Ministerium für Schule und Weiterbildung

Ministerium für Schule und Weiterbildung
des Landes Nordrhein - Westfalen
Lernaufgaben Mathematik
Grundschule
Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten –
„Mögliche Ereignisse eines Zufallsexperimentes
bestimmen und untersuchen“
Bereich des Faches: Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten
Die Schülerinnen und Schüler erheben Daten und stellen sie unterschiedlich
dar; sie bewerten sie in Bezug auf konkrete Fragestellungen und schätzen
die Wahrscheinlichkeit einfacher Ereignisse ein.
I. Übersicht: Mathematik
Bereich: Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten
Lernaufgabe: Zufallsexperiment
„Zahlen ziehen und addieren“
Arbeitsaufträge
Verknüpfung zu anderen Fächern:
Methoden:
Gemeinsames Lernen
Sozialform:
Partnerarbeit
Gruppengespräch
Medien:
3 Blätter mit 5 Aufgaben
3 weiße, 3 graue und 3 gepunktete Zahlenkarten
Forschertagebuch (bzw. Blätter)
Bezüge zur Lebenswirklichkeit:
Kenntnisse/Fertigkeiten:
Die Schülerinnen und Schüler
verfügen über Kenntnisse und Fertigkeiten beim
schnellen Kopfrechnen im ZR bis 100.
entdecken und beschreiben Beziehungen zwischen
Zahlen … mit eigenen Worten.
kennen die Begriffe „wahr“ und „falsch“, um Aussagen einen Wahrheitswert zuzuweisen.
kennen die Bedeutung von Begriffen zur Beschreibung der Eintrittswahrscheinlichkeit von einfachen
Ereignissen (sicher, wahrscheinlich, nicht möglich).
verfügen bereits über erste Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimenten (z. B. Drehen mit Glücksrädern, Würfeln mit einem Würfel).
2
Kompetenzerwartung
Kompetenzerwartung
Prozessbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre
Vermutungen, Lösungen, Aussagen, etc. zutreffend sind. (überprüfen) (Argumentieren)
• bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und
entwickeln – ausgehend von Beispielen – ansatzweise allgemeine Überlegungen oder vollziehen diese nach. (folgern) (Argumentieren)
• probieren zunehmend systematisch und zielorientiert und nutzen die Einsicht in Zusammenhänge zur Problemlösung. (lösen) (Problemlösen/kreativ sein)
• halten ihre Arbeitsergebnisse, Vorgehensweisen und Lernerfahrungen
fest z. B. im Lerntagebuch (dokumentieren) (Darstellen/Kommunizieren)
• bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei
Verabredungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung.
(kooperieren und kommunizieren) (Darstellen/Kommunizieren)
Inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher
kombinatorischer Aufgabenstellungen. (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
• beschreiben die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (z. B. mit
Begriffen wie „sicher, wahrscheinlich, …“). ( Wahrscheinlichkeiten) (Daten,
Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
Inhalt: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Anforderungsbereiche: Reproduzieren (AB I), Zusammenhänge herstellen
(AB II), Verallgemeinern und Reflektieren (AB III)
Lernaufgabe/Lernarrangement: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Mögliche Ereignisse eines Zufallsexperimentes bestimmen und untersuchen
Vertiefung des Wissens:
Weiterführende Aufgaben zu Eintrittswahrscheinlichkeiten zum bekannten
Zufallsexperiment
Bestimmung der möglichen Ereignisse und Eintrittswahrscheinlichkeiten bei
anderen komplexeren Zufallsexperimenten
Überprüfung der Kompetenzen:
Intern: Beobachtungen beim Bearbeiten der Aufgaben, mündliche Erklärungen (Gruppengespräch), schriftliche Erläuterungen (Forschertagebuch)
Extern: Vergleichsarbeiten
Erwartete Lernergebnisse:
Die Schülerinnen und Schüler
geben mögliche Ziehungen mit den dazugehörigen Summen
an. (AB I).
weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen, deren Wahrheitsgehalt nach Bearbeitung der vorangegangenen Aufgaben unmittelbar auf der Hand liegt, die
Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zu. (AB I)
ermitteln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen nicht nur die
kleinste und die größte mögliche Summe, sondern auch alle
anderen möglichen Summen. (AB II)
finden zu vorgegebenen Summen mögliche Ziehungen.
