Die komplexen Zahlen

Eine algebraische Zahlenbereichserweiterung:
Die komplexen Zahlen
Während
eine
lineare
Gleichungen
ax+b=0
eine
und
quadratische
Gleichungen ax²+bx-c=0 bis zu zwei Lösungen haben, kann die Gleichung
n-ten Grades)
axn + bxn-1 + cxn-2 + … + Konstante = 0
nun n-Lösungen x bis x haben (Gauß´ Fundamentalsatz1 der Algebra).
1
n
Diese können als Linearfaktoren geschrieben werden
a (x - x ) (x - x )
1
2
bis
(x - x ) = 0
n
um wieder die obige Gleichung zu ergeben. Denn nur dann, wenn ein
Faktor x-x Null wird, ist auch das ganze Produkt Null.
i
1
Der Fundamentalsatz besagt, dass jede komplexe Funktion n-ten Grades mindestens
eine Nullstelle hat: Daher hat ein Polynom n-ten Grades in der Menge der komplexen
Zahlen genau n Nullstellen. In Frankreich wurde er als „Le Théorème de D’ALEMBERT“
bezeichnet: 1746 von d`Alembert ausgesprochen und vom 20-jährigen CARL FRIEDRICH
GAUSS
1799
erstmals
in
seiner
Doktorarbeit
bewiesen.
Später brachte Gauss noch 3 andere Beweise
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Abb. 10: Die fünf Nullstellen bei 1, 2, 3, 4 und 5
der Funktionen
y = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
hier mit den Vorfaktoren a = 1, 2, 3, 5. -10 und 20
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Nun wäre es schön, wenn jede quadratische Gleichung immer zwei
Lösungen hätte, und jede Gleichung 3. Grades2 (höchste vorkommende
Potenz ist x³) stets drei, und jede Gleichung n-ten Grades genau n
Lösungen hätte3. Dies kann man nun dadurch erreichen, indem man eine
neue Zahl i einführt, welche die Wurzel aus minus Eins ist. Denn da die
Quadratzahlen immer positiv sind, erhält man nur dann für die Wurzel aus
negativen Werten auch Lösungen.
Diese neue4 Einheit i = √(-1) erweitert die reellen Zahlen zu den
zweidimensionalen Zahlen
z = a + bi,
die man komplexe Zahlen5 (C wie combined) nennt, da sie neben einem
Realteil a noch eine zweite Komponente, nämlich den Imaginärteil b
enthalten, und die als Zahlenpaare in der sog. Gaußsche Zahlenebene
darstellbar sind.
2
Deren Graphen sind, – ähnlich wie Parabeln immer achsensymmetrisch sind -, stets
punktsymmetrisch bezüglich ihres Wendepunktes.
3
Abels Unmöglichkeitssatz: Bei höherem Grad als 4 sind die Gleichungen i.a.
algebraisch nicht mehr auflösbar! Das wurde zuerst von Paolo Ruffini erkannt (17651822), der das aber unvollständig bewies)
4
Diese Eingheit i ist diejenige Zahl, deren Kehrwert zugleich ihr Negativum ist! 1/i = -i
5
Allerdings gibt es auch heutzutage noch Leute, die dies ablehnen und sich weigern i als
Zahl anzuerkennen. Beispielsweise lernte ich während meines Referendariats in Trier den
Leiter für Mathematik Hr. Slaby kennen, der für die Lehrpläne der Oberstufe aller
Gymnasien von Rheinland-Pfalz zuständig war. Er sah in i keine Zahl und ignorierte die
komplexen Zahlen vollständig und sorgte konsequenterweise dafür, dass alles, was mit
komplexen Zahlen zu tun hat aus den Lehrplänen gestrichen wurde und somit diese an
den Höheren Schulen nicht mehr unterrichtet werden: Vermutlich hat er niemals
etwas von der  Schrödinger-Gleichung gehört, denn diese nicht ableitbare
Grundgleichung der Quantentheorie enthält i und operiert somit komplex!
