Formelsammlung Mathematik und Statistik für - Europa

Formelsammlung
Mathematik und Statistik
für Wirtschaft und Technik
Wolfgang Gohout
Dorothea Reimer
1. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 58591
Professor Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Wolfgang Gohout
Professor für Operations Research, Statistik und Mathematik
Studiengangleiter Wirtschaftsingenieurwesen an der Hochschule Pforzheim
Dr. Dorothea Reimer
Akademische Oberrätin im Bereich Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der
Professur für Statistik und Ökonometrie an der Justus-Liebig-Universität Gießen
1. Auflage 2016
Druck 5 4 3 2 1
ISBN 978-3-8085-5859-1
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2016 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Satz: Satzherstellung Dr. Naake, 09618 Brand-Erbisdorf
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Druck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreitbach
Vorwort
Es gibt zweifellos viele Mathematik-Formelsammlungen. Dennoch unterscheiden sie
sich zum Teil erheblich in Umfang und Tiefe, Aufbau, Schwerpunkten, Stoffauswahl
und Notation. Die vorliegende Formelsammlung ist abgestimmt auf die Veranstaltungen, welche die Autorin am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der JustusLiebig-Universität in Gießen und der Autor im Bereich Wirtschaftsingenieurwesen der
Hochschule Pforzheim durchführen. Sie wird als Ergänzung zur Vorlesung sowie zur
Lektüre eines oder – besser – mehrerer Lehrbücher empfohlen und kann während der
Klausur, aber hoffentlich auch während des weiteren Studiums und im Berufsleben
nützliche Hilfestellung leisten.
Nach den Grundlagen der Mathematik – wie Aussagenlogik, Mengenlehre, Arithmetik
und Kombinatorik – wird die Analysis von Funktionen einer Variablen behandelt.
Vor der Analysis von Funktionen mehrerer Variablen wird jedoch – dem Aufbau
der Vorlesungen und dem Bedarf an Notation und Kenntnissen entsprechend – die
lineare Algebra vorgestellt, sodass die kompakte Vektor-Matrix-Schreibweise verwendet
werden kann.
Schließlich sind wichtige Formeln und Verfahren der deskriptiven und der induktiven
Statistik aufgeführt. Dazu haben wir als Vorlage das „Taschenbuch der Statistik“ (Edtion
Harri Deutsch im Verlag Europa-Lehrmittel, vormals Verlag Harri Deutsch, Frankfurt
a. M., 4. Aufl. 2008) verwendet. Für seine Zustimmung und sein Korrekturlesen gebührt
unser Dank dem Autor, unserem gemeinsamen akademischen Lehrer und Doktorvater
Professor Dr. Horst Rinne. In seinem umfassenden Taschenbuch finden sich natürlich
viele weitere Formeln und Verfahren zur Statistik und zu allen Anwendungen der Statistik,
wie etwa Regressions- und Varianzanalyse, Multivariate Statistik, Stichprobentheorie,
Zeitreihenprognose, Qualitätssicherung und Life-Testing. Wer sich für mehr als eine
Einführung in die Statistik interessiert, kann in diesem umfassenden Werk fündig
werden.
Für Fehler sind selbstredend die Autoren verantwortlich. Entsprechende Hinweise
werden – auch im Namen nachfolgender Studentengenerationen – dankbar entgegengenommen.
Pforzheim, 2016
Wolfgang Gohout
Gießen, 2016
Dorothea Reimer
Fragen, Kommentare und Anregungen an:
Autoren und Verlag Europa-Lehrmittel
Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Str. 23
42781 Haan-Gruiten
[email protected]
http://www.europa-lehrmittel.de
Inhaltsverzeichnis
I
Mathematik
1
Symbole und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mathematische Logik . . . . .
Mengenlehre . . . . . . . . . . .
Arithmetik und Algebra . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . .
Relationen . . . . . . . . . . . . .
Funktionen einer Variablen . .
Folgen und Reihen . . . . . . .
Analysis einer Variablen . . .
Lineare Algebra . . . . . . . . .
Analysis mehrerer Variablen .
