Traditionell modern

Was sind die
meteorologischen
Grundgleichungen?
Clemens Simmer
Meteorologisches Institut
Gliederung
1. Übersicht
2. die meteorologischen Basisvariablen und ihre
Verknüpfung
3. die Bewegungsgleichung
4. Zusammenfassung
2
1 Übersicht
Zur Bestimmung der
...benötigen wir
sieben grundlegenden
meteorologischen Variablen:
die sieben meteorologische
Grundgleichungen:
Wind (3)
Luftdruck
Lufttemperatur
Luftdichte
Luftfeuchtigkeit ...
Bewegungsgleichung (3)
Kontinuitätsgleichung
1. Hauptsatz der Wärmelehre
Wasserdampfbilanzgleichung
Zustandsgleichung der Luft.
Sechs der meteorologischen Grundgleichungen betreffen zeitliche
Ableitungen der meteorologischen Variablen
-> (Wetter)Vorhersagen sind möglich!
3
2 Die meteorologischen Basisvariablem
und ihre Verknüpfungen
1. Druck, Dichte und Temperatur
 Zustandsgleichung für ideale Gase
 statische Grundgleichung
 1. Hauptsatz der Wärmelehre
2. Wind
 Kontinuitätsgleichung
3. Feuchte
 Kontinuitätsgleichung für Wasserdampf
4
2.1 Druck, Dichte und Temperatur
•
•
•
•
•
•
Was ist Temperatur?
Was ist Luftdruck?
Wie erzeugt Luftdruck Luftbewegung?
Die Gleichung für ideale Gase
Die statische Grundgleichung
Der erste Hauptsatz der Wärmelehre
5
Was ist Temperatur?
• Die Temperatur hängt mit der mittleren kinetischen Energie
(Bewegungsenergie) der einzelnen Moleküle zusammen:
m 2 3
v  k BT mit m Masse eines Moleküls
2
2

v Geschwindi gkeitsvekt or eines Moleküls
k B  1.3806  10-23 J/K Boltzmann - Konstante
• Temperatur hängt also nicht von der Anzahl der Moleküle (also z.B.
von der Dichte) ab! (siehe Ausdehnung ins Vakuum)
• Der Wärmeenergie eines Luftvolumens (genauer: Definition der inneren
Energie E) ist proportional zu Temperatur T und zur Wärmekapazität
bei kontantem Volumen CV ([CV]=J/K)
E  CVT  mcvT ; e 
E
 cVT mit cv  717 J/(kgK)
m
6
Was ist Luftdruck?
• Luftdruck ist auf molekularer Ebene die Flussdichte der Impulse
der Luftmoleküle, denn
Druck = Kraft / Fläche
= kg x m/s2 / m2
= (kg x m/s) / (m2 s)
= Impuls / (Fläche x Zeit)
• Luftdruck ist daher
– proportional zur Dichte der Luft (mehr Moleküle→mehr Impulse),
und
– proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit der Luftmoleküle,
denn
• Impuls =mv, (m Masse, v Geschwindigkeit) und
• Häufigkeit des Durchfliegens eine Fläche ~ v.
• Bei ruhender Luft ist die Impulsflussdichte durch eine Fläche
unabhängig von der Orientierung (Druck ist kein Vektor!)
• Warum bewegen Druckunterschiede die Luft?
7
Warum bewegen Druckunterschiede
die Luft ? (1)
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit
Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer
Druck (Impulsdichte) als links durch höhere Temperatur (T~v²).
t=to
t=to+Δt
Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach links
erfahren. Es wird also nach links beschleunigt!
8
Warum bewegen Druckunterschiede
die Luft ? (1)
Betrachte alle Moleküle, die an beiden Enden des Luftvolumens in der Zeit
Δt mit Umgebung ausgetauscht werden. Rechts herrsche ein höherer
Druck (Impulsdichte) durch mehr Moleküle.
t=to
t=to+Δt
Das Volumen hat eine Gesamtimpulsänderung nach
links erfahren. Es wird also nach links beschleunigt.
9
Statische Grundgleichung
• Offensichtlich beschleunigt der Druckgradient dp/dx (x beliebige
Raumkoordinate) Luft zum niedrigeren Druck.
• Ein Dimensionsanalyse des Druckgradienten ergibt, dass sich die
Druckgradientbeschleunigung durch Division mit der Dichte ergibt
2
2
kg
 dp  kgms / m

