Grundlagen der Ingenieurmathematik im

Grundlagen der Ingenieurmathematik im
Bachelorstudium
Olga und Konrad Wälder
Berichte aus der Mathematik
Olga und Konrad Wälder
Grundlagen der Ingenieurmathematik
im Bachelorstudium
Shaker Verlag
Aachen 2012
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ISBN 978-3-8440-1077-0
ISSN 0945-0882
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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Mengen und mathematische Aussagen:
1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Zahlenbereiche . . . . . . . . .
1.2.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . .
1.3 Gleichungen und Ungleichungen . . . .
ein
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kurzer
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Überblick
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2 Analysis
2.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definitionen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Grenzwerte von Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . .
2.2 Funktionen von einer Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Darstellungsformen von Funktionen . . . . . . . . . . .
2.2.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen einer Veränderlichen
2.3.1 Der Grenzwert von f (x) für x → x0 . . . . . . . . . . .
2.3.2 Der Grenzwert von f (x) für x → ±∞ . . . . . . . . . .
2.3.3 Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Differentialrechnung von Funktionen einer Veränderlichen . . .
2.4.1 Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Extrema und Wendepunkte von Funktionen . . . . . . .
2.4.3 Die Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Näherungsweise Bestimmung von Funktionsänderungen
2.4.5 Die Regel von L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.6 Approximation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
2.4.7 Einige wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen . . . . .
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3 Lineare Algebra
3.1 Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Operationen mit Matrizen . . . . . . . .
3.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Lösen von linearen Gleichungssystemen
3.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
Inhaltsverzeichnis
4 Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen
4.1 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . .
4.2 Taylor-Reihen: Potenzreihenentwicklung von
4.2.1 Integration durch Reihenentwicklung
4.2.2 Die Grenzwertregel von L’Hospital .
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120
6 Integrationsrechnung mit Funktionen mehrerer Variablen
6.1 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Eine wichtige Anwendung der Integration: Fourier-Transformationen
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Koeffizienten
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Funktionen
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5 Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variablen
5.1 Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . .
5.1.1 Definition und Beschreibung . . . . . . . . .
5.1.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . .
5.1.3 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Das totale Differential . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . .
5.2 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . . . . .
5.2.2 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . .
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7 Differentialgleichungen
7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . .
7.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
7.2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung . .
7.2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung .
8 Übungsaufgaben zur Selbstkontrolle
4
167
Abbildungsverzeichnis
1.1
Gauß’sche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1
2.2
2.3
Unstetigkeitsstellen: (a) Definitionslücke, (b) Sprungstelle, (c) Polstelle . . . . . 37
Darstellung (a) Integral, (b) Untersumme, (c) Obersumme . . . . . . . . . . . . 56
Flächeninhalt bei a) positiven, b) negativen und c) gemischten Funktionen . . . 57
5.1
5.2
Funktion von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Die Anwendung der MKQ im Beispiel 5.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Volumenbestimmung mit Funktionen von zwei Variablen
Ein Flächenelement in Polarkoordinaten . . . . . . . . .
Die Funktion f (t) = 3 · sin(t) + 0, 5 · cos(t). . . . . . . .
Die Rechteckkurve aus Beispiel 6.8 . . . . . . . . . . . .
Die Funktion f1 aus Beispiel 6.8 . . . . . . . . . . . . .
Die Funktion f2 aus Beispiel 6.8 . . . . . . . . . . . . .
Die Funktion f3 aus Beispiel 6.8 . . . . . . . . . . . . .
7.1
7.2
Richtungsfeld mit Isoklinen aus Beispiel 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Einige Lösungen (gestrichelte Ellipsen) der DGL aus Beispiel 7.8 . . . . . . . . 155
8.1
8.2
8.3
Zur Lösung der Aufgabe 20 c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Der Integrationsbereich (markiert) aus Aufgabe 106, a) . . . . . . . . . . . . . 219
Der Integrationsbereich (markiert) aus Aufgabe 106, b) . . . . . . . . . . . . . 219
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5
Abbildungsverzeichnis
Vorwort
Für Studierende ingenieur- und wirtschaftswissenschaftlicher Bachelorstudiengänge an Hochschulen sind grundlegende Kenntnisse der Höheren Mathematik unerlässlich. Ohne das Erlernen der wichtigsten mathematischen Werkzeuge ist ein weitergehendes Fachsstudium unter
Nutzung der entsprechenden Literatur kaum möglich. Diese Werkzeuge beziehen sich beispielsweise auf Funktionen von einer und mehreren Variablen. Mit dem vorliegenden Buch
soll somit eine Einführung in die wichtigsten Themen von Mathematikgrundkursen gegeben
werden: Analysis insbesondere Differential- und Integrationsrechnung sowie Lineare Algebra.
Unsere Erfahrung zeigt, dass Studienanfänger zwar durchaus Grundkenntnisse der Linearen
Algebra und der Analysis im Hinblick auf Funktionen einer Variablen besitzen. Allerdings
treten große Schwierigkeiten bei der praktischen Anwendung verschiedener mathematischer
Verfahren auf.