(AB II)
weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen, deren Wahrheitsgehalt erschlossenen werden muss,
die Wahrheitswerte „wahr“ oder „falsch“ zu und finden zu vorgegebenen Aussagen passende Beispiele. (AB II).
entwickeln aufgrund erkannter Zahlbeziehungen Strategien,
um zu vorgegebenen Summen alle möglichen Ziehungen zu
finden. (AB III)
geben nicht nur eine Möglichkeit an, wie die Karten entsprechend einer Vorgabe mit den Ziffern 1 bis 9 beschriftet werden können, sondern begründen auch, warum es mehrere
Möglichkeiten gibt. (AB III)
Übergreifende Kompetenzen:
Wahrnehmen und Kommunizieren: Schülerinnen und
Schüler lernen, eigene Beobachtungen, Einschätzungen und
Überlegungen in unterschiedlicher, aber angemessener Weise anderen mitzuteilen.
Analysieren und Reflektieren: Schülerinnen und Schüler
lernen neue Erkenntnisse mit vorhandenen Kenntnissen und
Mustern zu vergleichen, um zu neuen Bewertungen und Einschätzungen zu kommen.
Arbeits- und Sozialverhalten:
Kooperationsfähigkeit:
Die Schülerinnen und Schüler stimmen sich … ab, bringen
Vorschläge zur Bearbeitung und Lösung von Aufgaben ein
und übernehmen Arbeit.
II. Aufgabenbeispiel
Mathematik
Bereich:
Schwerpunkt:
Vorhaben:
Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Klasse: 3/4
Titel der Lernaufgabe: Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“
Kompetenzen
Lernvoraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler
• verfügen über Kenntnisse und Fertigkeiten beim schnellen Kopfrechnen im ZR
bis 100.
• entdecken und beschreiben Beziehungen zwischen Zahlen … mit eigenen Worten.
• kennen die Bedeutung von Begriffen zur Beschreibung der Eintrittswahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (sicher, wahrscheinlich, nicht möglich).
• verfügen bereits über erste Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimenten
(z. B. Würfeln mit einem Würfel, Werfen einer Münze).
Kompetenzerwartungen
Prozessbezogene Kompetenzerwartungen
Die Schülerinnen und Schüler
• testen Vermutungen anhand von Beispielen und hinterfragen, ob ihre Vermutungen, Lösungen, Aussagen etc. zutreffend sind. (überprüfen) (Argumentieren)
• bestätigen oder widerlegen ihre Vermutungen anhand von Beispielen und entwickeln – ausgehend von Beispielen – ansatzweise allgemeine Überlegungen
oder vollziehen diese nach. (folgern) (Argumentieren)
• probieren zunehmend systematisch und zielorientiert und nutzen die Einsicht in
Zusammenhänge zur Problemlösung. (lösen) (Problemlösen/kreativ sein)
• halten ihre Arbeitsergebnisse, Vorgehensweisen und Lernerfahrungen fest,
z. B. im Lerntagebuch (dokumentieren) (Darstellen/Kommunizieren)
• bearbeiten komplexere Aufgabenstellungen gemeinsam, treffen dabei Verabredungen und setzen eigene und fremde Standpunkte in Beziehung. (kooperieren
und kommunizieren) (Darstellen/Kommunizieren)
Inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen:
Die Schülerinnen und Schüler
• bestimmen die Anzahl verschiedener Möglichkeiten im Rahmen einfacher kombinatorischer Aufgabenstellungen. (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
• beschreiben die Wahrscheinlichkeit von einfachen Ereignissen (z. B. mit Begriffen wie „sicher, wahrscheinlich, …“). (Wahrscheinlichkeiten) (Daten, Häufigkeiten, Wahrscheinlichkeiten)
3
Übergreifende Kompetenzen
Wahrnehmen und Kommunizieren: Schülerinnen und Schüler lernen, eigene Beobachtungen, Einschätzungen und Überlegungen in unterschiedlicher aber angemessener Weise anderen mitzuteilen.
Analysieren und Reflektieren: Schülerinnen und Schüler lernen neue Erkenntnisse
mit vorhandenen Kenntnissen und Mustern zu vergleichen, um zu neuen Bewertungen und Einschätzungen zu kommen.
Sachinformation
Beim Zufallsexperiment „Zahlen ziehen und addieren“ sind 27 Ziehungen mit 7 verschiedenen Summen möglich, wobei die Eintrittswahrscheinlichkeit der einzelnen
Summen unterschiedlich groß ist:
27 mögliche
Ziehungen
147
148
157
247
149
158
167
248
257
4
169
12
13
14
15
259
268
349
358
367
16
1
3
6
7
6
347
7 mögliche
Summen
Anzahl der
günstigen Ziehungen bzgl. jeder Summe
159
168
249
258
267
348
357
269
359
368
17
369
18
3
1
Anforderungsbereiche
Anforderungsbereiche
AB I: Reproduzieren
AB II: Zusammenhänge herstellen
AB III: Verallgemeinern und
Reflektieren
Bildungsstandards
Die Schülerinnen und Schüler
verfügen über Grundwissen und
führen Routinetätigkeiten aus.
