Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Logik und Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Betrag und Signum . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Summe und Produkt . . . . . . . . . . . .
1.3 Potenz und Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Potenzgesetze . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
1.4.2 Winkel im Grad- und Bogenmaß . . . . .
1.4.3 Sinus- und Kosinussatz . . . . . . . . . .
1.5 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . .
1.5.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Potenzgleichungen . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . .
1.5.4 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Konstruktiver Beweis . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . .
1.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Lineare Gleichungssysteme
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2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8
Inhaltsverzeichnis
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Äquivalenzumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Vorwärtselimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Rückwärtseinsetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Rechenschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Typen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen .
2.3.3 Systeme mit redundanten Gleichungen . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . .
2.3.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . .
2.3.6 Homogene lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern . . . . . . . . .
Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Jakobi-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Gauß-Seidel-Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vektoren
3.1 Der Begriff eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vektorrechnung ohne Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Skalare Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung . .
3.3 Vektoren in Koordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Koordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Skalare Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Lineare Abhängigkeit und Komponentenzerlegung . .
3.4 Punkte, Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen . . . .
3.4.3 Parameterfreie Darstellung von Geraden und Ebenen
3.4.4 Schnitte von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . .
3.4.5 Abstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Matrizen
4.1 Der Begriff einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation
4.2.2 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . .
4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Determinante einer (2,2)-Matrix . . . . . . . . .
4.3.2 Determinante einer (3,3)-Matrix . . . . . . . . .
4.3.3 Determinante einer (n,n)-Matrix . . . . . . . . .
4.4 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Invertierbare Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Inverse einer (2,2)-Matrix . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem . .
4.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Matrizen als Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Kern, Bild und Rang . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Funktionen
5.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Wertetabelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Schaubild . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Explizite und implizite Darstellung . . . .
5.1.5 Abschnittsweise definierte Funktionen . .
5.1.6 Funktionsschar . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.7 Verkettung von Funktionen . . . . . . . .
5.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . .
5.2.1 Potenzfunktionen mit ganzen Hochzahlen
5.2.2 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . .
5.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . .
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3.6
3.4.6 Winkel . . . .
Anwendungen . . . .
3.5.1 Kraft . . . . .
3.5.2 Arbeit . . . .
3.5.3 Drehmoment
Aufgaben . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
5.4
Sinus, Kosinus und Tangens . . . . . . . . . . .
5.4.1 Definition am Einheitskreis . . . . . . .
5.4.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
5.5 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Grenzwert einer Funktion . . . . . . . .
5.5.3 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Asymptotisches Verhalten . . . . . . . .
5.6 Exponential- und Hyperbelfunktionen . . . . . .
5.6.1 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . .
5.6.2 Die e-Funktion . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . .
5.7 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Das Prinzip der Umkehrfunktion . . . .
5.7.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . .
5.7.5 Area-Funktionen . . . . . . . . . . . . .
5.8 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Berechnung von Funktionswerten . . . .
5.8.2 Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . .
5.9 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Industrieroboter . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Differenzialrechnung
6.1 Steigung und Ableitungsfunktion . . . . . . . .
6.1.1 Tangente und Differenzierbarkeit . . . .
6.1.2 Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
6.1.5 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . .
6.2 Ableitungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . .
6.2.3 Logarithmisches Differenzieren . . . . .
6.2.4 Implizites Differenzieren . . . . . . . . .
6.2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . .
6.3 Regel von Bernoulli-de l’Hospital . . . . . . . .
6.4 Geometrische Bedeutung der Ableitungen . . .
6.4.1 Neigungswinkel und Schnittwinkel . . .
6.4.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . .
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278
Inhaltsverzeichnis
11
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295
7 Integralrechnung
7.1 Flächenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Integralsymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Integral als Grenzwert von Summen . . . . . . . . . .
7.1.3 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Zusammenhang von Ableitung und Integral . . . . . . . . . .
7.2.1 Integralfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Bestimmtes Integral und Stammfunktion . . . . . . .
7.2.4 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . .
7.3 Integrationstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.4 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . .
7.3.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Länge, Flächeninhalt und Volumen . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Romberg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Schwerpunkte und statische Momente ebener Flächen
7.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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347
8 Potenzreihen
8.1 Unendliche Reihen . . . . . . .
8.2 Potenzreihen und Konvergenz
8.3 Taylor-Reihen . . . . . . . . .
8.4 Eigenschaften . . . . . . . . .
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6.5
6.6
6.7
6.4.4 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Numerische Differenziation . . . . . . . . . . .
6.5.2 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Sekantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Momentan- und Durchschnittsgeschwindigkeit
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12
Inhaltsverzeichnis
8.5
8.6
8.7
Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
9 Kurven
9.1 Parameterdarstellung .
9.2 Kegelschnitte . . . . .
9.3 Tangente . . . . . . . .
9.4 Krümmung . . . . . . .
9.5 Bogenlänge . . . . . . .
9.6 Numerische Verfahren .
9.7 Anwendungen . . . . .
9.7.1 Mechanik . . .
9.7.2 Straßenbau . .
9.8 Aufgaben . . . . . . . .
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10 Funktionen mit mehreren Variablen
10.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Definition einer Funktion mit mehreren Variablen . .
10.1.2 Schaubild einer Funktion mit mehreren Variablen . .
10.1.3 Schnittkurven mit Ebenen und Höhenlinien . . . . . .
10.2 Grenzwert und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Grenzwert einer Funktion mit mehreren Variablen . .
