b ; jj f jj1 D 1
wobei jj
´
±
D
max
x2Πa;b n Y
n
X
kD0 sD0
s¤k
μ
ˇ x xs ˇ
ˇ
ˇ ;
x x
k
s
jj1 WD max¹ j . x /j W x 2 Œ a; b º die Maximumnorm bezeichnet.
Aufgabe 1.15. Es bezeiche P 2 …2 das Interpolationspolynom zur Funktion f .x/ D
ln x und den drei Stützstellen x0 D 1; x1 D 11 und x2 D 12.
(a) Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für den größtmöglichen Interpolationsfehler an der Stelle x D 11:1 an.
(b) Geben Sie eine möglichst gute Abschätzung für den größtmöglichen Interpolationsfehler auf dem Intervall Œ 10; 12 an.
Aufgabe 1.16. Die Tschebyscheff-Polynome der zweiten Art sind folgendermaßen erklärt,
Un . cos / D
sinŒ . n C 1 / sin für 2 . 0; /
für n D 0; 1; : : : :
Man zeige Folgendes:
(a) Für t 2 . 1; 1 / gilt
U0 . t / D 1;
U1 . t / D 2t;
UnC1 . t / D 2 t Un . t / Un1 . t /
(1.3)
für n D 1; 2; : : : :
(1.4)
(b) Eine Fortsetzung des Definitionsbereichs von Un auf ganz R mittels der Setzungen in (1.3)–(1.4) liefert Polynome Un vom genauen Grad n mit führenden
Koeffizienten 2n ( für n D 0; 1; : : : ).
(c) Es gilt Tn0 . t / D nUn1 . t / für t 2 Œ 1; 1 . n D 1; 2; : : : /. Hierbei bezeichnet Tn
das Tschebyscheff-Polynom der ersten Art vom Grad n.
(d) Es besitzt das Polynom Un nur einfache Nullstellen, die zudem alle in dem Intervall . 1; 1 / liegen . n D 1; 2; : : : /.
(e) Für n D 0; 1; : : : berechne man jeweils die beiden Werte Un . 1 / und Un . 1 /.
Aufgabe 1.17 (Numerische Aufgabe). Mit einem Polynom vom Grad n interpoliere
man die Funktion f . x / WD 1=. 25x 2 C 1 /; x 2 Π1; 1 ;
in äquidistanten Stützstellen xj D 1 C 2j=n; j D 0; 1; : : : ; n,
in den Nullstellen tj;nC1 ; j D 1; 2; : : : ; n C 1 des . n C 1 /-ten TschebyscheffPolynoms TnC1 .
Man wähle hierbei n D 10 und erstelle jeweils einen Ausdruck des Funktionsverlaufs.
5
2
Splinefunktionen – Aufgaben
Im Folgenden bezeichne
D
®
a D x0 < x1 < : : : < xN D b
¯
(2.1)
eine Zerlegung eines gegebenen Intervalls Πa; b .
1
Aufgabe 2.1. Im Folgenden bezeichnet C
Œ a; b den Raum derjenigen stetigen Funktionen f W Œ a; b ! R, die stückweise stetig differenzierbar sind. Gegeben sei eine
Zerlegung (2.1) des Intervalls Œ a; b und Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R, und s sei die
zugehörige interpolierende lineare Splinefunktion. Man zeige Folgendes:
1
Œ a; b mit f . xj / D fj für j D 0; 1; : : : ; N gilt:
(a) Für jede Funktion f 2 C
(i) jj f 0 s 0 jj22 D jj f 0 jj22 jj s 0 jj22 .
(ii) Für eine beliebige ( bzgl. ) lineare Splinefunktion
jj f 0 s 0 jj2 jj f 0 0
gilt die Abschätzung
jj2 :
W Πa; b ! R die Notation
Hierbei wird für eine stetige Funktion
jj jj2 WD
Z
b
a
j . x /j2 dx
1=2
verwendet.
(b) Die interpolierende lineare Splinefunktion s löst das Variationsproblem
jj f 0 jj2 ! min
1
für f 2 C
Πa; b mit f . xj / D fj
für j D 0; 1; : : : ; N:
Aufgabe 2.2. Gegeben seien eine Zerlegung (2.1) des Intervalls Œ a; b sowie Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R.