Aufgabenbeispiel
Die Schülerinnen und Schüler
geben mögliche Ziehungen mit
den dazugehörigen Summen
an.
Sie weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen, deren Wahrheitsgehalt nach Bearbeitung der vorangegangenen Aufgaben unmittelbar auf der Hand liegt, die
Wahrheitswerte „wahr“ oder
„falsch“ zu.
Die Schülerinnen und Schüler
Die Schülerinnen und Schüler
erkennen und nutzen Zusamermitteln aufgrund erkannter
menhänge.
Zahlbeziehungen nicht nur die
kleinste und die größte mögliche Summe, sondern auch alle
anderen möglichen Summen.
Sie finden zu vorgegebenen
Summen mögliche Ziehungen.
Sie weisen Aussagen zur Eintrittswahrscheinlichkeit von Ereignissen, deren Wahrheitsgehalt erschlossen werden muss,
die Wahrheitswerte „wahr“ oder
„falsch“ zu und finden zu vorgegebenen Aussagen passende Beispiele.
Die Schülerinnen und Schüler
Die Schülerinnen und Schüler
führen komplexe Tätigkeiten wie entwickeln aufgrund erkannter
Strukturieren, Entwickeln von
Zahlbeziehungen Strategien,
Strategien, Beurteilen und Ver- um zu vorgegebenen Summen
allgemeinern aus.
alle möglichen Ziehungen zu
finden.
Sie geben nicht nur eine Möglichkeit an, wie die Karten entsprechend einer Vorgabe mit
den Ziffern 1 bis 9 beschriftet
werden können, sondern begründen auch, warum es mehrere Möglichkeiten gibt.
5
Ausgestaltung der Lernaufgabe
Experiment „Zahlen ziehen und addieren“
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Lege die 9 Karten verdeckt auf den Tisch und mische sie.
Ziehe eine weiße, eine graue und eine gepunktete Karte.
Schreibe die 3 gezogenen Zahlen auf und berechne ihre Summe.
Aufgabe 1: (AB I)
Schreibe 4 mögliche Ziehungen mit Summe auf.
Summe
Ö
Ö
Ö
Ö
6
Aufgabe 2:
a. Welches ist die kleinste mögliche Summe?
Begründe. (Blatt)
(AB II)
b. Welches ist die größte mögliche Summe?
Begründe. (Blatt)
(AB II)
c. Welche Summen kannst du bei den Ziehungen erhalten? Schreibe alle auf.
(AB II)
d. Zur Summe 14 gibt es 6 mögliche Ziehungen. Finde mindestens 3 mögliche Ziehungen.
(AB II bzw. AB III)
e. Finde alle 3 möglichen Ziehungen zur Summe 17. (AB III)
Aufgabe 3: (AB I/II)
Ist die Aussage wahr oder falsch. Trage w (wahr) oder f (falsch) ein.
w oder f
a.
b.
c.
Es ist möglich, 5 als Summe zu erhalten.
Es ist sicher, eine Summe größer als 20 zu erhalten.
Es ist unmöglich, die 10 als Summe zu erhalten.
(AB I)
w oder f
d.
e.
f.
Es ist unmöglich, eine gerade und zwei ungerade Zahlen zu ziehen.
Es ist möglich, aber nicht sicher, zwei gerade und eine ungerade Zahl zu
ziehen.
Es ist möglich, aber nicht sicher, eine ungerade Summe zu erhalten.
(AB II)
7
Aufgabe 4: (AB II)
Gib jeweils ein passendes Beispiel für eine Ziehung an.
Es ist möglich, drei ungerade Zahlen zu ziehen.
Beispiel:
Es ist nicht sicher, drei ungerade Zahlen zu ziehen.
Beispiel:
Aufgabe 5: (AB III)
Trage die Zahlen von 1 bis 9 so ein, dass bei Ziehungen als kleinste Summe 6 und
als größte Summe 24 möglich ist.
Es gibt mehrere Möglichkeiten. Begründe. (Blatt)
8
Lösungshinweise zu den Aufgaben 2, 3 und 4
Aufgabe 2:
a. Die kleinste Summe ist 12.
Sie ergibt sich durch Addition der drei jeweils kleinsten Zahlen: 1 + 4 + 7 = 12.
b. Die größte Summe ist 18.