10.2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Differenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Partielle Ableitungen und partielle Differenzierbarkeit
10.3.2 Differenzierbarkeit und Tangentialebene . . . . . . . .
10.3.3 Gradient und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . .
10.3.4 Differenzial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.5 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . .
10.3.6 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4.1 Methode der kleinsten Fehlerquadrate . . . . . . . . .
10.4.2 Ausgleichsrechnung mit Polynomen . . . . . . . . . .
10.4.3 Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1 Mehrdimensionales Newton-Verfahren . . . . . . . . .
10.6.2 Gradientenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Komplexe Zahlen und Funktionen
11.1 Definition und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2 Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
12.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Anfangswert- und Randwertproblem . . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Richtungsfeld und Orthogonaltrajektorie . . . . . . . . . . .
12.1.4 Differenzialgleichung und Funktionenschar . . . . . . . . .
12.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Lineare Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Ähnlichkeitsdifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Lineare Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Homogene und inhomogene lineare Differenzialgleichungen
12.3.2 Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung . . . . . . .
12.3.3 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.4 Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . .
12.4 Schwingungsdifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Allgemeine Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Freie Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Harmonisch angeregte Schwingung . . . . . . . . . . . . . .
12.4.4 Frequenzgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Zustandsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . .
12.5.4 Lineare Differenzialgleichung als System . . . . . . . . . . .
12.5.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.1.3 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.4 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1 Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . .
11.2.3 Multiplikation und Division . . . . . . . . . . . .
11.2.4 Rechnen mit der konjugiert komplexen Zahl . . .
11.2.5 Rechnen mit dem Betrag einer komplexen Zahl .
Potenzen, Wurzeln und Polynome . . . . . . . . . . . . .
11.3.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.3 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . .
Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . .
11.4.3 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
12.6 Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 Polygonzugverfahren von Euler . . . . . . . . . . .
12.6.2 Euler-Verfahren für Differenzialgleichungssysteme
12.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1 Temperaturverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.2 Radioaktiver Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.3 Freier Fall mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . .
12.7.4 Feder-Masse-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.5 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.6 Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Fourier-Reihen
13.1 Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Trigonometrische Polynome . . . . . . . . . .
13.1.3 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.4 Satz von Fourier . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.5 Gibbssches Phänomen . . . . . . . . . . . . .
13.2 Komplexe Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Komplexe Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Berechnung komplexer Fourier-Koeffizienten
13.2.3 Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4 Minimaleigenschaft . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2 Integrationsintervall . . . . . . . . . . . . . .
13.3.3 Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.4 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.5 Ähnlichkeit und Zeitumkehr . . . . . . . . . .
13.3.6 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Verallgemeinerte Funktionen
14.1 Heaviside-Funktion . . . .
14.2 Dirac-Distribution . . . . .
14.3 Verallgemeinerte Ableitung
14.4 Faltung . . . . . . . . . . .
14.5 Aufgaben . . . . . . . . . .
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15 Fourier-Transformation
15.1 Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1.2 Darstellung mit Real- und Imaginärteil . . . . . . .
15.1.3 Sinus- und Kosinustransformation . . . . . . . . .
15.1.4 Transformation gerader und ungerader Funktionen
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Inhaltsverzeichnis
15
15.1.5 Darstellung mit Amplitude und Phase . . .
15.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3 Amplitudenmodulation . . . . . . . . . . . .
15.2.4 Ähnlichkeit und Zeitumkehr . . . . . . . . .
15.3 Inverse Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Vertauschungssatz . . . . . . . . . . . . . .
15.3.3 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Differenziation, Integration und Faltung . . . . . .
15.4.1 Differenziation im Zeitbereich . . . . . . . .
15.4.2 Differenziation im Frequenzbereich . . . . .
15.4.3 Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . .
15.4.4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.5 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5 Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.1 Fourier-Transformation einer Fourier-Reihe
15.5.2 Koeffizienten der Fourier-Reihe . . . . . . .
15.5.3 Grenzwertbetrachtung . . . . . . . . . . . .
15.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.1 Lineare zeitinvariante Systeme . . . . . . .
15.6.2 Tiefpassfilter . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Laplace-Transformation
16.1 Bildbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Laplace- und Fourier-Transformation .
16.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.3 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . .
16.2.4 Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Differenziation, Integration und Faltung . . .
16.3.1 Differenziation . . . . . . . . . . . . .
16.3.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.3 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3.4 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Transformation periodischer Funktionen . . .
16.5 Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen .
16.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16
Inhaltsverzeichnis
17 z-Transformation
17.1 Transformation diskreter Signale . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 z-Transformation und Laplace-Transformation
17.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.1 Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.2 Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.3 Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2.4 Vorwärtsdifferenzen . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Lösung von Differenzengleichungen . . . . . . . . . . .
17.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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643
A Anhang
A.1 Ableitungen . . . . . . . .
A.2 Ableitungsregeln . . . . . .
A.3 Integrale . . . . . . . . . .
A.4 Integralregeln . . . . . . .
A.5 Potenzreihen . . . . . . . .
A.6 Fourier-Reihen . . . . . . .
A.7 Fourier-Transformationen .
A.8 Laplace-Transformationen
A.9 z-Transformationen . . . .
A.10 Griechisches Alphabet . . .
A.11 Bedeutende Mathematiker
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Literaturverzeichnis
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Sachwortverzeichnis
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