(a) Man weise nach, dass es für jede Zahl f00 2 R genau einen interpolierenden
quadratischen Spline s gibt, der der Zusatzbedingung s 0 . x0 / D f00 genügt. Man gebe
einen Algorithmus zur Berechnung von s an.
(b) Gesucht ist nun die interpolierende quadratische Splinefunktion s mit periodischen Randbedingungen s 0 . x0 / D s 0 . xN /. Man treffe Aussagen über Existenz und
Eindeutigkeit von s .
Aufgabe 2.3. Gegeben seien eine Zerlegung (2.1) des Intervalls Πa; b sowie zu interpolierende Werte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 R. Man zeige Folgendes:
(a) Eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit vollständigen Randbedingungen s 0 . a / D f00 und s 0 . b / D fN0 ( mit gegebenen reellen Zahlen f00 und
fN0 ) besitzt unter allen interpolierenden Funktionen f 2 C 2 Πa; b mit der Eigenschaft f 0 . a / D f00 und f 0 . b / D fN0 im quadratischen Mittel die geringste
Krümmung, es gilt also jj s 00 jj2 jj f 00 jj2 :
6
Kapitel 2
Splinefunktionen
(b) Eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit periodischen Randbedingungen besitzt unter allen interpolierenden Funktionen f 2 C 2 Πa; b mit
f 0 . a / D f 0 . b / und f 00 . a / D f 00 . b / im quadratischen Mittel die geringste
Krümmung: jj s 00 jj2 jj f 00 jj2 :
(c) Unter Ausnutzung der minimalen Krümmungseigenschaft weise man nach, dass
jeweils höchstens eine interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit
natürlichen, vollständigen beziehungsweise periodischen Randbedingungen existiert.
Aufgabe 2.4. Auf dem Intervall Π1; 1 seien die Knoten x0 D 1; x1 D 0 und x2 D 1
gegeben. Welche Eigenschaften eines natürlichen kubischen Splines bezüglich der
zugehörigen Zerlegung besitzt die folgende Funktion, und welche besitzt sie nicht?
²
f .x /
D
. x C 1 / C . x C 1 /3
für 1 x 0;
4 C . x 1 / C . x 1 /3 für 0 < x 1:
Aufgabe 2.5. Man berechne diejenige natürliche kubische Splinefunktion s W Œ0; 2 !
R zur Zerlegung D ¹ 0 D x0 < x1 D 1 < x2 D 2 º, die die Interpolationsbedingungen s.0/ D 1; s.1/ D 2; s.2/ D 0 erfüllt.
Aufgabe 2.6. Gegeben seien die Stützpunkte
k
0
1
2
3
4
5
xk
3
2
1
0
1
2
fk
9
4
1
0
1
4
Man stelle das zugehörige lineare Gleichungssystem für die Momente der interpolierenden kubischen Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen auf.
Aufgabe 2.7. Gegeben seien eine äquidistante Zerlegung D ¹ 0 D x0 < x1 < : : : <
xN D 1 º des Intervalls Œ 0; 1 ; es gilt also xj D xj 1 C h für j D 1; 2; : : : ; N , mit
h D 1=N . Man betrachte auf diesem Intervall die Funktion f . x / D sin. 2x / und
die dazugehörige interpolierende kubische Splinefunktion s 2 S;3 mit natürlichen
Randbedingungen. Wie groß muss die Zahl N gewählt werden, damit auf dem gesamten Intervall die Differenz zwischen s und f betragsmäßig kleiner als 1012 ausfällt.
Aufgabe 2.8. Betrachte die Funktion f . x / D sin. Lx / mit einer positiven ganzen
Zahl L und x 2 Œ 0; und die äquidistanten Stützstellen xk D 2k=N für k D 0; 1;
: : : ; N . Man gebe sowohl für die interpolierende lineare Splinefunktion als auch für
die interpolierende kubische Splinefunktion mit natürlichen Randbedingungen eine
( von N und L abhängende ) Abschätzung für den Interpolationsfehler an.
