met210-111-IV-2

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
IV Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
IV.2 Die Bewegungsgleichung
•
•
•
•
Die Newtonschen Axiome
Die wirksamen Kräfte
–
Druckgradient
–
Schwerkraft
–
Reibungskraft
–
Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
Die Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
–
geostrophische Approximation
–
hydrostatische Approximation
–
geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem
3
IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem
1. Axiom


K  0  v a  const
Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper
mit konstanter Geschwindigkeit fort.
2. Axiom

dv a 
m
K
dt
3. Axiom


K12  K 21
Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit
einer Beschleunigung (auch Definition der
Masse).
Korrolar ("4. Axiom" )


K   Ki
Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt
eine gleiche Kraft mit umgekehrtem
Vorzeichen (actio = reactio).
Unterschiedliche Kräfte addieren sich
vektoriell zur Gesamtkraft.
i
Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der
Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.
4
IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräfte
a) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar





dv a
dv a K 
m
K ,

 f mit f massenspez ifische Kraft
dt
dt
m
oder Beschleuni gung
 3 

f   fi mit f1 Druckgradi entbeschle unigung
i 1

f2 Schwerebes chleunigun g

f3 Reibungsbe schleunigu ng
5
Druckgradientbeschleunigung
• An allen Wänden des Volumens (ΔxΔyΔz)
wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte
p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)
z
Δz B
x0, y0,
z0
• Fläche A: p(x0+ Δx/2)=p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2)
A
• Fläche B: p(x0 - Δx/2)=p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2)
 Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung
p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)=- (∂p/∂x)Δx
y
Δy
Δx
x
f p, x
 Nettokraft (Druck x Fläche) Kx=(∂p/∂x)ΔxΔyΔz= (∂p/∂x)V
 massenspezifische Kraft (Beschleunigung)
fx=Kx/m=(∂p/∂x)V/m (1/ρ)(∂p/∂x)

1 p
1 p
1 p
1 

, f p, y  
, fp,z  
oder fp   p
 x
 y
 z

6
Schwerebeschleunigung
Wir kennen bereits :
 

g  g N  g Z mit

g N Newtonsche Anziehung (Gravitati on)

g Z Zentrifuga lbeschleun igung

g muss senkrecht auf der Erdoberflä che sein
Im Inertialsystem dürfen wir aber die
Zentrifugalbeschleunigung der Erde
nicht einbeziehen.

gN

gz

g
Also gilt
 0 
 


fg  g N    g N ,y 
g 
 N ,z 
7
Reibungskraft (1)
x, y,
z
Austausch von
Molekülen zwischen
den Schichten
unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch
thermische Bewegung
=
molekulare Reibung
«
Austausch von
Luftpaketen zwischen
den Schichten
unterschiedlicher
Geschwindigkeit durch
Turbulenz
=
turbulente Reibung
Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch
zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen
8
Reibungskraft (2)
Grundlegender Ansatz:
Schubspannung, intuitiv zunächst nur
für Reibung in der Horizontalen
  
kg m / s kg m / s

ms m
m 2s
x0, y0,
z0
 xz (z0  z / 2)
Δy
u
z
mit  ,   
kg
Zähigkeit
ms
Impulsflus sdichte wie der Druck
 xz (z0  z / 2)
Δz
 
• τxz: Schub in Richtung x durch
Impulsaustausch in Richtung ±z
• wirkt oben und unten am
Volumen
• Differenz bewirkt Nettoschub
Δx
9
Reibungskraft (3)
τxz(z0+Δz/2) = 0
τxz(z0-Δz/2) > 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0
 Abbremsung
u
 
z
τxz(z0+Δz/2) > 0
τxz(z0-Δz/2) < 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0
 starke Beschleunigung
τxz(z0+Δz/2) >0
τxz(z0-Δz/2) > 0
Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0
 weder Abbremsung noch
Beschleunigung
Entscheidend für Abbremsung oder
Beschneunigung ist also nicht der Impulstransport
selbst, sondern dessen räumliche Änderung:
Konvergenz beschleunigt, Divergenz bremst.
10
Reibungskraft (5)
Berechnung der Nettokraft in x-Richtung (Impulsflussdivergenz):
K R,x   xz ( z0  z / 2)xy   xz ( z0  z / 2)xy
 xz
xyz über  xz ( z0  z / 2)   xz ( z0 )   xz z / 2
z
z
K
 V
1  xz
fR,x  R,x  xz