Die Zielsetzung des vorliegenden Buches Grundlagen der Ingenieurmathematik im Bachelorstudium ist es, Studierenden dabei behilflich zu sein, die notwendigen Werkzeuge schrittweise
zu erlernen. Die in der mathematischen Literatur üblichen Definitionen und Sätzen werden
daher durch viele Bemerkungen und Hinweise zur Anwendung der eingeführten Begriffe und
Methoden ergänzt. Ein besonderer Fokus wird darauf gelegt, Verbindungen zwischen auf den
ersten Blick verschiedenen Werkzeugen und Methoden klar darzustellen. Dies soll den Leser
nicht nur für ein spezielles mathematisches Thema motivieren, sondern auch helfen, eine gewisse mathematische Intuition zu entwickeln.
Im Rahmen ihrer Lehrtätigkeit haben die Autoren zahlreiche ausgearbeitete Beispiele und
Aufgaben zusammengestellt, die im Bachelorstudium sowohl für Haus- als auch Prüfungsaufgaben Verwendung finden können. Die meisten Beispiele, die in diesem Buch detailliert berechnet werden, schließen an die vorgestellte Theorie unmittelbar an. Im letzen Kapitel werden
ergänzende Aufgaben zu allen Themenbereichen präsentiert. Ihre Bearbeitung unterstützt den
Lernprozess und kann auch einen Beitrag zur Prüfungsvorbereitung leisten. Lösungen sind in
kurzer Form mit den entsprechenden Lösungsschritten dargestellt. Ausführliche Lösungswege
können stets den entsprechenden theoretischen Abschnitten mit den Beispielaufgaben entnommen werden.
Bei jedem mathematischen Lehrbuch stellt sich die Aufgabe, einen Kompromiss zwischen dem
theoretischen Niveau und der Lesbarkeit zu finden. Das vorliegende Buch komprimiert theoretische Inhalte weitgehend auf die notwendigen Grundlagen wie sie an Hochschulen vermittelt
werden und ist so mathematikfernen“ Studierenden ein kompaktes Hilfsmittel. Mathematisch
”
interessierte Leser finden aber durchaus neue und unbekannte Aspekte. Das vorliegende Buch
möge einen Beitrag zur weiteren Vertiefung dieses Interesses leisten.
Das Grundgerüst dieses Buches orientiert sich an unseren Lehrveranstaltungen Ingenieurmathematik I und II an der Hochschule Lausitz, wo die beiden Autoren als Hochschullehrer tätig
sind. Den Teilnehmern unserer Lehrveranstaltungen sei für zahlreiche Hinweise gedankt.
i
Abbildungsverzeichnis
Einige Bezeichnungen und Symbole
Symbole:
∞ - Unendlichkeit (keine reelle Zahl, der Grenzwert der Reihe von reellen Zahlen)
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1 - Fakultät, z.B. 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
lim - Grenzwert (Limes)
x → x0 - x geht gegen x0 (bei der Grenzwertberechnung)
A \ {M } - die Menge M wird aus der Menge A ausgeschnitten (A ohne M )
D(f ) - Definitionsbereich einer Funktion f (x) (die Menge aller zugelassenen Werte x auf der
x-Achse)
W (f ) - Wertebereich einer Funktion f (x) (die Menge aller erhaltenen Werte y = f (x) auf der
y-Achse)
|x| - Betrag von x, d.h. der Abstand vom Ursprung (x = 0) bis zur Zahl x auf der reellen
Achse R (immer nicht negativ!)
Mengen:
N - die Menge der natürlichen Zahlen
Z - die Menge der ganzen Zahlen
Q - die Menge der rationalen Zahlen
R - die Menge der reellen Zahlen
C - die Menge der komplexen Zahlen
Geschlossene und offene Intervalle:
[a, b] - ein geschlossenes Intervall, d.h. die Grenzen gehören dazu a, b ∈ [a, b]
(a, b) oder auch ]a, b[ - ein offenes Intervall, d.h. die Grenzen gehören nicht dazu a, b ∈
/ (a, b)
[a, b) - ein halboffenes (halbgeschlossenes) Intervall, d.h. die Grenze a gehört dazu a ∈ [a, b),
aber die Grenze b wird ausgenommen b ∈
/ [a, b)
Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent (Synonyme):
x ∈ [a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b
x ∈ (a, b) ⇔ a < x < b
x ∈ (−∞, b] ⇔ x ≤ b ⇔ x ∈ R \ {(b, ∞)}
x ∈ (−∞, b) ⇔ x < b ⇔ x ∈ R \ {[b, ∞)}
x ∈ [a, ∞) ⇔ x ≥ a ⇔ x ∈ R \ {(−∞, a)}
x ∈ (a, ∞) ⇔ x > a ⇔ x ∈ R \ {(−∞, a]}
x = a ⇔ x ∈ R \ {a} ⇔ x ∈ (−∞, a) ∪ (a, ∞)
ii