Aufgabe 2.9. Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f W Πa; b !
R und eine Zerlegung (2.1) des gegebenen Intervalls. Für den zugehörigen interpolierenden linearen Spline s 2 S;1 weise man mithilfe der taylorschen Formel die
folgende Fehlerabschätzung nach:
js 0 . x / f 0 . x /j
1
jj f 00 jj1 hmax
2
für
x 2 Πa; b ;
x 62 ¹ x0 ; : : : ; xN º;
7
Aufgaben
wobei hmax WD maxj D0;:::;N 1 ¹ xj C1 xj º den maximalen Knotenabstand bezeichnet.
Aufgabe 2.10 (Numerische Aufgabe). Zur Interpolation beliebig verteilter Punkte
. x0 ; f0 /; . x1 ; f1 /; : : : ; . xN ; fN / 2 R 2 lassen sich kubische Splinekurven verwenden:
Man bestimmt eine interpolierende kubische Splinefunktion s1 zu den Werten
. t0 ; x0 /; . t1 ; x1 /; : : : ; . tN ; xN / 2 R 2 und eine zweite interpolierende kubische Splinefunktion s2 zu den Werten . t0 ; f0 /; . t1 ; f1 /; : : : ; . tN ; fN / 2 R 2 . Hierbei wählt man
q
t0 D 0;
tj D tj 1 C . xj xj 1 /2 C . fj fj 1 /2 für j D 1; 2; : : : ; N:
Die gewünschte interpolierende kubische Splinekurve ist dann . s1 . t /; s2 . t / / mit t 2
Π0; tN .
Diesen Ansatz wende man auf die folgenden Punkte an:
j
xj
fj
0
1.5
0.75
1
0.9
0.9
2
0.6
1.0
3
0.35
0.8
4
0.2
0.45
5
0.1
0.2
6
0.5
0.1
7
1.0
0.2
8
1.5
0.25
Dabei sollen die interpolierenden kubischen Splinefunktionen s1 und s2 natürliche
Randbedingungen erfüllen. Man erstelle einen Ausdruck des sich ergebenden Kurvenverlaufs.
8
3
Diskrete Fouriertransformation
3.1
Aufgaben
Aufgabe 3.1. Für gerades N seien . N C 1 / Stützstellen x0 < x1 < : : : < xN und
Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 C gegeben, mit xN x0 < 2 . Man zeige Folgendes:
(a) Es gibt genau ein trigonometrisches Polynom der Form
T .x / D
A0
2
C
N=2
X
. Ak cos kx C Bk sin kx /;
(3.1)
kD1
mit komplexen Koeffizienten Ak und Bk , das die Interpolationsbedingungen
T . xj / D fj für j D 0; 1; : : : ; N erfüllt.
(b) Sind die Stützwerte f0 ; f1 ; : : : ; fN alle reell, so sind es auch alle Koeffizienten
Ak ; Bk des zugehörigen interpolierenden trigonometrischen Polynoms der Form
(3.1).
Aufgabe 3.2. Sei wieder N eine gerade positive Zahl. Man zeige:
(a) Für reelle Zahlen x1 ; x2 ; : : : ; xN ist die Funktion
t. x / D
N
Y
sin
sD1
x xs
2
ein trigonometrisches Polynom von der Form (3.1) mit reellen Koeffizienten Ak ;
Bk .