Griechisches Alphabet . . . . .
Konstanten . . . . . . . . . . . . .
Zahlwörter . . . . . . . . . . . . .
1
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. . 14
. 15
. 15
Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . .
Aussagen und Wahrheitswerte . . . . . . . .
Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aussagefunktionen, Wahrheitstafeln . . . .
Quantoren und Prädikatenlogik . . . . . . .
1.2 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente und Mengen . . . . . . . . . . . . .
Teilmengen und Potenzmenge . . . . . . . .
Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . .
Mengenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Grundlagen der Arithmetik und Algebra .
Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau der Zahlenbereiche . . . . . . . . . .
Wichtige Konstanten . . . . . . . . . . . . . .
Summen- und Produktoperator . . . . . . .
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21
21
21
22
24
26
26
28
36
36
Inhaltsverzeichnis
iv
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren . .
Vorzeichen und Betrag einer Zahl . . . . . . .
Ganzer Teil und Reste einer Zahl . . . . . . . .
Rechnen mit Null und Unendlich . . . . . . . .
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximative Nullstellenbestimmung . . . .
Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Permutationen, Fakultäten . . . . . . . . . . . .
Beta-Funktion und Gamma-Funktion . . . . .
Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomial- und Polynomialkoeffizienten . . .
Relationen, Ordnungen, Abbildungen . . . . .
Kartesisches Produkt und Relation . . . . . . .
Eigenschaften zweistelliger Relationen . . . .
Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung . .
Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . .
Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . .
Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . .
Transzendente Funktionen . . . . . . . . . . . .
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . .
Rekursive Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . .
Arithmetische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere spezielle Reihen . . . . . . . . . . . . .
Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . .
Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurs- und Rentabilitätsrechnung . . . . . . . .
Grundlagen der ebenen Geometrie . . . . . . .
Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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45
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55
55
59
. 64
65
. 67
72
72
. 74
75
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79
83
83
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90
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. 104
. 104
105
105
. 107
109
109
110
. 111
. 111
. 114
. 114
116
116
. 117
118
119
Inhaltsverzeichnis
Viereck . . . .
Kreis . . . . . .
Ellipse . . . . .
Strahlensätze
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v
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123
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Analysis einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lokale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Globale Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzen- und Differenzialquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Erste Ableitungen einiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung, Krümmung, Extrema und Wendepunkte . . . . . . . . . . .
Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regeln zur Herleitung weiterer Stammfunktionen . . . . . . . . . . . .
Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Einige Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechteckformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sehnentrapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simpson-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monte Carlo-Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . .
2.6 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . .
Differenzialgleichungen erster Ordnung mit getrennten Variablen .
Spezielle substituierbare Differenzialgleichungen erster Ordnung .
Totale Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bernoulli-Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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139
139
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140
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150
150
. 151
152
153
153
153
155
. 157
. 157
. 157
159
159
160
. 161
Inhaltsverzeichnis
vi
Riccati-Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . 162
Spezielle substituierbare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung . . . 164
3
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basis eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skalarprodukt und Metrik . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . .
Operationen zwischen Matrizen . . . . . . . . . . . .
Kronecker-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare Matrizenoperationen . . . . . . . . . . . .
Quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kongruente Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Allgemeine Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Matrizenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung zwei- und dreireihiger Determinanten
Entwicklungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Umkehrmatrix . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der allgemeinen Umkehrmatrix . . . .
3.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösung mittels der Inversen . . . . . . . . . . . . . . .
Cramer-Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gauß-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeilenoperationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximative Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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165
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168
169
. 171
172
172
. 174
. 174
175
178
179
. 181
183
. 184
. 184
. 184
186
186
186
. 187
188
189
190
. 191
192
192
192
193
195
195
195
198
200
202
Inhaltsverzeichnis
3.5 Das Eigenwertproblem . . . . . .
Eigenwerte und Eigenvektoren
Charakteristische Gleichung . .
Eigenwertsätze . . . . . . . . . . .
4
vii
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202
202
203
203
Analysis mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . .
Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linearität und Homogenität . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielles und totales Differenzial . . . . . . . .