Manche Mathematiker haben eben keine Ahnung von Physik! Gerade in der Physik sind
komplexe Zahlen unentbehrlich: In der Quantenphysik werden komplexe Zahlen zur
eleganten Beschreibung der Wellen in Moivrescher Form verwendet und die
Relativitätstheorie führt die Zeit als imaginäre vierte Dimension ein. Und sie tauchen
in der Riemannschen Metrik auf, die den gekrümmten Raum beschreibt, der die
Schwerkraft ersetzt. Und wozu braucht man die ART? Beispielsweise bei der exakten
Positionsberechnung mit Hilfe dreier Satelliten (Global Positioning System) ergeben sich
aus der jeweiligen Laufzeit des Sendesignals drei sich schneidende Kugeln. Wegen der
großen Geschwindigkeit der Signalwellen von 3oo ooo km/sec ergibt eine Abweichung
von 1 µsec aber bereits einen Wegdifferenz von 300 m. Exakte Zeitmessungen sind aber
nur mit relativistischen Korrekturen möglich, denn die Geschwindigkeit bzw. Höhe eines
Satelliten lassen dessen Uhren etwas verzögert bzw. beschleunigt laufen!
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Nicht verschwiegen sei in diesem Zusammenhang, dass es auch eine
interessante Darstellung der komplexen Größen über 2x2-Matrizen gibt.
Die Matrizendarstellung werden
bei noch „höheren“ komplexen Zahlen
der Dimension6 4, 8 oder gar 16 unentbehrlich. Diese bilden aber keine
(kommutativen) Gruppen mehr bezüglich der Multiplikation oder sind nicht
mehr assoziativ, bilden allenfalls noch einen sog. Schiefkörper (wie die
Quaternionen).
6
Die Dimension drei geht gar nicht, wie A. Cayley schon wu0te.
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Während die Multiplikation mit (-1) eine Drehung um 180° ist
(weshalb (-1) (-1)=(+1) ist)
links
ist die Multiplikation mit i = √-1 eine Drehung um 90°
(zwei solche Drehungen bei i² ergeben eine Punktspiegelung = -1) rechts
Die Beträge werden multipliziert und die Argumente (Winkel) werden addiert
http://www.youtube.com/watch?v=0-vImw-4F18&list=PL3C690048E1531DC7
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Viele Zusammenhänge lassen sich damit viel eleganter zeigen, denn
oftmals liefert gerade eine andere Darstellung des Sachverhalts das
bessere Verständnis, bewirkt somit das entscheidende mathematische
Etwas7. Die komplexen Lösungen tauchen dabei immer paarweise in Form
von a + bi und a - bi auf, d. h. sind konjugiert komplex, wobei das
Produkt (a+bi)(a-bi) = a²-b² nach der dritten binomischen Formel genau
dann eine reine reelle Zahl ergibt. Die Gleichungen ungerader Ordnung
haben ja stets eine reelle Lösung8! Beispielsweise haben kubische
Gleichungen immer zumindest eine (reelle) Lösung. Die Lösungsformel für
kubische
Gleichungen
erwarb
Cardano
in
der
Mitte
des
zweiten
Jahrtausends etwas unlauter von Tartaglia. Es zeigte sich nun aber, dass
es unter diesen Gleichungen dritten Grades eben auch Fälle gibt, die einen
„Casus knaxus“ liefern, weil sie zwar drei reelle Lösungen haben, wobei
aber zur Berechnung auch nur einer einzigen Lösung diese ausnahmslos
über komplexe Zahlen zu berechnen ist. Nur über den mit komplexen
Zahlen berechenbaren Umweg, - indem man die Moivre´sche Formel9
anwendet bei der man die dritte Wurzel über die Winkeldreiteilung
7
Ein gutes Beispiel dafür ist die Vektorrechnung: Die Darstellung der
Koordinatengleichung als Vektorgleichung (Normalenform) liefert ein
besseres Verständnis der Zusammenhänge (des n-dimensionalen Raumes
überhaupt)
und
vereinfacht
speziell
alle
Abstandberechnungen
(Hesseform) wesentlich.
8
Die Chinesen (Ching, der 10 Jahre gegen die einfallenden Mongolen kämpfte!) waren
übrigens die ersten, die kubische Gleichungen (näherungsweise) lösen.