(b) Man zeige, dass das interpolierende trigonometrische Polynom zu den Stützstellen in Aufgabe 3.1 und zu den Stützwerten f0 ; f1 ; : : : ; fN 2 C identisch ist mit
T .x / D
N
X
kD0
fk
t . x /;
tk . xk / k
mit
tk . x / WD
N
Y
sin
sD0
s¤k
x xs
:
2
Hinweis zu (a): Für U n WD span ¹1
1; sin x; cos x; : : : ; sin n x; cos n x º weise man Folgendes nach:
für beliebige Zahlen b; c 2 Œ 0; 2 gilt w . x / WD sin
g1 2 U n ; g2 2 U m
H)
x b sin x c 2 U ;
1
2
2
g1 g2 2 U nCm :
Aufgabe 3.3. Es bezeichne nun D2 W C N ! C N die folgende lineare Abbildung:
D2 c WD . cj 1 C 2cj cj C1 /j D0;::;N 1 ;
mit
c D . c0 ; c1 ; : : : ; cN 1 /;
c1 WD cN 1 ;
cN WD c0 ;
und außerdem sei
M D diag. 0 ; 1 ; : : : ; N 1 / 2 C N N
mit
k WD 4 sin2 . k=N / 2 R
für k D 0; 1; : : : ; N 1:
9
Aufgaben
Man zeige Folgendes:
D2 D F 1 M F;
. D2 I /1 D F 1 . M I /1 F
. 2 C;
¤ k für k D 0; 1; : : : ; N 1 /:
Hierbei bezeichnet F W CN ! C N die diskrete Fouriertransformation.
Aufgabe 3.4. (a) Zu einem gegebenen Datensatz f0 ; f1 ; : : : ; fN 1 komplexer Zahlen sei der Datensatz dQ0 ; dQ1 ; : : : ; dQN 1 komplexer Zahlen definiert durch
N 1
X
fj e i.2j C1/k=N
dQk D k
N
für k D 0; 1; : : : ; N 1
(3.2)
j D0
mit gegebenen Koeffizienten k ¤ 0 für k D 0; 1; : : : ; N 1. Man zeige
fj D
N
1
X
kD0
dQk i.2j C1/k=N
e
k
für j D 0; 1; : : : ; N 1:
(b) Zu einem gegebenen Datensatz f0 ; f1 ; : : : ; fn1 reeller Zahlen mit n 2 N sei der
transformierte Datensatz d0 ; d1 ; : : : ; dn1 reeller Zahlen definiert durch
dk D
n1
. 2j C 1 /k k X
f
j cos
n
2n
für k D 0; 1; : : : ; n 1
(3.3)
j D0
mit gegebenen Koeffizienten k ¤ 0 für k D 0; 1; : : : ; n 1. Man zeige:
fj D
n1
. 2j C 1 /k X dk
d0
C 2
cos
für j D 0; 1; : : : ; n 1:
0
k
2n
(3.4)
kD1
Lösungshinweis: Man verwende Teil (a) dieser Aufgabe mit den Setzungen N D 2n
und fN 1j D fj für j D 0; 1; : : : ; n 1 beziehungsweise N k D k für k D 1; 2;
: : : ; n und zeige für diese Situation noch dQN k D dQk für k D 1; 2; : : : ; n.
Aufgabe 3.5. Für n 2 N sei f0 ; f1 ; : : : ; fn1 ein gegebener Datensatz reeller Zahlen.
(a) Man zeige, dass mit den Koeffizienten dk aus (3.3) für das trigonometrische Polynom
p. / D
n1
X dk
d0
C 2
cos k
0
k
kD1
Folgendes gilt:
p
2j C 1 D fj
2n
für j D 0; 1; : : : ; n 1:
(3.5)
10
Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation
.n/
(b) Es sei P 2 …n1 das Interpolationspolynom zu den Stützpunkten . tj C1 ; fj / für
j D 0; 1; : : : ; n 1, wobei tj.n/
C1 D cos. . 2j C 1 / = . 2n / / die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms Tn der ersten Art vom Grad n bezeichnet. Man zeige, dass mit den
Koeffizienten dk aus (3.3) Folgendes gilt:
d
P. x / D 0 C 2
0
n1
X
kD1
dk
T . x /:
k k
(3.6)
Aufgabe 3.6 (Numerische Aufgabe ( FFT )). Man berechne entsprechend der Vorgehensweise in Teil (b) der Aufgabe 3.5 das Interpolationspolynom P 2 …n1 zu den
beiden Funktionen
f . x / D x 1=3 ;
x 2 Π0; 64 f . x / D log. x /;
bzw.
x 2 . 0; 1 für die Werte n D 2m für m D 2; 4; : : : ; 10 und mit den Stützstellen aus Teil (b) der
Aufgabe 3.5, wobei hierfür das Intervall Œ 1; 1 affin-linear auf Œ 0; 64 beziehungsweise Œ 0; 1 zu transformieren ist.