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorielles Differenzieren . . . . . . . . . . . . .
4.3 Anwendungen der Differenzialrechnung . . . .
Extremwerte bei zwei Variablen . . . . . . . . .
Extremwerte bei mehr als zwei Variablen . . .
Extremwerte unter Nebenbedingungen . . . . .
4.4 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrale von Funktionen zweier Variablen . .
Integrale von Funktionen mehrerer Variablen
Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Doppel- und Dreifachintegrale . . . .
II
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Statistik
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205
205
. 207
209
210
. 211
. 211
213
. 214
. 214
215
218
218
219
220
. 221
. 221
222
223
. 224
227
Symbole und Abkürzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
1
Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1.1 Univariate Datensätze . . . . . . . . . . . . . . .
Merkmale und Merkmalsausprägungen . . .
Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Empirische Verteilungsfunktion und Dichte
Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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235
235
236
. 237
238
Inhaltsverzeichnis
viii
Grafiken zur Darstellung empirischer Daten
Konzentrationsmessung . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Bivariate Datensätze . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assoziationsmessung . . . . . . . . . . . . . . . .
Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Einfachregression . . . . . . . . . . . .
2
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. 247
248
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250
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.1 Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
Ergebnisse und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eindimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zufallsvariable und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete Zufallsvariablen .
Dichte(funktion) für stetige Zufallsvariablen . . . . . . . . . .
Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ungleichungen für Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion für diskrete
Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinsame Dichte(funktion) für stetige Zufallsvariablen .
Randverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Parametrische Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Urnenmodellverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungen im Warteschlangenmodell . . . . . . . . . . . . .
Normalverteilung und verwandte Verteilungen . . . . . . . .
3
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266
. 267
. 267
270
276
278
Inferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
3.1 Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einige Eigenschaften von Schätzern . . . . . . .
Konstruktionsprinzipien für Schätzfunktionen
3.2 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prognoseintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schätzfehlerintervalle . . . . . . . . . . . . . . . .
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283
283
. 284
286
. 287
. 287
288
Inhaltsverzeichnis
Erforderlicher Stichprobenumfang . . .
Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . .
3.3 Testtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Testtheorie . . . . . . . .
Verteilungsgebundene Parametertests .
χ2 -Testverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
4
ix
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289
289
. 291
. 291
. 294
300
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Verteilungsfunktion Φ(u) der Standard-Normalverteilung
Perzentile der t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perzentile der χ2 -Verteilung für 0 < P ≤ 0,7 . . . . . . . . .
Perzentile der χ2 -Verteilung für 0,7 < P < 1 . . . . . . . . .
Perzentile der F-Verteilung für P = 0,975 . . . . . . . . . . .
Perzentile der F-Verteilung für P = 0,95 . . . . . . . . . . . .
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303
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305
306
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308
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Teil I
Mathematik
Symbole und Abkürzungen
Mathematische Logik
w
f
¬
∧
∨
⇒
⇔
≡
V
∀,
W
∃,
∃!
A(x 1, . . . , x n )
:⇔
Wahrheitswert „wahr“
Wahrheitswert „falsch“
Negation „nicht“
Konjunktion „und“
Disjunktion „oder“
Implikation „wenn . . ., dann . . .“
Äquivalenz „. . . genau dann, wenn . . .“
logische Gleichwertigkeit
Allquantor „Für alle . . .“
Existenzquantor „Es gibt ein . . .“
Eindeutiger Existenzquantor „Es gibt genau ein . . .“
n-stellige Aussagenform
. . . definitionsgemäß äquivalent zu . . .
Mengenlehre
∈
<
=
{,
:=
Ω
∅,
⊂,
1,
$
⊃,
}
{}
⊆
*
⊇
Element von . . .
nicht Element von . . .
Gleichheit von Mengen
Mengenklammern
. . . ist definitionsgemäß gleich . . .
Grundmenge aller betrachteten Objekte
leere Menge
Teilmenge von . . .
nicht Teilmenge von . . .
echte Teilmenge von . . .
Obermenge von . . .
Symbole und Abkürzungen
4
P(.)