- http://www.planet-schule.de/sf/php/02_sen01.php?sendung=8343
9
A. de Moivre (1667-1754)
Die berühmteste oder faszinierendste aller mathematischer Formeln
verknüpft die zwei transzendenten Größen der Kreiszahl Pi und der
Eulerschen Zahl e über die imaginäre Einheit i besonders einfach mit der
negativen Einheit der reellen Zahlen:
eiπ = -1
Dies folgt aus der Moivre´sche Formel, die über trigonometrische
Beziehungen das Potenzieren und Wurzelziehen der (in Polarkoordinaten
dargestellten) komplexen Zahlen fast zum Kinderspiel macht: Für z= r(cos
α + i sin α) ist zn = rn ( cos nα + i sin nα)
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berechnet -, ist es überhaupt möglich diese drei reellen Lösungen dann zu
bekommen10.
Auch die Gleichungen 4. Grades sind gerade noch durch ineinander
geschachtelte Wurzeln allgemein auflösbar (
Ludovico Ferrari (1522-
1565)), – was jedoch bereits so kompliziert ist, dass es niemand praktisch
verwendet -, aber, ab dem 5. Grade geht das überhaupt nicht mehr, - es
existiert nun überhaupt keine Lösungsformel mehr -, was die beiden
sehr jung verstorbenen Mathematiker Abel (1802-1829) und Galois
(1811-1832) bewiesen.
Für mehr geschichtliche Details zur Auflösbarkeit von Gleichungen und vor
allem zur detaillierten Geschichte derselben sei dem Leser Marcus du
Sautoy
>>Das Geheimnis der Symmetrie <<, dtv 2011 sehr empfohlen.
10
Bei diesem „casus irreducibilis“ ist für x³+px+q in der
3
√[-½q + √(¼q²+1/9p³)] + 3√[-½q - √(¼q²+1/9p³)]
Cardano-Lösung
die dritte Wurzel aus einem komplexen Wert zu ziehen, weil schon die
Quadrat-Wurzel von ¼q²+1/9p³ aus einen negativen Wert zu ziehen – d.h. also imaginär
- ist! Vieta war der erste, der das um 1600 schaffte.
Welche Lösungen hat x³-6x²+11x-6 = 0?
{1, 2, 3}
Auch nach Vieta ist das Produkt der Lösungen 6 und die Summe aller
Zweierprodukte der Lösung 11, sowie die Summe aller Lösungen 6. Dass
x=1 eine Lösung (als Teiler von 6) ist, hat man schnell erraten usw.
1x2+1x3+2x3 = 11 und 1+2+3 = 6
1x2x3 = 6
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Den sog. Körper der komplexen Zahlen kann man noch zu dem
Schiefkörper der erweiterten komplexen Zahlen vergrößern, die man
auch Quaternionen nennt. Diese Zahlen sind dann vierdimensional, denn
es gibt noch zwei weitere i-ähnliche Einheiten, nämlich j und k, deren
Produkt ebenfalls -1 ergibt, die miteinander wechselwirken
(z.B. ik = j und ki = -j),
die aber eben nicht mehr schön vertauschbar (sprich symmetrisch, d.h.
abelsch oder kommutativ) sind:
a•b ≠ b•a
Bei
der
Multiplikation
Nacheinaderausführung
muss
von
man
dann
Abbildungen,
(ähnlich
der
wie
bei
der
Matrizenmultiplikation)
darauf achten, ob man von links oder von rechts multipliziert.11.
11
Während die Multiplikation mit komplexen Zahlen Drehstreckungen
(a -b
b
a )
sind, stellen Quaternionen sog. hermitesche Drehstreckungen dar. Diese Abbildungen
werden durch die Matrix
(α
β
-β*
α* )
dargestellt, wobei * konjugiert komplex ist.
Eine noch darüber hinausgehende achtdimensionale Zahlenbereichserweiterung erfüllt
dann aber das Klammergesetz (Assoziativgesetz) nicht mehr
(a•b)•c ≠ (a•(b•c)
Man muss auf die Reihenfolge des Vorgehens aufpassen, was man zuerst
multipliziert.
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Die komplexen Zahlen erfordern wegen der Einführung eines
neuen
Parameters
(den
Winkel)
schon
die
Messungen
der
Trigonen (Dreiecksberechnung)
G AGA
H HAG
Hühnerhaufen-Agentur
(SINUS ist Gegenkathete/Hypotenuse
Cosinus = Ankath. durch Hypotenuse
tan = G/A und cot = A/G)
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