Spieltheoretische Methoden in der Logik - informatik.uni

Spieltheoretische Methoden in der Logik
Markus Lohrey
Universität Leipzig
http://www.informatik.uni-leipzig.de/alg/lehre/ss08/SPIELE/
Sommersemester 2008
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
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0. Allgemeines
Überblick:
1
Motivation
2
Erreichbarkeitsspiele — Modallogik, Logik 1.Stufe
3
Paritätsspiele — modaler µ-Kalkül
Literatur:
Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics, and Infinite Games: A
Guide to Current Research. Lecture Notes in Computer Science 2500,
Springer 2002
Stirling. Modal and Temporal Properties of Processes, Springer 2001
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Motivation
Model-Checking
Das Model-Checking Problem für eine Logik L
(z. B. Prädikatenlogik oder Modallogik):
EINGABE: Eine endliche Struktur A (z. B. ein Graph) und eine Formel
ϕ∈L
FRAGE: Gilt ϕ in A, kurz A |= ϕ?
Beispiel: ϕ = ∀x∀y ∀z : E (x, y ) ∧ E (y , z) → E (x, z)
Dies ist eine Formel der Prädikatenlogik (= Logik 1.Stufe), die in einer
Struktur A = (V , E ) (ein gerichteter Graph) genau dann gilt, wenn die
Kantenrelation E transitiv ist.
Model-Checking hat vielerlei Anwendungen in der Informatik:
Automatische Verifikation von Software- und Hardwaresystemen
Datenbanktheorie
Künstliche Intelligenz
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Motivation
Model-Checking und Spiele
Unser Ansatz zur Lösung des Model-Checking Problems:
Konstruiere aus A, ϕ eine Spielarena G (A, ϕ) in der zwei Spieler
Adam und Eve gegeneinander spielen.
Eve versucht zu zeigen, dass A |= ϕ gilt.
Adam versucht zu zeigen, dass A 6|= ϕ gilt.
G (A, ϕ) wird so konstruiert, dass gilt:
A |= ϕ
⇐⇒
Eve hat eine Gewinnstrategie im Spiel G (A, ϕ)
Viele Fragen müssen noch geklärt werden:
Welche Strukturen A betrachten wir?
Welche Logiken L betrachten wir?
Wie sieht die Spielarena G (A, ϕ) aus?
Was bedeutet “Eve eine Gewinnstrategie in G (A, ϕ)?”
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir eine spezielle Klasse von Spielen einführen,
sogenannte Erreichbarkeitsspiele.
Diese werden wir benutzen, um das Model-Checking Problem für zwei
Logiken zu lösen:
Modallogik
Logik 1.Stufe
(= Prädikatenlogik, siehe Vorlesung Logik im 1. Semester)
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kripkestrukturen
Eine Kripkestruktur ist ein Tupel
K = (V , Σ, σ, Π, π)
wobei gilt:
V ist eine beliebige Menge (Menge der Welten/Zustände/Knoten)
Σ und Π sind endliche Mengen (Kantenmarkierungen und
Knotenmarkierungen)
σ : Σ → 2V ×V , σ(a) ist die Menge der a-markierten Kanten.
π : Π → 2V , π(p) ist die Menge der a-markierten Knoten.
Falls V endlich ist, ist K eine endliche Kripkestruktur.
Elemente aus Σ (bzw. Π) werden auch als Aktionen (bzw. Propositionen)
bezeichnet.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kripkestrukturen
Beispiel:
Die endliche Kripkestruktur
K = ({0, 1, 2, 3}, {a, b}, σ, {p, q}, π)
mit
σ(a) = {(0, 1), (2, 3), (3, 0)}, σ(b) = {(0, 2), (1, 3), (3, 0), (3, 3)} und
π(p) = {0}, π(q) = {0, 1, 3}
kann wie folgt graphisch dargestellt werden:
2
a
b
a, b
p, q 0
a
q
3
b
b
q 1
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Syntax und Semantik der Modallogik
Seien Σ und Π endliche Mengen von Kantenmarkierungen bzw.
Knotenmarkierungen.
Die Menge aller Formeln der Modallogik über Σ und Π (kurz ML(Σ, Π))
ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
Π ⊆ ML(Σ, Π) (alle Propositionen sind Formeln)
Wenn ϕ, ψ ∈ ML(Σ, Π), dann auch ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ ML(Σ, Π).
Wenn ϕ ∈ ML(Σ, Π) und a ∈ Σ, dann auch haiϕ, [a]ϕ ∈ ML(Σ, Π).
Sei nun K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur. Wir ordnen jeder Formel
ϕ ∈ ML(Σ, Π) induktiv eine Teilmenge [[ϕ]]K ⊆ V zu.
Für p ∈ Π ist [[p]]K = π(p)
[[¬ϕ]]K = V \ [[ϕ]]K
[[ϕ ∨ ψ]]K = [[ϕ]]K ∪ [[ψ]]K , [[ϕ ∧ ψ]]K = [[ϕ]]K ∩ [[ψ]]K
[[haiϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) ∧ u ∈ [[ϕ]]K }
[[[a]ϕ]]K = {v ∈ V | ∀u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) → u ∈ [[ϕ]]K }
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Syntax und Semantik der Modallogik
Für einen Knoten v ∈ V der Kripkestruktur K und eine Formel
ϕ ∈ ML(Σ, Π) definieren wir:
(K , v ) |= ϕ
⇐⇒
v ∈ [[ϕ]]K
Beispiel: Sei K wieder die folgende Kripkestruktur
2
a
b
q
a, b
p, q 0
3
b
a
b
q 1
gegeben. Dann gilt z. B.
(K , 0) |= p ∧ haihbi(¬p ∧ [b]q)
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele
Eine Spielarena ist ein Tupel G = (S, →, ρ), wobei
S eine beliebige Menge ist,
→ ⊆ S × S eine Menge von Kanten ist, und
ρ : S → {Adam, Eve} jedem Knoten einen Spieler zuordnet.
Für s ∈ S sei NG (s) = {t ∈ S | s → t}.
Definiere Adam = Eve und Eve = Adam.
Für x ∈ {Adam, Eve} sei
Sx = {s ∈ S | ρ(s) = x}
die Menge aller Spielpositionen, wo Spieler x ziehen muss.
Idee: Wenn die aktuelle Spielposition s ∈ S ist, dann muss der Spieler ρ(s)
ziehen, indem er eine Position t ∈ NG (s) auswählt. Die neue Spielposition
ist dann t.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele
Sei G = (S, →, ρ) eine Spielarena.
Ein Spiel in G ist ein maximaler Pfad im Graphen (S, →), d.h. es ist
entweder
ein unendlicher Pfad s = [s0 → s1 → s2 → · · · ] mit s0 , s1 , . . . ∈ V
oder
ein endlicher Pfad s = [s0 → s1 → · · · → sn ] mit n ≥ 0,
s1 , . . . , sn ∈ V und NG (sn ) = ∅ (sn ist eine Sackgasse).
Im ersten Fall sprechen wir von einem unendlichem Spiel im zweiten Fall
von einem endlichem Spiel. In beiden Fällen beginnt das Spiel s bei s0 .
Spieler x ∈ {Adam, Eve} gewinnt das Spiel s genau dann, wenn
s endlich ist (sei s = [s0 → s1 → · · · → sn ]) und
ρ(sn ) = x.
Intuitiv: Move or lose
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele
Eine Strategie für Spieler x ∈ {Adam, Eve} ist eine Abbildung
τ : Sx ∩ {s ∈ S | NG (s) 6= ∅} → S,
so dass s → τ (s) für alle s ∈ Sx ∩ {s ∈ S | NG (s) 6= ∅}.
Ein Spiel s ist konform mit der Strategie τ für Spieler x, falls gilt:
s = [s0 → s1 → s2 → · · · ] und ∀i ≥ 0 : si ∈ Sx ⇒ si+1 = τ (si ) oder
s = [s0 → s1 → . . . → sn ] und ∀0 ≤ i < n : si ∈ Sx ⇒ si+1 = τ (si ).
Alternative Definition: Definiere die Spielarena
G ↾τ = (S, {(s, τ (s)) | s ∈ dom(τ )} ∪ {(s, t) | s ∈ Sx , s → t}, ρ)
Dann ist s konform zu τ genau dann, wenn s ein Spiel in G ↾τ ist.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Sei s ∈ S eine Spielposition in G = (S, →, ρ) und sei τ eine Strategie für
Spieler x ∈ {Adam, Eve}.
τ ist eine Gewinnstrategie für Spieler x auf s (in G ) genau dann, wenn x
jedes mit τ konforme und bei s beginnende Spiel in G gewinnt.
Beachte: Insbesondere kann in G ↾τ kein unendliches Spiel in s beginnen,
falls τ eine Gewinnstrategie für x auf s ist.
Die Gewinnmenge für Spieler x ∈ {Adam, Eve} ist
WxG = {s ∈ S | ∃ Gewinnstrategie für x auf s}.
Satz 1
G in Polynomialzeit
Für eine gegebene Spielarena G = (V , →, ρ) kann WEve
berechnet werden.
Bei geeigneter Repräsentation des Graphen (V , →) (Adjazenzlisten für
G in Zeit O(|V | + | → |) berechnen.
(V , →) und (V , →−1 )) kann man WEve
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Zunächst ein Beispiel:
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam):
0
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1
2
3
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Zunächst ein Beispiel:
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam):
0
1
2
3
Eine Gewinnstrategie für Eve im Knoten 0:
0
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1
2
3
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Zunächst ein Beispiel:
Sei G die folgende Spielarena (grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten
gehören Adam):
0
1
2
3
Keine Gewinnstrategie für Eve im Knoten 0:
0
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1
2
3
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Beweis von Satz 1:
G mit dem folgenden Algorithmus:
Wir berechnen WEve
winning-region(G = (S, →, ρ))
W := ∅
for all s ∈ SEve mit NG (s) 6= ∅ do
τ (s) := t mit t ∈ NG (s) beliebig
endfor
repeat
U1 := {s ∈ S \ W | ρ(s) = Eve und NG (s) ∩ W 6= ∅}
U2 := {s ∈ S \ W | ρ(s) = Adam und NG (s) ⊆ W }
W := W ∪ U1 ∪ U2
forall s ∈ U1 do τ (s) := t, wobei t ∈ NG (s) ∩ W beliebig ist.
until U1 ∪ U2 = ∅
return W und τ
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Sei W∗ , τ∗ die Ausgabe von winning-region.
Sei Wi (i ≥ 1) der Wert der Variablen W nach dem i-ten Durchlauf durch
die repeat-until-Schleife, sei W0 = ∅.
S
W∗ = i≥0 Wi
Wir zeigen folgende drei Behauptungen:
(B1) winning-region arbeitet in Polynomialzeit.
(B2) Für alle s ∈ W∗ ist τ∗ eine Gewinnstrategie für Eve in G , s.
G .
Insbesondere: W∗ ⊆ WEve
G ⊆W
(B3) WEve
∗
Beweis von (B1): Die repeat-until-Schleife kann höchstens |S| mal
durchlaufen werden. Ein Durchlauf durch die repeat-until Schleife
benötigt höchstens | → | Schritte.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
Beweis von (B2):
Für s ∈ W∗ sei rank(s) die eindeutige Zahl i ≥ 1 mit s ∈ Wi \ Wi−1 .
Wir zeigen durch Induktion über rank(s) ≥ 1, dass τ∗ eine
Gewinnstrategie für Eve auf s ist.
Sei s ∈ W∗ mit rank(s) = i und sei τ∗ eine Gewinnstrategie für Eve auf
allen t ∈ W∗ mit rank(t) < i.
1. Fall: ρ(s) = Eve und NG (s) ∩ Wi−1 6= ∅.
Sei t ∈ NG (s) ∩ Wi−1 die Position mit τ∗ (s) = t.
Es gilt rank(t) ≤ i − 1.
Induktion
Spiel.
Eve gewinnt jedes bei t beginnende und mit τ∗ konforme
Eve gewinnt auch jedes bei s beginnende und mit τ∗ konforme Spiel.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
2. Fall: ρ(s) = Adam und NG (s) ⊆ Wi−1 .
Induktion
Eve gewinnt jedes bei einer Position aus NG (s) beginnende
und mit τ∗ konforme Spiel.
Eve gewinnt auch jedes bei s beginnende und mit τ∗ konforme Spiel.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
G ⊆W
Beweis von (B3): WEve
∗
G und fixiere eine Gewinnstrategie τ für Eve auf s. Sei
Sei s ∈ WEve
R = {t ∈ V | ∃ Pfad von s nach t in G ↾τ }.
In G ↾τ kann kein unendlicher Pfad im Knoten s beginnen.
Also können wir für alle t ∈ R definieren:
rank′ (t) = max. Länge eines bei t beginnenden Pfades in G ↾τ
Durch Induktion über rank′ (t) ≥ 1 zeigen wir ∀t ∈ R : t ∈ W∗ .
Sei t ∈ R und gelte u ∈ W∗ für alle u ∈ R mit rank′ (u) < rank′ (t).
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Berechnung der Gewinnpositionen für Eve
1. Fall: ρ(t) = Eve
Dann gilt rank′ (τ (t)) < rank′ (t).
Nach Induktion gilt also τ (t) ∈ W∗ , d.h. NG (t) ∩ W∗ 6= ∅.
Dies impliziert t ∈ W∗ .
2. Fall: ρ(t) = Adam.
Dann gilt rank′ (u) < rank′ (t) für alle u ∈ NG (t).
Nach Induktion gilt also NG (t) ⊆ W∗ .
Dies impliziert t ∈ W∗ .
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Fakten über Erreichbarkeitsspiele
Korollar 1 aus Satz 1
Sei G = (S, →, ρ) ein Spielarena für ein Erreichbarkeitsspiel. Dann existiert
eine Strategie τ für Eve mit:
∀s ∈ WGEve : τ ist eine Gewinnstrategie für Eve auf s.
Beweis: Wähle für τ die Strategie τ∗ aus Behauptung (B2).
Korollar 2 aus Satz 1
Sei G = (S, →, ρ) ein Spielarena für ein Erreichbarkeitsspiel und sei s ∈ S.
1
Wenn ρ(s) = Adam dann (NG (s) ⊆ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
2
Wenn ρ(s) = Eve dann (NG (s) ∩ WGEve 6= ∅ ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
Beweis: Folgt aus WGEve = W∗ .
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Sei K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur, v ∈ V und ϕ ∈ ML(Σ, Π).
Wir konstruieren nun eine endliche Spielarena G (K , ϕ) und eine
Spielposition u, so dass gilt:
(K , v ) |= ϕ ⇐⇒ u ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Wie können o.B.d.A. davon ausgehen, dass in ϕ das Negationszeichen nur
direkt vor Propositionen p ∈ Π steht, da folgende Äquivalenzen gelten:
¬(ψ ∧ θ) ≡ ¬ψ ∨ ¬θ
¬(ψ ∨ θ) ≡ ¬ψ ∧ ¬θ
¬haiψ ≡ [a]¬ψ
¬[a]ψ ≡ hai¬ψ
Hierbei bedeutet ψ ≡ θ, dass [[ψ]]K = [[θ]]K für jede Kripkestruktur K .
Die Menge sub(ϕ) aller Teilformeln von ϕ ist induktiv wie folgt definiert:
sub(p) = {p} und sub(¬p) = {¬p} für p ∈ Π
sub(ψ ◦ θ) = {ψ ◦ θ} ∪ sub(ψ) ∪ sub(θ) für ◦ ∈ {∧, ∨}
sub(haiψ) = {haiψ} ∪ sub(ψ) für a ∈ Σ
sub([a]ψ) = {[a]ψ} ∪ sub(ψ) für a ∈ Σ
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22 / 188
Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Schließlich können wir die Spielarena G (K , ϕ) = (S, →, ρ) wie folgt
definieren:
S = V × sub(ϕ) (beachte: V war die Knotenmenge von K )
→ und ρ sind wie folgt definiert:
v, θ
v, θ
v, ψ ∧ θ
v, ψ ∨ θ
v, ψ
v , haiψ
v, ψ
u, ψ ∀(v , u) ∈ σ(a)
v , [a]ψ
u, ψ ∀(v , u) ∈ σ(a)
ρ(v , ψ ∧ θ) = Adam
ρ(v , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(v , [a]ψ) = Adam
ρ(v , haiψ) = Eve
ρ(v , p) = Adam für v ∈ π(p)
ρ(v , p) = Eve für v 6∈ π(p)
ρ(v , ¬p) = Adam für v 6∈ π(p)
ρ(v , ¬p) = Eve für v ∈ π(p)
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Intuition:
Eve will von einer Position (v , ϕ) aus zeigen, dass (K , v ) |= ϕ gilt.
Adam will von einer Position (v , ϕ) aus zeigen, dass (K , v ) 6|= ϕ gilt.
Hieraus ergibt sich die Definition der Spielarena G (K , ϕ) auf natürliche
Weise. Z. B.:
(v , haiψ) → (u, ψ) für alle u ∈ V mit (v , u) ∈ σ(a), denn um
(K , v ) |= haiψ zu zeigen (Eves Ziel) muss man einen Knoten u ∈ V
mit (v , u) ∈ σ(a) finden, für den (K , u) |= ψ gilt.
ρ(v , p) = Adam, falls v ∈ π(p), denn letzteres impliziert (K , v ) |= p.
Also sollte Eve an der Position (v , p) gewinnen. Dies ist auch der Fall,
denn Positionen (v , p) (ebenso wie (v , ¬p)) sind Sackgassen. Da in
der Position (v , p) Adam ziehen soll, gewinnt Eve.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Beispiel: Sei K die Kripkestruktur
a
p
a
0
q
1
b
b
Sei ϕ = hai[b](p ∨ q).
Dann sieht die Spielarena G (K , ϕ) wie folgt aus (grüne Knoten gehören
Eve, rote Knoten gehören Adam)
0, hai[b](p ∨ q)
1, hai[b](p ∨ q)
0, [b](p ∨ q)
1, [b](p ∨ q)
0, p ∨ q
1, p ∨ q
0, p
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0, q
1, p
1, q
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
Satz 2
Sei K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur und ϕ ∈ ML(Σ, Π). Dann gilt
für alle v ∈ V und alle ψ ∈ sub(ϕ):
(K , v ) |= ψ ⇐⇒ (v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Beweis:
Wir beweisen den Satz durch Induktion über den Aufbau der Formel ψ.
Sei G = G (K , ϕ) = (V × sub(ϕ), →, ρ).
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
1. Fall: ψ = p ∈ Π. Dann gilt
(K , v ) |= p
⇐⇒
v ∈ π(p)
⇐⇒
ρ(v , p) = Adam
⇐⇒
(v , p) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Für die letzte Äquivalenz beachte, dass (v , p) eine Sackgasse in G ist.
