Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS

Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS
Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 6
Stand: Juni 2017
ÜbungPLUS „Dezimalbrüche“
Jahrgangsstufe
6
Fach
Mathematik
Zeitrahmen
etwa eine Unterrichtsstunde
Benötigtes Material
♦ 3 (in großen Klassen 4) Sätze der je 18 Aufgabenkarten
♦ 3 (oder 4) Lösungsblätter zum Auslegen
Kompetenzerwartungen
M6 1 Rationale Zahlen
M6 1.2 Dezimalbrüche
Die Schülerinnen und Schüler…
♦ interpretieren Brüche je nach Situation mithilfe verschiedener Grundvorstellungen (Teil
eines Ganzen, Teil mehrerer Ganzer, Zahl, Quotient) und verstehen, dass man Brüche
entweder als endliche oder periodische Dezimalbrüche schreiben kann; sie entscheiden
anhand der Primfaktorzerlegung des Nenners des vollständig gekürzten Bruchs, ob sich
dieser als endlicher Dezimalbruch darstellen lässt.
♦ wandeln Brüche in Dezimalbrüche um und stellen umgekehrt endliche Dezimalbrüche sowie rein periodische Dezimalbrüche der Periodenlänge eins als Brüche dar; bei angemessen gewählten Zahlen führen sie den Darstellungswechsel auch im Kopf durch. Sie setzen
diese Fertigkeiten insbesondere beim Größenvergleich von rationalen Zahlen ein.
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Gymnasium, Mathematik, Jahrgangsstufe 6
Stand: Juni 2017
Aufgabenkarten
1
Wandle den Bruch, falls möglich, durch
Kürzen oder Erweitern so um, dass der
Nenner eine Stufenzahl (10, 100, 1000, ...)
ist, und gib sodann den Bruch als Dezimalbruch an.
a)
48
200
b)
3
8
d)
21
28
e)
24
28
c)
2
Beschreibe in Worten, wie man bei einem
gegebenen Bruch anhand des Nenners
erkennen kann, ob sich dieser als endlicher Dezimalbruch darstellen lässt.
8
3
3
Untersuche, ob sich der Bruch als endlicher Dezimalbruch schreiben lässt, ohne
ihn dazu in einen Dezimalbruch umzuwandeln.
a)
2
35
b)
3
120
c)
4
Wandle den Dezimalbruch in einen vollständig gekürzten Bruch um.
a) 0, 48
b) 0,4
7
42
c) 1,625
5
Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch
um.
a)
17
25
d)
16
9
b)
14
35
c)
6
Ordne die Zahlen 0,5;
2
3
;
3
7
;
4
7
; 0,625 der
Größe nach und beschreibe stichpunktartig dein Vorgehen. Beginne mit der kleinsten Zahl.
3
24
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7
Welcher Anteil ist jeweils durch die Färbung dargestellt? Gib diesen jeweils in
Prozent auf eine Dezimale gerundet an.
8
In einem Kreis ist ein Sektor gefärbt, dessen Mittelpunktswinkel 72° (bzw. 45°)
groß ist. Berechne jeweils den Anteil in
Prozent, der damit dargestellt ist.
9
Entscheide, welches der Zeichen „=“, „<“
und „>“ in die Lücke gehört, und begründe
deine Entscheidung.
a) −
b)
Entscheide ohne Umwandlung in einen
Dezimalbruch, ob sich der Bruch als endlicher Dezimalbruch schreiben lässt, und
begründe deine Entscheidung.
2
... − 0,66
3
a)
5
... 0,83
6
c) −2
10
121
176
b)
98
420
c)
24
225
2
3
... − 2
9
11
11
Wandle in einen Dezimalbruch um.
a)
2
11
b)
63
168
c)
12
Erläutere, warum bei einer Sachaufgabe
die Größenangabe 31 € als Endergebnis
29
15
nicht sinnvoll ist.
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13
Bei dem Bruch
33
2♣
14
Begründe möglichst ohne Umwandlung
des Bruchs in einen Dezimalbruch, dass
die Rechnung falsch ist.
ist die Einerziffer des
Nenners nicht mehr zu erkennen. Es ist
aber bekannt, dass sich der Bruch als
endlicher Dezimalbruch schreiben lässt.
Welche Ziffern kommen als Einerziffer
infrage? Begründe deine Entscheidung.
