Klausurähnliche Aufgaben

Wintersemester 2006/07
Zählen und Zahlbereiche
Klausurähnliche Aufgaben
Beim Lösen der Aufgaben 1 bis 8 darf man lediglich die folgenden Aussagen über
die natürlichen Zahlen benutzen:
Die Addition und Multiplikation in N unterliegen den folgenden Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ N gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
(A3) Für all m, n ∈ N ist m 6= m + n.
(A4) Sind m, n ∈ N mit m 6= n, so gibt es entweder ein k ∈ N mit m = n + k
oder ein ` ∈ N mit n = m + `.
(M1) Für alle `, m, n ∈ N gilt (`m)n = `(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ N gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ N ist 1m = m.
(D) Für alle `, m, n ∈ N ist `(m + n) = `m + `n.
Lemma 1 (1) Aus p + m = p + n folgt m = n.
(2) Aus m + p = n + p folgt m = n.
(3) Aus pm = pn folgt m = n.
(4) Aus mp = np folgt m = n.
Seien m, n ∈ N; wir schreiben m < n, wenn es ein ` ∈ N gibt, so dass n = m + `,
und schreiben m ≤ n, wenn entweder m < n oder m = n.
Satz 1 (1) Sind `, m, n ∈ N mit ` < m und m < n, so ist ` < n.
(2) Sind m, n ∈ N mit m < n, so ist m + p < n + p für alle p ∈ N.
(3) Sind m, n, p, q ∈ N mit m < n und p < q, so ist m + p < n + q.
(4) Für alle m, n ∈ N gilt m ≤ n oder n ≤ m.
(5) Es gilt m ≤ n und n ≤ m genau dann, wenn m = n.
(6) Sind `, m, n ∈ N mit ` ≤ m und m ≤ n, so ist ` ≤ n. Ferner ist ` = n genau
dann, wenn ` = m und m = n.
(7) Sind m, n, p, q ∈ N mit m ≤ n und p ≤ q, so ist m + p ≤ n + q. Ferner ist
m + p = n + q genau dann, wenn m = n und p = q.
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Satz 2 (1) Sind m, n ∈ N mit m < n, so ist mp < np für alle p ∈ N.
(2) Sind m, n, p, q ∈ N mit m < n und p < q, so ist mp < nq.
(3) Sind m, n, p, q ∈ N mit m ≤ n und p ≤ q, so ist mp ≤ nq. Ferner ist
mp = nq genau dann, wenn m = n und p = q.
1. Seien p, q, r, s ∈ N. Man zeige nur unter Verwendung von (A1) und (A2), dass
((p + q) + r) + s = ((s + r) + q) + p .
2. Seien m, n, p ∈ N mit m + p < n + p. Man zeige, dass m < n.
3. Seien a, b, c, `, m, n ∈ N mit a ≤ `, b ≤ m und c ≤ n. Man zeige:
(1) Es gilt (a + b) + c ≤ (` + m) + n.
(2) Es gilt (a + b) + c = (` + m) + n genau dann, wenn a = `, b = m und c = n.
4. Seien k, `, m, n ∈ N mit k ≤ `, ` ≤ m und m ≤ n. Man zeige:
(1) Es gilt k ≤ n.
(2) Es gilt k = n genau dann, wenn k = ` = m = n.
5. Seien a, b, c, d ∈ N. Man zeige nur unter Verwendung von (M1), dass
a((bc)d) = a(b(cd)) = (ab)(cd) = ((ab)c)d = (a(bc))d .
6. Man zeige, dass 3n = (n + n) + n, wobei 3 = 2 + 1 und 2 = 1 + 1.
7. (1) Seien m, n, p, q ∈ N mit m ≤ n und p < q. Man zeige, dass mp < nq.
(2) Seien `, m, n ∈ N mit `m = mn = n`. Man zeige, dass ` = m = n.
8. Seien a, b, c, d, p, q ∈ N mit a ≤ c, b ≤ d und p ≤ q. Man zeige:
(1) Es gilt p(a + b) ≤ q(c + d).
(2) Es gilt p(a + b) = q(c + d) genau dann, wenn a = c, b = d und p = q.
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Beim Lösen der Aufgaben 9 bis 13 darf man lediglich die folgenden Aussagen
über die ganzen Zahlen benutzen:
Die Addition und Multiplikation in Z unterliegen den folgenden Regeln:
(A1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (` + m) + n = ` + (m + n).
(A2) Für alle m, n ∈ Z gilt m + n = n + m.
(A3) Für jedes m ∈ Z ist 0 + m = m.
(A4) Zu jedem m ∈ Z gibt es eine eindeutige Zahl −m ∈ Z mit −m + m = 0.
(T) Für jedes m ∈ Z mit m 6= 0 ist (mindestens) eines von m und −m in N.
(M1) Für alle `, m, n ∈ Z gilt (`m)n = `(mn).
(M2) Für alle m, n ∈ Z gilt mn = nm.
(M3) Für jedes m ∈ Z ist 1m = m.
(D) Für alle `, m, n ∈ Z ist `(m + n) = `m + `n.
Lemma 3 (1) Aus p + m = p + n folgt m = n.
(2) Aus m + p = n + p folgt m = n.
Seien m, n ∈ Z; dann wird die Zahl m + −n mit m − n bezeichnet.
Lemma 4 Seien m, n ∈ Z; dann ist m − n die eindeutige Zahl k ∈ Z mit
m = n + k: Es gilt also m = n + (m − n) und ist k ∈ Z eine Zahl mit m = n + k,
so ist k = m − n. Ferner ist m − n = 0 genau dann, wenn m = n.
