Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, 15.7.2014

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Prüfungsklausur Mathematik II
für Wirtschaftsingenieure, 15.7.2014
Name, Vorname
Matr. Nr.
Sem. gr.
A
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
gesamt
erreichbare P.
10
11
19+(3)
7+(3)
23
(3)
70+(9)
erreichte P.
Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu
welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört.
Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein.
Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten.
Aufgabe 1 :
Die Bratwürste am Stand von “Grilli Willi“ sind die mit Abstand besten Bratwürste in
der Stadt. Somit hat er quasi eine Monopolstellung mit der Absatz-Preis Funktion
x(p) = 1 520 − 4p,
wobei x der Absatz in Stück pro Tag und p der Preis pro Bratwurst in Cent ist. Für den
Tagesgewinn in Abhängigkeit vom Absatz hat sich folgende Funktion herausgestellt:
G(x) = −0.0001x3 + 0.08x2 + 12x − 600.
Der Tagesgewinn wird ebenfalls in Cent angegeben.
(a) Zu welchem Preis sollte Grilli Willi die Bratwürste verkaufen, um maximalen Gewinn
pro Tag zu erzielen? Wieviele Bratwürste sollten dafür pro Tag verkauft werden?
Weisen Sie nach, dass es sich wirklich um maximalen Gewinn handelt.
Gehen Sie im folgenden von den unter (a) ermittelten Absatzmengen aus.
(b) Wie hoch sind für Grilli Willi der Gewinn und die Kosten pro verkaufter Bratwurst?
Aufgabe 2 :
2x
.
x+1
Für welches maximale Intervall bzw. welche maximalen Intervalle I ⊆ D(f ) ist f (x)
streng monoton wachsend? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der 1. Ableitung.
(a) Gegeben sei die Funktion f : D(f ) ⊆ R → R \ {2} mit f (x) =
Falls die Funktion f (x) invertierbar ist, bestimmen Sie f −1 und geben Sie f −1
einschließlich Definitions- und Wertebereich an. Falls f (x) nicht invertierbar ist,
begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Gegeben sei die Funktion g : D(g) ⊆ [0, ∞) → W (g) ⊆ R mit g(x) =
sin(1 − x)
.
100x2 − 100
Ermitteln Sie lim g(x). Der Lösungsweg ist anzugeben.
x→1
Geben Sie eine Funktion g1 : D(g1 ) = [0, ∞) → R an, für die g1 (x) = g(x) für alle
x ∈ D(g) gilt und die für alle x ∈ D(g1 ) stetig ist.
Tipp: g1 ist eine Erweiterung von g.
Aufgabe 3 :
Der Bratwurststand von “Grilli Willi“ hat täglich von 10 bis 18 Uhr geöffnet. In dieser
Zeit werden täglich 600 Bratwürste verkauft, wobei der Absatz während der Öffnungszeit
ziemlich gleichmäßig ist.
Jede Anlieferung von Bratwürsten verursacht Fixkosten in Höhe von 24e. Aus technischen
Gründen ist die Lieferung nur zu jeder vollen Stunde (also 10 Uhr, 11 Uhr,...) möglich.
Die Lagerung einer Bratwurst vor Ort verursacht Lagerkosten von 10 Cent pro Stunde.
Grilli Willi möchte die Summe aus Liefer- und Lagerkosten minimieren.
(a) Zu welchen Uhrzeiten sollte Grilli Willi die Bratwürste liefern lassen? Wieviele
Bratwürste sollten jeweils geliefert werden? Geben Sie den Lösungsweg an.
Betrachten Sie im Folgenden die unter (a) ermittelte Lösung. Falls Sie (a) nicht lösen
konnten, gehen Sie von 4 Lieferungen aus.
(b) Wie hoch sind die Lagerkosten pro Tag und wie hoch sind die durchschnittlichen
Lagerkosten pro Bratwurst pro Tag am Bratwurststand (Tag ≡ 8 Stunden Öffnungszeit)?
(c) Skizzieren Sie den Lagerbestand L = L(t) für einen Tag in Abhängigkeit von der
Zeit t in Stunden und geben Sie L(t) explizit als stückweise lineare Funktion an.
Zusatzaufgabe:
(d) Wieviele Bratwürste sind um 13:40 Uhr auf Lager? Geben Sie den Rechenweg an.
Aufgabe 4 :
√
√
Gegeben sei die Funktion f : D(f ) ⊆ R2 → R mit f (x, y) = y 2 + 6 x − 2y x − 6y.
(a) Berechnen Sie das vollständige Differential df ((x0 , y0 ), (dx, dy)) für (x0 , y0 ) = (16, 11)
und (dx, dy) = (0.1, −0.3). Geben Sie den Rechenweg an.
(b) Bestimmen Sie die Niveaumenge Nc (f ) ⊆ R2 , die den Punkt (x0 , y0 ) = (16, 11)
enthält und geben Sie diese an. Die implizite Darstellung ist ausreichend.
Zusatzaufgabe:
(c) Gegeben sei die Kurve K ⊆ R2 , die implizit gegeben ist durch
√
√
F (x, y) = y 2 + 6 x − 2y x − 6y + 9 = 0.
Sei y = g(x) die explizite Darstellung von K in einer Umgebung U von (x0 , y0 ) =
(16, 11), d.h. F (x, g(x)) = 0 für x ∈ U .
Bestimmen Sie g ′ (16).
Aufgabe 5 :
Grilli Willi hat eine zweiten Bratwurststand eröffnet. Natürlich beeinflussen sich die Absatzmengen und die Preise gegenseitig. Die Absatz-Preis-Funktionen pro Tag sind
p1 = 235 − 0.1x1 + 0.1x2 ,
p2 = 245 + 0.1x1 − 0.2x2 ,
wobei x1 und x2 die Absatzmenge der Bratwürste am ersten beziehungsweise zweiten
Stand in Stück und p1 und p2 die zugehörigen Preise in Cent pro Bratwurst sind. Die
Kosten pro Bratwurst belaufen sich für Grilli Willi auf 2, 05e.
(a) Wie hoch sollte Grilli Willi die Preise an den beiden Ständen ansetzen, um maximalen Gewinn zu erzielen (dabei sollen nur die variablen Kosten berücksichtigt
werden)? Wieviele Bratwürste würden dann jeweils verkauft werden? Wie hoch ist
der Gesamtgewinn? Geben Sie den Lösungsweg an und weisen Sie nach, dass es sich
wirklich um maximalen Gewinn handelt.
(b) Bei der Herstellerfirma der Bratwürste fallen kurzfristig Abnehmer aus. Sie fragt
an, ob Grilli Willi pro Tag 1 000 Bratwürste abnehmen würde. Sie gewährt dafür
einen Rabatt von 3 Cent pro Bratwurst (für die gesamte Menge), so dass die Kosten
für Grilli Willi nun nur noch 2,02e pro Bratwurst betragen. Zu welchen Preisen
sollte er die Bratwürste an den beiden Ständen verkaufen, um maximalen Gewinn
zu erzielen und wie hoch ist dieser? Sollte er das Angebot annehmen? Lösen Sie das
Problem mit Hilfe der Lagrange Methode. Ein Nachweis des Maximums ist nicht
gefordert.
Wie würde sich der Gewinn näherungsweise ändern, wenn Grilli Willi insgesamt
1 100 Bratwürste (statt 1 000) pro Tag (zum Rabattpreis) bestellt und mit maximalem Gewinn verkauft?
Aufgabe 6 : Zusatzaufgabe
√
Ist die Funktion F : R → R : F (x) = 2x2 + 10x + 14 eine Stammfunktion der Funktion
2x + 5
f : R → R : f (x) = √
auf R? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.
2x2 + 10x + 14
Ergebnisse - nicht vollständig
1.
(a) G(x) = −0.000 1x3 + 0.08x2 + 12x − 600, G′ (x) = −0.0003x2 + 0.16x + 12
G′ (x) = 0 ⇒ x1 = 600, x2 = −66, 67 (entfällt)
G′′ (x) = −0.0006x + 0.16 ⇒ G′′ (600) < 0 ⇒ x1 = 600 ist Maximalstelle von G(x).
x(p) = 1520 − 4p ⇒ p(x) = 380 − x/4 ⇒ p(600) = 230.
Grilli Willi sollte pro Tag 600 Bratwürste zum Preis von je 2,30e verkaufen, um
maximalen Gewinn zu erzielen.
(b) G(600) = 13 800 ⇒ g(600) =
13 800
600
= 23 ⇒ k(x) = 230 − 23 = 207.
Grilli Willi erzielt pro verkaufter Bratwurst einen Gewinn von 23 Cent, wobei die
Stückkosten 2,07e betragen.
2.
(a) f (x) =
2x
x+1
⇒ f ′ (x) =
2
(x+1)2
> 0∀x ∈ R, x ̸= −1
⇒ f (x) ist streng monoton wachsend ∀x ∈ (−∞, −1) und ∀x ∈ (−1, ∞).
f (x) ist invertierbar: f −1 : R \ {2} → R \ {−1} : f −1 (x) =
sin(1−x)
2 −100
100x
x→1
(b) lim
− cos(1−x)
200x
x→1
= lim
g1 : [0, ∞) → R : g1 (x) =





