met210-111-VI-2-1_Dynamik_Bewegungsgleichung im

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
VI Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
VI.2 Die Bewegungsgleichung
•
•
•
•
Die Newtonschen Axiome
Die wirksamen Kräfte
–
Druckgradient
–
Schwerkraft
–
Reibungskraft
–
Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
Die Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
–
geostrophische Approximation
–
hydrostatische Approximation
–
geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem
3
IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem
Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der
Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.
1. Axiom


K  0  v a  const
Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper
mit konstanter Geschwindigkeit.
2. Axiom


dv a
m
K
dt
Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit
einer Beschleunigung (auch Definition der
Masse).
3. Axiom


K 12   K 21
Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt
eine gleiche Kraft mit umgekehrtem
Vorzeichen (actio = reactio).
Korrolar ("4. Axiom" )


K   Ki
Unterschiedliche Kräfte addieren sich
vektoriell zur Gesamtkraft.
i
4
Wirksame Kräfte
In einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar
m
dv a
K
,
dv a
dt
dt

K
f
m it f m a sse n sp e zifisch e K ra ft
m
o d e r B e sch le u n ig u n g
In d e r A tm o sp h ä re sin d v o r a lle m d re i K rä fte /B e sch le u n ig u n g e n
w irk sa m :
3
f 
f
i
m it
f1
D ru ck g ra d ie n tb e sch le u n ig u n g
f2
S ch w e re b e sch le u n ig u n g
f3
R e ib u n g sb e sch le u n ig u n g
i 1
5
Druckgradientbeschleunigung
An allen Wänden des Volumens V = Δx Δy Δz
wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte:
p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)
z
Δz B
x0, y0,
z0
Fläche A: p(x0+ Δx/2)≈p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2)
A
Fläche B: p(x0 - Δx/2)≈p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2)
 Nettoimpulsflussdichte (Druck) in x-Richtung
p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)≈- (∂p/∂x)Δx
y
Δy
Δx
x
f p,x  
1 p
 x
 Nettokraft (Druck x Fläche)
(ΔyΔz)= (∂p/∂x)V
Kx=(∂p/∂x)Δx
 massenspezifische Kraft (Beschleunigung)
fx=Kx/m=(∂p/∂x)V/m= (1/ρ)(∂p/∂x)
, f p ,y  
1 p
 y
, f p ,z  
1 p
 z

1 
oder fp    p

6
Schwerebeschleunigung
Wir kennen bereits :



g  g N  g Z mit

g N Newtonsche
Anziehung (Gravitati on)

g Z Zentrifuga lbeschleun igung

g muss senkrecht auf der Erdoberflä che sein

gN

gz

g
Im Inertialsystem dürfen wir die
Zentrifugalbeschleunigung durch die
Erdrotation nicht einbeziehen.
Durch die Abplattung der Erde ist die
Newtonsche Anziehung nur an den Polen
und am Äquator senkrecht zur
Erdoberfläche.
Also gilt
fg  gN
 0

  g N ,y
g
N ,z






7
Reibungskraft (1)
x, y,
oder z
Austausch von
Molekülen zwischen
den Schichten
unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch
thermische Bewegung
=
molekulare Reibung
«
Austausch von
Luftpaketen zwischen
den Schichten
unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch
Turbulenz
=
turbulente Reibung
Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch
zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen.
8
Reibungskraft (2)
u
Ansatz über Schubspannung
  
=Impulsaustausch senkrecht zur Bewegungsrichtung
z
• Intuitiv proportional zu „Zähigkeit“ β und
kg
Windscherung ∂u/∂z
mit  ,   
ms
• Betrachte zunächst Reibung durch xImpulsaustausch entlang z-Richtung
  
kg m / s
ms
m

kg m / s
2
Impulsflus
x0, y0,
z0
 xz ( z 0   z / 2 )
Δy
Δx
sdichte wie der Druck
m s
 xz ( z 0   z / 2 )
Δz
Zähigkeit
• τxz ist der Schub in Richtung x
durch Impulsaustausch in
Richtung ±z.
• τxz wirkt oben und unten am
Volumen
• Die Differenz bewirkt einen
Nettoschub für das Volumen.
9
Reibungskraft (3)
τxz(z0+Δz/2) = 0
τxz(z0-Δz/2) > 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0
 Abbremsung
z
 
u
z
x
τxz(z0+Δz/2) > 0
τxz(z0-Δz/2) < 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0
 starke Beschleunigung
τxz(z0+Δz/2) >0
τxz(z0-Δz/2) > 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0
 weder Abbremsung noch
Beschleunigung
Entscheidend für Abbremsung oder Beschleunigung ist also
nicht der Impulstransport selbst, sondern dessen räumliche
Änderung (Konvergenz, Divergenz):
Konvergenz von Impuls beschleunigt, Divergenz bremst. 10
Reibungskraft (4)
Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in xRichtung: K   ( z   z / 2 )  x  y   ( z   z / 2 )  x  y
R ,x
xz

fR , x 
  xz
z
K R ,x
m
0
xz
0
 x  y  z ü b e r  xz ( z 0   z / 2 )   xz ( z 0 ) 
  xz
z
z / 2
V

  xz V
z m

1   xz
 z
R e ib u n g sb e sch le u n ig u n g n a ch x
Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)
fR , x 
1   xz
 z

1   u 


 z  z 
la m in a r (    )

1   u 
1  
u 







 z  z   z 
z 
 u
tu rb u le n t (    K ( z ))

1  
u 

K
(
z
)


 z 
z 
2

m it
,  


z
2

 
u 
K
(
z
)


z 
z 
d yn a m isch e , b zw . m o le k u la re V isk o sitä t (  1, 5 · 10
K
tu rb u le n te r D iffu sio n s k o e ffizie n t (
5
2
m / s)
2
1 m / s)
11
Reibungskraft (5)
Weiter: Neben τxz existieren noch τxy und τxx,
und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz.
Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft (Impulstransport senkrecht zu den
Würfeloberflächen) erledigt!
Zusammengefasst: Schubspannungstensor
 0

    xy

 xz
 yx
 zx 
0
 zy 
 yz

0 
und
fR 
1

 



1








y

x

x
 xy 
 yx 
 zx 


 xz 
z

z

y
 yz
 zy







12
Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im
Inertialsystem

dv a
dt

1 
1 
   p  g N   


In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten
Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!
Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes
Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels
ausrichtet.
13
Übungen zu VI.2.1
1.
2.
3.
Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung in Bodennähe,
wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von
Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt und die Atmosphäre
hydrostatisch geschichtet ist.
Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung durch die Erddrehung am
Äquator, und wie groß ist dort die Gravitationsbeschleunigung?
Wie müsste sich das Windprofil über eine Distanz von 1 Meter ändern,
damit die molekulare Reibung und die turbulente Reibung in die
Größenordnung der Schwerebeschleunigung kommt?
14