Sie ergibt sich durch Addition der drei jeweils größten Zahlen: 3 + 6 + 9 = 18.
c. Da die Zahlen von 1 bis 9 jeweils um 1 größer werden, kommen alle Zahlen zwischen 12 und 18 als Summen vor.
d. Die 6 möglichen Ziehungen zur 14 sind:
149, 158, 167, 248, 257, 347
e. Die 3 möglichen Ziehungen zur 17 sind:
269, 359, 368
Aufgabe 3:
a. Antwort: f, da 12 die kleinste Summe ist, ist es nicht möglich, 5 als Summe zu erhalten.
b. Antwort: f, da alle möglichen Summen zwischen 12 und 18 liegen und damit kleiner als 20 sind.
c. Antwort: w, da 12 die kleinste mögliche Summe ist, kann man 10 unmöglich als
Summe erhalten.
d. Antwort: f, da z. B. die Ziehung 259 (gerade, ungerade, ungerade) möglich ist.
e. Antwort: w, da z. B. die Ziehung 247 (zwei gerade Zahlen, eine ungerade Zahl)
möglich ist. Da aber auch z. B. drei gerade Zahlen gezogen werden könnten
(248), ist eine Ziehung von zwei geraden Zahlen und einer ungeraden Zahl nicht
sicher.
f. Antwort: w, denn eine ungerade Summe ist möglich (Summen: 13, 15, 17). Eine
ungerade Summe ist aber nicht sicher, denn es könnten auch 3 Zahlen gezogen
werden, die eine gerade Summe ergeben (z. B. 1, 6, 9 mit der Summe 16).
Aufgabe 4:
Es ist möglich, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel:159
Es ist nicht sicher, drei ungerade Zahlen zu ziehen. Beispiel: 248
Aufgabe 5:
1 2 3
3 1 2
7 8 9
4 6 2
4 5 6
6 4 5
1 2 3
1 9 8
7 8 9
9 7 8
4 5 6
7 3 5
(1)
(2)
(3)
Es können
- die Spalten (1) oder
- die Zeilen (2) oder
- erst die Spalten und dann noch die Zahlen in jeder Spalte (3) oder
- erst die Zeilen und dann noch die Zahlen in jeder Zeile vertauscht werden.
9
Erwartete Lernergebnisse
Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten die Aufgaben selbstständig in Partnerarbeit.
Durch die Bereitstellung des konkreten Materials (Karten) haben die Schülerinnen
und Schüler bei einigen Aufgaben die Möglichkeit, die Aufgaben konkret handelnd zu
lösen, können aber auch auf die Durchführung von Ziehungen ganz verzichten.
Sie stellen Vermutungen an, bestätigen oder widerlegen diese, nutzen Einsicht in
Zusammenhänge zur Problemlösung und setzen sich mit den Meinungen anderer
kritisch auseinander.
Hinweise zum Unterricht
Zufallsexperimente mit Würfeln und Münzen sind allseits bekannt. Für die Schülerinnen und Schüler ist es deshalb umso reizvoller, ein anderes kindgemäßes Zufallsexperiment kennen zu lernen und Erfahrungen damit zu sammeln.
Da die Aufgaben 3 bis 5 nur dann erfolgreich bearbeitet werden können, wenn das
Wissen aus den Aufgaben 1 und 2 zur Verfügung steht, ist es sinnvoll, den Schülerinnen und Schülern zunächst nur die beiden ersten Aufgaben zur Bearbeitung zu
geben.
Indem die Aufgaben in Partnerarbeit bearbeitet werden, haben die Partner nicht nur
die Chance zum Lernen mit- und voneinander; auf diese Weise können durch die
gegenseitige Kontrolle auch leicht kleine Flüchtigkeitsfehler beim Rechnen aufgedeckt werden, die ansonsten schnell zu falschen Schlussfolgerungen verleiten könnten.
Wichtig ist es, die Partnergruppen vorab ausdrücklich darauf hinzuweisen, dass sie
bei einigen Aufgaben (Aufgabe 2a, Aufgabe 2b, Aufgabe 5) nicht vergessen, ihre
Begründungen aufzuschreiben.
Da das vorliegende Zufallsexperiment recht einfach ist und auch auf dem Arbeitsblatt
erklärt wird, kann auf eine Vorstellung im Klassenverband vor Arbeitsbeginn verzichtet werden.
Ansonsten würden auch schon mögliche Ziehungen verraten, die erst in Aufgabe 1
notiert werden sollen.