3
 dx  
m
m
 

m
2
s

Dichte Beschleuni gung
• In der Vertikalen wird die Druckgradientbeschleunigung mit sehr guter
Näherung durch die Schwerebeschleunigung g=9,81 m/s² kompensiert
– es folgt die statische Grundgleichung:
1 dp
 g
 dz
10
Zustandsgleichung für ideale Gase
• Druck (p), Temperatur (T) und Partikelanzahl (n= Anzahl der Mole des
Gases im Volumen) sind verknüpft durch:
pV  nRT
pV 
mit R  8314,4 J/(kmol K) allgemeine Gaskonstan te
m
R
RT  m T  mRM T mit RM  R/M spezielle Gaskonstan te
M
M
M Molekularg ewicht des Gases
m ist die Masse des Gases (kg)
• Luft ist ein Gasgemisch; die spezifische Gaskonstante ergibt sich aus
einem mittleren Molekulargewicht
→ RM=RL=R/ML=const mit ML=28,965 kg/kmol, RL=287 J/(kg K)
• Üblicherweise nutzen wir in der Meteorologie die Formulierung mit der
Dichte
m
p  RMT  RMT
V
11
Analyse von pV=nRT
V
p=const
V=const
T

 nR* 
 T
p  
 V const

1
p  nR T const
V
p
*
T=const
warm
kalt
p
V
 nR* 
 T
V  
 p const
V=const
T
V
p=const
T
12
1. Hauptsatz der Wärmelehre (1)
Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre
Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit
auch die Temperatur im Volumen.
Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle
nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine
geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional
zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist,
nimmt die Temperatur im Volumen ab.
Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur
Abnahme der Temperatur des Gases.
Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases
zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer
Energie und Ausdehnungsarbeit (→ Erster Hauptsatz der
Wärmelehre)
13
1. Hauptsatz der Wärmelehre (2)
V → V + ΔV
p ΔV = (Kraft/Fläche) x Volumen
= Kraft x Weg = A (Arbeit)
• Diese Ausdehnungsarbeit muss also auf Kosten der inneren Energie
des Gases gehen, also pΔV=-mcVΔT.
• Nun könnte aber das Gas durch andere Wärmeströme ΔQ zusätzlich
erwärmt oder abgekühlt werden (über die Wände, Kondensation von
Wasserdampf), also ΔQ = pΔV+mcVΔT
• Das ganze differentiell nach Division durch m mit α=1/ρ und cp=cv+RL
dq  cV dT  pd
oder dq  c p dT  dp
14
1. Hauptsatz der Wärmelehre (3)
• Lässt man weder Kondensation noch andere Wärmeflüsse
zu (sogenannte adiabatische Veränderungen) so gilt
dT  RLT
dT RL dp
T  p




   
dp c p c p p
T
cp p
T0  p0 
RL
cp
• Wendet man die statische Grundgleichung auf dp an, so
gibt sich für vertikale adiabatische Bewegungen
dT
g
c pdT  dp  gdz 

 0,98K / 100m
dz
cp
• Ohne externe Wärmezufuht kühlt sich Luft beim Aufsteigen
um ca 1 K/ 100m Höhenunterschied ab
15
2.2 Wind
• Wind als Vektor
• Konvergenz und Massenänderungen
• Kontinuitätsgleichung
16
Wind als Vektor
•
•
Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt und ihre Richtung
Bezug ist dabei ein endliches Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle
(Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik).
z
w

i
u
x (Ost)

v

 
k j


vh
v y (Nord)

u  v sin  cos 

v  v sin  sin 

w  v cos 

 

v  ui  vj  wk

v  u 2  v 2  w2
Dabei ist λ die Winkelabweichung von der
Ostrichtung, und φ die Winkelabweichung
von der Vertikalen.
17
Horizontale Windgeschwindigkeit
Für große Skalen (lange
Zeitmittelung (mehrere Minuten)
oder Mittelung über viele Kilometer
gilt u~v>>w.
N
36
W 27
9O
 
 u 
vh     ui  vj
v

vh  u 2  v 2
18
S
Achtung: Die übliche Windrichtungsangabe ist dem
Windvektor entgegengesetzt.
Merksatz: Strom: wohin er geht, Wind: woher er weht.
18
Divergenz der Windgeschwindigkeit
Die Divergenz eines Windfeldes quantifiziert das Zusammen- (Konvergenz,
negative Divergenz) oder Auseinanderströmen (Divergenz) der Luft.
  
