Musterlösung zur Serie 7 - D-MATH

D-MATH, D-PHYS
Prof. J. Teichmann
Funktionentheorie
HS 2013
Musterlösung zur Serie 7
1. (a) Wir verwenden die geometrische Reihe und erhalten formal
X
X
1
1
=
=
(1 − z)k =
(−1)k (z − 1)k .
z
1 − (1 − z)
k≥0
k≥0
Dies ist eine Taylorreihe um z0 = 1 mit Konvergenzradius 1.
(b) Durch eine Partialbruchzerlegung erhalten wir 2 Summanden, auf die wir
die geometrische Reihe anwenden können:
1
1
1
1
=
=−
+
z 2 − 5z + 6
(z − 2)(z − 3)
z−2 z−3
1
1
1
1
=
−
2 1 − z/2 3 1 − z/3
1X
1X
(z/2)k −
(z/3)k
=
2
3
k≥0
k≥0
X 1
1
=
− k+1 z k .
2k+1
3
k≥0
Dies ist eine Taylorreihe mit Konvergenzradius 2 um den Punkt z0 = 0.
X zn
2. (a) Der Konvergenzradius der Reihe
ist 1, aber trotzdem konvergiert
n2
n≥0
die Reihe für jedes z mit Betrag 1, da wir die absolute Konvergenz nachweisen können:
X n X n X
z z 1
π2
=
≤
=
.
2
2
2
n
6
n≥1 n n≥1 n
n≥1
(b) Die Reihe
X
z n konvergiert für |z| = 1 nicht, da die Summanden keine
n≥0
Nullfolge bilden. Trotzdem ist der Konvergenzradius 1.
X z 2n
(c) Die Reihe
hat den Konvergenzradius 1. Sie divergiert für z = ±1,
n
n≥1
da wir dann die harmonische Reihe erhalten. Sie konvergiert hingegen für
z = ±i, da wir dann die alternierende harmonische Reihe startend mit
−1 erhalten, die gegen − log 2 konvergiert.
3. f hat eine Potenzreihenentwicklung, die wir anhand der Funktionalgleichung
bestimmen wollen. Es gilt
X
X
X
!
f 0 (z) =
nan z n−1 = z
an z n =
an z n+1 = zf (z).
n≥1
n≥0
n≥0
Wir erhalten also durch Koeffizientenvergleich von z 0 , dass a1 = 0, und allgemein (n + 2)an+2 = an . Dadurch verschwinden alle ungeraden Koeffizienten,
1
a2n
=
und für die geraden gilt a2n+2 = 2n+2
1
a2n = 2n n! resultiert. Wir erhalten also
f (z) =
X
n≥0
1 a2n
2 n+1 ,
was induktiv mit a0 = 1 in
n
2
1 2n X 1 z 2
z
z
=
=
exp
.
2n n!
n! 2
2
n≥0
Eine alternative Lösung geht wiefolgt: Wir schreiben formal g = log f und
0
2
erhalten g 0 = ff = z. Die Stammfunktionen erfüllen also log f (z) = z2 + c
und somit f (z) = e
z2
2
+c
. Die Bedingung f (0) = 1 ergibt dann c = 0, also
erhalten wir als Kandidaten für f die Funktion f (z) = e
z2
2
. Diese Funktion
ist holomorph von C nach C, erfüllt f (0) = 1 und f 0 (z) = z · e
also alle geforderten Bedingungen.
z2
2
= zf (z),
4. Aus der Potenzreihengleichung

 

X (−1)m
X En
1
=
z 2m  · 
zn = 1
cos z ·
cos z
(2m)!
n!
m≥0
n≥0
sehen wir, dass E0 = 1 gilt und ausserdem für den Koeffizienten von z r
X
2m+n=r
(−1)m En
=0
(2m)!n!
wenn r > 0. Wir erhalten daraus induktiv, dass alle ungeraden Koeffizienten E2n+1 = 0 verschwinden. Damit hat die Potenzreihe von 1/ cos z die
gewünschte Form.
Da cos z in z = π/2 eine Nullstelle hat und keine weitere Nullstelle von
kleinerem Betrag hat, ist der Konvergenzradius von 1/ cos z gerade π/2.
Es fehlt noch die Ganzheit der E2n : Für gerades r = 2n ist der Koeffizient
(−1)m E2ν
=0
(2m)!(2ν)!
m+ν=n
X
Wir multiplizieren diese Gleichung mit (2n)! und stellen sie nach E2n um:
X
2n
E2n = −
(−1)m
E2ν .
2ν
m+ν=n
Durch E0 = 1 sind also alle Koeffizienten ganze Zahlen.
2