15
a) Erweitere die Brüche jeweils so, dass
im Nenner eine Stufenzahl steht, und
gib dann den Bruch als Dezimalbruch
an.
9
11
7
2
5
5
53
b) Gib an, wie viele Dezimalen bei der
Umwandlung des Bruchs 78 in einen
5
Dezimalbruch entstehen.
a)
37
= 0,885
32
b)
37
= 7,25
5
c)
11
= 0,512
23
d)
1
= 0,0075
225
Entscheide jeweils, ob die Aussage richtig
oder falsch ist, und korrigiere die falschen.
(A) Ein Bruch kann nur dann als endlicher
Dezimalbruch dargestellt werden, wenn in
der Primfaktorzerlegung seines Nenners
nur Zweien oder Fünfen (oder beides) vorkommen.
(B) Es gibt Brüche, die bei der Umwandlung
durch Division eine unendliche Dezimalzahl ergeben, die nicht periodisch ist.
(C) Wenn ein Bruch in einen endlichen Dezimalbruch umgewandelt werden kann,
dann lässt er sich durch Kürzen und/oder
Erweitern auch so umwandeln, dass der
Nenner eine Stufenzahl ist.
17
Wandle die Größenangabe in die in
Klammern angegebenen Einheit so um,
dass die Maßzahl ein Dezimalbruch ist.
a)
2 35
kg (kg)
c) 2h 30 min (h)
b)
1 81
18
Entscheide, für welche der folgenden Zäh♣ jeweils als endlicher Deler der Bruch 36
zimalbruch darstellbar ist, und begründe
deine Entscheidung.
m (cm)
d) 1h 12min (h)
Mögliche Zähler ♣: 3; 6; 9; 12; 50; 54
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Hinweise
Prozessbezogene Kompetenzen
Folgende allgemeine mathematische Kompetenzen werden im Rahmen der Aufgabenbearbeitung besonders gefördert:
K1, K2, K3, K4, K5, K6
Ziel
Festigung und Vertiefung
Methode
ÜbungPLUS
Eine detaillierte Beschreibung der Methode steht unter www.LehrplanPLUS.bayern.de 
Gymnasium  Fachprofile  Mathematik  2.4 Förderung von Kompetenzen im Unterricht
 Materialien zum Download bereit (direkter Link).
Ergänzende Hinweise zu Durchführung und Organisation
♦ Vorbereitung
Die Aufgabenkarten (im Format DIN A7) müssen farbig oder auf entsprechend farbigem
Papier ausgedruckt, anschließend ausgeschnitten und falls gewünscht laminiert werden;
sie werden an einem zentralen Ort im Klassenzimmer ausgelegt, z. B. am Pult.
Die Lösungsblätter werden im Klassenzimmer ausgelegt oder aufgehängt.
♦ Sozialform
Empfehlenswert ist Partnerarbeit, das Material ist aber auch in Einzel- oder Gruppenarbeit
einsetzbar.
♦ Ablauf
Die Lehrkraft informiert die Schülerinnen und Schüler über die unterschiedlichen Anspruchsniveaus der Aufgabenkarten:
Farbe der Aufgabenkarten
Anspruchsniveau
blau
Basisaufgaben
grün
Aufgaben in eventuell ungewohnten
Kontexten – mittleres Niveau
gelb
anspruchsvollere Aufgaben
Jedes Paar (bzw. jede Schülerin und jeder Schüler bzw. jede Schülergruppe) holt sich zunächst eine blaue Aufgabenkarte, alle bearbeiten diese schriftlich und kontrollieren selbständig ihre Lösung. Bei Fragen hilft die Lehrkraft. Danach wird die Karte zurückgebracht
und die Arbeit mit einer neuen Aufgabenkarte fortgesetzt, je nach Selbsteinschätzung der
Leistungsfähigkeit in der passenden Farbe. Von der Lehrkraft können bei Bedarf zu Beginn zusätzliche Regeln festgelegt werden (z. B.: Auswahl von Aufgaben des nächsthöheren Anspruchsniveaus frühestens nach zwei richtig gelösten Aufgaben). In jedem Fall sollte den Schülerinnen und Schülern bewusst gemacht werden, dass Sie eigenverantwortlich
arbeiten und Ihrer Selbsteinschätzung hinsichtlich Ihres persönlichen Lernfortschritts eine
hohe Bedeutung zukommt.
