Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
14.04.2013
Bernhard Hanke
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Sei X ein topologischer Raum und A ⊂ X . Das Innere
int(A) ⊂ A
ist die Vereinigung aller in A enhaltenen offenen Mengen. Es gilt:
I
int(A) ⊂ A ist offen.
I
Ist U offen in X und U ⊂ A, dann U ⊂ intA.
Damit ist int(A) die größte in A enthaltene in X offene Teilmenge.
Der Abschluss
A⊃A
ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von X , die A
enthalten.
A ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X die A enthält.
Offensichtlich ist
A = X \ (int(X \ A)) .
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
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Definition
Es sei X ein topologischer Raum, x ∈ X und V ⊂ X . Wir nennen V eine
Umgebung von x, falls es eine offene Teilmenge U ⊂ X gibt mit x ∈ U
und U ⊂ V .
Proposition
Ein Punkt x ∈ X liegt genau dann in A, falls jede Umgebung von x einen
Punkt aus A enthält.
Der Rand von A ist definiert als
∂A := A \ int(A) .
Proposition
Ein Punkt x ∈ X liegt genau dann in ∂A, falls jede Umgebung von x
sowohl Punkte von A als auch Punkte von X \ A enthält.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
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Zusammenhang und Wegzusammenhang
Definition
Ein topologischer Raum X heißt wegweise zusammenhängend, falls es für
je zwei Punkte x, y eine stetige Abbilung
γ : [0, 1] → X
gibt, die x mit y verbindet, d.h. γ(0) = x, γ(1) = y .
Beispiele
I
Rn ist wegzusammenhängend.
I
({p, q}, {∅, {p}, {p, q}}) ist wegzusammenhängend!
I
(−∞, 0) ∪ (0, ∞) ⊂ R ist nicht wegzusammenhängend.
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Zusammenhang und Wegzusammenhang
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Die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation
x ∼ y :⇔ x, y lassen sich durch einen Weg in X verbinden
nennt man Wegzusammenhangskomponenten.
Proposition
Ist f : X → Y eine stetige Abbildung und ist X wegzusammenhängend, so
ist auch f (X ) (mit der von Y induzierten Topologie)
wegzusammenhängend.
Bernhard Hanke
Zusammenhang und Wegzusammenhang
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Definition
Ein topologischer Raum X heißt zusammenhängend, falls X nicht
disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen ist.
Beispiel
Q ⊂ R und (−∞, 0) ∪ (0, ∞) ⊂ R sind nicht zusammenhängend.
Folgende Bedingungen sind äquivalent zum Zusammenhang von X :
I
Ist A ⊂ X zugleich offenen und abgeschlossenen, dann A = ∅ oder
A = X.
I
Ist f : X → {0, 1} eine stetige Abbildung von X in den diskreten
Raum mit zwei Elementen, dann ist f konstant.
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Zusammenhang und Wegzusammenhang
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Proposition
I
Ist X → Y stetig und X zusammenhängend, so ist auch f (X )
zusammenhängend.
I
Sind A, B zusammenhängender Teilmengen eines topologischen
Raumes X und gilt A ∩ B 6= ∅, so ist A ∪ B zusammenhängend.
Folgerung
Die Bedingung x, y liegen beide in einem zusammenhängendem
”
Unterraum von X“ definiert eine Äquivalenzrelation auf X .
Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation nennt man die
Komponenten von X .
Beispiel
Die Komponenten des Unterraumes Q ⊂ R sind genau die einpunktigen
Mengen {p}, p ∈ Q. Trotzdem ist Q kein diskreter topologischer Raum!
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Zusammenhang und Wegzusammenhang
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Proposition
Die Menge [0, 1] ⊂ R ist zusammenhängend.
Folgerung
Jeder wegzusammenhängende Raum ist zusammenhängend.
Proposition (Zwischenwertsatz)
Es sei f : [0, 1] → R eine stetige Abbildung. Gilt f (0) < 0 und f (1) > 0, so
existiert ein t ∈ [0, 1] mit f (t) = 0.
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Zusammenhang und Wegzusammenhang
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