Reibungsbe schleunigu ng nach x
m
z m  z
Laminare und turbulente Strömungen
1  xz 1   u 
f R,x 



 z
 z  z 
laminar
turb ulent


1   u  1  
u 
  
  
 z  z   z 
z 
 2u
 2
z
mit  ,  
K



1  
u 
 K ( z ) 
 z 
z 

 
u 
K
(
z
)


z 
z 
kinematisc he, bzw. molekulare Zähigkeit
turbulent er Diffusions koeffizien t
11
Reibungskraft (6)
Problem: Neben τxz existieren noch τxy und τxx,
und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz.
Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft erledigt!
Lösung: Schubspannungstensor
 0  yx  zx 


   xy 0  zy 



0
xz
yz


und

1 
fR    


 

  xy   xz 
z 
 y
1 


   yx   yz 
 x
z
 


  zx   zy 
 x

y


12
Bewegungsgleichung für die Atmosphäre
im Inertialsystem


dv a
1 
1 
  p  g N    
dt


In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten die
bekannten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf!
Als brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der Sonne
verankertes Koordinatensystem sein, das seine Achsen starr am
Fixsternhimmels ausrichtet.
13
IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem
b) im erdfesten Bezugssystem
• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis
auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung
ändern muss.
• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit
Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im
Inertialsystem beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als
Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte
interpretiert werden
14
Coriolisbeschleunigung
- qualitativ (1) • Ein von P (fest auf der Scheibe)
•
Q‘‘
Q
•
Q‘
•
P‘
P
•
t+Δt
t0
nach Q geworfener Körper hat auch
eine x-Komponente der
Geschwindigkeit; sie entspricht etwa
der u-Bewegung von P.
Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und
auch der Körper muss etwa die
gleiche Strecke in x-Richtung nach
Q‘ zurück gelegt haben.
Der Punkt Q hat sich aber nur nach
Q‘‘ verlagert, durch die kleinere
Entfernung von der Drehachse.
Der Körper hat sich also relativ zur
Scheibenoberfläche nach rechts
bewegt.
Analoges ergibt sich für die
umgekehrte Richtung.
15
Coriolisbeschleunigung
- qualitativ (2) -
Q‘
Q
P
P‘
Q‘‘
Q‘
Q
P‘
Q‘‘
•
Die Vektoren seien Wege
nach einer festen Zeit Δt.
• P wirft nach Q (blauer
Vektor).
• Doch gleichzeitig ist die
Drehung der Scheibe zu
berücksichtigen (roter
Vektor).
• Die Summe ist der grüne
Vektor, der die Position des
Balls im Intertialsystem
anzeigt.
• Beachte nun die Position
des Balls Q‘‘ relativ zu der
Geraden P‘ Q‘.
 Rechtsablenkung
P
16
Coriolisbeschleunigung
- halb quantitativ (1) - Δs= Δu
Δt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt
=(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt
=(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt
mit λ Länge und φ Breite
Ω
• Ein Körper startet bei A mit
konstanter Geschwindigkeit v nach B
(nach Norden) und hält v aufrecht
Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer
über ein Zeitintervall Δt.
konstanten Beschleunigung nach Ost:
• Durch Erhaltung des Ost-Impulses
→s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R →
nimmt er dabei eine RelativgeΔt= Δφ R/v folgt
schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, b = 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v )
C
und hat nach Δt die Strecke Δs nach = - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ)
Osten zurückgelegt.
= - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ)
≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ
= 2Ωvsinφ
+
B
bC,u  2v sin
Δs
C
v
Δt
3
1
• Der Körper beschleunigt nach
rechts in Abhängigkeit von
Geschwindigkeit und Breite
A
2
17
Coriolisbeschleunigung
- halb quantitativ (2) • Ein Körper bewege sich mit der
2
Relativgeschwindigkeit u nach Ost.
ua2 u  r 
u2
2

  r  2u 
• Er hat dann die
r
r
r
Absolutgeschwindigkeit
• Der erste Term ist das bekannte gz.
ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ.
• Die beiden letzten Terme beschreiben
• Da er einer Kreisbewegung folgt
die zusätzliche Zentrifugalbeschleunifolgt eine Zentrifugalbeschleunigung durch die (relative) u-Bewegung.
gung von (ua)2/r.
2u
cos
r
R
2u
P
2u
sin
• Der dabei meist dominierende mittlere
Term (nur er hängt vom Vorzeichen
von u ab!) lässt sich in eine z und
eine y-Komponente aufteilen
(Abbildung).
• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen wieder eine Rechtsablenkung
und zwar mit der Beschleunigung
bC,v  2u sin
18
Coriolisbeschleunigung
- formal (1) • Betrachtung der Darstellung eines Vektors im
Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem
• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung
der Änderung des rotierenden Koordinatensystems
• Anwendung auf den Vektor der absoluten
Geschwindigkeit.
19
Coriolisbeschleunigung
- formal (2) 

z

k

i
x

j

a Vektor



 a x i  a y j  az k



 ax i   ay j   az k 
daraus folgt

y‘
da dax  day  daz 

i 
j
k

dt
dt
dt
dt
j
dax  day  daz 
k  z‘

i 
j
k
x‘
dt
dt
dt
i

 d a beobachtet e Änderung 
 

 dt im beschleuni gten System 



di 
dj 
dk 
 ax
 ay
 az
dt
dt
dt

 
 
 
d a
y

 ax   i   ay   j   az   k 
dt

 
 

d a 

   ax i     ay j     az k 
dt

d a  

 a
dt
20
Coriolisbeschleunigung
- formal (3) -


da d a  

 a
dt
dt



  
dr d r  

   r identisch mit v a  v    r
dt
dt


 
dv a
d v a


Ω  va
dt
dt

    
d v
d  


r
 v    r
dt
dt



d v d    d r     


r  
 v    r
dt
dt
dt




v
21
Coriolisbeschleunigung
- formal (4) 


    
d v dv a d  


 r  2

v 


r


dt
dt 
dt


IV
V


I
II
III
I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche
II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)
III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s
kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)
IV. Coriolisbeschleunigung
V. Zentrifugalbeschleunigung
22
Coriolisbeschleunigung
- formal (5)