2. Fall: ψ = ¬p für ein p ∈ Π. Dann gilt
(K , v ) |= ¬p
⇐⇒
v 6∈ π(p)
⇐⇒
ρ(v , ¬p) = Adam
⇐⇒
(v , ¬p) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
3. Fall: ψ = ψ1 ∨ ψ2 . Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
IH
∃i ∈ {1, 2} : (K , v ) |= ψi
⇐⇒
∃i ∈ {1, 2} : (v , ψi ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Kor. 2
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
4. Fall: ψ = ψ1 ∧ ψ2 . Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
IH
∀i ∈ {1, 2} : (K , v ) |= ψi
⇐⇒
∀i ∈ {1, 2} : (v , ψi ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Kor. 2
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erreichbarkeitsspiele und Modallogik
5. Fall: ψ = haiθ. Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
IH
∃(v , u) ∈ σ(a) : (K , u) |= θ
⇐⇒
∃(v , u) ∈ σ(a) : (u, θ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Kor. 2
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
6. Fall: ψ = [a]θ. Dann gilt
(K , v ) |= ψ
⇐⇒
IH
∀(v , u) ∈ σ(a) : (K , u) |= θ
⇐⇒
∀(v , u) ∈ σ(a) : (u, θ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Kor. 2
(v , ψ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
⇐⇒
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Model-Checking Modallogik
Satz 3
Für eine gegebene Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ ML(Σ, Π) können wir in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) entscheiden, ob
(K , v ) |= ϕ gilt.
Beweis:
(1) Konstruiere die Spielarena G = G (K , ϕ)
Beachte: G hat nur |V | · |ϕ| Knoten und höchstens |V |2 · |ϕ| viele
Kanten.
(2) Berechne W = WGEve und teste, ob (v , ϕ) ∈ W gilt.
Nach Satz 1 können wir W in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) berechnen.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Syntax
Logik 1. Stufe (= Prädikatenlogik) wurde in der Vorlesung Logik im 1.
Semester behandelt.
Eine Signatur ist ein Paar S = (R, arity) wobei gilt:
R ist eine endliche Menge von Relationssymbolen.
arity : R → N ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R
seine Stelligkeit arity(r ) zuordnet.
Sei X im folgenden eine abzählbar-unendliche Menge von Variablen.
Variablen werden wir im folgenden mit x, y , z, x ′ , x0 , . . . bezeichnen.
Die Menge FO(S) aller Formeln der Logik 1. Stufe (über der Signatur S)
ist die kleinste Menge mit:
Wenn r ∈ R, arity(r ) = n und x1 , . . . , xn ∈ X , dann
r (x1 , . . . , xn ) ∈ FO(S).
Wenn ϕ, ψ ∈ FO(S), dann auch ¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ FO(S).
Wenn ϕ ∈ FO(S) und x ∈ X , dann auch ∃x ϕ, ∀x ϕ ∈ FO(S).
Markus Lohrey (Universität Leipzig)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
31 / 188
Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Syntax
Beachte: Im Gegensatz zur Vorlesung Logik erlauben wir keine
Funktionssymbole. Für das Model-Checking Problem für Logik 1. Stufe ist
dies keine Einschränkung, da eine Funktion f : An → A durch die Relation
{(a, a) ∈ An+1 | f (a) = a} ersetzt werden kann.
Die Menge der freien Variablen free(ϕ) ⊆ X einer Formel ϕ ∈ FO(S) ist
induktiv wie folgt definiert:
free(r (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
free(¬ϕ) = free(ϕ), free(ϕ ∧ ψ) = free(ϕ ∨ ψ) = free(ϕ) ∪ free(ψ).
free(∃x ϕ) = free(∀x ϕ) = free(ϕ) \ {x}.
Ein Formel ϕ ∈ FO(S) ist ein Satz, falls free(ϕ) = ∅ gilt.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Semantik
Eine Struktur über der Signatur S = (R, arity) ist ein Tripel
A = (A, IS , IX ), wobei gilt:
A ist eine beliebige Menge (das Universum der Struktur).
IS ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R eine
arity(r )-stellige Relation IS (r ) ⊆ Aarity(r ) zuordnet.
IX : X → A ist eine partielle Funktion, ihr Definitionsbereich sei
dom(IX ).
Für eine Formel ϕ ∈ FO(S) und eine Struktur A = (A, IS , IX ) über der
Signatur S mit dom(IX ) = free(ϕ) schreiben wir A |= ϕ genau dann,
wenn einer der folgenden Fälle gilt:
ϕ = r (x1 , . . . , xn ) und (IX (x1 ), . . . , IX (xn )) ∈ IS (r ).
ϕ = ¬ψ und A 6|= ψ.
ϕ = ψ ∧ θ und (A |= ψ und A |= θ).
ϕ = ψ ∨ θ und (A |= ψ oder A |= θ).
ϕ = ∃x ψ und es gibt ein a ∈ A mit (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ψ
ϕ = ∀x ψ und für alle a ∈ A gilt (A, IS , IX ∪ {(x, a)}) |= ψ.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe: Model-Checking
Die Struktur A = (A, IS , IX ) ist endlich, falls A eine endliche Menge ist.
Falls dom(IX ) = ∅ gilt, identifizieren wir die Struktur (A, IS , IX ) mit
(A, IS ).
Das Model-Checking-Problem für FO(S):
EINGABE: Eine endliche Struktur A = (A, IS ) und ein Satz ϕ ∈ FO(S).
FRAGE: Gilt A |= ϕ?
Wir werden das Model-Checking-Problem für FO(S) wieder mittels eines
Erreichbarkeitsspiels lösen.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). O.B.d.A. kommt
in ϕ die Negation ¬ nur direkt vor atomaren Formeln vor.
Wir definieren eine Spielarena
G (A, ϕ) = (S, →, ρ)
wie folgt:
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free(ψ) → A}
→ ist wie folgt definiert:
I ↾free(θ), θ
I ↾free(θ), θ
I,ψ ∧ θ
I,ψ ∨ θ
I ↾free(ψ), ψ
I , ∃x ψ
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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I ↾free(ψ), ψ
I , ∀x ψ
Spieltheoretische Methoden in der Logik
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
ρ ist wie folgt definiert
ρ(I , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(I , ψ ∧ θ) = Adam
ρ(I , ∃x ψ) = Eve
ρ(I , ∀x ψ) = Adam
(
Eve
ρ(I , r (x1 , . . . , xn )) =
Adam
(
Eve
ρ(I , ¬r (x1 , . . . , xn )) =
Adam
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für (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ IS (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ IS (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ IS (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ IS (r )
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Satz 4
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). Dann gilt für alle
ψ ∈ sub(ϕ) und I : free(ψ) → A:
(A, IS , I ) |= ψ ⇐⇒ (I , ψ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
Beweis: Analog zum Beweis von Satz 2 für Modallogik (Übung).
Folgt aus Satz 4, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in
Polynomialzeit gelöst werden kann ?
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Logik 1. Stufe und Erreichbarkeitsspiele
Satz 4
Sei A = (A, IS ) eine endliche Struktur und ϕ ∈ FO(S). Dann gilt für alle
ψ ∈ sub(ϕ) und I : free(ψ) → A:
(A, IS , I ) |= ψ ⇐⇒ (I , ψ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
Beweis: Analog zum Beweis von Satz 2 für Modallogik (Übung).
Folgt aus Satz 4, dass das Model-Checking-Problem für FO(S) in
Polynomialzeit gelöst werden kann ?
Nein! Das Problem ist, dass die Spielarena G (A, ϕ) nicht polynomiell in
der Größe von ϕ beschränkt ist:
Die Menge der Spielpositionen von G (A, ϕ) ist
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free(ψ) → A}.
P
|S| = ψ∈sub(ϕ) |A||free(ψ)| .
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Komplexität von Model-Checking für FO
Bemerkung: In der Tat ist das Model-Checking Problem für FO(S)
PSPACE-vollständig (insbesondere also NP-hart), weshalb es wohl keinen
Polynomialzeitalgorithmus für das Problem gibt.
Wir können jedoch Fragemente von FO(S) definieren, für das
Model-Checking Problem in Polynomialzeit entschieden werden kann.
Für ϕ ∈ FO(S) definiere die Weite von ϕ
width(ϕ) = max{|free(ψ)| | ψ ∈ sub(ϕ)}.
Satz 5
Das Model-Checking Problem für FO(S) kann in Zeit O(|ϕ| · |A|width(ϕ) )
gelöst werden.
Allgemeiner: Für eine gegebene Formel ϕ ∈ FO(S) und eine Struktur
A = (A, IS , IX ) mit dom(IX ) = free(ϕ) können wir in Zeit
O(|ϕ| · |A|width(ϕ) ) entscheiden, ob A |= ϕ gilt?
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Komplexität von Model-Checking für FO
Beweis:
(1) Konstruiere die Spielarena G = G (A, ϕ)
Beachte: G hat höchsten |A|width(ϕ) · |ϕ| viele Knoten und nur
O(|A|width(ϕ) · |ϕ|) viele Kanten.
(2) Berechne W = WGEve und teste, ob (v , ϕ) ∈ W gilt.
Nach Satz 1 können wir W in Zeit O(|A|width(ϕ) · |ϕ|) berechnen.
Korollar aus Satz 5
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem,
eingeschränkt auf FO(S)-Formeln der Weite ≤ w , kann in Polynomialzeit
gelöst werden.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Modallogik → FO
Sei K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur, o.B.d.A. Σ ∩ Π = ∅.
Definiere die Signatur SK = (Σ ∪ Π, arity), wobei arity(a) = 2 für alle
a ∈ Σ und arity(p) = 1 für alle p ∈ Π.
Dann können wir K mit der Struktur AK = (V , σ ∪ π) über SK
identifizieren.
Wir definieren nun für jede modallogische Formel ϕ ∈ ML(Σ, Π) eine
Formel ϕf ∈ FO(SK ) induktiv. Seien x0 , y0 ∈ X zwei ausgezeichnete
Variablen.
p f = p(x0 ) für p ∈ Π.
(¬ϕ)f = ¬ϕf , (ϕ ∧ ψ)f = ϕf ∧ ψ f , (ϕ ∨ ψ)f = ϕf ∨ ψ f
(haiϕ)f = ∃y0 (a(x0 , y0 ) ∧ (ϕf )[x0 7→ y0 ])
([a]ϕ)f = ∀y0 (a(x0 , y0 ) → (ϕf )[x0 7→ y0 ])
Hierbei entsteht ψ[x0 7→ y0 ] aus ψ, indem jedes freie Vorkommen von x0 in
ψ durch y0 ersetzt wird.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Modallogik → FO
Beachte: Für jede Formel ϕ ∈ ML(Σ, Π) gilt free(ϕf ) = {x0 } und
width(ϕf ) ≤ 2.
Lemma 1
Für jede Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π), jeden Knoten v ∈ V und jede
Formel ϕ ∈ ML(Σ, Π) gilt:
(K , v ) |= ϕ
⇐⇒
(AK , x0 7→ v ) |= ϕf
Aus Lemma 1 sowie Satz 5 folgt Satz 3:
Für eine gegebene Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ ML(Σ, Π) können wir in Zeit O(|V |2 · |ϕ|) entscheiden, ob
(K , v ) |= ϕ gilt.
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
Eine Fomel ϕ ∈ ML(Σ, Π) ist erfüllbar, falls eine Kripkestruktur
K = (V , Σ, σ, Π, π) und v ∈ V mit (K , v ) |= ϕ existieren.
Satz 6 (small model property für Modallogik)
Sei ϕ ∈ ML(Σ, Π) erfüllbar. Dann existiert eine Kripkestruktur
K = (V , Σ, σ, Π, π) und v ∈ V mit
(K , v ) |= ϕ
|V | ≤ 2|ϕ|
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
Beweis:
Sei ϕ ∈ ML(Σ, Π) erfüllbar.
Also existiert eine Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π) und v ∈ V mit
(K , v ) |= ϕ.
Wir definieren eine Äquivalenzrelation ≡ auf V durch:
x ≡y
⇐⇒
∀ψ ∈ sub(ϕ) : (K , x) |= ψ ⇔ (K , y ) |= ψ
[x] = {y ∈ V | x ≡ y } ist die x enthaltende Äquivalenzklasse.
V ′ = {[x] | x ∈ V } ist die Menge aller Äquivalenzklassen.
Nun definieren wir die Kripkestruktur K ′ = (V ′ , Σ, σ ′ , Π, π ′ ), wobei
σ ′ (a) = {([x], [y ]) | ∃(u, v ) ∈ σ(a) : u ≡ x, v ≡ y } für a ∈ Σ
π ′ (p) = {[x] | ∃u ∈ π(p) : u ≡ x} für p ∈ Π
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
(A) |V ′ | ≤ 2|ϕ|
Definiere eine Abbildung f : V → 2sub(ϕ) durch
f (x) = {ψ ∈ sub(ϕ) | (K , x) |= ψ}.
Dann gilt für alle x, y ∈ V :
[x] = [y ]
⇐⇒
f (x) = f (y )
|V ′ | = |f (V )| ≤ |2sub(ϕ) | ≤ 2|ϕ|
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
(B) (K ′ , [v ]) |= ϕ.
Wir zeigen die folgende allgemeinere Aussage durch Induktion über den
Aufbau der Formel ψ ∈ sub(ϕ):
∀x ∈ V : (K , x) |= ψ ⇐⇒ (K ′ , [x]) |= ψ
Wegen (K , v ) |= ϕ folgt hieraus (K ′ , [v ]) |= ϕ.
1.Fall. ψ = p ∈ Π: Es gilt
(K , x) |= p
⇐⇒
∗
x ∈ π(p)
⇐⇒
[x] ∈ π ′ (p)
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= p
Zu (*): Es gilt offensichtlich x ∈ π(p)
[x] ∈ π ′ (p).
′
Andererseits: [x] ∈ π (p)
∃y ∈ π(p) : x ≡ y
x ∈ π(p)
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
2.Fall. ψ = ¬θ: Es gilt
(K , x) |= ¬θ
⇐⇒
(K , x) 6|= θ
IH
⇐⇒
(K ′ , [x]) 6|= θ
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ¬θ
3.Fall. ψ = ψ1 ∧ ψ2 : Es gilt
(K , x) |= ψ1 ∧ ψ2
⇐⇒
IH
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(K , x) |= ψ1 und (K , x) |= ψ2
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ψ1 und (K ′ , [x]) |= ψ2
⇐⇒
(K ′ , [x]) |= ψ1 ∧ ψ2
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Kleine Modelle in der Modallogik
4.Fall. ψ = haiθ.
Gelte zunächst (K , x) |= haiθ.
∃y ∈ V : (x, y ) ∈ σ(a), (K , y ) |= θ.
(K ′ , [y ]) |= θ
IH
(x, y ) ∈ σ(a)
([x], [y ]) ∈ σ ′ (a)
(K ′ , [x]) |= haiθ
Gelte nun (K ′ , [x]) |= haiθ
∃[y ] ∈ V ′ : ([x], [y ]) ∈ σ ′ (a), (K ′ , [y ]) |= θ.
IH
(K , y ) |= θ
([x], [y ]) ∈ σ ′ (a)
∃(u, v ) ∈ σ(a) : x ≡ u, y ≡ v
y ≡v
(K , v ) |= θ
x ≡u
(K , x) |= haiθ
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(K , u) |= haiθ
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Erreichbarkeitsspiele — Modallogik und Logik 1.Stufe
Erfüllbarkeit für Modallogik
Korollar aus Satz 6
Es ist entscheidbar, ob eine gegebene Formel ϕ ∈ ML(Σ, Π) erfüllbar ist.
Beweis:
Da Σ und Π endlich sind gibt es nur endlich viele Kripkestrukturen
K = (V , Σ, σ, Π, π) mit |V | ≤ 2|ϕ| .
Für jedes solche K und alle v ∈ V testen wir, ob (K , v ) |= ϕ gilt.
Bekommen wir dabei einen Treffer, so ist ϕ erfüllbar, ansonsten ist ϕ nach
Satz 6 nicht erfüllbar.
Bemerkungen:
Der im obigen Beweis skizzierte Algorithmus ist nicht sehr effizient.
Es wurde gezeigt, dass das Erfüllbarkeitsproblem für Modallogik
PSPACE-vollständig ist.
Das Erfüllbarkeitsproblem für Logik 1. Stufe ist sogar unentscheidbar.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Überblick
In diesem Abschnitt werden wir unendliche Spiele (insbesondere
Paritätsspiele) untersuchen.
Diese werden wir benutzen, um das Model-Checking Problem für den
modalen µ-Kalkül zu lösen.
Der modale µ-Kalkül ist eine ausdrucksstarke Logik, in der z. B.
Eigenschaften wie
Ein Knoten, wo die Proposition p gilt, ist erreichbar. “
”
ausgedrückt werden können.
Eigenschaften dieser Art lassen sich nicht in Logik 1. Stufe ausdrücken.
Formal: Es gibt keine Formel ϕ(x) ∈ FO({r , p}, arity) (mit arity(r ) = 2,
arity(p) = 1), so dass für jede Struktur (A, IS , IX ) über der Signatur
({r , p}, arity) mit dom(IX ) = {x} gilt:
(A, IS , IX ) |= ϕ(x) ⇐⇒ ∃b ∈ IS (p) : (IX (x), b) ∈ IS (r )∗
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Wiederholung:
Eine Spielarena ist ein Tripel G = (S, →, ρ), wobei → ⊆ S × S und
ρ : S → {Adam, Eve}.
Beachte: S muss nicht endlich sein.
Ein Spiel in G ist ein maximaler Pfad im Graphen (S, →).
Ein Spiel kann unendlich sein oder endlich sein und in einer Sackgasse
enden.
Bei Erreichbarkeitsspielen gab es für ein unendliches Spiel s0 s1 s2 · · · keinen
Gewinner. Dies soll sich jetzt ändern.
Für eine Menge A bezeichnet
Aω = {a1 a2 a3 · · · | ∀i ≥ 1 : ai ∈ A}
die Menge aller unendlichen Wörter über A.
Eine Gewinnbedingung für die Spielarena G = (S, →, ρ) ist eine Teilmenge
L ⊆ Sω.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Sei G = (S, →, ρ) eine Spielarena und L ⊆ S ω eine Gewinnbedingung.
Sei s ein Spiel in G .
Eve gewinnt das Spiel s, falls einer der beiden folgenden Fälle gilt:
s = s0 s1 · · · sn (das Spiel ist endlich) und ρ(sn ) = Adam.
s = s0 s1 s2 · · · (das Spiel ist unendlich) und s ∈ L.
