Vorkurs Beweisführung

Vorkurs Beweisführung
Fachschaft Mathematik und Informatik
30.08.2013
Agenda
1
Einleitung
2
Direkter Beweis
3
Widerspruchsbeweis
4
Vollständige Induktion
5
Aussagen widerlegen
6
Gleichheit von Mengen
7
Äquivalenzbeweise
8
Notwendig und hinreichend
FIM
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Einleitung
Beweise sind grundlegend in der höheren Mathematik
Die gezeigten Verfahren sind elementar
Fokus liegt auf Beweismethodik, nicht auf dem Stoff der Beispiele
Fragen sind jederzeit erlaubt und erwünscht
FIM
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Direkter Beweis
Allgemein
Es wird eine Behauptung aus bereits bekannten und bewiesenen
Voraussetzungen gefolgert
Formales Schema
Voraussetzungen:
V1 , V2 , V3 , V4
Behauptung:
B
Beweis:
V1 , V2 ⇒ ... ⇒3 ... ⇒4 ... ⇒ B
FIM
V
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V
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Direkter Beweis
Beispiel
Behauptung: „Die Summe 3er aufeinander folgender natürlicher
Zahlen ist durch 3 teilbar.“
Voraussetzungen: n ∈ N, d.h. n ist eine (beliebige) natürliche Zahl
Beweis: n ∈ N ⇒ n + 1, n + 2 ∈ N
⇒ n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3
Distributivgesetz
=
3 · (n + 1)
FIM
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Widerspruchsbeweis
Allgemein
1
Nimm das Gegenteil der Behauptung an (Annahme)
2
Zeige, dass Annahme im Widerspruch zur Voraussetzung steht
(Annahme und Voraussetzung können nicht gleichzeitig gelten)
3
Beim Erreichen des Widerspruchs wissen wir: Die Annahme war
falsch.
4
Es gilt die Verneinung der Annahme, also die Behauptung.
Kurz: Man zeigt die Wahrheit der Aussage, indem man ihr Gegenteil
widerlegt.
Bemerkung: Das Wort Annahme ist für Widerspruchsbeweise
reserviert!
FIM
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Indirekter Beweis
Beispiel
Voraussetzungen: (i) Es seien a, b ∈ R mit a ≥ 0 und b ≥ 0.
(ii) c 2 ≥ 0
∀c ∈ R
√
a+b
Behauptung:
ab
2 ≥
−→ Tafel
Beweis:
FIM
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Vollständige Induktion
Allgemein
Situation: Eine Aussage soll für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 gezeigt
werden
Idee: Beweis nach einem „Domino-Prinzip“
Zeige die Behauptung für n0 (Induktionsanfang)
Nimm an, dass die Aussage für n wahr ist
(Induktionsvoraussetzung) und folgere daraus, dass sie für n + 1
ebenfalls wahr ist (Induktionsschritt)
Bemerkung: Der Induktionsanfang ist oft sehr leicht, darf aber nie
vergessen werden!
FIM
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Vollständige Induktion
Beispiel
Behauptung: Alle Zahlen an = n3 + 5n mit natürlichem n sind durch 6
teilbar
Beweis:
Induktionsanfang (n = 1):
a1 = 1 + 5 = 6
Induktionsvoraussetzung:
an = n3 + 5n sei für ein n ∈ N durch 6
X
teilbar
Induktionsschritt (n
FIM
n + 1): −→ Tafel
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Aussagen widerlegen
Allgemein
Es gibt Aufgabenstellungen à la „Beweise oder widerlege...“
Frage: Wie widerlege ich eine Aussage?
Antwort: Finde ein Gegenbeispiel!
Beispiel
Beweise oder widerlege:
Alle linearen Funktionen f : R → R, x 7→ m · x
sind injektiv (m ∈ R)
Gegenbeispiel: f (x) = 0 · x ≡ 0
FIM
ist nicht injektiv
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Gleichheit von Mengen
Allgemein
Aufgabe: Seien A, B zwei Mengen. Beweise: A = B
Vorgehen: Zeige, dass A ⊆ B und A ⊇ B
Genauer: (i) Zeige, dass alle x ∈ A auch x ∈ B erfüllen. („⊆“)
(ii) Zeige, dass alle y ∈ B auch y ∈ A erfüllen. („⊇“)
FIM
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Gleichheit von Mengen
Beispiel
Beh.:
{x ∈ N | x ist durch 2 und 3 teilbar} = {y ∈ N | y ist durch 6 teilbar}
z }| {
z }| {
:= A
:= B
Bew.:
„⊇“: Sei y ∈ B ⇒ ∃k ∈ N : y = 6 · k = 2 · 3 · k
⇒ y ist durch 2 und 3 teilbar ⇒ y ∈ A
„⊆“: −→ Tafel
FIM
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Äquivalenzbeweise
Allgemein
Beweise Aussagen der Form: V ⇔ W
„V ist äquivalent zu W“, d.h. V und W treten immer gleichzeitig auf.
Vorgehen: (i) Zeige V ⇒ W
(„⇒“)
(ii) Zeige W ⇒ V
(„⇐“)
FIM
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Notwendig und hinreichend
Notwendig
Sei K eine Aussage und B eine notwendige Bedingung für K
Dann muss B wahr sein, wenn K wahr ist (K⇒ B)
Beispiel: Es hat geregnet (K),
Die Straße ist nass (B)
Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass (K⇒ B).
ABER: Nur weil die Straße nass ist, muss es nicht geregnet haben
(B⇒ K gilt NICHT!)
Also kann man aus dem Wissen, dass K gilt auf B schließen, aber
nicht andersherum.
Es reicht nicht B zu zeigen, wenn K gezeigt werden soll.
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Notwendig und hinreichend
Hinreichend
Sei T eine Aussage und H eine hinreichende Bedingung für T
Dann muss T wahr sein, wenn H wahr ist (H⇒ T)
Beispiel: Das Pferd ist satt (T),
Das Pferd hat Gras gefressen (H)
Wenn das Pferd Gras gefressen hat, dann ist es satt (H⇒ T).
Also ist es hinreichend H zu zeigen, wenn man T zeigen möchte.
FIM
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