x
2−x
1
= − 200
sin(1−x)
100x2 −100
1
− 200
sin(1−x)
100x2 −100
für 0 ≤ x < 1
für x = 1
für x > 1
3. T = 8 Stunden, m = 600, k0 = 2 400 Cent, kℓ = 10 · 8 = 80 Cent, kleinste Zeiteinheit
ist die Stunde
√
√
2m·k0
400
(th)
(a) x
=
= 2·600·2
= 189, 74
kℓ
80
⇒ n(th) =
600
189,74
= 3, 163
Variantenvergleich:
n1 = 3, x1 = 600/3 = 200, t12 = 8/3 ̸∈ Z ⇒ entfällt
n2 = 2, x1 = 600/2 = 300, t22 = 8/2 = 4, K2 = 80 · 150 + 2 400 · 2 = 16 800 = 168e
n3 = 4, x1 = 600/4 = 150, t32 = 8/4 = 2, K3 = 80 · 75 + 2 400 · 4 = 15 600 = 156e
Grilli Willi sollte um 10 Uhr, 12 Uhr, 14 Uhr und 16 Uhr jeweils 150 Bratwürste
liefern lassen.
(b) Kℓ = 80 · 75 = 6 000, 6 000/600 = 10 ⇒ die durchschnittlichen Lagerkosten pro
Bratwurst und Tag betragen 10 Cent.
(c) Skizze