Adam gewinnt das Spiel s, falls Eve das Spiel s nicht gewinnt.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Problem: Wie soll die Gewinnbedingung L ⊆ S ω spezifiziert werden?
Eine gefärbte Spielarena ist ein Tupel G = (S, →, ρ, χ) wobei (S, →, ρ)
eine Spielarena wie bisher ist, und χ : S → C eine Funktion von S in eine
endliche Menge von Farben C ist.
Für eine Menge L ⊆ C ω sei
χ−1 (L) = {s0 s1 s2 · · · | χ(s0 )χ(s1 )χ(s2 ) · · · ∈ L} ⊆ S ω .
Wir spezifizieren eine Gewinnbedingung durch eine Menge L ⊆ C ω .
Die zugehörige Gewinnbedingung ist dann χ−1 (L).
Teilmengen von C ω werden durch verschiedene Bedingungen definiert,
siehe nächste Folie.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Für ein Wort c = c0 c1 c2 · · · ∈ C ω ist
Inf(c) = {c | es existieren unendlich viele i mit ci = c} ⊆ C
die Menge aller Farben, die unendlich oft in c vorkommen.
Eine Mullerbedingung ist eine Teilmenge M ⊆ 2C .
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({c ∈ C ω | Inf(c) ∈ M})
Wir nennen (S, →, ρ, χ, M) auch eine Mullerspielarena.
Eine Büchibedingung ist eine Teilmenge B ⊆ C .
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({c ∈ C ω | Inf(c) ∩ B =
6 ∅})
Wir nennen (S, →, ρ, χ, B) auch eine Büchispielarena.
Paritätsbedingung: Hier setzen wir lediglich voraus, dass C ⊆ N gilt.
zugehörige Gewinnbedingung: χ−1 ({c ∈ C ω | max(Inf(c)) gerade })
Wir nennen (S, →, ρ, χ) auch eine Paritätsspielarena.
Die Farben in C werden auch Prioritäten genannt.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Beispiel (von R. Mazala, aus Grädel, Thomas, Wilke. Automata, Logics,
and Infinite Games, LNCS 2500, Springer 2002):
Betrachte folgende gefärbte Spielarena G , wobei C = {1, 2, 3, 4}.
Die Farbe χ(s) einer Spielposition s steht neben s als Markierung.
Grüne Knoten gehören Eve, rote Knoten gehören Adam.
1
s0
s1 2
1 s2
3 s3
2 s4
4 s5
s6
2
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Beispiel (Fortsetzung)
Ist die Gewinnbedingung durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
gegeben, so gewinnt Eve das Spiel s6 s3 s2 s4 s6 s5 (s2 s4 )ω , während Adam das
Spiel (s2 s4 s6 s5 )ω gewinnt.
Ist die Gewinnbedingung durch die Büchibedingung {1} gegeben, so
gewinnt Eve das Spiel (s2 s4 s6 s3 )ω .
Ist die Gewinnbedingung schließlich durch die Paritätsbedingung gegeben,
so gewinnt Eve das Spiel (s2 s4 s6 s5 )ω , während Adam das Spiel (s2 s4 s6 s3 )ω
gewinnt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Für unendliche Spiele müssen wir den Begriff einer Strategie neu definieren.
Sei G = (S, →, ρ) eine Spielarena und L ⊆ S ω eine Gewinnbedingung.
Für x ∈ {Adam, Eve} sei Sx = {s ∈ S | ρ(s) = x} die Menge aller Knoten,
wo Spieler x ziehen muss.
Sei s = s0 s1 s2 · · · (bzw. s = s0 s1 s2 · · · sn ) ein Spiel in G .
Ein Präfix von s ist eine Folge s0 s1 · · · sm mit m ∈ N (bzw. 0 ≤ m ≤ n).
Sei τ : S ∗ Sx → S eine partielle Abbildung und sei s0 s1 · · · sm Präfix eines
Spiels in G . Dann ist s0 s1 · · · sm konform mit τ , falls gilt:
∀i ∈ {0, . . . , m − 1} : si ∈ Sx =⇒ si+1 = τ (s0 s1 · · · si )
Ein Spiel s ist konform mit τ , falls jeder Präfix von s konform mit τ ist.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Eine Strategie für Spieler x ist eine partielle Abbildung τ : S ∗ Sx → S mit
folgender Eigenschaft:
Für alle s0 s1 · · · sm−1 ∈ S ∗ und sm ∈ Sx , so dass
s0 s1 · · · sm Präfix eines Spiels in G ist,
s0 s1 · · · sm konform mit τ ist, und
NG (sm ) 6= ∅ (sm ist keine Sackgasse),
gilt s0 s1 · · · sm ∈ dom(τ ) und sm → τ (s0 s1 · · · sm ).
Die Strategie τ für Spieler x ist eine Gewinnstrategie für x auf U ⊆ S
genau dann, wenn x jedes mit τ konforme und bei einer Position aus U
beginnende Spiel gewinnt.
Spieler x gewinnt auf U ⊆ S, falls x eine Gewinnstrategie auf U ⊆ S hat.
Falls U = {s} gilt, sagen wir auch, dass x auf s (in der Arena G ) gewinnt.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Unendliche Spiele
Beispiel: Sei wieder folgende gefärbte Spielarena gegeben.
s0
1
1 s2
3 s3
2 s4
s1 2
4 s5
2 s6
Die Gewinnbedingung sei durch die Mullerbedingung {{1, 2}, {1, 2, 3, 4}}
gegeben. Eine Gewinnstrategie für Eve auf {s2 , s3 , s4 , s5 , s6 } ist:


s4 falls w ∈ S ∗ s2



s
falls w ∈ S ∗ s5 (s2 s4 )+ s6
3
τ (w ) =
s5 falls w ∈ S ∗ s3 (s2 s4 )+ s6 ∪ (S \ {s3 , s5 })∗ s6



s
falls w ∈ S ∗ s5
2
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58 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Büchi, Parität → Muller
Eine Büchibedingung B ⊆ C kann offensichtlich mit der Mullerbedingung
M = {F ⊆ C | F ∩ B =
6 ∅}
identifiziert werden (beide liefern die gleiche Gewinnbedingung).
Analog kann eine durch χ : S → N (mit f (S) endlich) gegebene
Paritätsbedingung mit der Mullerbedingung
M = {F ⊆ C | max(F ) gerade }
identifiziert werden.
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59 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Die Paritätsbedingung erscheint zunächst recht speziell, sie ist jedoch in
der Tat sehr mächtig:
Satz 7
Sei G = (S, →, ρ, χ, M) eine Mullerspielarena. Dann existiert eine
Paritätsspielarena G ′ = (S ′ , →′ , ρ′ , χ′ ) und eine Abbildung f : S → S ′ so
dass für alle s ∈ S gilt:
Eve gewinnt auf s in G ⇐⇒ Eve gewinnt auf f (s) in G ′ .
Falls S endlich ist, ist auch S ′ endlich.
Beweis:
Für ein Wort w = a1 a2 · · · an bezeichnet alph(w ) = {a1 , a2 , . . . , an } die
Menge aller Symbole, die in w vorkommen.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Sei C die Farbenmenge von G , d. h. χ : S → C und M ⊆ 2C .
Sei # 6∈ C und sei
C ′ = {x#y | x, y ∈ C ∗ , ∀c ∈ C : |xy |c ≤ 1, |y | ≥ 1}
Die Menge der Spielpositionen von G ′ ist
S ′ = {(s, x#y ) ∈ S × C ′ | y endet mit χ(s) }.
Sei ρ′ (s, x#y ) = ρ(s) für alle (s, x#y ) ∈ S × C ′ .
Definiere die update-Funktion µ : S ′ → C ′ wie folgt:


falls χ(s) 6∈ alph(x y ).
x # y χ(s)
µ(s, x#y ) = x1 # x2 y χ(s) falls x = x1 χ(s) x2 .


x y1 # y2 χ(s) falls y = y1 χ(s) y2 .
Die Kantenrelation von G ′ ist dann:
→′ = { (s, x#y ), (t, µ(t, x#y )) | s → t, (s, x#y ) ∈ S ′ }.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Die Färbungsfunktion χ′ : S ′ → N der Paritätsspielarena G ′ ist
(
2 · |y | − 1 if alph(y ) 6∈ M
χ′ (s, x#y ) =
2 · |y |
if alph(y ) ∈ M
Beachte: χ′ (S ′ ) ⊆ {0, . . . , |C |}.
Damit ist die Paritätsspielarena G ′ = (S ′ , →′ , ρ′ , χ′ ) definiert.
Schließlich sei f : S → S ′ definiert durch f (s) = (s, #χ(s)) für alle s ∈ S.
Bemerkung: Die in der C ′ -Komponente berechnete Datenstruktur ist
auch als LAR (least appearance record) bekannt, und geht auf Büchi
zurück.
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62 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Beispiel: Sei G die folgende Mullerspielarena, wobei die Mullerbedingung
M = {{b}} ist.
a
s0
a
s1
b
s2
Dann sieht die Paritätsspielarena G ′ wie folgt aus:
1
s0 , #a
1
s1 , #a
3
s2 , #ab
2
s2 , a#b
s0 , #ba
3
s2 , #b
2
3
s1 , #ba
s0 , b#a
1
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s1 , b#a
1
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Sei s = s0 s1 s2 · · · ein unendliches Spiel in G .
Definiere das folgende in f (s0 ) beginnende unendliche Spiel in G ′ :
f (s) = (s0 , q0 )(s1 , q1 )(s2 , q2 ) · · · , wobei
q0 = #χ(s0 )
(d.h. (s0 , q0 ) = f (s0 )) und
qi+1 = µ(si+1 , qi )
für i ≥ 1
Umgekehrt: Ist
s ′ = (s0 , q0 )(s1 , q1 )(s2 , q2 ) · · ·
ein in (s0 , q0 ) = f (s0 ) beginnendes unendliches Spiel in G ′ , so ist
s := s0 s1 s2 · · ·
ein unendliches Spiel in G mit f (s) = s ′ .
Eine analoge Korrespondenz gilt auch für endliche Spiele.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
Sei im folgenden s = s0 s1 s2 · · · ein unendliches Spiel in G ,
f (s) = (s0 , x0 #y0 )(s1 , x1 #y1 )(s2 , x2 #y2 ) · · · und F = Inf(χ(s)).
Behauptung 1: ∃j ≥ 0 ∀i > j : yi ∈ F ∗ (
|yi | ≤ |F |)
Es existieren 0 ≤ k < j, so dass:
{χ(sk ), χ(sk+1 ), χ(sk+2 ), . . .} = F
(1)
{χ(sk ), χ(sk+1 ), χ(sk+2 ), . . . , χ(sj )} = F
(2)
Angenommen es gibt i > j und c ∈ C \ F mit c ∈ alph(yi ), d.h.
xi # yi = x i # u c v .
1.Fall: v = ε, d.h. xi # yi = xi # u c.
χ(si ) = c 6∈ F Widerspruch zu (1) wegen i ≥ j ≥ k.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
2.Fall: v 6= ε, d.h. xi # yi = xi # u c w c ′ mit c ′ = χ(si ) ∈ F .
Wähle ein maximales ℓ ∈ N mit
k ≤ ℓ ≤ i − 1 (beachte: i − 1 ≥ j wegen i > j)
χ(sℓ ) = c ′
(existiert wegen (2))
xℓ #yℓ ist von der Form · · · c · · · c ′
xi #yi ist von der Form · · · c · · · # · · · c ′ Widerspruch!
Dies beweist Behauptung 1.
Sei j im folgenden die Zahl aus Behauptung 1.
Behauptung 2: Es gibt ∞ viele i mit alph(yi ) = F .
Sei ℓ ≥ j beliebig.
F ⊆ alph(xℓ yℓ ) (wegen (2)).
Sei c ∈ F , so dass in xℓ #yℓ keine Farbe c ′ ∈ F links von c steht.
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Muller → Parität
Wähle i > ℓ minimal mit χ(si ) = c (muss existieren).
alph(yi ) = F
Dies beweist Behauptung 2.
Behauptung 3: Eve gewinnt das unendliche Spiel s in G genau dann,
wenn Eve das unendliche Spiel f (s) in G ′ gewinnt.
=⇒:
Angenommen Eve gewinnt das Spiel s in G . Sei Inf(χ(s)) = F .
Dann gilt:
F ∈M
∃j ∀i > j : alph(yi ) ⊆ F und
es existieren ∞ viele i mit alph(yi ) = F .
Mit n = |F | folgt:
∃j ∀i > j : χ′ (si , xi #yi ) ≤ 2n und χ′ (si , xi #yi ) = 2n für ∞ viele i.
Eve gewinnt das unendliche Spiel f (s).
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Muller → Parität
⇐=:
Angenommen Eve gewinnt das Spiel s in G nicht. Sei Inf(χ(s)) = F .
Dann gilt:
F 6∈ M
∃j ∀i > j : alph(yi ) ⊆ F und
es existieren ∞ viele i mit alph(yi ) = F .
Mit n = |F | folgt:
∃j ∀i > j : χ′ (si , xi #yi ) ≤ 2n − 1 und
es existieren ∞ viele i mit χ′ (si , xi #yi ) = 2n − 1.
Eve gewinnt das unendliche Spiel f (s) nicht.
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Muller → Parität
Wesentlich einfacher kann man auch zeigen: Eve gewinnt ein endliches
Spiel s in G genau dann, wenn Eve das endliche Spiel f (s) in G ′ gewinnt.
Hieraus ergibt sich:
Eve gewinnt auf s in G genau dann, wenn Eve auf f (s) in G ′ gewinnt.
Denn:
Eine Gewinnstrategie für Eve auf s in der Mullerspielarena G liefert
eine Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in G ′ wie folgt:
Zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von von s1 nach s2 und ist (s1 , x#y )
die Position in G ′ zum Zeitpunkt t, so zieht Eve in G ′ von (s1 , x#y )
nach (s2 , µ(s2 , x#y )).
Eine Gewinnstrategie für Eve auf f (s) in der Paritätsspielarena G ′
liefert eine Gewinnstrategie für Eve auf s in G wie folgt:
Zieht Eve in G ′ zum Zeitpunkt t in G ′ von (s1 , x#y ) nach
(s2 , µ(s2 , x#y )), so zieht Eve in G zum Zeitpunkt t von s1 nach
s2 .
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Gedächtnislose Strategien
Sei G = (S, →, ρ) wieder eine Spielarena und L ⊆ S ω eine
Gewinnbedingung.
Wir machen im Weiteren die Einschränkung, dass G keine Sackgassen hat:
∀s ∈ S : NG (s) 6= ∅.
Dies ist jedoch bei den von uns betrachteten Gewinnbedingungen keine
wirkliche Einschränkung, siehe Aufgabe 3 auf dem Übungsblatt 2.
Eine gedächtnislose Strategie für Spieler x ist eine Abbildung τ : Sx → S,
so dass s → τ (s) für alle s ∈ Sx .
Die gedächtnislose Strategie τ : Sx → S kann offensichtlich mit der
Strategie τ ′ : S ∗ Sx → S mit τ ′ (ws) = τ (s) identifiziert werden.
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Gedächtnislose Strategien
Für x ∈ {Adam, Eve} sei
WGx (τ ) = {s ∈ S | τ ist eine Gewinnstrategie für x auf s}.
Lemma 2 (Strategievereinheitlichung)
Sei G = (S, →, ρ) eine Arena. Angenommen die Gewinnbedingung L ⊆ S ω
erfüllt folgende Bedingung:
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L.
Dann existiert
S für jeden Spieler x eine gedächtnislose Strategie τ mit
WGx (τ ) = {WGx (τ ′ ) | τ ′ ist eine gedächtnislose Strategie für Spieler x}.
S
Beachte: {WGx (τ ′ ) | τ ′ ist eine gedächtnislose Strategie für Spieler x}
ist die Menge aller Positionen, wo Spieler x gedächtnislos gewinnen kann.
Für den Beweis von Lemma 2 benötigen wir einige mathematische
Grundlagen zu Ordinalzahlen.
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Ordinalzahlen
Definition (Wohlordnung)
Eine Relation ≤ ⊆ M × M auf einer Menge M wird als lineare Ordnung
bezeichnet, wenn gilt:
1
∀a ∈ M : a ≤ a (Reflexivität)
2
∀a, b, c ∈ M : (a ≤ b ∧ b ≤ c) =⇒ a ≤ c (Transitivität)
3
∀a, b ∈ M : (a ≤ b ∧ b ≤ a) =⇒ a = b (Antisymmetrie)
4
∀a, b ∈ M : a ≤ b ∨ b ≤ a (Linearität)
Falls a ≤ b und a 6= b, dann schreiben wir a < b.
Eine lineare Ordnung ≤ auf einer Menge M ist eine Wohlordnung, wenn es
keine unendliche Folge · · · < a2 < a1 < a0 mit a0 , a1 , . . . ∈ M gibt.
Alternativ: Jede nicht-leere Teilmenge A ⊆ M hat ein bezüglich ≤
kleinstes Element.
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Ordinalzahlen
Beispiele:
≤ auf Z bzw. auf Q+ , R+ sind lineare Ordnungen, aber keine
Wohlordnungen.
≤ eingeschränkt auf eine beliebige Teilmengen von N ist eine Wohlordung.
≤ auf N ∪ {ω} ist eine Wohlordung.
Wenn wir Worte in {a, b}∗ nach der Länge, und gleichlange Worte
lexikographisch ordnen, dann erhalten wir eine Wohlordnung von {a, b}∗ :
ε < a < b < aa < ab < ba < bb < aaa < · · ·
Die Struktur dieser Ordnung entspricht ≤ auf N.
Die lexikographische Ordnung ≤ auf {a, b}∗ ist eine lineare Ordnung, aber
keine Wohlordnung wegen · · · < a3 b < aab < ab < b.
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Ordinalzahlen
Beispiele:
Betrachten nun die lexikographische Ordnung auf der Menge a+ ∪ b+ :
a < a2 < a3 < · · · < b < b 2 · · ·
Dies ist eine Wohlordnung, welche anders strukturiert als (N, ≤) ist:
Zu dem Wort b gibt es unendlich viele kleinere Worte, während es in
(N, ≤) zu jeder Zahl nur endlich viele kleinere Zahlen gibt.
Diese Ordnung ist auch anders strukturiert als (N ∪ ω, ≤), weil es kein
größtes Element gibt.
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Ordinalzahlen
Zwei wohlgeordnete Mengen (M1 , ≤1 ) und (M2 , ≤2 ) werden als isomorph
bezeichnet, wenn es eine bijektive Abbildung h : M1 → M2 gibt, so dass
für alle a, b ∈ M1 gilt:
a ≤1 b ⇐⇒ h(a) ≤2 h(b).