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Stand: Juni 2017
Aufg. Lösung (zum Teil nur Ergebnis angegeben)
1
48
a) 200
=
e)
24
28
=
3
b)=
8
24
= 0,24
100
6 geht nicht
7
375
=
1000
0,375
c)
8
3
geht nicht
d)
21=
28
3=
4
75=
100
0,75
2
Der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs enthält als Primfaktoren nur Zweien oder Fünfen
(oder beides).
3
a)
⇒ nicht möglich, da 7 im Nenner und nicht kürzbar
b)
2 = 2
35
5⋅7
3= =
1
120
40
c)
7=
42
1
2⋅3
1=
6
4
a) 0,48 =
5
17
a) =
25
6
7
8
9
3
7
⇒ möglich, da nur Primfaktoren 2 und 5 im Nenner
⇒ nicht möglich, da 3 im Nenner und nicht kürzbar
12
25
68
=
100
< 0,5 <
1
23 ⋅5
4
7
b) 0,4 =
b)
0,68
< 0,625 <
2
3
14=
35
5
c) 1,625
= 1=
8
4
9
2=
5
c)
0,4
3=
24
1=
8
13
8
; Beschreibungen: individuell
5
2 0,2 ≈ 22,2 % ; rechts:
=
0,416 ≈ 41,7 %
links:=
12
9
72=
360
1=
5
0,2= 20 % bzw.
45=
360
1=
8
0,125= 12,5%
5 0,83
b)=
= 0,833 … > 0,83
6
a) − 32 = − 0,6 = − 0,666 … < − 0,6
3 (Begründung alternativ mittels
c) − 2 92 = − 2,2 > −2,27 = − 2 11
10
7 1,7
d) 16
=
1=
9
9
0,125
121
a) Ja, da der Nenner des vollst. gekürzten Bruchs ( 176
=
11
=
16
98
b) Nein, da der Nenner des vollst. gekürzten Bruchs ( 420
=
24
c) Nein, da der Nenner des vollst. gekürzten Bruchs ( 225
=
2
9
= 22
<
99
11 )
24
7
=
30
8
=
75
27
99
3 )
= 11
nur den Primfaktor 2 enthält.
7 ) den Primfaktor 3 enthält.
2⋅3⋅5
8 ) den Primfaktor 3 enthält.
3⋅52
11
2
a)=
2=
: 11 0,18
11
12
Geldwerte verwendet man üblicherweise nur auf Cent genau, ein unendlicher Dezimalbruch als
Maßzahl ist dabei also nicht sinnvoll.
13
Als Einerziffer sind 0, 2 (gekürzter Bruch:
63
b) =
3=
: 8 0,375
168
3
2
29
c) 15
=
29
=
: 15 1,93
), 4 (gekürzter Bruch:
11 )
8
und 5 möglich; nur dann ent-
hält der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs nur noch die Primfaktoren 2 oder 5 (oder beide).
14
a) Beim Bruch
37
32
ist der Zähler größer als der Nenner, sein Wert ist daher > 1.
b) Da der Nenner 5 auf 10 erweiterbar ist, darf der Dezimalbruch max. eine Dezimale haben.
c) Da der Zähler kleiner als der halbe Nenner ist, muss das Ergebnis kleiner als 0,5 sein.
1 = 1
d) Wegen 225
2 2 muss der Dezimalbruch periodisch sein.
5 ⋅3
15
9
a) =
5
9⋅=
2
5⋅2
18
=
10
11
1,8 ; =
2
5
114
⋅
=
52 ⋅22
44
=
100
7
0, 44 ; =
3
5
7⋅8
=
52 ⋅23
56
=
1000
0,056
b) Der Bruch hat nach der Umwandlung in einen Dezimalbruch acht Dezimalen.
16
(A) Falsch! Korrektur: „…, wenn nach dem vollständigen Kürzen in der Primfaktorzerlegung… .“
(B) Falsch! Korrektur: Es gibt keine Brüche, die bei der Umwandlung … .“
(C) Richtig!
17
12 h 1=
2 h 1,2h
a) 2 35 kg = 2,6 kg b) 1 81 m = 112,5 cm c) 2h 30 min = 2,5 h d) 1h 12min
= 1=
60
10
18
Primfaktorzerlegung des Nenners: 36
= 22 ⋅ 32 . Somit ist eine Darstellung des Bruchs als endlicher Dezimalbruch nur für Zähler möglich, die durch 9 teilbar sind, also für die Zähler 9 und 54.
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