Schnell arbeitende Schülerinnen und Schüler können in Analogie zu den Aufgaben
2d und 2e noch zu anderen Summen alle möglichen Ziehungen ermitteln oder aufgefordert werden, alle möglichen Ziehungen mit ihren Summen möglichst systematisch
zu bestimmen.
Bevor die Aufgaben 3 bis 5 vorgelegt werden, sollten die Schülerinnen und Schüler –
wie oben bereits angedeutet – in Kleingruppengesprächen oder im Klassengespräch
sich gegenseitig erklären, wie sie die kleinste und größte Summe jeweils ermittelt
und wie sie des Weiteren alle möglichen Summen bestimmt haben.
10
Mit diesem Hintergrundwissen lassen sich dann den Aussagen a bis c der Aufgabe 3
ganz leicht die Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ zuweisen, während die Beurteilung der Aussagen d bis e schlussfolgerndes Denken voraussetzt.
Oft kommt es in der Mathematik darauf an, passende Beispiele bzw. Gegenbeispiele
angeben zu können. Dies wird durch die Bearbeitung von Aufgabe 4 angebahnt. Da
die Angabe jeweils eines Beispiels zur erfolgreichen Bearbeitung der Aufgabe genügt, sich aber viele Beispiele angeben lassen, darf im Unterricht nicht versäumt
werden, die von den Schülerinnen und Schülern gefundenen Beispiele zusammenzutragen.
Um das Erkennen und Nutzen von Zahlbeziehungen fördern zu können, geht es bei
Aufgabe 5 darum, die Zahlen von 1 bis 9 anders anordnen zu müssen als dies bei
der vorgegebenen Beschriftung der Karten der Fall war. Diese Aufgabe kann zudem
Anlass sein für weitere Variationen der Beschriftung der Karten und entsprechend
zur Förderung der Kreativität der Schülerinnen und Schüler beitragen.
Vertiefung des Wissens:
Zur Vertiefung des Wissens sind weiterführende Aufgaben mit den vorgegebenen
Karten denkbar, wie z. B.
(1)
Finde alle möglichen Ziehungen.
Versuche, die Ziehungen mit Summe so übersichtlich aufzuschreiben, dass du keine
vergisst.
(2)
Stell dir vor, du spielst mit einigen Freunden das Spiel „Zahlen ziehen und addieren“.
Jeder Mitspieler darf sich vor Spielbeginn eine der möglichen Summen auswählen.
Nach jeder Ziehung erhält der Spieler einen Punkt, dessen Summe gezogen worden
ist.
Sieger ist, wer nach 30 Ziehungen die höchste Punktzahl erreicht hat.
Welche Summe würdest du auswählen?
Ich würde die
wählen. Begründe deine Wahl. (Blatt)
(3)
Ist die Aussage wahr oder falsch. Trage w (wahr) oder f (falsch) ein.
Begründe deine Entscheidung. (Blatt)
w oder f
a.
b.
Es ist wahrscheinlicher, eine gerade Zahl als Summe zu erhalten als eine
ungerade.
Es ist gleich wahrscheinlich, eine Summe größer als 16 zu erhalten oder
die Summe 15.
Zur Vertiefung des Wissens kann auch die Bestimmung der möglichen Ereignisse
und Eintrittswahrscheinlichkeiten bei anderen komplexeren Zufallsexperimenten
(z. B. dreimaliges Werfen einer Münze, Urnenexperimente mit mehrmaligem Ziehen)
beitragen.
11
Material und Anhang
• 3 Arbeitsblätter mit 5 Aufgaben
• 5 Kopiervorlagen zum Anfertigen der Karten
Ziffern 1, 2 und 3: Vorderseite, Rückseite bleibt weiß
Ziffern 4, 5 und 6: Vorderseite, Rückseite
Ziffern 7, 8 und 9: Vorderseite, Rückseite
Hinweis:
Damit die Ziffern nicht durchschimmern, sollte Fotokopierpapier 160 g oder höher benutzt werden.
Ein Kopieren der Rückseiten ist notwendig, damit auch nach dem Umdrehen der Karten die drei
Sorten (weiß, grau und gepunktet) noch zu unterscheiden sind.
12
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
Kopiervorlage 1, 2 und 3 Vorderseite
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
13
4
4
4
4
4
4
14
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
4
4
4
4
4
4
Kopiervorlage für 4, 5 und 6 Vorderseite
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
Kopiervorlage für 4, 5 und 6 Rückseite
15
7
7
7
7
7
7
16
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
7
7
7
7
7
7
Kopiervorlage für 7, 8 und 9 Vorderseite
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
Kopiervorlage für 7, 8 und 9 Rückseite
17