Definition (Ordinalzahlen)
Eine Ordinalzahl ist eine Isomorphieklasse wohlgeordneter Mengen.
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Ordinalzahlen
Es sei ξ = (M, ≤) eine Ordinalzahl und a ∈ M. Es sei
ξ<a = (M, ≤)<a := ({x ∈ M | x < a}, ≤).
Dann ist ξ<a wiederum eine Ordinalzahl.
Eine Ordinalzahl ξ ′ ist echtes Anfangsstück von ξ, wenn es ein a ∈ M gibt,
so dass ξ ′ und ξ<a isomorph sind.
Notation: ξ ′ ⊏ ξ
Die Notation ξ ′ ⊑ ξ bedeutet, dass ξ ′ ⊏ ξ gilt oder ξ ′ und ξ isomorph sind.
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Ordinalzahlen
Eigenschaften von ⊏ bzw. ⊑:
Es gibt keine Folge · · · ⊏ ξ2 ⊏ ξ1 ⊏ ξ0 von Ordinalzahlen.
Es gibt keine Ordinalzahl ξ mit ξ ⊏ ξ.
Die Relationen ⊏ und ⊑ sind transitiv, ⊑ ist reflexiv.
Die Relation ⊑ ist antisymmetrisch.
Seien hierzu ξ1 und ξ2 zwei Ordinalzahlen mit ξ1 ⊑ ξ2 und ξ2 ⊑ ξ1 .
Wenn ξ1 6= ξ2 , dann gilt ξ1 ⊏ ξ2 und ξ2 ⊏ ξ1 und damit ξ1 ⊏ ξ1 .
Widerspruch!
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Ordinalzahlen
Die Relation ⊑ ist linear.
Seien hierzu ξ1 = (M1 , ≤1 ) und ξ2 = (M2 , ≤2 ) wieder zwei Ordinalzahlen.
Wir definieren eine Relation f ⊆ M1 × M2 durch: (a1 , a2 ) ∈ f genau dann,
wenn (M1 , ≤1 )<a1 und (M2 , ≤2 )<a2 isomorph sind.
Eigenschaften von f :
(a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ f =⇒ (a1 = b1 ⇐⇒ a2 = b2 )
d.h. f ist eine partielle Injektion.
(a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ f =⇒ (a1 <1 b1 ⇐⇒ a2 <2 b2 )
d.h. (dom(f ), ≤1 ) und (ran(f ), ≤2 ) sind isomorph (via f ).
Angenommen es gilt M1 \ dom(f ) 6= ∅ =
6 M2 \ ran(f ).
Sei a1 = min(M1 \ dom(f )) und a2 = min(M2 \ ran(f )).
(existieren, da (M1 , ≤1 ) und (M2 , ≤2 ) Wohlordnungen sind).
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Ordinalzahlen
dom(f ) = {x ∈ M1 | x < a1 } und ran(f ) = {x ∈ M2 | x < a2 }.
(M1 , ≤1 )<a1 und (M2 , ≤2 )<a2 sind isomorph.
(a1 , a2 ) ∈ f . Widerspruch!
Also gilt M1 = dom(f ) oder M2 = ran(f ).
1.Fall: dom(f ) = M1 und ran(f ) = M2 . Dann gilt ξ1 = ξ2 .
2.Fall: M1 \ dom(f ) 6= ∅ und ran(f ) = M2 .
Sei a1 = min(M1 \ dom(f )).
(M1 , ≤1 )<a1 und (M2 , ≤2 ) sind isomorph.
ξ2 ⊏ ξ1 .
3.Fall: M2 \ ran(f ) 6= ∅ und dom(f ) = M1 .
ξ1 ⊏ ξ2 (folgt analog).
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Ordinalzahlen
Für jede Ordinalzahl ξ = (M, ≤) ist somit ({χ | χ ⊏ ξ}, ⊑) eine
Wohlordnung.
Es ist sogar die gleiche Wohlordnung: ξ = ({χ | χ ⊏ ξ}, ⊑).
Definiere hierzu die Abbildung f : M → {χ | χ ⊏ ξ} durch
f (a) = (M, ≤)<a = ξ<a ⊏ ξ.
Dies ist ein Isomorphismus zwischen ξ = (M, ≤) und ({χ | χ ⊏ ξ}, ⊑).
In Worten: Jede Ordinalzahl kann mit der Menge aller echt kleineren
Ordinalzahlen identifiziert werden.
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Ordinalzahlen
Ein Paradoxon:
A) Es gibt keine größte Ordinalzahl, weil man zu jeder Ordinalzahl durch
Anhängen eines größten Elements eine größere Ordinalzahl konstruieren
kann.
B) Es sei O die Menge aller Ordinalzahlen.
Dann ist (O, ⊑) eine Ordinalzahl.
Nun sei ξ = (M, ≤) eine beliebige Ordinalzahl. Es gilt ξ ∈ O.
Dann sind ξ und (O, ⊑)⊏ξ isomorph durch die Abbildung
h : M → O mit h(a) := ξ<a für alle a ∈ M.
Damit ist jede Ordinalzahl ξ ein echtes Anfangstück von (O, ⊑), d.h.
(O, ⊑) ist die größte Ordinalzahl.
Wo ist der Fehler?
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Ordinalzahlen
Es gibt drei Arten von Ordinalzahlen:
1
Die Ordinalzahl über der leeren Menge (∅, ≤).
2
Ordinalzahlen, die ein größtes Element besitzen.
Diese werden als Nachfolgerordinale bezeichnet.
3
Nichtleere Ordinalzahlen, die kein größtes Element besitzen.
Diese werden als Limesordinalzahlen bezeichnet.
Zu jedem n ∈ N notieren wir mit n die Ordinalzahl {1, 2, . . . , n}, ≤ ,
insbesondere sei 0 die Ordinalzahl (∅, ≤).
Zu jedem Ordinal ξ notieren wir mit ξ + 1 die Ordinalzahl, die durch
Anhängen eines neuen größten Elements an ξ entsteht.
Es gilt ξ ⊏ ξ + 1 und es gibt kein Ordinal ξ ′ mit ξ ⊏ ξ ′ ⊏ ξ + 1.
Ein Ordinal ξ ist ein Nachfolgerordinal, genau dann, wenn ein Ordinal ξ ′
mit ξ = ξ ′ + 1 existiert.
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Ordinalzahlen
Ein “kleines” Anfangsstück der Ordinalzahlen lautet:
0 ⊏ 1 ⊏ 2··· ⊏ ω ⊏ ω + 1 ⊏ ω + 2··· ⊏ ω + ω
= ω · 2 ⊏ ω · 2 + 1 ⊏ ω · 2 + 2 ⊏ ··· ⊏ ω · 3 ⊏ ··· ⊏ ω · ω =
ω
ω 2 ⊏ ω 3 ⊏ · · · ⊏ ω ω ⊏ ω ω ⊏ · · · ω1 ⊏ · · · ,
hierbei ist ω1 das kleinste nicht abzählbare Ordinal.
Wohlordnungsprinzip
Jede Menge M kann wohlgeordnet werden, d.h. es existiert eine
Wohlordnung ≤ auf M.
Das Wohlordnungsprinzip ist zum Auswahlaxiom der Mengenlehre
äquivalent.
Es ist “nicht-konstruktiv”, z. B. kann niemand eine Wohlordnung der
reellen Zahlen konstruktiv angeben.
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Ordinalzahlen
Prinzip der transfiniten Induktion
Sei (M, ≤) eine Wohlordnung und sei A ⊆ M eine Teilmenge mit
min(M) ∈ A
∀x ∈ M : (∀y < x : y ∈ A) =⇒ x ∈ A
Dann gilt A = M.
Alternative Formulierung:
Sei P eine Aussage (über Ordinale). Angenommen
P gilt für das leere Ordinal 0 und
für jedes Ordinal ξ gilt: wenn P für alle χ ⊏ ξ gilt, dann gilt P auch
für ξ.
Dann gilt P für jedes Ordinal.
Mit transfiniter Induktion kann man Aussagen für beliebige wohlgeordnete
Mengen beweisen.
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Gedächtnislose Strategien
Beweis von Lemma 2:
S
Sei W = {WGx (τ ′ ) | τ ′ ist eine gedächtnislose Strategie für Spieler x}.
Fixiere eine Wohlordnung < auf W (existiert nach Wohlordungsprinzip).
Fixiere für jedes s ∈ W eine Gewinnstrategie τs für Spieler x auf s.
Wir definieren die neue gedächtnislose Strategie τ für Spieler x wie folgt:
Für s ∈ W ∩ Sx sei τ (s) = τt (s) falls t = min{u ∈ W | s ∈ WGx (τu )}.
Beachte: da < eine Wohlordnung ist, existiert min{u ∈ W | s ∈ WGx (τu )}.
Behauptung: τ ist eine Gewinnstrategie für Spieler x auf W .
Sei s ∈ W und sei s = s0 s1 s2 · · · ein mit τ konformes Spiel, s = s0 .
Sei t = min{u ∈ W | WGx (τu ) ∩ {si | i ≥ 0} =
6 ∅}.
sei etwas si ∈ WGx (τt ).
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Gedächtnislose Strategien
Durch Induktion über j ≥ i zeigt man leicht, dass jede Position sj im Spiel
si si+1 si+2 · · · zu WGx (τt ) gehört, und dass dieses Spiel konform zu τt ist.
Spieler x gewinnt si si+1 si+2 · · · , da si ∈ WGx (τt ).
Spieler x gewinnt s = s1 · · · si si+1 · · · ; hier wird die Forderung
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L
an die Gewinnbedingung L benutzt.
Wir haben somit W ⊆ WGx (τ ) gezeigt.
Da offensichtlich auch WGx (τ ) ⊆ W gilt erhalten wir W = WGx (τ ).
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Gedächtnislose Strategien
Bemerkung:
Die Forderung
∀u, v ∈ S ∗ ∀w ∈ S ω : uw ∈ L ⇐⇒ vw ∈ L
ist erfüllt, falls die Gewinnbedingung über eine Mullerbedingung (und
damit auch eine Büchi- oder Paritätsbedingung) definiert ist.
Wir bezeichnen dann mit WGx die Menge WGx (τ ), wobei τ die Strategie
aus Lemma 1 ist.
WGx ist also die Menge aller Positionen, wo Spieler x gedächtnislos
gewinnen kann.
Offensichtlich gilt WGEve ∩ WGAdam = ∅.
Im Beispiel auf Folie 61 haben wir für eine Mullerbedingung gesehen, dass
Eve auf einer Position s gewinnen kann, jedoch nicht gedächtnislos auf s
gewinnen kann.
Dies kann bei Paritätsspielarenen nicht passieren:
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Gedächtnislose Determiniertheit von Paritätsspielen
Satz 8
Für jede Paritätsspielarena G = (S, →, ρ, χ) gilt WGEve ∪ WGAdam = S.
Bemerkungen:
Satz 8 impliziert, dass falls Spieler x auf einer Position x überhaupt
gewinnen kann, sie/er auch gedächtnislos gewinnen kann.
Für Mullerspielarenen gilt immer noch: Auf jeder Spielposition s kann
entweder Eve oder Adam gewinnen (aber eben nicht unbedingst
gedächtnislos). Dies folgt aus Satz 7 und Satz 8.
Man sagt auch, dass Mullerspiele determiniert sind.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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88 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Für den Beweis von Satz 8 benötigen wir eine transfinite
Verallgemeinerung des Algorithmus winning-region zur Berechnung der
Gewinnmenge eines Erreichbarkeitsspiels.
Sei G = (S, →, ρ) eine Arena, sei U ⊆ S und sei x ∈ {Adam, Eve} ein
Spieler.
Wir definieren nun für jedes Ordinal ξ eine Menge Attxξ (U) durch
transfinite Induktion wie folgt:
Attx0 (U) = U
Attxχ+1 (U) = Attxχ (U) ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ∩ Attxχ (U) 6= ∅} ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ⊆ Attxχ (U)}
[
Attxχ (U) falls ξ ein Limesordinal ist
Attxξ (U) =
χ⊏ξ
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Eigenschaften von Attxχ (U):
1
2
3
χ ⊑ ξ =⇒ Attxχ (U) ⊆ Attxξ (U).
Attxχ (U) = Attxχ+1 (U) =⇒ ∀ξ ⊒ χ : Attxχ (U) = Attxξ (U)
(Beweis durch transfinite Induktion)
Es gibt ein Ordinal χ mit Attxχ (U) = Attxχ+1 (U):
Begründung für (3):
Sei ξ eine beliebige Ordinalzahl deren Kardinalität größer als die
Kardinalität von S ist (wir können z. B. nach dem Wohlordnungsprinzip
für ξ eine Wohlordnung auf 2S wählen).
Sei Attxχ (U) ( Attxχ+1 (U), d.h. Attxχ+1 (U) \ Attxχ (U) 6= ∅ für alle χ ⊏ ξ.
Dann erhalten wir eine injektive Abbildung f : ξ = {χ | χ ⊏ ξ} → S,
indem wir für alle χ ⊏ ξ ein xχ ∈ Attxχ+1 (U) \ Attxχ (U) auswählen und
f (χ) = xχ setzen.
Die Existenz einer solchen Injektion widerspricht jedoch |ξ| > |S|.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Sei nun α das kleinste Ordinal mit Attxα (U) = Attxα+1 (U) und definiere
Attx (U) = Attxα (U).
Diese Menge wird auch als Attraktor (für Spieler x) bezeichnet.
Wir definieren nun eine Strategie τ : Sx → S wie folgt:
Wenn s ∈ Sx ∩ (Attxξ+1 (U) \ Attxξ (U)) für ein ξ ⊏ α dann wähle ein
beliebiges t ∈ NG (s) ∩ Attxξ (U) mit s → t aus und setze τ (s) = t.
Für alle anderen s ∈ Sx setze τ (s) = t für ein beliebiges t ∈ NG (s).
Lemma 3 (Attraktorlemma)
Sei G = (S, →, ρ) eine Arena und U ⊆ S. Sei s ein beliebiges mit τ
konformes Spiel, welches bei einer Position aus Attx (U) beginnt. Dann
besucht s eine Position aus U.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Beweis:
Da die Arena G keine Sackgassen enthält (wir haben uns auf solche
Arenen eingeschränkt) muss s = s0 s1 s2 · · · ein unendliches Spiel sein.
Sei ξ ⊑ α das kleinste Ordinal mit {si | i ≥ 0} ∩ Attxξ (U) 6= ∅.
Behauptung: ξ = 0 (wegen Attx0 (U) = U impliziert dies das Lemma)
Sei ξ ⊐ 0 und sei si ∈ Attxξ (U).
Fall 1: ξ ist ein Limesordinal.
S
Wegen Attxξ (U) = χ⊏ξ Attxχ (U) muss ein Ordinal χ ⊏ ξ mit
si ∈ Attxχ (U) existieren.
Widerspruch zur Minimalität von ξ.
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92 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Fall 2: ξ = χ + 1 ist ein Limesordinal.
Also gilt
si
∈ Attxχ (U) ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ∩ Attxχ (U) 6= ∅} ∪
{s ∈ Sx | NG (s) ⊆ Attxχ (U)}.
Aufgrund der Minimalität von ξ können wir si 6∈ Attxχ (U) annehmen.
Fall 2.1: si ∈ {s ∈ Sx | NG (s) ∩ Attxχ (U) 6= ∅}
si+1 = τ (si ) ∈ Attxχ (U)
Widerspruch zur Minimalität von ξ = χ + 1.
Fall 2.1: si ∈ {s ∈ Sx | NG (s) ⊆ Attxχ (U)}
si+1 ∈ Attxχ (U)
Widerspruch zur Minimalität von ξ = χ + 1.
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93 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Lemma 4
Sei G = (S, →, ρ) eine Arena und U ⊆ S.
Für alle s ∈ S \ Attx (U) gilt:
s ∈ Sx =⇒ NG (s) ∩ Attx (U) = ∅
s ∈ Sx =⇒ NG (s) ∩ (S \ Attx (U)) 6= ∅
Beweis:
Wir hatten definiert: Attx (U) = Attxα (U), wobei α das kleinste Ordinal
mit Attxα (U) = Attxα+1 (U) ist.
Sei nun s ∈ S \ Attx (U) = S \ Attxα (U).
Fall 1: s ∈ Sx .
Falls NG (s) ∩ Attx (U) 6= ∅ würde s ∈ Attxα+1 (U) gelten.
Widerspruch zu Attxα (U) = Attxα+1 (U).
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Attraktoren
Fall 2: s ∈ Sx .
Falls NG (s) ∩ (S \ Attx (U)) = ∅, d.h. NG (s) ⊆ Attx (U) = Attxα (U) würde
wieder s ∈ Attxα+1 (U) gelten.
Widerspruch zu Attxα (U) = Attxα+1 (U).
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Wir kommen nun zum Beweis von Satz 8.
Sei G = (S, →, ρ, χ) eine Paritätsspielarena (ohne Sackgassen) mit
n = max{χ(s) | s ∈ S}.
Wir zeigen Satz 8 durch Induktion über n.
IA: n = 0.
Dann gilt WGEve = S und WGAdam = ∅.
IS: n > 0, o.B.d.A. sei n gerade.
Es sei τAdam die nach Lemma 2 existierende maximale gedächtnislose
Gewinnstrategie für Adam auf WGAdam .
Wir konstruieren eine gedächtnislose Strategie τ für Eve mit
WGEve (τ ) = S \ WGAdam .
Sei H = G ↾(S \ WGAdam ) die Arena G , eingeschränkt auf S \ WGAdam .
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96 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Dann hat H wieder keine Sackgassen: Sei s ∈ S \ WGAdam .
ρ(s) = Eve
NG (s) ∩ (S \ WGAdam ) 6= ∅,
denn sonst würde s zu WGAdam gehören.
ρ(s) = Adam
∅=
6 NG (s) ⊆ S \ WGAdam ,
denn sonst würde s zu WGAdam gehören.
Sei nun
Adam
A = AttEve
| χ(s) = n}).
H ({s ∈ S \ WG
Aus Lemma 3 folgt die Existenz einer Strategie τA für Eve (in der Arena
H), so dass jedes mit τA konforme und bei einer Position aus A beginnende
Spiel schließlich eine Position s ∈ S \ WGAdam mit χ(s) = n besucht.
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97 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Sei nun K = G ↾(S \ (WGAdam ∪ A)) die Arena G , eingeschränkt auf
S \ (WGAdam ∪ A).
Dann hat K wieder keine Sackgassen: Sei s ∈ S \ (WGAdam ∪ A).
Wir wissen bereits, dass NH (s) 6= ∅ gilt.