Coriolisbeschleunigung
i

 
fC  2  v  2  x
u

j
y
v

k
 2v sin  w cos  


z  
 2u sin


w 
2u cos 

da Ωx  0
y
Ωy  Ω cos 
Ωz  Ω sin
z
Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben?
Äqu.
Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt für die horizontale Komponente

 fv  2 cos  w   fv 
  
 , da w  u,v
fC,h  
 fu

   fu 
 
 fk  v h
23
Navier-Stokes-Gleichung (1)



    
d v dv a d  


 r  2  v      r
dt
dt
dt

+
 1 

dv a
1
  p  gk    
dt





  
  
dv v
1 

 (v   )v   p  gk  2  v  fR
dt
t

Dabei wurden
• totale Ableitung in partielle Ableitungen gesplittet
• Rotationsvektor als konstant angenommen
• Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert
• d‘/dt=d/dt gesetzt
• Reibung verallgemeinert
24
Navier-Stokes-Gleichung (2)



  
  
dv v
1 

 (v   )v   p  gk  2  v  fR
dt
t

komponentenweise
du u
u
u
u
1 p

u
v
w

 2v sin  w cos    fR,x
dt
t
x
y
z
 x
dv v
v
v
v
1 p

u
v
w

 2v sin
 fR,y
dt
t
x
y
z
 y
dw w
w
w
w
1 p

u
v
w

 2u cos  -g  fR,z
dt
t
x
y
z
 z
gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung
25
IV.2.3 Skalenanalyse
- für synoptische Systeme der mittleren Breiten -
• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente
(Vertikalwind)
-> statische Grundgleichung
• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente
(Horizonalwind)
-> der geostrophische Wind
26
Skalenanalyse (2)
- charakteristische synoptische Größen •
•
•
•
•
•
•
•
•
Horizontalgeschw. U
Vertikalgeschw.
W
Länge
L
Höhe
H
Luftdruckvariat.
P
Zeit
L/U = T
Coriolisparam. f = 2sin
Luftdichte

Luftdruck am Boden po
~
~
~
~
~
~
~
~
~
10 m/s
10-2 m/s
106 m
104 m
103 Pa
105 s
10-4 s-1
1 kg/m3
105 Pa
(1000 km)
(10 km)
(10 hPa)
(ca. 1 Tag)
(1000 hPa)
27
Skalenanalyse (3)
– horizontale Bewegungsgleichung -
du
1 p

 2(v sin  w cos  )  FFr ,x
dt
 x
dv
1 p

 2u sin
dt
 y
U/T 1/ p/L
10-4
10-3
1 p
fv 
 x
1 p
fu  
 y
 FFr ,y
fU
fW
-
10-3
10-6
-
m/s2
...Coriolisbeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigung
heben sich gegenseitig auf!
28
synoptische Skalenanalyse (4)
– geostrophischer Wind -
fv 
 
1 p
1 p
1 
, fu  
, f k  v h   h p
 x
 y

oder

1  
vh 
k  h p
f
T
p 3 p
geostrophischer Wind:

1  
vg 
k  h p
ρf
1 p
1 p
ug  
, vg 
ρ y
ρf x
FP,H
p 2 p
vg
p 1 p
FC,H
p
H
29
synoptische Skalenanalyse (5)
- 3. Bewegungsgleichung -
dw
1 p

 g  2u cos  fF ,z
dt
 z
W/T
10-7
1/ po/H g
10
p
  g
z
10
fU
-
10-3
-
m/s2
...Schwerebeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigung
heben sich gegenseitig auf! 30
Synoptische Skalenanalyse (6)
- Berücksichtigung der Beschleunigung du
1 p
dv
1 p
 fv  
,
 fu  
dt
 x
dt
 y
du
dv
 f (v  v g ) ,
 f (u  ug )








dt
dt
v ag
uag
Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes.
Wann ist das wichtig?
du dv
U
U
U²
,
L
U
L  U  R , Rossby - Zahl, groß ist.
Wenn dt dt  T 

o
fu, fv
fU
fU
fU
fL
Mit gegebenen Zahlen gilt Ro=0,1, also 10% Fehler bei Anname des
geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen
gilt Ro=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U
größer bei Hurrikanen)
31
Übungen zu IV.2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung, wenn bei
p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen
nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt.
Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem
Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am
Äquator.
Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die
Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab.
Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden
Erde in ca. 20 Zeilen.
Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des
Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag
mit dem der Coriolisbeschleunigung.
Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für
einen Badewannenwirbel.
32