u v w
div v    v   i ui 


x y z
 

u v
div v H    v H 

x y
• Bei Beschränkung auf die horizontalen
Windkomponenten wird der
Zusammenhang zwischen Strömungsfeld
und Divergenz unmittelbar deutlich.
• Die ∂ (sprich „del“) bezeichnen partielle
Ableitungen (d.h. hier wird z.B. die Zeit
konstant gehalten)
t=0
t=t1
x
<0
>0
<0
19
Divergenz und Massenerhaltung
M  Nettomasse nfluss aus einem festen Volumen, [M]  kg/s
Mi
M
m
( V )


 V
mit m Masse und  Dichte
t
t
t
Massenflus s durch eine Randfläche senkrecht zu x, M x
V,m,ρ=m/V
M x  v Fx Fx ρ  0 wenn Fluss aus V heraus
Es interessie rt aber nur die Änderung von Mx einer Stirnseite zu anderen
also z.B M̂x  Mx - Mx 
v Fx ρ
M x
x 
Fx x.
x
x 
V
Das gilt dann auch für die anderen zwei Doppelfläc hen
u
v
w
Mˆ x 
V , Mˆ y 
V , Mˆ z 
V
x
y
z
Zusammen ergibt sich

 u v w 


ˆ
ˆ
ˆ
V    v V
M   V  M x  M y  M z  


t
y
z 
 x

 


d
und schließlic h
   v  oder
    v

t
dt
ohne
Beweis
20
2.3 Feuchte
• Feuchtemaße
• Kontinuitätsgleichung für Wasserdampf
21
Feuchtemaße
• w absolute Feuchte [kg m-3]
• e Partialdruck des Wasserdampfs [hPa]
• Td Taupunkt [K]
Abkühlung auf Taupunkt führt zur Kondensation
• q spezifische Feuchte [kg/kg]
Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der
feuchten Luft
• m Mischungsverhältnis [kg/kg]
Masse des Wasserdampfes zur Gesamtmasse der
trockenen Luft
• f
relative Feuchte [%] =e/es mit es
Sättigungsdampfdruck
22
Auswirkungen der Feuchte
• Gaskonstante für Luft RL aber auch die spezifischen
Wärmekapazitäten von Luft (cV und cp) sind leicht vom
Wasserdampfgehalt abhängig
• Gegenüber der Masse der „trockenen“ Luft bleibt die Masse des
Wasserdampfes nicht konstant (Kondensation, Verdunstung).
• Entsprechend muss die „Kontinuitätsgleichung“ für Wasserdampf
Quellen und Senken enthalten.
 
d
Anstatt
    v müssen wir schreiben
dt
 
d w
  w   v  W wobei W alle Phasenumwa ndlungen
dt
von Wasser beeinhalte t.
• Schließlich muss der 1. Hauptsatz bei der externen Wärmezufuhr die
Umwandlungswärmen enthalten.
23
3 Die Bewegungsgleichung
• Die Bewegungsgleichung im Inertialsystem
• Auswirkung der rotierenden Erde – Bewegung in einem
rotierenden Koordinatensystem
• Skalenanalyse der Bewegungsgleichung
– geostrophische Approximation
– hydrostatische Approximation
24
Die Bewegungsgleichung im Inertialsystem
• In einem Inertialsystem gelten die Newtonschen Axiome, insbesondere
– N2: Greift eine Kraft an einem Körper an, so reagiert der mit einer
Beschleunigung in Richtung der Kraft mit einem Betrag umgekehrt zu
seiner trägen Masse
– N4: Greifen mehrere Kräfte an, müssen diese vektoriell addiert werden.
• In der Erdatmosphäre gilt insgesamt mit sehr guter Näherung




dv a
dv a K 
m
K ,

 f mit v a Absolutge schwindigk eit
dt
dt
m

f massenspez ifische Kraft
 3 


1
f   fi mit f1 Druckgradi entkraft p
ρ
i 1





f2 Schwerkraf t g  -gk , f3 Reibungskr aft fR

 
dv a
1 

  p  gk  fR
dt

25
Auswirkung der rotierenden Erde –Bewegung in
einem rotierenden Koordinatensystem
• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis
auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung
ändern muss.
• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit
Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im
Inertialsystem beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als
Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert
werden (Zentrifugal- und Coriolisbeschleunigung).
• Die Zentrifugalbeschleunigung führt zur

gz
Erdabplattung, die sich so einstellt, dass die
Summe aus Zentrifugalbeschleunigung und