Lemma 4 impliziert:
NH (s) ∩ (S \ (WGAdam ∪ A)) 6= ∅
ρ(s) = Adam
ρ(s) = Eve
NH (s) ⊆ (S \ (WGAdam ∪ A))
Es gilt max{χ(s) | s ∈ S \ (WGAdam ∪ A)} < n.
Also können wir IH auf die Arena K anwenden:
WKEve ∪ WKAdam = S \ (WGAdam ∪ A)
Angenommen WKAdam 6= ∅.
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98 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Dann gäbe es eine Position s ∈ S \ (WGAdam ∪ A) und eine gedächtnislose
Strategie τ ′ für Adam, so dass Adam jedes mit τ ′ konforme und bei s
beginnende Spiel in der Arena K gewinnt.
Dann hätte Adam auch eine gedächtnislose Strategie, mit der Adam auf s
in der Arena G gewinnen würde (dies widerspricht jedoch s 6∈ WGAdam ):
Solange die aktuelle Position in S \ (WGAdam ∪ A) liegt:
Adam zieht entsprechend τ ′ .
Falls die aktuelle Position in WGAdam liegt:
Adam zieht entsprechend τAdam .
Beachte: Das Spiel wird so nie in eine Spielposition aus dem Attraktor A
gelangen, denn es gibt keine Kante s1 → s2 mit s1 ∈ S \ (WGAdam ∪ A),
s2 ∈ A und ρ(s1 ) = Eve (siehe wieder Lemma 4).
Also gilt WKAdam = ∅, d.h. WKEve = S \ (WGAdam ∪ A).
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99 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Sei τ ′ eine gedächtnislose Strategie für Eve, so dass Eve jedes mit τ ′
konforme Spiel in der Arena K gewinnt.
Nun können wir endlich eine gedächtnislose Strategie τ für Eve mit
WGEve (τ ) = S \ WGAdam definieren:
Falls die aktuelle Spielposition zu S \ (WGAdam ∪ A) gehört:
Eve zieht entsprechend τ ′ .
Falls die aktuelle Spielposition t zum Attraktor A gehört und
χ(t) < n:
Eve zieht entsprechend τA
Beachte: Eve erzwingt so, dass eine Position t ′ mit χ(t ′ ) = n
schließlich erreicht wird.
Falls die aktuelle Spielposition t zu S \ WGAdam gehört, und χ(t) = n:
Eve zieht zu einer beliebigen Position aus NG (t) ∩ (S \ WGAdam )
(dies ist möglich).
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100 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Beweis der gedächtnislosen Determiniertheit
Behauptung: Sei s ∈ S \ WGAdam . Dann gewinnt Eve jedes mit τ
konforme und bei s beginnende Spiel.
Sei s0 s1 s2 · · · ein mit τ konformes Spiel, s0 = s.
Fall 1: Es existiert ein i ≥ 0 mit sj ∈ S \ (WGAdam ∪ A) für alle j ≥ i.
Das Spiel si si+1 si+2 · · · ist konform zu τ ′ .
Eve gewinnt das Spiel si si+1 si+2 · · · und damit auch s0 s1 s2 · · · .
Fall 2: Es existieren unendlich viele i ≥ 0 mit si ∈ A.
Es existieren unendlich viele i ≥ 0 mit χ(si ) = n.
Da n gerade ist, gewinnt Eve das Spiel s0 s1 s2 · · · .
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101 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Paritätsspielen
Die Komplexitätsklasse coNP ist Menge aller Komplemente von
NP-Mengen:
coNP = {A | A ∈ NP}
Satz 9
Das folgende Problem PARITY gehört zu NP ∩ coNP:
EINGABE: Eine endliche Paritätsspielarena G = (S, →, ρ, χ) und eine
Position s ∈ S
FRAGE: s ∈ WGEve ?
Beweis:
Wir zeigen zunächst PARITY ∈ NP.
Sei hierzu G = (S, →, ρ, χ) eine endliche Paritätsspielarena, o.B.d.A. ohne
Sackgassen, und sei s ∈ S. Es gilt:
s ∈ WGEve ⇐⇒ Eve hat eine gedächtnislose Gewinnstrategie τ auf s
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102 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Paritätsspielen
Ein nicht-deterministischer Polynomialzeitalgorithmus, der s ∈ WGEve
überprüft, arbeitet wie folgt:
1
Rate eine gedächtnislose Strategie τ : SEve → S für Eve.
2
Sei G ↾τ = (S, {(s, t) | s → t, ρ(s) = Adam oder t = τ (s)}, ρ, χ).
3
Überprüfe, ob für jeden unendlichen Pfad s0 s1 s2 · · · in G ↾τ mit s0 = s
gilt: max(Inf(χ(s0 )χ(s1 )χ(s2 ) · · · )) gerade.
Wir müssen noch zeigen, dass Eigenschaft (3) (oder ¬(3)) deterministisch
in Polynomialzeit überprüft werden kann.
Da die Arena G endlich ist, ist Eigenschaft ¬(3) ist äquivalent zu:
Es gibt Positionen t1 , . . . , tn , n ≥ 1, mit
s →∗ t1 → t2 → · · · tn → t1 in G ↾τ
χ(t1 ) ist ungerade und χ(ti ) ≤ χ(t1 ) für alle 1 ≤ i ≤ n.
Hierbei kann ausserdem noch n ≤ |S| vorausgesetzt werden.
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103 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Paritätsspielen
Dies ist äquivalent zu: Es gibt eine Position t ∈ S mit:
n := χ(t) ist ungerade
In G ↾τ gibt es einen Pfad von s nach t.
In G ↾τ , eingeschränkt auf alle Positionen u ∈ S mit χ(u) ≤ χ(t), gibt
es einen nicht-leeren Pfad von t nach t.
Dies kann leicht in Polynomialzeit (z. B. mittels des Algorithmus von
Dijkstra) überprüft werden.
Dies zeigt PARITY ∈ NP.
PARITY ∈ coNP (d.h PARITY ∈ NP) folgt nun leicht aus der
Determiniertheit:
s 6∈ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGAdam
Natürlich können wir s ∈ WGAdam genauso in NP überprüfen, wie
s ∈ WGEve .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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104 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Paritätsspielen
Bemerkungen zu PARITY ∈ NP ∩ coNP:
Es gilt P ⊆ NP ∩ coNP. Ob jedoch PARITY ∈ P gilt, ist ein
berühmtes offenes Problem.
Andererseits ist es sehr unwahrscheinlich, dass PARITY
NP-vollständig ist, denn dies würde NP = coNP implizieren, was
Komplexitätstheoretiker als sehr unwahrscheinlich ansehen.
Die Frage, ob s ∈ WGEve für eine gegebene Mullerspielarena G und
eine Position s gilt, scheint schwieriger zu sein:
Dieses Problem ist PSPACE-vollständig, siehe:
Paul Hunter, Anuj Dawar: Complexity Bounds for Regular Games,
Proceedings of MFCS 2005, Lecture Notes in Computer Science 3618,
S. 495-506, Springer 2005.
Beachte: Die Umwandlung einer Mullerspielarena in eine
“äquivalente” Paritätsspielaren (siehe Beweis von Satz 7) erfordert
einen exponentiellen Blow-Up.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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105 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Fixpunkte
Idee: Viele interessante Eigenschaften von Kripkestrukturen lassen sich
über Fixpunkte beschreiben.
S
Sei K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur, E = a∈Σ σ(a), und p ∈ Π.
Beispiel 1:
Sei A1 = {v ∈ V | ∃u ∈ π(p) : (v , u) ∈ E ∗ }.
Sei f1 : 2V → 2V definiert durch
f1 (U) = π(p) ∪ {v ∈ V | ∃u ∈ U : (v , u) ∈ E } = π(p) ∪ predK (U),
wobei predK (U) = {v ∈ V | ∃u ∈ U : (v , u) ∈ E }.
Beachte: f1 ist monoton, d.h. U1 ⊆ U2 =⇒ f1 (U1 ) ⊆ f1 (U2 ).
Dann gilt:
A1 =
\
{U ∈ 2V | f1 (U) ⊆ U}
= min{U ∈ 2V | f1 (U) = U}
D.h. A1 ist der kleinste Fixpunkt von f1 .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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106 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Fixpunkte
Beispiel 2:
Sei A2 = {v0 ∈ V | ∃v1 , v2 , . . . ∀i ≥ 0 : vi ∈ π(p) ∧ (vi , vi+1 ) ∈ E }.
Sei f2 : 2V → 2V definiert durch
f2 (U) = π(p) ∩ predK (U),
Beachte: f2 ist wieder monoton.
Dann gilt:
A2 =
[
{U ∈ 2V | U ⊆ f2 (U)}
= max{U ∈ 2V | f2 (U) = U}
D.h. A2 ist der größte Fixpunkt von f2 .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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107 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Sei A eine Menge und f : 2A → 2A .
Die Abbildung f ist monoton, falls für alle X , Y ∈ 2A gilt:
X ⊆ Y =⇒ f (X ) ⊆ f (Y ).
Y ∈ 2A ist Fixpunkt von f , falls f (Y ) = Y gilt.
Sei Y ∈ 2A ein Fixpunkt von f . Y ist kleinster (bzw. größter) Fixpunkt
von f , falls für alle Fixpunkte X ∈ 2A von f gilt: Y ⊆ X (bzw. X ⊆ Y ).
Im Allgemeinen muss ein Fixpunkt (geschweige denn ein kleinster bzw.
größter Fixpunkt) von f nicht existieren. Aber:
Satz 10 (Fixpunktsatz von Knaster-Tarski)
Sei f : 2A → 2A eine monotone Abbildung. Dann hat f einen kleinsten
Fixpunt µf und einen größten Fixpunkt νf und es gilt:
\
[
µf = {Y ⊆ A | f (Y ) ⊆ Y } und νf = {Y ⊆ A | Y ⊆ f (Y )}.
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108 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Beweis:
Wir beweisen zunächst die Existenz eines kleinsten Fixpunktes µf . Sei
F = {Y ⊆ A | f (Y ) ⊆ Y }.
Beachte: F =
6 ∅ (denn f (A) ⊆ A) und jeder Fixpunkt von f gehört zu F.
T
Definiere µf = F.
∀Y ∈ F : µf ⊆ Y
∀Y ∈ F : f (µf ) ⊆ f (Y ) ⊆ Y wegen der Monotonie von f :
T
T
f (µf ) ⊆ {Y ⊆ A | Y ∈ F} = F = µf , d.h. f (µf ) ⊆ µf .
µf ∈ F.
Wir müssen noch µf ⊆ f (µf ) zeigen:
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109 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Aus f (µf ) ⊆ µf und der Monotonie von f folgt f (f (µf )) ⊆ f (µf ).
f (µf ) ∈ F.
T
µf = {Y | Y ∈ F} ⊆ f (µf ).
Also gilt f (µf ) = µf und µf ⊆ Y für alle Y ∈ F (und damit auch für alle
Fixpunkte Y von f ).
Wir beweisen nun die Existenz des größten Fixpunktes νf .
Für Y ⊆ A sei g (Y ) = A \ f (A \ Y ).
g ist monoton.
Definiere νf = A \ µg .
f (νf ) = f (A \ µg ) = A \ (A \ f (A \ µg )) = A \ g (µg ) = A \ µg = νf .
Also ist νf ein Fixpunkt von f .
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110 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Sei nun Y ein beliebiger Fixpunkt von f , d.h. f (Y ) = Y .
A \ Y = A \ f (Y ) = A \ f (A \ (A \ Y )) = g (A \ Y ).
A \ Y ist Fixpunkt von g .
µg ⊆ A \ Y (da µg der kleinste Fixpunkt von g ist)
Y ⊆ A \ µg = νf .
Also ist νf der größte Fixpunkt von f .
S
Behauptung: νf = {Y ⊆ A | Y ⊆ f (Y )}.
T
Es gilt: µg = {Y ⊆ A | g (Y ) ⊆ Y }.
Also gilt:
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111 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
νf
= A \ µg
\
= A \ {Y
[
=
{A \ Y
[
=
{A \ Y
[
=
{A \ Y
[
=
{Y | Y
| g (Y ) ⊆ Y }
| g (Y ) ⊆ Y }
| A \ f (A \ Y ) ⊆ Y }
| f (A \ Y ) ⊇ A \ Y }
⊆ f (Y )}
Aus dem Beweis von Satz 10 folgt:
Lemma 5
Sei f : 2A → 2A monoton und sei g : 2A → 2A definiert durch
g (Y ) = A \ f (A \ Y ) für alle Y ∈ 2A . Dann gilt: νf = A \ µg .
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112 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
“Berechnung” des kleinsten und größten Fixpunktes von f :
Satz 11 (Knaster-Tarski)
Sei f : 2A → 2A eine monotone Abbildung.
Definiere für jedes Ordinal ξ die folgenden “Approximationen”:
F0 = ∅
Fξ+1 = Fξ ∪ f (Fξ )
[
Fξ
Fχ =
ξ⊏χ
F0 = A
F ξ+1 = F ξ ∩ f (F ξ )
\
F ξ für ein Limesordinal χ
Fχ =
ξ⊏χ
Dann existieren kleinste Ordinale α, β mit Fα = Fα+1 und F β = F β+1 und
es gilt Fα = µf und F β = νf .
Beachte: ξ ⊑ χ =⇒ Fξ ⊆ Fχ und F ξ ⊇ F χ .
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113 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Beweis von Satz 11:
Sei α eine beliebige Ordinalzahl deren Kardinalität größer als die
Kardinalität von A ist (wir können z. B. nach dem Wohlordnungsprinzip
für α eine Wohlordnung auf 2A wählen).
Angenommen es gilt Fχ ( Fχ+1 für alle χ ⊏ α.
Dann erhalten wir eine injektive Abbildung i : α = {χ | χ ⊏ α} → A,
indem wir für alle χ ⊏ α ein xχ ∈ Fχ+1 \ Fχ auswählen und i(χ) = xχ
setzen.
Die Existenz einer solchen Injektion widerspricht jedoch |α| > |A|.
Aufgrund der Wohlordnung der Ordinalzahlen existiert also das kleinste
Ordinal α mit Fα = Fα+1 .
Analog ergibt sich die Existenz des kleinsten Ordinals β mit F β = F β+1 .
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114 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Fα = Fα+1 = Fα ∪ f (Fα ) und F β = F β+1 = F β ∩ f (F β ).
f (Fα ) ⊆ Fα und F β ⊆ f (F β ).
µf ⊆ Fα und νf ⊇ F β (Satz 10).
Wir zeigen nun Fα ⊆ µf (analog ergibt sich F β ⊇ νf ).
Behauptung: Für jedes Ordinal χ gilt Fχ ⊆ µf .
Beweis durch transfinite Induktion über χ.
(i) χ = 0: Es gilt Fχ = ∅ ⊆ µf .
(ii) χ = ξ + 1: Nach IA gilt Fξ ⊆ µf .
Aus der Monotonie von f folgt Fξ+1 = f (Fξ ) ∪ Fξ ⊆ f (µf ) ∪ µf = µf .
(iii) χ ist ein Limesordinal:
Nach IA gilt Fξ ⊆ µf für alle ξ ⊏ χ.
S
Fχ = ξ⊏χ Fξ ⊆ µf .
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115 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der Fixpunktsatz von Knaster-Tarski
Beispiel: Sei
G = (S, →, ρ) eine Spielarena ohne Sackgassen, und sei U ⊆ S.
Wir definieren für einen Spieler x ∈ {Eve, Adam} eine monotone Funktion
fx : 2S → 2S wie folgt:
fx (A) = U ∪ {s ∈ Sx | NG (s) ∩ A 6= ∅} ∪ {s ∈ Sx | NG (s) ⊆ A}
Dann gilt: µfx = AttxG (U).
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SS 2008
116 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül erweitert Modallogik um Konstrukte zur Definition
von kleinsten und größten Fixpunkten.
Seien Σ und Π endliche Mengen von Kantenmarkierungen bzw.
Knotenmarkierungen (Propositionen) und sei X eine
(abzählbar-unendliche) Menge von Variablen (Fixpunktvariablen).
Die Menge aller Formeln des modalen µ-Kalküls über Σ und Π (kurz
µC(Σ, Π)) ist die kleinste Menge mit folgenden Eigenschaften:
Für alle p ∈ Π sind p, ¬p ∈ µC(Σ, Π).
X ⊆ µC(Σ, Π).
Wenn ϕ, ψ ∈ µC(Σ, Π), dann auch ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ µC(Σ, Π).
Wenn ϕ ∈ µC(Σ, Π) und a ∈ Σ, dann auch haiϕ, [a]ϕ ∈ µC(Σ, Π).
Wenn ϕ ∈ µC(Σ, Π) und X ∈ X , dann auch
µX .ϕ, νX .ϕ ∈ µC(Σ, Π).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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117 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Die Menge free(ϕ) der freien Variablen von ϕ ist wie üblich induktiv
definiert:
free(p) = free(¬p) = ∅ für p ∈ Π
free(X ) = {X } für X ∈ X ,
free(ϕ ∧ ψ) = free(ϕ ∨ ψ) = free(ϕ) ∪ free(ψ).
free(haiϕ) = free([a]ϕ) = free(ϕ).
free(µX .ϕ) = free(νX .ϕ) = free(ϕ) \ {X }.
Ein Formel ϕ ∈ µC(Σ, Π) ist ein Satz, falls free(ϕ) = ∅ gilt.
Die Menge sub(ϕ) aller Teilformeln von ϕ ist wie üblich definiert.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
118 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Um die Semantik des modalen µ-Kalkül zu definieren, betrachten wir im
Weiteren Kripkestrukturen der Form
K = (V , Σ, σ, Π ∪ X , π).
Insbesondere gilt also π : Π ∪ X → 2V .
Fixpunktvariablen aus X werden also mit Teilmengen von V belegt.
Für X ∈ X und U ⊆ V sei K [X /U] die Kripkestruktur
(V , Σ, σ, Π ∪ X , π[X /U]), wobei
(
U
falls y = X
π[X /U](y ) =
π(y ) sonst.
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119 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Wir ordnen jeder Formel ϕ ∈ µC(Σ, Π) induktiv eine Teilmenge [[ϕ]]K ⊆ V
zu.
Für p ∈ Π ist [[p]]K = π(p) und [[¬p]]K = V \ π(p)
Für X ∈ X ist [[X ]]K = π(X )
[[ϕ ∨ ψ]]K = [[ϕ]]K ∪ [[ψ]]K , [[ϕ ∧ ψ]]K = [[ϕ]]K ∩ [[ψ]]K
[[haiϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) ∧ u ∈ [[ϕ]]K }
[[[a]ϕ]]K = {v ∈ V | ∀u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) → u ∈ [[ϕ]]K }
[[µX .ϕ]]K = µFXK,ϕ , [[νX .ϕ]]K = νFXK,ϕ .