Seien m, n ∈ Z; wir schreiben m < n, wenn es ein ` ∈ N gibt, so dass n = m + `.
Seien m, n ∈ Z; gilt n = m + `, so ist nach Lemma 4 ` = n − m, und dies
bedeutet, dass m < n genau dann gilt, wenn n − m ∈ N.
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9. Man zeige: Für alle m, n, p, q ∈ Z ist (n + q) − (m + p) = (n − m) + (q − p).
10. Seien m, n, p, q ∈ Z. Man zeige, dass m + q = p + n genau dann gilt, wenn
q − p = n − m.
11. Man zeige: Für alle m, n, p, q ∈ Z gilt nq − mp = m(q − p) + (n − m)q.
12. Man zeige:
(1) Für alle `, m, n ∈ Z ist m − ` = (m − n) + (n − `).
(2) Sind `, m, n ∈ Z mit ` < m und m < n, so ist ` < n.
13. Man zeige:
(1) Für alle m, n ∈ Z ist n − m = −(m − n) und auch n − m = −m − (−n).
(2) Sind m, n ∈ Z mit m < n, so ist −n < −m.
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Beim Lösen der Aufgaben 14 bis 18 darf man lediglich die Regeln für die Addition
und Multiplikation in Z zusammen mit den folgenden Aussagen benutzen:
Lemma 5 (1) Für alle a, b, c ∈ Z gilt (ab)c = (ac)b.
(2) Für alle a, b, c, d ∈ Z gilt (ab)(cd) = (ac)(bd).
Lemma 6 Für die Addition und Multiplikation in Z gilt folgende Regel:
(D 0) (m + n)` = m` + n` für alle `, m, n ∈ Z.
Lemma 7 Seien m, n, p ∈ Z.
(1) Ist p 6= 0, so folgt m = n aus pm = pn.
(2) Ist p 6= 0, so folgt m = n aus mp = np.
Lemma 8 Sind m, n ∈ Z mit m 6= 0 und n 6= 0, so ist mn 6= 0.
Ein Bruch ist ein Ausdruck der Form m/n mit m, n ∈ Z und n 6= 0. Brüche m/n
und p/q heißen äquivalent, und wir schreiben dann m/n ≈ p/q, wenn mq = pn.
Seien m/n und p/q Brüche; die Summe m/n + p/q und das Produkt (m/n)(p/q)
von m/n und p/q werden definiert durch
m/n + p/q = (mq + pn)/(nq) ,
(m/n)(p/q) = (mp)/(nq) .
Die folgenden Aussagen fassen die Beziehung zwischen Brüchen und rationalen
Zahlen zusammen:
(Q1) Jedem Bruch m/n wird eine rationale Zahl zugeordnet, die mit [m/n] bezeichnet wird.
(Q2) Für Brüche m/n und p/q gilt [m/n] = [p/q] genau dann, wenn m/n ≈ p/q.
(Q3) Zu jeder rationalen Zahl r gibt es einen Bruch m/n mit r = [m/n].
(Q4) Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
(Q5) Für jedes n ∈ Z ist n = [n/1].
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
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14. Man zeige: Sind m/n, p/q und r/s Brüche mit m/n ≈ p/q und p/q ≈ r/s, so
ist auch m/n ≈ r/s.
15. Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q. Man zeige,
dass a/b + c/d ≈ m/n + p/q.
16. Seien a/b, c/d, m/n, p/q Brüche mit a/b ≈ m/n und c/d ≈ p/q. Man zeige,
dass (a/b)(c/d) ≈ (m/n)(p/q).
17. Seien r, s ∈ Q. Man zeige: Es gibt `, m, n ∈ Z mit n 6= 0, so dass r = [`/n]
und s = [m/n].
18. Seien r, s ∈ Q und seien `, m, n ∈ Z mit n 6= 0, so dass r = [`/n] und
s = [m/n]. Man zeige, dass r + s = [(` + m)/n].
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Beim Lösen der Aufgaben 19 bis 21 darf man lediglich Folgendes verwenden:
(P0) Die Menge N der natürlichen Zahlen enthält die Zahl 1 und zu jedem
n ∈ N gibt es einen Nachfolger s(n).
(P1) Für alle n ∈ N ist 1 6= s(n). (Die Eins ist kein Nachfolger.)
(P2) Für alle m, n ∈ N mit m 6= n ist s(m) 6= s(n). (Verschiedene Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.)
(P3) Es gilt das Prinzip der vollständigen Induktion:
Für jedes n ∈ N sei P(n) eine Aussage. Nehme an:
() Es gilt P(1).
(?) Ist n ein Element von N, für das P(n) gilt, so gilt auch P(s(n)).
Dann gilt P(n) für jedes n ∈ N.
Natürliche Zahlen kann man addieren; die Summe von m und n wird mit m + n
bezeichnet. Die Addition unterliegt den folgenden Regeln:
(a0) Für alle m ∈ N gilt m + 1 = s(m).
(a1) Für alle m, n ∈ N gilt m + s(n) = s(m + n).
19. Man zeige: Für alle n ∈ N gilt 1 + n = s(n).
20. In dieser Aufgabe darf man zusätzlich Folgendes verwenden:
(a2) Für alle n ∈ N gilt 1 + n = s(n).
(A10 ) Für alle m, n ∈ N gilt n + (1 + m) = (n + 1) + m.
Man zeige: Für alle m, n ∈ N gilt m + n = n + m.
21. Man zeige: Für alle m, n ∈ N ist n 6= m + n.