Die Koeffizienten d0 ; d1 ; : : : ; dn1 ( mit den Faktoren k D 2 für k D 0; 1; : : : ;
n 1 ) des Interpolationspolynoms P in der Darstellung (3.6) berechne man mit der
schnellen Fouriertransformation. Man berechne außerdem den auftretenden Fehler
an ( den linear zu transformierenden ) Stellen xj D 1 C j =10 für j D 1; 2; : : : ; 20:
Pn1
Zur Auswertung von P. x / D d0 =2 C
kD1 dk Tk . x / verwende man die folgende
Variante des Horner-Schemas:
bn WD bnC1 WD 0;
P. x /
D
bk WD 2 x bkC1 bkC2 C dk für k D n 1; n 2; : : : ; 0;
. b0 b2 /=2:
(3.7)
Man weise noch die Richtigkeit der Identität (3.7) nach.
Aufgabe 3.7. Sei Mq D ¹ 0; 1; : : : ; 2q 1 º. Man zeige: die Bit-Umkehr q W Mq ! Mq
ist bijektiv mit q1 D q , und weiter gilt für r D 0; 1; : : ::
r . k / D rC1 . 2k /;
r
2 C r . k / D rC1 . 2k C 1 /;
k 2 Mr ;
......
:
Aufgabe 3.8. Gegeben seien äquidistante Stützstellen
xj1 D j1 L1 =N1 2 Œ 0; L1 für j1 D 0; 1; : : : ; N1 1;
yj2 D j2 L2 =N2 2 Œ 0; L2 für j2 D 0; 1; : : : ; N2 1:
Weiter seien
fj1 ;j2 2 C für
gegebene Stützwerte. Man zeige:
j1 D 0; 1; : : : ; N1 1;
j2 D 0; 1; : : : ; N2 1
11
Aufgaben
(a) Das trigonometrische Polynom in zwei Veränderlichen
p. x; y / D
NX
1 1 NX
2 1
dk1 ;k2 e ik1 2x=L1 e ik2 2y=L2
k1 D0 k2 D0
mit komplexen Koeffizienten dk1 ;k2 2 C besitzt die Interpolationseigenschaft
p. xj1 ; yj2 / D fj1 ;j2
für j1 D 0; 1; : : : ; N1 1;
j2 D 0; 1; : : : ; N2 1;
genau dann, wenn . dk1 ;k2 /k1 D0::N1 1;k2 D0::N2 1 die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte ( siehe dazu Seite 18 ) des Datensatzes . fj1;j2 /j1 D0::N1 1;j2 D0::N2 1
ist.
(b) Die trigonometrische Funktion in zwei Veränderlichen
r. x; y / D
N1X
=21
=21
N2X
dk1 ;k2 e ik1 2x=L1 e ik2 2y=L2
k1 DN1 =2 k2 DN2 =2
mit komplexen Koeffizienten dk1 ;k2 2 C besitzt die Interpolationseigenschaft
r. xj1 ; yj2 / D fj1 ;j2
für j1 D 0; 1; : : : ; N1 1;
j2 D 0; 1; : : : ; N2 1;
genau dann, wenn . dk1 N1 =2;k2 N2 =2 /k1 D0::N1 1;k2 D0::N2 1 die zweidimensionale diskrete Fouriertransformierte des Datensatzes . . 1 /j1Cj2 fj1 ;j2 /j1 D0::N1 1;j2 D0::N2 1
ist.