Hierbei ist FXK,ϕ die monotone Funktion von 2V nach 2V mit
FXK,ϕ (U) = [[ϕ]]K [X /U] für U ∈ 2V .
Die Monotonie der Funktion Fϕ beweisen wir auf der nächsten Folie.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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120 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Lemma 6
Für jede Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π ∪ X , π), alle ϕ ∈ µC(Σ, Π) und
alle Variablen X ∈ X ist die Abbildung FXK,ϕ monoton.
Beweis: Induktion über den Aufbau von ϕ.
ϕ = p ∈ Π: FXK,ϕ (U) = π(p) für alle U ⊆ V .
ϕ = ¬p ∈ Π: FXK,ϕ (U) = V \ π(p) für alle U ⊆ V .
ϕ = X ∈ X : FXK,ϕ (U) = U für alle U ⊆ V .
ϕ = Y ∈ X \ {X }: FXK,ϕ (U) = π(Y ) für alle U ⊆ V .
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121 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
ϕ = ψ ∧ θ: FXK,ϕ (U) = [[ψ ∧ θ]]K [X /U] = FXK,ψ (U) ∩ FXK,θ (U).
Da nach IH FXK,ψ und FXK,θ monoton sind, ist auch FXK,ϕ monoton.
ϕ = ψ ∨ θ: Analog.
ϕ = haiψ:
FXK,ϕ (U) = [[haiψ]]K [X /U]
= {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) ∧ u ∈ [[ψ]]K [X /U] }
= {v ∈ V | ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a) ∧ u ∈ FXK,ψ (U)}.
Da nach IH FXK,ψ monoton ist, ist auch FXK,ϕ monoton.
ϕ = [a]ψ: Analog.
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122 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
ϕ = µY .ψ:
Falls Y = X gilt, so erhalten wir:
FXK,ϕ (U) = [[µX .ψ]]K [X /U]
K [X /U]
= µ FX ,ψ
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
K [X /U]
⊆ V | FX ,ψ
(W ) ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /U][X /W ] ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /W ] ⊆ W }
⊆ V | FXK,ψ (W ) ⊆ W }
= µ FXK,ψ ,
d.h. FXK,ϕ ist eine konstante (und somit monotone) Funktion.
K [X /U]
Beachte: Nach IH sind FXK,ψ und FX ,ψ
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beide monoton.
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123 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Sei nun Y 6= X . Dann gilt:
FXK,ϕ (U) = [[µY .ψ]]K [X /U]
K [X /U]
= µFY ,ψ
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
\
=
{W
K [X /U]
⊆ V | FY ,ψ
(W ) ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [X /U][Y /W ] ⊆ W }
⊆ V | [[ψ]]K [Y /W ][X /U] ⊆ W }
K [Y /W ]
⊆ V | FX ,ψ
(U) ⊆ W }
Sei nun U ⊆ U ′ .
IH
K [Y /W ]
FX ,ψ
K [Y /W ]
(U) ⊆ FX ,ψ
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(U ′ )
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124 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Also gilt:
FXK,ϕ (U) =
⊆
\
\
K [Y /W ]
{W ⊆ V | FX ,ψ
{W ⊆ V |
(U) ⊆ W }
K [Y /W ]
FX ,ψ
(U ′ )
⊆ W}
= FXK,ϕ (U ′ )
ϕ = νY .ψ: Analog.
Dies beendet den Beweis der Monotonie von FXK,ϕ .
Beachte: Entscheidend für den Beweis von Lemma 6 war, dass wir keine
Formeln der Gestalt ¬X (X ∈ X ) erlauben.
In der Tat wäre FXK,¬X : U 7→ V \ U nicht monoton.
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125 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Seien ϕ, ψ ∈ µC(Σ, Π) und sei X ∈ X eine Fixpunktvariable.
Die Formel ϕ[X /ψ] entsteht durch Ersetzen aller freien Vorkommen von X
in ϕ durch ψ:
p[X /ψ] = p, (¬p)[X /ψ] = ¬p
X [X /ψ] = ψ, Z [X /ψ] = Z für Z ∈ X \ {X }
(θ1 ∧ θ2 )[X /ψ] = θ1 [X /ψ] ∧ θ2 [X /ψ],
(θ1 ∨ θ2 )[X /ψ] = θ1 [X /ψ] ∨ θ2 [X /ψ]
(haiθ)[X /ψ] = hai(θ[X /ψ]),
([a]θ)[X /ψ] = [a](θ[X /ψ])
(µX .θ)[X /ψ] = µX .θ, (νX .θ)[X /ψ] = νX .θ
(µZ .θ)[X /ψ] = µZ .θ[X /ψ], (νZ .θ)[X /ψ] = νZ .θ[X /ψ] für Z 6= X
Offensichtlich gilt: [[µX .ϕ]]K = [[µY .ϕ[X /Y ]]]K falls Y 6∈ free(µX .ϕ).
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Bemerkungen:
Der Beweis der Monotonie von FXK,ϕ hat auch gezeigt:
[[µX .ψ]]K [X /U] = [[µX .ψ]]K für alle U ⊆ V (analoges gilt für ν).
D.h. der Wert π(X ) spielt für den Wert [[µX .ψ]]K keine Rolle.
Insbesondere: Ist ϕ ∈ µC(Σ, Π) ein Satz, so sind alle Werte π(X ) mit
X ∈ X irrelevant, und wir können ϕ über einer gewöhnlichen
Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π) auswerten.
Wir erlauben in µC-Formeln die Negation nur direkt vor
Propositionen.
Alternativ könnten wir die Negation überall erlauben, müssten jedoch
dann die folgende Einschränkung vornehmen:
Wenn ϕ ∈ µC(Σ, Π), X ∈ X und jedes freie Vorkommen von X in ϕ
innerhalb einer geraden Anzahl von Negationen liegt, dann auch
µX .ϕ, νX .ϕ ∈ µC(Σ, Π).
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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127 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
In einer Formel, die dieser Einschränkung genügt, können dann
Negationen durch wiederholte Anwendung der folgenden
Äquivalenzen bis auf Propositionen heruntergedrückt werden:
¬(ψ ∧ θ) ≡ ¬ψ ∨ ¬θ
¬(ψ ∨ θ) ≡ ¬ψ ∧ ¬θ
¬¬ψ ≡ ψ
¬haiψ ≡ [a]¬ψ
¬µX .ψ ≡ νX .¬ψ[X /¬X ]
¬[a]ψ ≡ hai¬ψ
¬νX .ψ ≡ µX .¬ψ[X /¬X ]
Die beiden letzten Äquivalenzen ergeben sich aus Lemma 5.
Alternativ zeigen die obigen Äquivalenzen, dass man auf die
Operatoren ∧, [a] und νX verzichten kann, falls man die Negation ¬
(eingeschränkt wie auf der vorherigen Folie erläutert) erlaubt.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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128 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Beispiele:
Sei K = (V , Σ, σ, Π, π) eine Kripkestruktur.
Für die Formel ϕ = µX .(p ∨ haiX ) gilt:
[[ϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ π(p) : (v , u) ∈ σ(a)∗ }
Für die Formel ϕ = µX .(p ∨ haiX ∨ hbiX ) gilt:
[[ϕ]]K = {v ∈ V | ∃u ∈ π(p) : (v , u) ∈ (σ(a) ∪ σ(b))∗ }
Für die Formel ϕ = µX .[a]X gilt:
[[ϕ]]K = {v0 ∈ V | ¬∃v1 , v2 , . . . ∈ V
^
(vi , vi+1 ) ∈ σ(a)}
i≥0
Für die Formel ϕ = νX .(p ∧ haiX ) gilt:
[[ϕ]]K = {v0 ∈ π(p) | ∃v1 , v2 , . . . ∈ π(p)
^
(vi , vi+1 ) ∈ σ(a)}
i≥0
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
129 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Der modale µ-Kalkül
Eine Formel ϕ ∈ µC(Σ, Π) ist in Normalform falls gilt:
Keine Fixpunktvariable wird zweimal in ϕ gebunden: Sind αX .ψ und
βY .θ (mit α, β ∈ {µ, ν}) zwei Teilformeln von ϕ, die an
verschiedenen Positionen in ϕ beginnen, so gilt X 6= Y .
Keine Fixpunktvariable kommt in ϕ sowohl gebunden als auch frei
vor: Falls ϕ eine Teilformel der Gestalt αX .ψ (mit α ∈ {µ, ν})
enthält, so gilt X 6∈ free(ϕ).
Lemma
Für jede Formel ϕ ∈ µC(Σ, Π) gibt es eine Formel ψ in Normalform mit
[[ϕ]]K = [[ψ]]K für jede Kripkestruktur K .
Für den Beweis des Lemmas muss man nur systematisch alle gebundenen
Variablen in ϕ geeignet umbenennen.
Für ϕ ∈ µC(Σ, Π) in Normalform und eine in ϕ gebundene Variable X sei
βXϕ ∈ sub(ϕ) die eindeutige Teilformel der Gestalt µX .ψ oder νX .ψ.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei K = (V , Σ, σ, Π ∪ X , π) eine Kripkestruktur, v ∈ V und ϕ ∈ µC(Σ, Π).
Wir konstruieren nun eine Paritätsspielarena G (K , ϕ) mit:
v ∈ [[ϕ]]K
⇐⇒
(v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
O.B.d.A. sei ϕ in Normalform.
Es sei G (K , ϕ) = (V × sub(ϕ), →, ρ, χ), wobei → wie folgt definiert ist:
v, θ
v, θ
v, ψ ∧ θ
v, ψ ∨ θ
v, ψ
v, ψ
v , [a]ψ
u, ψ ∀(v , u) ∈ σ(a)
v , haiψ
u, ψ ∀(v , u) ∈ σ(a)
v , νX .ψ
v, ψ
v , µX .ψ
v, ψ
v, X
v , βXϕ
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falls X in ϕ gebunden ist
Spieltheoretische Methoden in der Logik
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131 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Die Funktion ρ : V × sub(ϕ) → {Eve, Adam} ist wie folgt definiert:
ρ(v , ψ ∧ θ) = Adam
ρ(v , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(v , [a]ψ) = Adam
ρ(v , haiψ) = Eve
ρ(v , p) = Adam für v ∈ π(p)
ρ(v , p) = Eve für v 6∈ π(p)
ρ(v , ¬p) = Adam für v 6∈ π(p)
ρ(v , ¬p) = Eve für v ∈ π(p)
ρ(v , X ) = Adam für X ∈ free(ϕ),
v ∈ π(X )
ρ(v , X ) = Eve für X ∈ free(ϕ),
v 6∈ π(p)
ρ(v , µX .ψ) = ρ(v , νX .ψ) = egal = ρ(v , X ), falls X in ϕ gebunden ist.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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132 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Wir müssen nun noch die Funktion χ : V × sub(ϕ) → N definieren.
Hierzu definieren wir die Alternierungstiefe ad(λX .ψ) einer Formel λX .ψ
(λ ∈ {µ, ν}) induktiv wie folgt:
ad(µX .ψ) ist die kleinste ungerade Zahl a ∈ N, so dass a ≥ ad(λY .θ)
für alle λY .θ ∈ sub(ψ), λ ∈ {µ, ν}.
ad(νX .ψ) ist die kleinste gerade Zahl a ∈ N, so dass a ≥ ad(λY .θ)
für alle λY .θ ∈ sub(ψ), λ ∈ {µ, ν}.
Dann ist χ : V × sub(ϕ) → N definiert als:
(
ad(ψ) falls ψ von der Form λX .θ mit λ ∈ {µ, ν} ist
χ(v , ψ) =
0
sonst
Beachte:
χ(v , λX .ψ) ≥ χ(w , θ) für alle λ ∈ {µ, ν} und alle θ ∈ sub(ψ).
ran(χ) ist endlich, auch wenn V unendlich ist.
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beispiel: Sei ϕ = µX .(p ∨ haihaiX ) und sei K die Kripkestruktur
a
0
1 p
a
Dann sieht die Spielarena G (K , ϕ) wie folgt aus (grüne Knoten gehören
Eve, rote Knoten gehören Adam, blaue Zahlen sind Prioritäten > 0):
1 0, µX .(p ∨ haihaiX )
0, p ∨ haihaiX
0, haihaiX
1, haiX
0, p
1, µX .(p ∨ haihaiX ) 1
1, p ∨ haihaiX
1, p
1, haihaiX
0, haiX
0, X
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1, X
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beispiel: Sei ϕ = νX .(p ∧ haiX ) und sei K die Kripkestruktur
0
a
a
1
p
Dann sieht die Spielarena G (K , ϕ) wie folgt aus:
0 0, νX .(p ∧ haiX )
0, p ∧ haiX
0, haiX
0, p
1, νX .(p ∧ haiX ) 0
1, p ∧ haiX
1, p
1, haiX
0, X
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1, X
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Satz 12
Sei K = (V , Σ, σ, Π ∪ X , π) eine Kripkestruktur und ϕ ∈ µC(Σ, Π). Dann
gilt für alle v ∈ V :
v ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ (v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Für den Beweis werden das folgende einfache Lemma benutzen.
Lemma 7
Sei G = (S, →, ρ, χ) eine Paritätsspielarena und sei s ∈ S.
Definiere die Arena Gs = ({t ∈ S | s →∗ t}, →, ρ, χ), d.h. Gs ist G
eingeschränkt auf alle Positionen, die von s aus in G erreichbar sind.
.
Dann gilt: s ∈ WGEve ⇐⇒ s ∈ WGEve
s
Beweis: Übung
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Beweis von Satz 12: Induktion über den Aufbau von ϕ. Sei v ∈ V .
Die Fälle ϕ = p, ϕ = ¬p und ϕ = X sind einfach.
ϕ = ϕ1 ∧ ϕ2 : Aus der Konstruktion von G = G (K , ϕ) folgt:
G(v ,ϕ1 ) = G (K , ϕ1 )(v ,ϕ1 )
und G(v ,ϕ2 ) = G (K , ϕ2 )(v ,ϕ2 )
(3)
Wir erhalten:
(v , ϕ) ∈ WGEve ⇐⇒ (v , ϕ1 ), (v , ϕ2 ) ∈ WGEve
Lem. 7
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
, (v , ϕ2 ) ∈ WGEve
(v ,ϕ )
(v ,ϕ
2)
1
(3)
Eve
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
(K ,ϕ1 )(v ,ϕ ) , (v , ϕ2 ) ∈ WG (K ,ϕ2 )(v ,ϕ
2)
1
Lem. 7
Eve
⇐⇒ (v , ϕ1 ) ∈ WGEve
(K ,ϕ1 ) , (v , ϕ2 ) ∈ WG (K ,ϕ2 )
IH
⇐⇒ v ∈ [[ϕ1 ]]K , v ∈ [[ϕ2 ]]K
⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
ϕ = ϕ1 ∨ ϕ2 : analog
ϕ = haiψ: Aus der Konstruktion von G = G (K , ϕ) folgt für alle u ∈ V :
G(u,ψ) = G (K , ψ)(u,ψ)
(4)
Wir erhalten:
(v , ϕ) ∈ WGEve ⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a), (u, ψ) ∈ WGEve
Lem. 7
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a), (u, ψ) ∈ WGEve
(u,ψ)
(4)
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a), (u, ψ) ∈ WGEve
(K ,ψ)(u,ψ)
Lem. 7
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a), (u, ψ) ∈ WGEve
(K ,ψ)
IH
⇐⇒ ∃u ∈ V : (v , u) ∈ σ(a), u ∈ [[ψ]]K
⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K
ϕ = [a]ψ: analog
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
ϕ = µX .ψ:
Sei f = FXK,ψ : U 7→ [[ψ]]K [X /U] für U ⊆ V .
\
[[µX .ψ]]K = µf = {U ⊆ V | f (U) ⊆ U}.
Wir müssen also zeigen:
(v , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) ⇐⇒ v ∈
\
{U ⊆ V | f (U) ⊆ U}.
(5)
Sei Vµ = {u ∈ V | (u, µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) }.
Dann ist (5) äquivalent zu
Vµ =
Beweis von ”⊇”:
\
{U ⊆ V | f (U) ⊆ U}
Wir zeigen dafür
f (Vµ ) ⊆ Vµ .
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei also u ∈ f (Vµ )
u ∈ [[ψ]]K [X /Vµ ]
IH
(u, ψ) ∈ WGEve
(K [X /Vµ ],ψ)
Eve hat also eine gedächtnislose Gewinnstrategie τψ auf der Spielposition
(u, ψ) in der Arena G (K [X /Vµ ], ψ).
Wir zeigen nun, dass dann Eve auch eine gedächtnislose Gewinnstrategie τ
auf der Spielposition (u, µX .ψ) in der Arena G (K , µX .ψ) hat, denn dies
bedeutet u ∈ Vµ .
Die gedächtnislose Strategie τ sieht wie folgt aus:
Im ersten Schritt zieht Eve von (u, µX .ψ) nach (u, ψ).
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Nun zieht Eve solange konform zur Strategie τψ , wie die aktuelle
Spielposition nicht von der Form (w , X ) für ein w ∈ V ist.
Sollte dies nie passieren, so erhalten wird ein zu τψ konformes Spiel in
der Arena G (K [X /Vµ ], ψ), also gewinnt Eve.
Beachte: Positionen der Form (w , X ) sind Sackgassen in
G (K [X /Vµ ], ψ), in G (K , µX .ψ) kann/muss jedoch von solch einer
Position zu (w , µX .ψ) gezogen werden.
Falls die aktuelle Position doch irgenwann von der Form (w , X ) ist,
dann muss in der Arena G (K [X /Vµ ], ψ) Adam auf dieser Position
ziehen.
Denn: Eve spielte von (u, ψ) aus konform zu ihrer Gewinnstrategie τψ ,
und (w , X ) ist eine Sackgasse in G (K [X /Vµ ], ψ).
w ∈ Vµ .
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Nach Definition von Vµ hat Eve eine Gewinnstrategie τ ′ auf
(w , µX .ψ) in der Arena G (K , µX .ψ).
Eve zieht deshalb von (w , X ) nach (w , µX .ψ) und spielt fortan
konform zu τ ′ .
Eve gewinnt.
Dies beendet den Beweis von ”⊇”.
Wir kommen nun zum Beweis von
\
Vµ ⊆ {U ⊆ V | f (U) ⊆ U} = µf .
(6)
Sei τ eine gedächtnislose Strategie für Eve mit der Eve auf allen
Positionen aus WGEve
(K ,µX .ψ) in der Arena G (K , µX .ψ) gewinnt (existiert
nach Lemma 2).