#, n(.), |.|
∪
∩
\
M, ◦
A, Ac
Potenzmenge von . . .
Mächtigkeit, Kardinalität, Anzahl der Elemente von . . .
Vereinigung
Durchschnitt
(logische) Differenz
symmetrische Differenz
Komplement von A
Arithmetik und Algebra
=
≈
,
>
=, ≥
<
5, ≤
+
−
·
:, /, —
N
N0
n0
Z
Z+
Z−
Z+0
Z−0
|·|
Q
i −1
Q+
Q−
Gleichheit
ungefähr gleich
Ungleichheit
größer als
größer oder gleich
kleiner als
kleiner oder gleich
Addition „plus“ oder Vorzeichen „plus“
Subtraktion „minus“ oder Vorzeichen „minus“
Multiplikation „mal“
Division „geteilt durch“
Menge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . .
N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .}
Nachfolger von n (n 0 = n + 1)
Menge der ganzen Zahlen 0, ±1, ±2, . . .
N = {1, 2, 3, . . .}
{−1, −2, −3, . . .}
N0 = {0, 1, 2, . . .}
Z− ∪ {0} = {0, −1, −2, . . .}
(absoluter) Betrag einer Zahl
Menge der rationalen Zahlen (Brüche)
Kehrwert von i, 1/i
positive Rationalzahlen, {p ∈ Q : p > 0}
negative Rationalzahlen, {p ∈ Q : p < 0}
Arithmetik und Algebra
Q+0
Q−0
Q+ ∪ {0}
Q− ∪ {0}
±
plus bzw. minus
R
R+
R−
R+0
R−0
Menge der reellen Zahlen
Menge der positiven reellen Zahlen, {r ∈ R : r > 0}
Menge der negativen reellen Zahlen, {r ∈ R : r < 0}
R+ ∪ {0}
R− ∪ {0}
mn
√
n
x
Potenz „m hoch n“
sup M
Supremum von M
inf M
Infimum von M
C
Menge der komplexen Zahlen
i
imaginäre Einheit, i 2 = −1
iR
Menge der imaginären Zahlen
z
zu z konjugiert komplexe Zahl
(r, φ)
Polarkoordinaten-Darstellung einer komplexen Zahl
arctan
Arcustangens
sin
Sinus
cos
Kosinus
π
Kreiszahl, Ludolfsche Zahl, π ≈ 3,14159
lim
Limes, Grenzwert
Wurzel „n-te Wurzel aus x“
e
Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828
γ
P
Eulersche Konstante, γ ≈ 0,5772
Q
Produktoperator
exp(·)
Exponentialfunktion
loga c
Logarithmus von c zur Basis a ∈ R+ \{1}
lg x
dekadischer Logarithmus, Zehnerlogarithmus
ln x
natürlicher Logarithmus, Logarithmus zur Basis e
ld x
binärer Logarithmus, Zweierlogarithmus
sign(x)
Signum, Vorzeichen von x
[x]G
Gauß-Klammer, größte ganze Zahl kleiner/gleich x
fix(x)
ganzer Teil von x (ohne Nachkommastelle)
Summenoperator
5
Symbole und Abkürzungen
6
a ≡ b mod m
a . b mod m
mod(a, m)
m|a
m-a
!
a
n
∞
pn (x)
p≡0
p(x 1, x 2, . . . , x k )
D
[a, b]
(a, b], ]a, b]
[a, b), [a, b[
(a, b), ]a, b[
f 0 (x)
f 00 (x)
max f (x)
[a,b]
min A
max A
b
a
a ist kongruent b modulo m, d. h. a und b lassen bei Division durch
m denselben Rest
a ist nicht kongruent b modulo m
ganzzahliger Rest der Division von a durch m
m ist Teiler von a
m ist nicht Teiler von a
Binomialkoeffizient „a über n“
unendlich
Polynom vom Grad n
p ist identisch null, p(x) = 0 für alle x ∈ R
Polynom in den Variablen x 1, x 2, . . . , x k
Diskriminante einer Gleichung
abgeschlossenes Intervall von a bis b
linksoffenes Intervall von a bis b
rechtsoffenes Intervall von a bis b
offenes Intervall von a bis b
erste Ableitung der Funktion f (x)
zweite Ableitung der Funktion f (x)
Maximum der Funktion f (x) im Intervall [a, b]
Minimum der Menge A
Maximun der Menge A
bestimmtes Integral
Kombinatorik
Φn (·)
P(n)
n!