150 − 75t



 300 − 75t
L : [0, 8] → R : L(t) =

450 − 75t



600 − 75t
0≤t≤2
2<t≤4
4<t≤6
6<t≤8
(d) 13 : 40 Uhr entspricht t = 11
, L( 11
) = 300 − 75 · 11
= 25 ⇒ um 13:40 Uhr sind noch
3
3
3
25 Bratwürste auf Lager.
√
√
4. f (x, y) = y 2 + 6 x − 2y x − 6y
√
(a) fx (x, y) = √3x − √yx , fx (16, 11) = −2, fy (x, y) = 2y − 2 x − 6, fy (16, 11) = 8
df ((x0 , y0 ), (dx, dy)) = −2 · 0.1 + 8 · (−0.3) = −2.6
√
√
(b) f (16, 11) = −9 ⇒ Nc (f ) = {(x, y) ∈ R2 | y 2 + 6 x − 2y x − 6y = −9}
(x0 ,y0 )
= − −2
=
(c) g ′ (x0 ) = − FFxy (x
8
0 ,y0 )
1
4
(Ableitung einer impliziten Funktion)
oder umformen nach y mit quadratischer Lösungsformel:
√
√
√
√
√
√
y = x + 3 ± x + 6 x + 9 − 6 x − 9 = x + 3 ± x,
√
“-“ entfällt, da y0 = 11 ⇒ g(x) = 2 x + 3, g ′ (x) = √1x , ⇒ g ′ (16) =
1
4
5.
(a) E(x1 , x2 ) = 235x1 − 0.1x21 + 0.2x1 x2 + 245x2 − 0.2x22
G(x1 , x2 ) = 30x1 − 0.1x21 + 0.2x1 x2 + 40x2 − 0.2x22
⇒ Gx1 = 30 − 0.2x1 + 0.2x2 , Gx2 = 40 + 0.2x1 − 0.4x2
Gx1 = Gx2 = 0 ⇒ x1 = 500, x2 = 350, p1 = 220, p2 = 225, G(350, 500) = 14 500
Gx1 x1 = −0.2, Gx1 x2 = 0.2, Gx2 x1 = 0.2, Gx2 x2 = −0.4,
⇒ det(HG ) = (−0.2) · (−0.4) − 0.2 · 0.2 > 0 und Gx1 x1 < 0
⇒ (x1 , x2 ) = (500, 350) ist Maximalstelle von G(x1 , x2 ).
Am Stand 1 sollten 500 Bratwürste zum Preis von je 2,20e und am Stand 2 sollten
350 Bratwürste zum Preis von je 2,25e verkauft werden, um maximalen Gewinn
von 145e zu erzielen.
(b) NB: x1 + x2 = 1 000
L(x1 , x2 , λ) = 33x1 − 0.1x21 + 0.2x1 x2 + 43x2 − 0.2x22 + λ(1 000 − x1 − x2 )
⇒ Lx1 = 33 − 0.2x1 + 0.2x2 − λ, Lx2 = 43 + 0.2x1 − 0.4x2 − λ, Lλ = 1 000 − x1 − x2
Lx1 = Lx2 = Lλ = 0 ⇒ x1 = 590, x2 = 410, λ = −3, p1 = 217, p2 = 222,
Gneu (590, 410) = 17 050
Grilli Willi sollte die Bratwürste am Stand 1 zu 2,17e und am Stand 2 zu 2,22e
verkaufen, um maximalen Gewinn von 170,50e zu erzielen, d.h. er sollte das Angebot
annehmen, da 170, 50 > 145.
∆Gneu ≈ −3 · 100 = −300 ⇒ Der Gewinn würde näherungsweise um 3e sinken.
6.√F (x) ist eine Stammfunktion von f (x) auf R, weil D(f ) = D(F ) = R und F ′ (x) =
( 2x2 + 10x + 14)′ = √2x22x+5
= f (x).
+10x+14