(6) folgt aus:
∀U ⊆ V : f (U) = U ⇒ Vµ ⊆ U
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Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Sei also U ⊆ V ein Fixpunkt von f : f (U) = U, und sei v0 ∈ Vµ , d.h.
(v0 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) .
Wir zeigen v0 ∈ U.
Angenommen es gilt v0 6∈ U = f (U) = [[ψ]]K [X /U] .
IH
(v0 , ψ) 6∈ WGEve
(K [X /U],ψ)
Aus (v0 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) und N(v0 , µX .ψ) = {(v0 , ψ)} folgt
andererseits
Eve
(v0 , ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) = WG (K ,µX .ψ) (τ ).
Betrachte nun die Einschränkung τ ′ der Strategie τ auf die Positionen der
Arena G (K [X /U], ψ).
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
′
Wegen (v0 , ψ) 6∈ WGEve
(K [X /U],ψ) kann τ keine Gewinnstrategie für Eve auf
(v0 , ψ) sein.
es existiert ein zu τ ′ konformes und bei (v0 , ψ) beginnendes Spiel s 0 in
G (K [X /U], ψ), welches Adam gewinnt.
Ein Vergleich der Arenen G (K [X /U], ψ) und G (K , µX .ψ) zeigt, dass das
Spiel s 0 endlich sein muss und bei einer Sackgasse (v1 , X ) enden muss.
Da Adam das Spiel s 0 gewinnt, muss Eve in der Sackgasse (v1 , X ) ziehen.
v1 6∈ U.
Da s 0 ein Präfix eines zu τ konformen Spiels in der Arena G (K , µX .ψ) ist,
folgt: (v1 , X ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) .
Wegen N(v1 , X ) = {(v1 , µX .ψ)} folgt (v1 , µX .ψ) ∈ WGEve
(K ,µX .ψ) , d.h.
v1 ∈ Vµ .
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modaler µ-Kalkül → Paritätsspiele
Wir sind nun wieder in einer Situation wie am Anfang: Wir haben eine
Position v1 (anstatt v0 ) vorliegen mit:
v1 6∈ U
und v1 ∈ Vµ .
Wir können also die obige Argumentationskette unendlich lange
wiederholen und erhalten so ein unendliches Spiel s = s 0 s 1 s 2 · · · , welches
konform zur Strategie τ ist und bei einer Position aus WGEve
(K ,µX .ψ) beginnt.
Eve gewinnt s.
Aber: die höchste Priorität (χ-Wert), der in dem Spiel s unendlich of
vorkommt, ist 2 · fd(µX .ψ) + 1.
Adam gewinnt s.
Widerspruch.
Also muss wie gewünscht v0 ∈ U gelten.
Dies beendet den Fall ϕ = µX .ψ.
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ϕ = νX .ψ:
Sei wieder f = FXK,ψ : U 7→ [[ψ]]K [X /U] für U ⊆ V .
[
[[νX .ψ]]K = νf = {U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
Wir müssen also zeigen:
(v , νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) ⇐⇒ v ∈
[
{U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
(7)
Sei Vν = {u ∈ V | (u, νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) }.
Dann ist (7) äquivalent zu
Vν =
Beweis von ”⊆”:
[
{U ⊆ V | U ⊆ f (U)}.
Wir zeigen dafür Vν ⊆ f (Vν ).
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Sei also u ∈ Vν
(u, νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ)
Sei τ eine gedächtnislose Gewinnstrategie für Eve auf der Spielposition
(u, νX .ψ) in der Arena G (K , νX .ψ).
Wir zeigen nun, dass die Einschränkung τψ von τ auf die Arena
G (K [X /Vν ], ψ) eine Gewinnstrategie für Eve auf der Position (u, ψ) in der
Arena G (K [X /Vν ], ψ) ist (
u ∈ [[ψ]]K [X /Vν ] = f (Vν ) mit IH).
Sei s ein zu τψ konformes Spiel in der Arena G (K [X /Vν ], ψ), welches bei
(u, ψ) beginnt.
Fall 1: s besucht niemals eine Position der Form (w , X ) für ein w ∈ V .
Dann ist s ein zu τ konformes Spiel in der Arena G (K , νX .ψ), welches in
der Position (u, ψ) beginnt.
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Da (u, νX .ψ) nur den Nachfolger (u, ψ) in der Arena G (K , νX .ψ) hat, ist
(u, νX .ψ)s ist ein zu τ konformes Spiel in der Arena G (K , νX .ψ), welches
bei (u, νX .ψ) beginnt.
Eve gewinnt das Spiel (u, νX .ψ)s und damit auch das Spiel s.
Fall 2: s besucht schließlich eine Position der Form (w , X ) für ein w ∈ V .
(w , X ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ)
Da (w , νX .ψ) der einzige Nachfolger von (w , X ) in der Arena G (K , νX .ψ)
ist, folgt (w , νX .ψ) ∈ WGEve
(K ,νX .ψ) .
w ∈ Vν
in G (K [X /Vν ], ψ) muss Adam in der Sackgasse (w , X ) ziehen.
Eve gewinnt das Spiel s in der Arena G (K [X /Vν ], ψ).
Dies beendet den Beweis von ”⊆”.
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Wir kommen nun zum Beweis von
[
Vν ⊇ {U ⊆ V | U ⊆ f (U)} = νf .
Sei v0 ∈ ν(f ) = f (νf ) = [[ψ]]K [X /νf ] .
IH
(v0 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ)
Sei τψ eine gedächtnislose Strategie für Eve mit der Eve auf allen
Positionen aus WGEve
(K [X /νf ],ψ) (insbesondere also auf (v0 , ψ)) in der Arena
G (K [X /νf ], ψ) gewinnt (existiert nach Lemma 2).
Wir konstruieren nun eine Strategie τ für Eve in der Arena G (K , νX .ψ):
τ (u, µX .ψ) = (u, ψ)
τ (u, X ) = (u, µX .ψ)
τ (u, θ) = τψ (u, θ) falls θ 6∈ {X , νX .ψ}
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Behauptung: τ ist eine Gewinnstrategie für Eve auf (v0 , νX .ψ).
(
v0 ∈ Vν )
Sei s0 s1 s2 · · · (bzw. s0 s1 s2 · · · sm ) ein zu τ konformes Spiel in der Arena
G (K , νX .ψ), welches mit s0 = (v0 , νX .ψ) beginnt.
Fall 1: Keine Position si ist von der Form (w , X ) für ein w ∈ V .
Dann ist s1 s2 · · · (bzw. s1 s2 · · · sm ) ein zur Strategie τψ konformes Spiel in
der Arena G (K [X /νf ], ψ), welches bei s1 = (v0 , ψ) beginnt.
Eve gewinnt, da (v0 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) (τψ ).
Fall 2: sk = (v1 , X ) ist die erste Position von der Form (w , X )
( sk+1 = (v1 , νX .ψ)).
s1 s2 · · · sk ist Präfix eines zu τψ konformen Spiels in der Arena
G (K [X /νf ], ψ).
Da sk = (v1 , X ) eine Sackgasse in der Arena G (K [X /νf ], ψ) ist, muss
Adam in (v1 , X ) ziehen.
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v1 ∈ νf = f (νf ) = [[ψ]]K [X /νf ]
IH
(v1 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) .
Wir sind damit wieder in der Ausgangslage:
(v1 , ψ) ∈ WGEve
(K [X /νf ],ψ) und sk+1 sk+2 · · · (bzw. sk+1 sk+2 · · · sm ) ist ein mit
τ konformes Spiel, welches in der Spielposition sk+1 = (v1 , νX .ψ) beginnt.
Wir können somit die obige Argumentation beliebig oft wiederholen.
Einer der beiden folgenden Fälle gilt:
Fall 1 tritt irgendwann ein, d.h. es gibt ein i ≥ 0, so dass ab der
Position si keine Position (w , X ) für ein w ∈ V besucht wird.
Eve gewinnt.
Fall 2 wird stets eintreten.
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es wird ∞ oft eine Spielposition der Form (w , νX .ψ) besucht.
max Inf(χ(s0 )χ(s1 ) · · · ) = 2 · fd(νX .ψ)
Eve gewinnt.
Dies beendet den Beweis von Satz 12.
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Satz 13
Das folgende Problem (Model-Checking Problem für den modalen
µ-Kalkül) gehört zu NP ∩ coNP:
EINGABE: Eine endliche Kripkestruktur K = (V , Σ, σ, Π, π), v ∈ V und
ϕ ∈ µC(Σ, Π) (ohne freie Variablen)
FRAGE: Gilt v ∈ [[ϕ]]K ?
Beweis: Für Enthaltensein in NP:
(1) Konstruiere die Spielarena G = G (K , ϕ)
Beachte: G hat nur |V | · |ϕ| viele Knoten und kann leicht in
Polynomialzeit aus K und ϕ konstruiert werden.
(2) Teste mit einem NP-Algorithmus (raten einer Gewinnstrategie, siehe
Satz 9), ob (v , ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) (⇐⇒ v ∈ [[ϕ]]K nach Satz 12) gilt.
Enthaltensein in coNP folgt aus: v 6∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ v ∈ [[¬ϕ]]K .
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Satz 14
Aus einer endlichen Paritätsspielarena G = (S, →, ρ, χ) kann man in
Polynomialzeit eine Kripkestruktur K = (S, Σ, σ, Π, π) und eine Formel
ϕ ∈ µC(Σ, Π) mit WGEve = [[ϕ]]K berechnen.
Beweis:
Sei G = (S, →, ρ, χ) eine Paritätsspielarena.
Sei d = max{χ(s) | s ∈ S} die maximale Priorität.
Wir definieren die Kripkestruktur K = (S, Σ, σ, Π, π) wie folgt:
Σ = {a} und σ(a) = {(s, t) | s → t}.
Π = {Ei , Ai | 0 ≤ i ≤ d}
π(Ei ) = {s | ρ(s) = Eve und χ(s) = i}
π(Ai ) = {s | ρ(s) = Adam und χ(s) = i}
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Die Formel ϕ sei schließlich:
d _
ϕ = λd Xd · · · µX1 νX0
(Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ) ,
i=0
wobei λi = ν, falls i gerade, und λi = µ, falls i ungerade.
Nach Satz 12 gilt für alle s ∈ S:
s ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ)
Eve
Behauptung: (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) ⇐⇒ s ∈ WG
(dies impliziert s ∈ [[ϕ]]K ⇐⇒ s ∈ WGEve ).
Betrachte hierzu die Arena G (K , ϕ).
Ein Ausschnitt hiervon sieht wie folgt aus (siehe nächste Folie):
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
s ′ , λd Xd d
s, λd Xd d
s ′ , λi Xi i
s, µX1 1
s ′ , νX0 0
s, νX0 0
W
s,
Eve rät χ(s)
s, ∨
Eve rät ρ(s)
s, ∧
s, ∧
Adam überprüft Eve
s, Ei
s, haiXi
...
Eve rät Nachfolger von s
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s, Ai
s ′ , Xi
s, [a]Xi
...
Adam rät Nachfolger von s
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Eve
Wir zeigen nun: (s, ϕ) ∈ WGEve
(K ,ϕ) ⇐⇒ s ∈ WG .
“⇐”: Sei τ eine Gewinnstrategie für Eve aus s ∈ S in der Arena G .
Definiere eine Strategie τ ′ für Eve in der Arena G (K , ϕ) wie folgt:
Von einer Position
d _
(Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ) )
(t,
i=0
zieht Eve nach (t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi )), falls χ(t) = i.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ))
zieht Eve nach (t, Ei ∧ haiXi ), falls ρ(t) = Eve.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ))
zieht Eve nach (t, Ai ∧ [a]Xi ), falls ρ(t) = Adam.
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Eve zieht also entsprechend den tatsächlichen Werten χ(t) und ρ(t).
Sei χ(t) = i und ρ(t) = Eve, d.h. Eve wird nach (t, Ei ∧ haiXi ) ziehen.
Zieht Adam nun von der Position (t, Ei ∧ haiXi ) nach (t, Ei ), so wird Eve
gewinnen, da t ∈ π(Ei ).
Also wird Adam von (t, Ei ∧ haiXi ) nach (t, haiXi ) ziehen.
Nun zieht Eve zur Position (τ (t), Xi ), von wo das Spiel nach
(τ (t), λi Xi · · · ) gelangt. Diese Position hat Priorität i.
Falls ρ(t) = Adam, gelangt das Spiel in die Position (t, [a]Xi ), von der
Adam zu einer beliebigen Position (t ′ , Xi ) mit t ′ ∈ NG (t) ziehen.
Von dort gelangt das Spiel in die Position (t ′ , λi Xi · · · ), welche Priorität i.
Wenn Eve sich an die Strategie τ ′ hält, wird ein zu Eves
Gewinnstrategie τ -konformes Spiel in der Arena G simuliert.
Eve gewinnt.
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
“⇒”: Sei τ eine Gewinnstrategie für Eve auf (s, ϕ) ∈ S in G (K , ϕ).
O.B.d.A. gilt für die Strategie τ :
Von einer Position
d _
(t,
(Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ) )
i=0
zieht Eve nach (t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi )), falls χ(t) = i.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ))
zieht Eve nach (t, Ei ∧ haiXi ), falls ρ(t) = Eve.
Von einer Position
(t, (Ei ∧ haiXi ) ∨ (Ai ∧ [a]Xi ))
zieht Eve nach (t, Ai ∧ [a]Xi ), falls ρ(t) = Adam.
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Paritätsspiele → modaler µ-Kalkül
Wenn dies nicht gelten würde, könnte Adam gewinnen.
Wir definieren nun eine Strategie τ ′ für Eve in der Arena G wie folgt:
Sei t ∈ S mit ρ(t) = Eve und χ(t) = i.
τ ′ (t) = t ′ , falls τ (t, haiXi ) = (t ′ , Xi ).
Ein zu τ ′ konformes und bei s beginnendes Spiel in der Arena G entspricht
dann einem zu τ konformen und bei (s, ϕ) beginnenden Spiel in der Arena
G (K , ϕ).
Also ist τ ′ eine Gewinnstrategie für Eve auf der Positon s.
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Weitere Resultate zum modalen µ-Kalkül
Das folgende Problem (Erfüllbarkeitsproblem für den modalen
µ-Kalkül) ist entscheidbar:
EINGABE: Formel ϕ ∈ µC(Σ, Π).
FRAGE: Existiert eine Kripkestruktur K mit [[ϕ]]K 6= ∅?
Genauer: Dieses Problem ist vollständig für die Komplexitätsklasse
EXPTIME (deterministische exponentielle Zeit).
Auch für den Beweis dieses Resultats spielen Paritätsspiele eine
zentrale Rolle.
Ist ϕ ∈ µC(Σ, Π) erfüllbar, so existiert eine endliche Kripkestruktur K
mit [[ϕ]]K 6= ∅ (finite model property)
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Fixpunktlogik
Der modale µ-Kalkül ist eine Erweiterung von Modallogik um
Fixpunktkonstrukte.
Logik 1. Stufe ist ebenfalls eine Erweiterung von Modallogik.
Eine gemeinsame Erweiterung des modalen µ-Kalküls und von Logik 1.
Stufe ist Fixpunktlogik (LFP für least fixpoint logic).
Zur Erinnerung:
Eine Signatur ist ein Paar S = (R, arity) wobei gilt:
R ist eine endliche Menge von Relationssymbolen.
arity : R → N ist eine Funktion, die jedem Relationssymbol r ∈ R
seine Stelligkeit arity(r ) zuordnet.
Sei X wieder eine abzählbar-unendliche Menge von Variablen 1. Stufe
(x, y , z, x ′ , x0 , . . .).
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Fixpunktlogik
Sei Yi im folgenden eine abzählbar-unendliche Menge von
S
Fixpunktvariablen von Rang i ≥ 1 (X , Y , Z , X ′ , X0 , . . .), Y = i≥1 Yi .
Ist also Y ′ ⊆ Y eine endliche Menge von Fixpunktvariablen, so ist auch
(R ∪ Y ′ , arity) eine Signatur.
Wir definieren die Menge LFP(S) aller Fixpunktformeln (über der
Signatur S) und simultan die Menge aller freien Variablen (1.Stufe)
free1 (ϕ) von ϕ ∈ LFP(S):
(x = y ), (x 6= y ) ∈ LFP(S) für alle x, y ∈ X und
free1 (x = y ) = free1 (x 6= y ) = {x, y }.
Wenn r ∈ R, arity(r ) = n und x1 , . . . , xn ∈ X , dann
r (x1 , . . . , xn ), ¬r (x1 , . . . , xn ) ∈ LFP(S).
free1 (r (x1 , . . . , xn )) = free1 (¬r (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
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Fixpunktlogik
Wenn X ∈ Yn und x1 , . . . , xn ∈ X , dann X (x1 , . . . , xn ) ∈ LFP(S).
free1 (X (x1 , . . . , xn )) = {x1 , . . . , xn }
Wenn ϕ, ψ ∈ LFP(S), dann auch ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ ∈ LFP(S).
free1 (ϕ ∧ ψ) = free1 (ϕ ∨ ψ) = free1 (ϕ) ∪ free1 (ψ)
Wenn ϕ ∈ LFP(S) und x ∈ X , dann auch ∃x ϕ, ∀x ϕ ∈ LFP(S).
free1 (∀x ϕ) = free1 (∃x ϕ) = free1 (ϕ) \ {x}
Sei ϕ ∈ LFP(S), X ∈ Y, arity(X ) = n, free1 (ϕ) = {x1 , . . . , xn } mit
xi 6= xj für i 6= j.
Sei x = (x1 , . . . , xn ) und sei y = (y1 , . . . , yn ) ein Tupel von Variablen
1.Stufe (yi = yj für i 6= j ist erlaubt).
Dann ist [lfp(X , x).ϕ] y ∈ LFP(S) und [gfp(X , x).ϕ] y ∈ LFP(S).
free1 ([lfp(X , x).ϕ] y ) = free1 ([lfp(X , x).ϕ] y ) = {y1 , . . . , yn }
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Semantik für Fixpunktlogik
Die Menge free2 (ϕ) ⊆ Y der freien Fixpunktvariablen von ϕ ist analog
definiert, wobei lfp und gfp Fixpunktvariablen binden.
Eine Struktur über der Signatur S = (R, arity) ist ein Tripel
A = (A, I2 , I1 ), wobei gilt:
A ist eine beliebige Menge (das Universum der Struktur).
I2 ist eine partielle Funktion, für deren endlichen Definitionsbereich
dom(I2 ) gilt: R ⊆ dom(I2 ) ⊆ R ∪ Y.
Jedem α ∈ dom(I2 ) ordnet I2 eine arity(α)-stellige Relation
I2 (α) ⊆ Aarity(α) zu.
I1 : X → A ist eine partielle Funktion mit endliche Definitionsbereich
dom(I1 ).