P(n; n1, n2, . . . , nk )
!
n
n1, n2, . . . , nk
B(·, ·)
Γ (·)
Bp (·, ·)
Permutation einer n-elementigen Menge
Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung
n-Fakultät, n! = 1 · 2 · . . . · n
Anzahl der Permutationen mit Wiederholung
Polynomialkoeffizient
Beta-Funktion
Gamma-Funktion
unvollständige Beta-Funktion
Relationen
7
I p (·, ·)
!
n
, c nj
j
!
a
n
Beta-Verteilungsfunktion
γ(·, ·)
unvollständige Gamma-Funktion
Γ (·, ·)
Komplement der unvollständigen Gamma-Funktion
P(·, ·)
Gamma-Verteilungsfunktion
γ? (a, x)
x −a · P(a, x)
V (N, n)
Anzahl der Variationen ohne Wiederholung
V ? (N, n)
Anzahl der Variationen mit Wiederholung
K (N, n)
Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung
K ? (N, n)
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholung
min(·, ·)
Minimum zweier Zahlen
Binomialkoeffizient, n, j ∈ N0 [4mm]
allgemeiner Binomialkoeffizient, a ∈ R, n ∈ N0
Relationen
(a, b)
geordnetes Paar
(a1, a2, . . . , an )
n-Tupel
M1 × M2 × . . . × Mn 


 kartesisches Produkt, Kreuzprodukt, Produktmenge
n


bzw. × Mi
i=1

Mn
n-faches Produkt von M, M n = M × M × · · · × M
aRb
a steht in Relation R zu b, (a, b) ∈ R
Vb R
Vorbereich der Relation R
Nb R
V
Nachbereich der Relation R
Nullrelation, leere Menge
W
Allrelation
R−1
Umkehrrelation
a'b
a äquivalent b
Symbole und Abkürzungen
8
K
Klasseneinteilung, Zerlegung
[a]
Klasse des Repräsentanten a
M/R
Faktormenge, Quotient von M nach R
(M, R)
geordnete Menge, falls R Halbordnung auf M
≤, v, ⊆
kleiner oder gleich (im Sinne einer reflexiven Ordnung)
<, <, ⊂
kleiner (im Sinne einer irreflexiven Ordnung)
R| A
Teilordnung von R in A
max A
größtes Element, Maximum von A
sup A
obere Grenze, Supremum von A
min A
kleinstes Element, Minimum von A
inf A
untere Grenze, Infimum von A
K ( A)
Bild von A unter der Korrespondenz K
K −1 (B)
Urbild von B unter der Korrespondenz K
D (K )
W (K )
Definitionsbereich der Korrespondenz K
f :M→N
Abbildung f von M in N
x 7→ f (x)
Abbildungsvorschrift: x wird auf f (x) abgebildet
G( f )
Graph von f , {(x, f (x)) : x ∈ D ( f )}
f ≡z
f ist identisch gleich z, ∀x : f (x) = z
1 A (·)
Indikatorfunktion der Menge A
id A (·)
identische Abbildung der Menge A
f |A
Einschränkung von f auf die Menge A
(an )n∈ A
Zahlenfolge
g◦ f
Verknüpfung der Abbildungen f und g
f −1 ( y)
Umkehrabbildung von f an der Stelle y
f ( A)
Bild von A unter der Abbildung f
f −1 (B)
Urbild von B unter der Abbildung f
|·|
Mächtigkeit, Kardinalzahl
5, ≤
Kleiner/Gleich-Relation für Kardinalzahlen
<
Kleiner-Relation für Kardinalzahlen
ℵ
Aleph, Symbol für transfinite Kardinalzahlen
Wertebereich der Korrespondenz K