Aufgabe 3.9 (Numerische Aufgabe). ( Zweidimensionaler FFT-Algorithmus, Datenkompression, Datenglättung ) Für die Funktion f W Œ ; Œ ; ! R definiert
durch
p
p
²
sin. x 2 C y 2 /; falls
x 2 C y 2 ;
f . x; y / D
sonst
0
bestimme man die Funktionswerte von f auf einem äquidistanten Gitter der Weite h D 2=. N 1 /, mit N D 32. Diese Werte versehe man mit aus dem Intervall
Œ 0:2; 0:2 zufällig ausgewählten Störungen. Mit diesen fehlerbehafteten Werten führe man eine zweidimensionale diskrete Fouriertransformation ( siehe hierzu Seite 18 )
durch. Von den gewonnenen diskreten Fourierkoeffizienten vernachlässige man die
betragsmäßig kleinsten 98% ( durch Setzen auf null ), und anschließend rekonstruiere man daraus auf dem Gitter näherungsweise die Werte von f mittels der zweidimensionalen diskreten Fourier-Rücktransformation. Man verwende dabei jeweils
den FFT-Algorithmus. Erstellen Sie Plots der störungsfreien und der fehlerbehafteten Funktion sowie von der Rekonstruktion.
Aufgabe 3.10. Man wandele eine Sekunde eines Kanals einer beliebigen unkomprimierten Audiodatei in das Ascii-Format um. Unter dem Betriebssystem Linux gelingt
eine solche Umwandlung von Audiodateien im WAV-Format zum Beispiel mit dem
12
Kapitel 3 Diskrete Fouriertransformation
Programm sox. Auf der Webseite zu diesem Buch findet sich eine Beispieldatei im
Textformat.
Auf die Audiodaten im Ascii-Format wende man wahlweise eine diskrete Fouriertransformation oder eine diskrete Cosinustransformation ( die Definition hierfür finden Sie in dem nachfolgenden Abschnitt ) an. Anschließend eliminiere man 30% der
höchsten Frequenzen und führe dann eine inverse diskrete Fouriertransformation
beziehungsweise eine inverse diskrete Cosinustransformation ( siehe hierzu den
nachfolgenden Abschnitt 3.2 ) durch. Das Resultat sollte nur einen geringen oder
sogar keinen hörbaren Unterschied zur Originaldatei aufweisen.
3.2
Diskrete Cosinustransformation
Es folgt nun eine kurze Einführung in die Grundlagen der diskrete Cosinustransformation, die bei der Lösung von Aufgabe 3.10 benötigt wird.
(a) Die in Aufgabe 3.4 betrachteten Transformationen bezeichnet man als diskrete
Cosinustransformation beziehungsweise als inverse diskrete Cosinustransformation.
Für die diskrete Cosinustransformation gilt die Matrixdarstellung
d D
1
Cf;
n
C WD . ck;j /k;j D0;::: ;n1 2 R nn mit ck;j D k cos
. 2j C 1 /k 2n
(3.8)
mit den Notationen f D . f0 ; f1 ; : : : ; fn1 /> und d D . d0 ; d1 ; : : : ; dn1 />.
(b) Die in (3.3) und (3.8) auftretenden Faktoren k werden zumeist wie folgt gewählt:
k
² p
2; falls k D 0
D
2 sonst.
(3.9)
Mit dieser speziellen Wahl der Koeffizienten k gilt für die inverse diskrete Cosinustransformation die Matrixdarstellung
f D
1 >
C d:
2
Wegen (3.8) gilt dann
1
n
das heißt,
C
1
p1 C
2n
D
1 >
C
2
bzw.
1
p
2n
C
1
D
1
p
2n
C
>
;
(3.10)
ist eine orthogonale Matrix.
(c) Wegen des Zusammenhangs mit Teil (a) der Aufgabe 3.4 ist klar, dass sich – im
Fall n D 2p mit p 2 N – sowohl die diskrete Cosinustransformierte als auch die
inverse diskrete Cosinustransformierte eines gegebenen Datensatzes mit dem FFTAlgorithmus jeweils in O. n log2 . n / / arithmetischen Operationen berechnen lassen.
(d) Die diskrete Cosinustransformation ermöglicht – wie schon die diskrete Fouriertransformation – eine Datenkompression, indem in den transformierten Datensätzen hochfrequente Anteile vernachlässigt werden. ( Hierzu interpretiert man die Zahlen d0 ; d1 ; : : : ; dn1 als Koeffizienten trigonometrischer Interpolationspolynome; für
mehr Details siehe Teil (a) der Aufgabe 3.5. )