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Semantik für Fixpunktlogik
Für eine Formel ϕ ∈ LFP(S) und eine Struktur A = (A, I2 , I1 ) über der
Signatur S mit dom(I1 ) = free1 (ϕ) und dom(I2 ) = free2 (ϕ) ∪ R (d.h. A
passt zu ϕ) schreiben wir A |= ϕ genau dann, wenn einer der folgenden
Fälle gilt:
ϕ = (x = y ) und I1 (x) = I1 (y )
ϕ = (x 6= y ) und I1 (x) 6= I1 (y )
ϕ = r (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) ∈ I2 (r ).
ϕ = ¬r (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) 6∈ I2 (r ).
ϕ = X (x1 , . . . , xn ) und (I1 (x1 ), . . . , I1 (xn )) ∈ I2 (X ).
ϕ = ψ ∧ θ und (A |= ψ und A |= θ).
ϕ = ψ ∨ θ und (A |= ψ oder A |= θ).
ϕ = ∃x ψ und es gibt ein a ∈ A mit (A, I2 , I1 ∪ {(x, a)}) |= ψ
ϕ = ∀x ψ und für alle a ∈ A gilt (A, I2 , I1 ∪ {(x, a)}) |= ψ.
ϕ = [lfp(X , x).ψ] y oder ϕ = [gfp(X , x).ψ] y : siehe nächste Folie.
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Semantik für Fixpunktlogik
Sei arity(X ) = n und x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ).
Da free1 ([lfp(X , x).ψ] y ) = free1 ([gfp(X , x).ψ] y ) = {y1 , . . . , yn } gilt
I1 : {y1 , . . . , yn } → A.
Beachte: yi = yj für i 6= j ist erlaubt, dann muss natürlich auch
I1 (yi ) = I1 (yj ) gelten.
n
n
Wir definieren eine Funktion F : 2A → 2A wie folgt: Sei R ⊆ An .
F (R) = {(a1 , . . . , an ) | (A, J2 , J1 ) |= ψ}
Hierbei ist J2 = I2 ∪ {(X , R)} und J1 = {(x1 , a1 ), . . . , (xn , an )}.
Analog zum modalen µ-Kalkül zeigt man, dass F monoton ist (eigentlich
müssten wir FXA,x,ψ anstatt F schreiben).
Dann gilt:
A |= [lfp(X , x).ψ] y
⇐⇒ (I1 (y1 ), . . . , I1 (yn )) ∈ µF
A |= [gfp(X , x).ψ] y
⇐⇒ (I1 (y1 ), . . . , I1 (yn )) ∈ νF
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Beispiele für Fixpunkformeln
(1) Sei S = ({E }, arity) mit arity(E ) = 2, und sei ϕ die folgende
LFP(S)-Formel:
ϕ = [lfp(X , (x, y )). E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y ))](u, v ).
Dann gilt für jede Struktur A = (A, I2 , I1 ) (die zu ϕ passt):
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 (u), I1 (v )) ∈ I2 (E )+ .
(2) Für die LFP(S)-Formel
ϕ = [lfp(X , (x, y )). (x = y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y ))](u, v ).
gilt:
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 (u), I1 (v )) ∈ I2 (E )∗ .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
168 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Fixpunktformeln in Normalform
Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) ist in Normalform falls gilt:
Keine Fixpunktvariable wird zweimal in ϕ gebunden:
Sind [α(X , x).ψ]u und [β(Y , y ).θ]v (mit α, β ∈ {lfp, gfp}) zwei
Teilformeln von ϕ, die an verschiedenen Positionen in ϕ beginnen, so
gilt X 6= Y .
Keine Fixpunktvariable kommt in ϕ gebunden und frei vor:
Falls ϕ eine Teilformel der Gestalt [α(X , x).ψ]u (mit α ∈ {lfp, gfp})
enthält, so gilt X 6∈ free2 (ϕ).
Für jede Teilformel der Gestalt [α(X , x).ψ](y1 , . . . , yn ) sind die
Variablen y1 , . . . , yn paarweise verschieden, d.h. yi 6= yj für i 6= j. (mit
α ∈ {lfp, gfp})
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169 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Fixpunktformeln in Normalform
Lemma
Für jede Formel ϕ ∈ LFP(S) gibt es eine Formel ψ in Normalform mit den
gleichen freien Variablen, so dass für alle passenden Strukturen A gilt:
A |= ϕ ⇔ A |= ψ.
Beweis:
Die ersten beiden Forderungen können durch systematisches Umbenennen
gebundener Fixpunktvariablen erreicht werden.
Die letzte Forderung kann durch Einführen neuer Variablen 1.Stufe erreicht
werden, z.B:
[lfp(X , (x1 , x2 )).ψ](y1 , y1 )
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∃y2 (y2 = y1 ∧ [lfp(X , (x1 , x2 )).ψ](y1 , y2 )).
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170 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
Sei ϕ ∈ LFP(S) in Normalform und sei A = (A, I2 , I1 ) eine zu ϕ passende
Struktur.
Wir konstruieren eine Paritätsspielarena G (A, ϕ) = (S, →, ρ, χ) wie folgt:
S = {(I , ψ) | ψ ∈ sub(ϕ), I : free1 (ψ) → A}
→ ist wie folgt definiert:
I ↾free1 (θ), θ
I,ψ ∧ θ
I ↾free1 (θ), θ
I,ψ ∨ θ
I ↾free1 (ψ), ψ
I , ∃x ψ
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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I ↾free1 (ψ), ψ
I , ∀x ψ
Spieltheoretische Methoden in der Logik
I ∪ {(x, a)}, ψ ∀a ∈ A
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171 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
I , [lfp(X , x).ψ]y
J, ψ
I , [lfp(X , x).ψ]y
J, ψ
Hierbei ist J : {x1 , . . . , xn } → A definiert durch J(xi ) = I (yi ) für
1 ≤ i ≤ n, wobei x = (x1 , . . . , xn ) und y = (y1 , . . . , yn ).
Falls X in ϕ gebunden ist:
J, X (x1 , . . . , xn )
I , [lfp(X , x).ψ]y
Hierbei ist [lfp(X , x).ψ]y die (wegen Normalform) eindeutige Teilformel
von ϕ, die X bindet.
Die Funktion I : {y1 , . . . , yn } → A ist definiert durch I (yi ) = J(xi ) für
1 ≤ i ≤ n.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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172 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
Die Funktion ρ : S → {Eve, Adam} ist wie folgt definiert:
ρ(I , ψ ∨ θ) = Eve
ρ(I , ψ ∧ θ) = Adam
ρ(I , ∃x ψ) = Eve
ρ(I , ∀x ψ) = Adam
(
Eve
ρ(I , r (x1 , . . . , xn )) =
Adam
(
Eve
ρ(I , ¬r (x1 , . . . , xn )) =
Adam
(
Eve
ρ(I , X (x1 , . . . , xn )) =
Adam
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ I2 (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ I2 (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ I2 (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ I2 (r )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) 6∈ I2 (X )
für (I (x1 ), . . . , I (xn )) ∈ I2 (X )
Auf allen anderen Spielpositionen kann ρ beliebig definiert werden.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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173 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
Wir müssen nun noch die Funktion χ : S → N definieren.
Hierzu definieren wir die Alternierungstiefe ad([α(X , x).ψ]u) einer Formel
[α(X , x).ψ]u (α ∈ {lfp, gfp}) induktiv wie folgt:
ad([lfp(X , x).ψ]u) ist die kleinste ungerade Zahl a ∈ N, so dass
a ≥ ad([α(Y , y ).θ]v ) für alle Teilformeln [α(Y , y ).θ]v von ψ
(α ∈ {lfp, gfp}).
ad([gfp(X , x).ψ]u) ist die kleinste gerade Zahl a ∈ N, so dass
a ≥ ad([α(Y , y ).θ]v ) für alle Teilformeln [α(Y , y ).θ]v von ψ
(α ∈ {lfp, gfp}).
Dann ist χ : S → N definiert als:
(
ad(ψ) falls ψ von der Form [α(X , x).θ]y (α ∈ {lfp, gfp}) ist
χ(I , ψ) =
0
sonst
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174 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
Satz 15
Sei ϕ ∈ LFP(S) und sei A = (A, I2 , I1 ) eine zu ϕ passende Struktur. Dann
gilt:
A |= ϕ ⇐⇒ (I1 , ϕ) ∈ WGEve
(A,ϕ)
Der Beweis verläuft völlig analog zum Beweis von Satz 12 (modaler
µ-Kalkül → Paritätsspiele).
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175 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
Beispiel: Die Signatur S enthalte nur ein 2-stelliges Relationssymbol E .
Sei A die folgende Struktur (gerichteter Graph) über der Signatur S:
0
1
Sei ϕ = ∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v ) mit
θ = E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y ).
Dann sieht die Spielarena G (A, ϕ) wie folgt aus, wobei wir eine Position
(I , ψ(x1 , . . . , xn )) identifizieren mit ψ(I (x1 ), . . . , I (xn )).
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176 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v )
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 1)
1
1
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 1)
1
1
θ(0, 0)
θ(0, 1)
θ(1, 0)
θ(1, 1)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 1)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 1)
E (0, 0) ∧ X (0, 0)
E (0, 0)
E (0, 1) ∧ X (1, 0)
E (0, 0) ∧ X (0, 1)
E (0, 1)
X (0, 0)
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E (0, 1) ∧ X (1, 1)
X (0, 1)
E (1, 0) ∧ X (0, 0)
E (1, 0)
E (1, 1) ∧ X (1, 0)
X (1, 0)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
E (1, 0) ∧ X (0, 1)
E (1, 1)
E (1, 1) ∧ X (1, 1)
X (1, 1)
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177 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
LFP → Paritätsspiele
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).θ](u, v )
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](0, 1)
1
1
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 0)
[lfp(X , (x, y )).θ](1, 1)
1
1
θ(0, 0)
θ(0, 1)
θ(1, 0)
θ(1, 1)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (0, z) ∧ X (z, 1)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 0)
∃z E (1, z) ∧ X (z, 1)
E (0, 0) ∧ X (0, 0)
E (0, 0)
E (0, 1) ∧ X (1, 0)
E (0, 0) ∧ X (0, 1)
E (0, 1)
X (0, 0)
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E (0, 1) ∧ X (1, 1)
X (0, 1)
E (1, 0) ∧ X (0, 0)
E (1, 0)
E (1, 1) ∧ X (1, 0)
X (1, 0)
Spieltheoretische Methoden in der Logik
E (1, 0) ∧ X (0, 1)
E (1, 1)
E (1, 1) ∧ X (1, 1)
X (1, 1)
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178 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Model-Checking für LFP
Für das Model-Checking Problem für LFP gilt (ohne Beweis):
Satz 16 (Vardi 1982)
Das folgende Problem (Model-Checking Problem für Fixpunktlogik) kann
in exponentieller Zeit gelöst werden:
EINGABE: Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) und eine passende Struktur A.
FRAGE: A |= ϕ?
Dieses Problem ist sogar vollständig für die Komplexitätsklasse EXPTIME.
Für eine bestimmte Klasse von Fixpunktformeln kann man die obere
Schranke von EXPTIME verbessern:
Für ϕ ∈ LFP(S) definiere die Weite von ϕ wie für FO-Formeln:
width(ϕ) = max{|free1 (ψ)| | ψ ∈ sub(ϕ)}.
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179 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Komplexität von Model-Checking für LFP
Satz 17
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem für
Fixpunktlogik, eingeschränkt auf LFP(S)-Formeln der Weite ≤ w , liegt in
NP ∩ coNP.
Beweis:
Sei ϕ ∈ LFP(S) (ohne freie Variablen) der Weite ≤ w und sei A eine zu ϕ
passende Struktur.
(1) Konstruiere die Spielarena G = G (A, ϕ)
Beachte: G hat höchsten |A|width(ϕ) · |ϕ| ≤ |A|w · |ϕ| viele Knoten.
(2) Teste in NP (bzw. coNP), ob (∅, ϕ) ∈ WGEve .
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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180 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Solitärarenen
Will man einen Polynomialzeitalgorithmus für das Model-Checking
Problem für Fixpunktlogik erhalten, so muss man weitere Einschränkungen
fordern.
Sei G = (S, →, ρ, χ) eine Paritätsspielarena.
Die Arena G ist eine Solitärarena, falls ein x ∈ {Adam, Eve} existiert mit:
∀s ∈ S : |NG (s)| > 1 ⇒ ρ(s) = x
D.h. alle nicht-trivialen Züge werden vom gleichen Spieler gemacht.
Definiere eine Äquivalenzrelation ≡ auf S durch:
s ≡ t ⇐⇒ s →∗ t →∗ s.
Die Äquivalenzklassen von ≡ sind die starken
Zusammenhangskomponenten von (S, →).
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181 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Solitärarenen
Auf der Menge [S]≡ = {[s]≡ | s ∈ S} aller starken
Zusammenhangskomponenten können wir eine partielle Ordnung wie
folgt definieren:
[s]≡ [t]≡ ⇐⇒ s →∗ t
Die Arena G ist eine geschachtelte Solitärarena falls für jede starke
Zusammenhangskomponente Z ⊆ S ein x ∈ {Adam, Eve} existiert mit:
∀s ∈ Z : |{t ∈ Z | s → t}| > 1 ⇒ ρ(s) = x
Satz 18
Es existiert ein Polynomialzeitalgorithmus für das folgende Problem:
EINGABE: Eine geschachtelte Solitärarena G
AUSGABE: Die Gewinnmenge WGEve
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182 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Solitärarenen
Beweis:
Zunächst zeigen wir, wie für eine Solitärarena G = (S, →, ρ, χ) die
Gewinnmengen WGEve und WGAdam = S \ WGEve in Polynomialzeit berechnet
werden können.
Gelte o.B.d.A.: ∀s ∈ S : |NG (s)| > 1 ⇒ ρ(s) = Adam.
Damit gilt: s ∈ WGEve ⇐⇒ von s aus ist kein Zyklus erreichbar ist, dessen
maximale Priorität ungerade ist.
Dies kann in Polynomialzeit überprüft werden, siehe Beweis von Satz 9.
Sei nun G = (S, →, ρ, χ) eine geschachtelte Solitärarena und sei Z eine
bzgl. maximale Zusammenhangskomponente.
∀s ∈ Z : NG (s) ⊆ Z
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
(*)
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183 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Solitärarenen
Nach der obigen Betrachtung können wir für H = G ↾Z die Gewinnmengen
WHEve und WHAdam = S \ WHEve in Polynomialzeit berechnen.
(*)
WGEve ∩ Z = WHEve und WGAdam ∩ Z = WHAdam .
Eve
Berechne nun in Polynomialzeit die Attraktoren AEve = AttEve
G (WH ) und
AAdam = AttAdam
(WHAdam ).
G
AEve ⊆ WGEve und AAdam ⊆ WGAdam .
Sei nun G ′ = G ↾(S \ (AEve ∪ AAdam )).
WGEve = AEve ∪ WGEve
und WGAdam = AAdam ∪ WGAdam
′
′
(siehe Aufgabe 2 von Blatt 6).
Es genügt also die Gewinnmengen WGEve
und WGAdam
zu berechnen.
′
′
Behauptung: G ′ ist wieder eine geschachtelte Solitärarena.
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184 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Solitärarenen
Sei Z ′ eine starke Zusammenhangskomponente von G ′ .
es gibt eine starke Zusammenhangskomponente Z von G mit Z ′ ⊆ Z .
Sei x ∈ {Adam, Eve}, so dass
∀s ∈ Z : |{t ∈ Z | s → t}| > 1 ⇒ ρ(s) = x
Sei nun s ∈ Z ′ ⊆ Z mit |{t ∈ Z ′ | s → t}| > 1
|{t ∈ Z | s → t}| > 1.
ρ(s) = x.
Dies zeigt, dass G ′ tatsächlich eine geschachtelte Solitärarena ist.
Wir können daher das obige Verfahren wiederholt anwenden.
Beachte: Da AEve ∪ AAdam 6= ∅ gilt, wird die Arena in jeder Iteration echt
kleiner.
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185 / 188
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Das Solitärfragment von LFP
Wir definieren nun ein Fragment von Fixpunktlogik, das sogenannte
Solitärfragment SLFP, so dass für jede SLFP-Formel ϕ und jede Struktur
A gilt: G (A, ϕ) ist eine geschachtelte Solitärarena.
Für eine LFP-Formel ϕ in Normalform definieren wir den Graphen
G (ϕ) = (sub(ϕ), →)
mit folgenden Kanten, die mit 1 oder 2 markiert sind:
1
1
ψ1 ∧ ψ2 → ψi , ψ1 ∨ ψ2 → ψi für i ∈ {1, 2}
2
2
∀xψ → ψ, ∃xψ → ψ
1
1
[lfp(X , x).ψ]y → ψ, [gfp(X , x).ψ]y → ψ
1
1
X → [lfp(X , x).ψ]y und X → [gfp(X , x).ψ]y
Beachte: Nur eine dieser Möglichkeiten kann zutreffen, da ϕ in
Normalform ist.
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186 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Das Solitärfragment von LFP
Eine LFP-Formel ϕ ist eine Adam-Formel (bzw. Eve-Formel), falls in ϕ der
oberste Operator ∧ oder ∀ (bzw. ∨ oder ∃) ist.
Eine Formel ϕ ∈ LFP(S) gehört zum Fragment SLFP(S), falls für jede
starke Zusammenhangskomponente Z des Graphen G (ϕ) ein
x ∈ {Eve, Adam} existiert mit:
P
Für jede x-Formel ψ ∈ Z gilt: θ∈Z Markierung der Kante (ψ, θ) ≤ 1
Beispiele: Die LFP-Formel
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).E (x, y ) ∨ ∃z(E (x, z) ∧ X (z, y )](u, v )
gehört zum Solitärfragment von LFP.
Die Formel
∀u∀v [lfp(X , (x, y )).E (x, y ) ∨ ∃z(X (x, z) ∧ X (z, y )](u, v )
gehört nicht zum Solitärfragment von LFP.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
SS 2008
187 / 188
Unendliche Spiele — modaler µ-Kalkül
Das Solitärfragment von LFP
Lemma
Für jede Formel ϕ ∈ SLFP(S) und jede passende Struktur A ist G (A, ϕ)
eine geschachtelte Solitärarena.
Beweis: Folgt direkt aus der Konstruktion der Arena G (A, ϕ).
Satz 17 (Berwanger, Grädel 2004)
Sei w ≥ 0 eine feste Konstante. Das Model-Checking Problem für
Fixpunktlogik, eingeschränkt auf SLFP(S)-Formeln der Weite ≤ w , kann
in Polynomialzeit gelöst werden.
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Spieltheoretische Methoden in der Logik
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188 / 188