Erdanziehung normal zur Erdoberfläche sind.
gN g
• Sie „verschwindet“ in g.
26
Coriolisbeschleunigung
- anschaulich (1) •
•
Q‘‘
Q
Q‘
P‘
P
t+Δt
t0
•
•
•
Ein von P (fest auf der Scheibe) nach Q
geworfener Körper hat auch eine xKomponente der Geschwindigkeit; sie
entspricht etwa der u-Bewegung von P.
Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch
der Körper muss etwa die gleiche
Strecke in x-Richtung nach
Q‘zurückgelegt haben.
Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘
verlagert, durch die kleinere Entfernung
von der Drehachse.
Der Körper hat sich relativ zur
Scheibenoberfläche nach
rechtsbewegt.
Analoges ergibt sich für die umgekehrte
Richtung.
27
Coriolisbeschleunigung
- anschaulich (2) -
Q‘
•
Q
P
P‘
Q‘‘
Q‘
Q
P‘
P
Q‘‘
Die Vektoren seien Wege
nach einer festen Zeit.
• P wirft nach Q (blauer
Vektor).
• Doch gleichzeitig ist die
Drehung der Scheibe zu
berücksichtigen (roter
Vektor).
• Die Summe ist der grüne
Vektor.
• Beachte die Position des
Körpers Q‘‘ in Relation zu Q‘,
dem Ort, an dem der
Zielpunkt nach der
zeitspanne ist.
 Rechtsablenkung
28
Bewegung in einem rotierenden
Koordinatensystem
• Eine formale Ableitung liefert
 für die
 
Coriolisbeschleunigung fC  2  v , wobei Ω der Vektor
der Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung ist
(=2π/60x60x24 s-1)
• Offensichtlich (Rechte-Hand-Regel) zeigt diese
Beschleunigung auf der Nordhalbkugel nach rechts und auf
der Südhalbkugel nach links.
• Insgesamt haben wir dann (v ist hier die Geschwindigkeit in
einem Koordinatensystem, das fest auf der Erde verankert
ist)


  
dv
1 
  p  gk  2  v  fR
dt

29
Bewegung in einem rotierenden
Koordinatensystem


  
dv
1 
  p  gk  2  v  fR
dt

komponentenweise
du
1 p

 2v sin  w cos  
dt
 x
dv
1 p

 2v sin
dt
 y
dw
1 p

 2u cos 
-g
dt
 z
 fR,x
 fR,y
 fR,z
gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung
30
Skalenanalyse (1)
- synoptische Systeme der mittleren Breiten -
• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente
(Vertikalwind)
-> statische Grundgleichung
• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente
(Horizonalwind)
-> der geostrophische Wind
31
Skalenanalyse (2)
- charakteristische synoptische Größen -
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Horizontalgeschw.
Vertikalgeschw.
Länge
Höhe
Luftdruckvariat.
Zeit
Coriolisparam.
Luftdichte
Luftdruck am Boden
U
~
W
~
L
~
H
~
P
~
L/U = T ~
f = 2sin ~

~
po
~
10 m/s
10-2 m/s
106 m
104 m
103 Pa
105 s
10-4 s-1
1 kg/m3
105 Pa
(1000 km)
(10 km)
(10 hPa)
(ca. 1 Tag)
(1000 hPa)
32
synoptische Skalenanalyse (3)
– horizontale Bewegungsgleichung -
du
1 p

 2(v sin   w cos  )  FFr , x
dt
 x
dv
1 p

dt
 y
 2u sin 
U/T 1/ p/L
10-4
10-3
T
fU
10-3
 FFr , y
fW
-
10-6
-
m/s2
p 3 p
FP,H
p 2 p
vg
p 1 p
FC,H
p
H
...Coriolisbeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigung
heben sich gegenseitig auf!
33
synoptische Skalenanalyse (5)
- 3. Bewegungsgleichung -
dw
1 p

 g  2u cos   fF ,z
dt
 z
W/T
10-7
1/ po/H g
10
p
  g
z
10
fU
-
10-3
-
m/s2
...Schwerebeschleunigung und
Druckgradientbeschleunigung
heben sich gegenseitig auf! 34
4 Zusammenfassung


   
dv
  1 p  2  v  g  FFr

dt

d
    v
dt
dT
 dp 1 

 H
dt c p dt c p
  
d w
  w   v  W
dt
p   RLT
6 prognostische Gleichungen
1 diagnostische Gleichung
für sieben meteorologische Basisvariablen
Alle Gleichungen sind mehrfach mit einander gekoppelt.
Sie lassen sich durch die Zeitabhängigkeit für die Zukunft lösen
Wetter und Klimavorhersage ist möglich!
35